Cálculo I - Parte I - Limites e Continuidade

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CÁLCULO I
- Parte I
Limites e Continuidade
Lı́via Moreira Couto
Viçosa - MG
Fevereiro/2021
1 Limites e Continuidade
1.1 Definições de Limites
Definição Informal de Limite: Seja f uma função real definida perto de a ∈ R, mas não necessari-
amente definida em a. Dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a é igual a L ∈ R, denotado por
lim
x→a
f (x) = L, se f (x) fica tão próximo de L quanto quisermos para todo x suficientemente próximo de a,
com x 6= a. Escreve-se também que f (x)→ L quando x→ a.
De maneira intuitiva, o limite estabelece o comportamento da função na vizinhança de um ponto,
sendo que este pode ou não pertencer ao seu domı́nio.
A partir dessa definição de limite, podemos definir também os limites laterais à esquerda e à direita,
restringindo a aproximação por apenas um dos lados. Dizemos que o limite de f (x) quando x tende a a
pela direita ou pela esquerda é igual a L, denotado por lim
x→a+
f (x) = L ou lim
x→a−
f (x) = L, se f (x) fica tão
próximo de L ∈R quanto quisermos para todo x suficientemente próximo de a ∈R, com x > a ou x < a,
respectivamente.
Quando lim
x→a+
f (x) = lim
x→a−
f (x) = L, dizemos que existe lim
x→a
f (x) e o mesmo vale L. Já se os limites
laterais assumirem valores distintos, dizemos que @ lim
x→a
f (x).
Definição Formal de Limite*: Seja f uma função definida para todo um intervalo aberto contendo
a, exceto possivelmente no próprio número a. O limite de f (x) quando x tende a a será L, escrevemos
lim
x→a
f (x) = L, se a seguinte afirmação for verdadeira: Dado qualquer número ε > 0, existe um δ > 0 tal
que se x ∈ (a−δ , a+δ), com x 6= a, então f (x) ∈ (L−ε , L+ε), ou simbolicamente ∀ε > 0, ∃δ > 0, tal
que 0 < |x−a|< δ⇒ | f (x)−L|< ε.
Figura 1: Representação gráfica da definição de limite
* As demonstrações a partir da definição formal de limite serão omitidas, já que este não é o foco do
estudo de cálculo I.
A partir da definição de limite, podemos definir de imediato os seguintes limites:
Limite de uma função constante: Dado k ∈ R e f a função definida por f (x) = k , ∀x ∈ R, temos
que lim
x→a
f (x) = lim
x→a
k = k.
Limite da função identidade: Seja f a função definida por f (x) = x , ∀x ∈ R, então lim
x→a
f (x) =
lim
x→a
x = a.
Teorema (Unicidade do Limite): Se lim
x→a
f (x) = L e lim
x→a
f (x) = M, então L = M. Em palavras, se o
limite existe, então ele é único.
2
1.2 Propriedades de Limites
Considere f e g duas funções e a ∈ R. Se os limites lim
x→a
f (x) e lim
x→a
g(x) existem, então também
existem os limites:
1. lim
x→a
( f (x)+g(x)) = lim
x→a
f (x)+ lim
x→a
g(x)
2. lim
x→a
( f (x)−g(x)) = lim
x→a
f (x)− lim
x→a
g(x)
3. lim
x→a
( f (x) ·g(x)) = lim
x→a
f (x) · lim
x→a
g(x)
4. lim
x→a
(
f (x)
g(x)
)
=
lim
x→a
f (x)
lim
x→a
g(x)
, desde que lim
x→a
g(x) 6= 0
5. lim
x→a
( f (x))n =
(
lim
x→a
f (x)
)n
, ∀n ∈ N
6. lim
x→a
n
√
f (x) = n
√
lim
x→a
f (x), desde que lim
x→a
f (x) ≥ 0 e n ∈ N ou lim
x→a
f (x) < 0 e n é qualquer número
inteiro positivo ı́mpar.
Utilizando as propriedades de limites listadas, podemos concluir que: Se p é um polinômio de grau
n, com n ∈ N, então lim
x→a
p(x) = p(a).
Vejamos um exemplo que ilustra o cálculo de limite utilizando algumas dessas propriedades.
Exemplo: lim
x→4
4
√
x+12− x 32
3− 8
x
[P4]
=
lim
x→4
(
4
√
x+12− x
3
2
)
lim
x→4
(
3− 8
x
) [P2]= limx→4 4
√
x+12− lim
x→4
x
3
2
lim
x→4
3− lim
x→4
8
x
[P4, P5, P6]
=
4
√
lim
x→4
(x+12)− (lim
x→4
x)
3
2
lim
x→4
3−
 limx→4 8
lim
x→4
x

[Função Polinomial]
=
4
√
16−4 32
3− 8
4
= −6.
