6 _Relaes_de_potncia

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ELE606 - Conversão Eletromecânica de Energia II 
 
 
 
© Prof. Dr. Edson da Costa Bortoni, L.D., Prof. Antônio Eduardo Hermeto, L.D., Universidade Federal de Itajubá. 
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6. POTÊNCIAS, PERDAS, RENDIMENTO, E LIMITES OPERATIVOS 
 
6.1 POTÊNCIAS ATIVA E REATIVA 
 
As potências, ativa e reativa, da máquina síncrona, operando como motor ou como gerador, 
podem ser diretamente obtidas do diagrama fasorial. Seja por exemplo, o diagrama fasorial de 
um gerador de polos salientes alimentando uma carga puramente indutiva. 
 
 
Figura 6.1 – Diagrama fasorial modificado. 
 
A potência total obtida de u’a máquina síncrona é: 
 
𝑆̅ = 3 𝑉 ̅𝐼∗̅ = 3 (𝑉𝑑 + 𝑗 𝑉𝑞) (𝐼𝑑 − 𝑗 𝐼𝑞) 
 
𝑆̅ = 3 [(𝑉𝑑 𝐼𝑑 + 𝑉𝑞 𝐼𝑞) + 𝑗 (𝑉𝑞 𝐼𝑑 − 𝑉𝑑 𝐼𝑞)] 
 
𝑆̅ = 𝑃 + 𝑗𝑄 
 
As seguintes variáveis podem ser obtidas do diagrama fasorial, para as tensões, 
 
𝑉𝑑 = −𝑉 sen(𝛿) 
 
𝑉𝑞 = 𝑉 cos(𝛿) 
e para as correntes, 
𝐼𝑑 =
𝑉 cos(𝛿) − 𝐸𝑞
𝑥𝑑
 
 
𝐼𝑞 =
𝑉 sen(𝛿)
𝑥𝑞
 
 
�̅�𝑞 
𝑗 𝑥𝑞 𝐼�̅� 
𝑗 𝑥𝑑 𝐼�̅� 
 𝑅 𝐼 ̅ �̅� 
 𝐼 ̅
Eixo d 
Eixo q 
𝑗 𝑥𝑞 𝐼 ̅
 𝑗 (𝑥𝑑 − 𝑥𝑞) 𝐼�̅� 
 
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Levando estes valores na equação da potência aparente, e aplicação de identidades 
trigonométricas, resulta: 
 
𝑃 = 3 
𝐸𝑞 𝑉
𝑥𝑑
 sen(𝛿) + 3 
𝑉2
2
 (
1
𝑥𝑞
−
1
𝑥𝑑
) sen(2𝛿) 
 
𝑄 = 3 
𝐸𝑞 𝑉
𝑥𝑑
 cos(𝛿) − 3 𝑉2 (
1
𝑥𝑞
−
1
𝑥𝑑
) sen(2𝛿) − 3 
𝑉2
𝑥𝑑
 
 
Percebe-se que a potência ativa é a soma de dois componentes. O primeiro variando com o seno 
de  e o segundo variando com o seno de duas vezes o , isto é, um harmônico de segunda ordem 
denominado de “potência de relutância” e é devida à diferença entre 𝑥𝑑 e 𝑥𝑞 em máquinas de 
polos salientes. 
 
Nesta figura, observa-se que à medida que o ângulo  cresce, a potência ativa também cresce. 
Porém, acima de um determinado valor de ângulo de carga a potência ativa diminui. Este é o 
limite teórico de estabilidade e se dá com ângulo de carga inferior a 90o. 
 
 
 
 
Figura 6.2 – Curva P- para a máquina síncrona de polos salientes. 
 
Para a máquina síncrona de polos lisos, poder-se proceder à mesma dedução. Porém, buscando 
um processo mais simples, consideremos nas equações anteriores que 𝑥𝑞 é igual a 𝑥𝑑 no que 
resulta em equações para a potência ativa e para a potência reativa bem mais simples. 
 
