SLIDE 06 - Estimativa de erro

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O método dos elementos 
finitos e o uso de softwares 
na engenharia civil
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Estimativa de erro
Bloco 1
Bruno Henrique Oliveira Mulina
Erros na solução de método de elementos finitos 
• O método dos elementos finitos (MEF) é um método aproximado:
• Discretização do domínio contínuo.
• Aproximação dos processos físicos.
• Processos descritos de forma polinomial.
• O erro é inerente ao MEF!
Erro em MEF 
• Diferença entre o valor exato e o calculado.
• Valor exato: valores conhecidos ou de interesse:
• Valores conhecidos: dados experimentais.
• De interesse: condições a serem atingidos. 
• Condições de contorno são valores exatos!
• Podem estar no contorno do domínio ou outro ponto conhecido.
Origem dos erros em elementos finitos
• Erros de:
• Discretização.
• Funções.
• Discretização do domínio.
• Arredondamento.
Erro de discretização
• Os valores são considerados constantes dentro de cada elemento.
• Podem ser controlados pelo usuário.
Figura 1 – Representação gráfica do erro de discretização
Parâmetro real
Domínio 
Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3
Fonte: elaborada pelo autor.
Erro de discretização
• Os valores são considerados constantes dentro de cada elemento.
• Podem ser controlados pelo usuário.
Figura 2 – Representação gráfica do erro de discretização
Parâmetro real
Domínio 
Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3
Fonte: elaborada pelo autor.
Função aproximada
Erro de discretização
Erros das funções 
• Relacionada à aproximação dos efeitos reais à funções polinomiais 
de primeira ordem (retas).
• Aproximação de curvas em retas.
• Fonte de erro difícil de ser minimizado.
• Relacionado também às condições de contorno.
• As funções de interpolação estão relacionadas apenas aos nós, 
não às faces dos elementos.
Erros das funções 
Figura 3 – Erro de modelagem nas condições de contorno
Fonte: elaborada pelo autor.
Erros das funções 
Figura 4 – Erro de modelagem nas condições de contorno
Fonte: elaborada pelo autor.
Erros de discretização do domínio 
Domínio original
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 5 – Erros de discretização do domínio 
• Erro relacionado à falta, ou adição, de regiões ao domínio estudado.
• Fonte de erro fácil de ser minimizado.
Erros de discretização do domínio 
Domínio original Discretização
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 6 – Erros de discretização do domínio 
• Erro relacionado à falta, ou adição, de regiões ao domínio estudado.
• Fonte de erro fácil de ser minimizado.
Erros de discretização do domínio 
Domínio original Discretização Domínio discretizado
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 7 – Erros de discretização do domínio 
• Erro relacionado à falta, ou adição, de regiões ao domínio estudado.
• Fonte de erro fácil de ser minimizado.
Erros de arredondamento
• Consequência da manipulação de valores reais por sistemas 
computadorizados.
• Erros de aproximação e truncamento dos valores numéricos.
• Independe do usuário na geração dos erros.
• Não pode ser corrigido ou minimizado.
Medidas de erros
• Diferença entre o valor calculado e o exato.
• Diferença entre o valor obtido por duas malhas diferentes.
• Erro elementar: erro de cada elemento.
• Norma do erro: índice de erro geral da malha.
Variável exata. Variável calculada.
 e x x 
Medidas de erro
• Norma de máximo:
• Norma quadrática:
• Norma energética: 
 max
L
e e


 
2
T
L
e e e d

   
 T
E
e e f e d

    
Medidas de erro
• Norma média: 
• Norma de von Mises:
• Erro relativo: 
 
E
m
e
e
n

 
        
1
2
2 2 2 2 2 21 6
2
xx yy yy zz zz xx xy yz zxM
e e e e e e e e e e d

 
           
 

 
E
E
e
x
 
Estimativa de erros à priori
• Depende das características da malha.
• Análise qualitativa da convergência do erro.
• Estimativa de erro ruim e vaga.
Estimativa de erros à posteriori
• Extrapolação de Richardson:
• Necessitam de dois ensaios para estimar uma função de 
convergência do erro.
• Interpolação dos erros:
• Necessitam de três ensaios para estimar a melhor malha por 
meio da energia potencial elementar. 
• Polinômio de segunda ordem e valor mínimo.
 1
2
log( ) log( )
log( ) log( )
, , 1
, 1 , 2
n n
n n
N N
N N
p n p p n p
p n p p n p
   
   





 
  