Teorema do Confronto ou Teorema do ”Sanduı́che”: Sejam f , g e h funções definidas em um
intervalo aberto I contendo a, exceto possivelmente em x= a. Se f (x)≤ g(x)≤ h(x) , ∀x∈ I e lim
x→a
f (x)=
lim
x→a
h(x) = L, então lim
x→a
g(x) = L.
A ideia é determinar o limite da função g apenas conhecendo os limites das funções f e h.
Exemplo: Seja a função g definida por g(x) = xsen
1
x
. Suponhamos que queremos calcular o limite
de g(x) quando x se aproxima de 0, ou seja, lim
x→0
(
xsen
1
x
)
, sem o conhecimento do gráfico de g. Uma
alternativa, seria utilizar o Teorema do Confronto da seguinte forma:
Sabemos que −1≤ sen 1
x
≤ 1 , ∀x 6= 0. Assim:
• para x > 0: −x≤ xsen 1
x
≤ x. Como lim
x→0+
(−x) = 0 e lim
x→0+
x = 0, então lim
x→0+
(
xsen
1
x
)
= 0.
• para x < 0: −x≥ xsen 1
x
≥ x. Como lim
x→0−
(−x) = 0 e lim
x→0−
x = 0, então lim
x→0−
(
xsen
1
x
)
= 0.
Portanto, como lim
x→0+
(
xsen
1
x
)
= 0 e lim
x→0−
(
xsen
1
x
)
= 0, temos que lim
x→0
(
xsen
1
x
)
= 0.
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1.3 Limites no Infinito e Limites Infinitos
Em alguns casos, tratamos de limites onde, quando x tende a a ∈ R pela esquerda ou pela direita,
f (x) tende a um número positivo indefinidamente grande ou a um número negativo indefinidamente
pequeno. Quando isto ocorre, dizemos que, quando x tende a a pela esquerda ou pela direita, f (x) tende
ao infinito positivo (+∞ ou somente ∞) ou ao infinito negativo (−∞). Simbolicamente, escrevemos:
lim
x→a−
f (x) = ∞ , lim
x→a+
f (x) = ∞ , lim
x→a−
f (x) =−∞ ou lim
x→a+
f (x) =−∞.
Se pelo menos um desses limites ocorre, dizemos que a reta x = a é uma assı́ntota vertical do gráfico
da função f .
Observação: Vale ressaltar que ∞ não é um número real, portanto os limites citados não existem,
são apenas formas particulares da não existência do limite e uma informação adicional.
Em outros casos, precisamos analisar o comportamento de f (x) quando x se torna indefinidamente
grande ou indefinidamente pequeno. Dessa forma, podem ocorrer os seguintes limites:
lim
x→+∞
f (x) = L , lim
x→−∞
f (x) = L , lim
x→+∞
f (x) =+∞ , lim
x→−∞
f (x) =+∞ , lim
x→+∞
f (x) =−∞ , lim
x→−∞
f (x) =−∞.
Quando lim
x→+∞
f (x) = L ou lim
x→−∞
f (x) = L, com L ∈ R, dizemos que a reta y = L é uma assı́ntota
horizontal do gráfico da função f .
Exemplo: Considere a função f definida por f (x) =
x
x−2
.
Figura 2: Gráfico da função f (x) =
x
x−2
Podemos notar que à medida que x se aproxima de 2 por valores maiores que 2 (x→ 2+), os valores
de f (x) ficam arbitrariamente grandes. Daı́: lim
x→2+
x
x−2
=+∞. Dessa forma, podemos afirmar que a reta
x = 2 é uma assı́ntota vertical do gráfico da função f .
Também é possı́vel perceber que à medida que x cresce indefinidamente (x→+∞), os valores de
f (x) tornam-se cada vez mais próximos de 1. Daı́: lim
x→+∞
x
x−2
= 1. Dessa forma, podemos afirmar que
a reta y = 1 é uma assı́ntota horizontal do gráfico da função f .
De maneira análoga, é possı́vel perceber ainda que: lim
x→−∞
x
x−2
= 1 e lim
x→2−
x
x−2
=−∞.
1.4 Indeterminações
As seguintes formas são consideradas indeterminadas:
0
0
,
∞
∞
, ∞−∞ , 0×∞ , 00 , ∞0 , 1∞.
Na resolução de limites que envolvam essas indeterminações, é comum o uso de simplificações,
fatorações e demais técnicas de manipulação de expressões algébricas para eliminar as indeterminações
e calcular o limite corretamente.
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1.5 Limites Fundamentais
Os seguintes limites são denominados limites fundamentais e são utilizados no cálculo de outros
limites:
1. lim
x→0
senx
x
= 1
[
indeterminação do tipo
0
0
]
2. lim
x→∞
(
1+
1
x
)x
= e [1∞] , onde e' 2,718281828459045 . . .