     
Estimativa de erro
Bloco 2
Bruno Henrique Oliveira Mulina
Métodos de minimização do erro
• Refinamento da malha. 
• Alterar a configuração da malha. 
• Pode ou não aumentar o número de elementos.
• Aplicação de outras funções de forma.
• Aplicação de funções de ordem maior.
Métodos de minimização do erro - Aplicação de outras funções 
de forma
Figura 8 – Impacto do grau das funções de interpolação
Fonte: elaborada pelo autor.
• Substituição das funções de forma por outras de grau maior
• Complexo por motivar a reconstrução das matrizes e 
funções do MEF.
Métodos de minimização do erro - Aplicação de outras funções 
de forma
Figura 9 – Comparação do efeito das discretização tradicional e suavidada
Fonte: elaborada pelo autor.
• Aplicações de suavização de discretização.
• As propriedades não são constantes dentro do elemento.
Métodos de minimização do erro - Aplicação de outras funções 
de forma
Figura 10 – Comparação do efeito das discretização tradicional e suavidada
Fonte: elaborada pelo autor.
• Aplicações de suavização de discretização.
• As propriedades não são constantes dentro do elemento.
Métodos de minimização do erro - Refinamento da malha 
• Reposicionamento dos nós:
• Muda apenas os nós de lugar.
• Não altera o número de elementos.
• Afeta pouco na redução do erro.
• Bom para ajustar discretização do domínio.
Métodos de minimização do erro - Remalhagem
• Cada ensaio é realizado com uma malha diferente, refeita do 
começo.
• Pouco usado por não criar um critério válido de avaliação e 
comparação.
Métodos de minimização do erro – Refinamento
• Consiste em identificar os pontos críticos e a malha é refeita apenas 
nesses pontos.
• Critério de localização dos pontos: Mínima Energia Potencial.
• Pontos comuns de refino: contornos e quinas.
• Modos de refino: h, p e hp.
Métodos de minimização do erro – Refinamento tipo h
Figura 11 – Desenvolvimento do refinamento tipo h
Fonte: elaborada pelo autor.
Métodos de minimização do erro – Refinamento tipo h
Figura 12 – Desenvolvimento do refinamento tipo h
Fonte: elaborada pelo autor.
Métodos de minimização do erro – Refinamento tipo p e hp
• Refino tipo p: 
• Não altera o número de elementos.
• Aumenta a ordem de grandeza das funções de interpolação.
• Ainda dependem da análise da Energia Potencial.
• Refino hp:
• Combina o refinamento tipo h e tipo p.
Teoria em prática
Bloco 3
Bruno Henrique Oliveira Mulina
Teoria em prática
• Os resultados obtidos por MEF sempre devem ser avaliados. 
• Para isso, deve-se resolver o problema por malhas diferentes.
• O funcionário desenvolve um problema de MEF usando remalhagem
e malha regular para obter o melhor resultado.
Que conselhos devem ser dados para otimizar o trabalho?
Teoria em prática
• Iniciar com malhas grosseiras e depois refinar conforme necessário.
• Começar com malhas complexas demandam tempo desnecessário de 
solução.
• Ausência de indicadores para saber se é a melhor malha.
• Remalhagem não garante a melhor distribuição de energia potencial 
e consequente melhor resultado.
Dica do professor
Bloco 4
Bruno Henrique Oliveira Mulina
Indicações de artigos
• Elementos finitos: estudo de caso para uma viga em balanço.
• Mostra de forma simplificada o processo de refinamento de 
uma malha com relação ao erro obtido na solução.
• OLIVEIRA, WLAMIR C. ; SIQUEIRA, M. S. C. ; SILVA, A. G. 
Elementos finitos: estudo de caso para uma viga em balanço. In:
COBENGE, 2013, Gramado. XLI Congresso Brasileiro de 
Educação em Engenharia, 2013.
Indicações de artigos• O método dos elementos finitos aplicado na análise de vibrações 
livres de problemas submetidos ao estado plano de tensões.
• Mostra a importância de uma malha e do número de graus de 
liberdade (número de nós) na obtenção da resposta ótima para 
um problema de estado plano.
• CUSTÓDIO, R.; ARNDT, M. O método dos elementos finitos 
aplicado na análise de vibrações livres de problemas submetidos 
ao estado plano de tensões. In: II Simpósio de Métodos 
Numéricos em Engenharia, 2017.
Indicações de artigos
• Estudo do método dos elementos finitos aplicado em vigas parede.
• Apresenta um comparativo sobre tamanho de malhas, em um 
problema envolvendo vigas.
• DE ANDRADE, L. N.; CAVALCANTE, A. C. C. Estudo do método 
dos elementos finitos aplicado em vigas parede. In: Congresso 
Técnico Científico da Engenharia e da Agronomia 2018. Maceió, 
2018.
Referências
ASSAN, A. E. Métodos dos elementos finitos: primeiros passos. 2. ed. 
Campinas: Editora da Unicamp, 2003. 
CHAPRA, Steven C. Métodos numéricos para engenharia. 5. ed. São 
Paulo, SP: McGraw-Hill, 2008. 
FONSECA, J. Ferramentas de simulação em mecânica: elementos finitos. 
2002.
OLIVEIRA, WLAMIR C. ; SIQUEIRA, M. S. C. ; SILVA, A. G. Elementos 
finitos: estudo de caso para uma viga em balanço. In: COBENGE, 2013, 
Gramado. XLI Congresso Brasileiro de Educação em Engenharia, 2013.