3. lim
x→−∞
(
1+
1
x
)x
= e [1∞]
4. lim
x→0
ax−1
x
= lna , com a > 0 e a 6= 1
[
0
0
]
Vejamos um exemplo de limite onde ocorre uma indeterminação e utilizamos um dos limites funda-
mentais para eliminar essa indeterminação e calcular o limite corretamente:
Exemplo: lim
x→0
1− cosx
x
[ 00 ]
= lim
x→0
1− cosx
x
· 1+ cosx
1+ cosx
= lim
x→0
1− cos2 x
x(1+ cosx)
= lim
x→0
1− (1− sen2 x)
x(1+ cosx)
=
lim
x→0
sen2 x
x(1+ cosx)
= lim
x→0
senx
x
· senx
1+ cosx
[LF1]
= lim
x→0
senx
1+ cosx
=
0
2
= 0
Logo, lim
x→0
1− cosx
x
= 0.
1.6 Funções Contı́nuas
Dizemos que uma função f é contı́nua em um número a se lim
x→a
f (x) = f (a).
A partirdisso, dizemos que:
• f é contı́nua à direita em a ⇐⇒ lim
x→a+
f (x) = f (a) ;
• f é contı́nua à esquerda em b ⇐⇒ lim
x→b−
f (x) = f (b) ;
• f é contı́nua se for contı́nua em cada ponto do seu domı́nio;
• f é contı́nua em um intervalo fechado [a , b] se for contı́nua em (a , b), contı́nua à direita em a e à
esquerda em b.
Exemplo: A função f (x) =
1
x
é contı́nua em x ∈R∗, pois lim
x→a
1
x
=
1
a
= f (a), ∀x ∈R , com x 6= 0. E
é descontı́nua em x = 0, já que 0 não pertence ao domı́nio de f e, além disso, não existe lim
x→0
1
x
.
1.7 Propriedades das Funções Contı́nuas
1. Em relação aos tipos de funções, podemos afirmar que:
• Toda função polinomial é contı́nua para todo número real;
• Toda função racional, trigonométrica, exponencial e logarı́tmica é contı́nua em todo o seu
domı́nio.
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2. Se as funções f e g são contı́nuas em a∈R, então f +g , f −g , f ·g e f
g
(desde que g(a) 6= 0) são
contı́nuas em a.
3. A composição de funções contı́nuas é uma função contı́nua. Ou seja, se g é contı́nua em a ∈R e f
é contı́nua em g(a), então h(x) = ( f ◦g)(x) = f (g(x)) é contı́nua em a.
4. Seja f uma função contı́nua num intervalo I e M = Im( f ). Se f admite uma função inversa
g = f−1 : M→ I, então g é contı́nua em todos os pontos de M.
Teorema do Valor Intermediário - TVI: Se f é contı́nua em um intervalo fechado [a , b] e se w é
um número entre f (a) e f (b), então existe ao menos um número c em [a , b] tal que f (c) = w.
A partir desse teorema concluimos que podemos traçar o gráfico de uma função contı́nua sem retirar
o lápis do papel, pois não há interrupções no gráfico. Além disso, uma consequência do Teorema do
Valor Intermediário é a seguinte:
Teorema de Bolzano: Se f é uma função contı́nua num intervalo fechado [a , b] e f (a) · f (b) < 0
(isto é, f (a) e f (b) são diferentes de zero e tem sinais opostos) então existe ao menos um número c entre
a e b tal que f (c) = 0, isto é, f tem um zero em [a , b].
De forma equivalente, se uma função f é contı́nua num intervalo fechado e não tem zeros neste in-
tervalo, então ou f (x)> 0 ou f (x)< 0 em todo intervalo.
Exemplo: Para mostrar que f (x) = x3 +2x2−5x tem um zero entre 1 e 2, observamos inicialmente
que f é uma função polinomial e portanto contı́nua para todo número real, logo é contı́nua no intervalo
fechado [1 , 2]. Uma vez que f (1) = −2 < 0 e f (2) = 6 > 0, ou seja, f (1) · f (2) < 0, o Teorema de
Bolzano garante a existência de um número c entre 1 e 2 tal que f (c) = c3 +2c2−5c = 0.
Porém, o Teorema de Bolzano não informa o valor deste número c e nem garante sua unicidade. No
caso deste exemplo, podemos mostrar que também existem raı́zes entre -4 e -3 e entre -1 e 1, já que f
é contı́nua nos intervalos [−4 ,−3] e [−1 , 1] e f (−4) · f (−3)< 0 e f (−1) · f (1)< 0. O gráfico abaixo
mostra a localização das raı́zes da função f .
Figura 3: Gráfico da função f (x) = x3 +2x2−5x
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2 Referências Bibliográficas
1. VIANA, Rosane; CARVALHO, Laerte e LOPES, Jaques - Cálculo Diferencial e Integral I -
Viçosa, 2012.
2. CABRAL, Marco A. P. - Curso de Cálculo de Uma Variável - Rio de Janeiro: Instituto de
Matemática, 2010.
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