𝑃 = 3 
𝐸 𝑉
𝑥𝑑
 sen(𝛿) 
 
𝑄 = 3 
𝐸 𝑉
𝑥𝑑
 cos(𝛿) − 3 
𝑉2
𝑥𝑑
 
 
Como para a potência ativa não existe a componente de segunda harmônica, o diagrama P- se 
resume a um seno apenas, e limite teórico de estabilidade se dá como um ângulo exatamente 
igual a 90. 
P 
 
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Como se sabe, o ângulo 𝛿 é o chamado ângulo de carga. É o ângulo elétrico de defasagem entre 
tensão terminal e tensão induzida e, salvo pequena modificação devido à reação de armadura, é o 
ângulo elétrico formado pelo campo criado pelo polo e o ângulo resultante. Por outro lado, este 
também pode ser convertido em um ângulo mecânico, e pode ser observado na Figura a seguir. 
 
 
 
 
 
Figura 6.3 – Estabilidade da operação. 
 
Nesta Figura pode-se observar o ângulo de carga e as senoides representativas da característica 
P- 𝛿 para máquinas de polos lisos e de polos salientes. Para máquinas de polos lisos o limite 
teórico de estabilidade é 90, sendo menor que 90 para máquinas de polos salientes. Na prática 
pode-se encontrar ângulos menores e mais limitantes para a operação. Para ângulos maiores que 
este limite haverá o escorregamento de polo e a máquina entrará numa região de operação 
instável. 
 
 
 
 
 
 
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6.2 PERDAS E RENDIMENTO 
 
Em qualquer sistema, o rendimento é a relação entre a potência ativa de saída (𝑃𝑜) dividido pela 
potência ativa de entrada (𝑃𝑜). 
 
𝜂 =
𝑃𝑜
𝑃𝑖
 
 
O rendimento é uma relação de potências ativas, seja essa de origem mecânica, elétrica ou outra, 
podendo até existir a conversão de energia de uma forma em outra, como na máquina elétrica, 
transforma-se potência mecânica em potência elétrica, ou no transformador, onde a energia 
elétrica está presente tanto em sua entrada como em sua saída. 
 
Como em qualquer sistema real, no processo de conversão da potência de entrada para a potência 
de saída, existe o inevitável aumento da entropia, o que em termos práticos é representado pela 
presença das perdas, como mostra a Figura 6.4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.4 – Processo de conversão de energia. 
 
Como as perdas se apresentam de diversas formas, optou-se na Figura 6.3 apresentar todas as 
perdas na forma de um somatório resultante (Σ𝑃). Assim, a equação a equação do rendimento 
pode se apresentar de duas outras formas considerando o somatório das perdas. 
 
𝜂 =
𝑃𝑖 − Σ𝑃
𝑃𝑖
 
e 
𝜂 =
𝑃𝑜
𝑃𝑜 + Σ𝑃
 
 
Estas equações são muito úteis quando uma das grandezas, de entrada ou de saída, forem de 
difícil medição. Como acontece por exemplo com a potência mecânica. Esta é dada pelo produto 
torque e rotação. Enquanto rotação é de simples medição, o torque não é tanto assim, 
principalmente em se tratando de grandes potências. Assim, considerando que a maioria das 
perdas se transformam em calor, o somatório das perdas pode ser inferido pelo aumento de 
temperatura e aplicado às equações mostradas. Esta é a base do método termodinâmico, muitas 
vezes conhecido por método calorimétrico. 
 
Na máquina síncrona as perdas são de diversas naturezas e são apresentadas a seguir. 
 
𝑃𝑖 𝑃𝑜 
Σ𝑃 
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6.2.1 PERDA JOULE NO ESTATOR 
 
A perda Joule no estator (𝑃𝐽1) é dada pelo produto entre a resistência dos enrolamentos das fases 
do estator (𝑅) e o quadrado da corrente que flui no enrolamento (𝐼). A perda Joule total no 
estator é dada pela soma das perdas nos três enrolamentos (gerador trifásico). Como se 
consideram os enrolamentos idênticos, o resultado é simplesmente multiplicado por três. 
 
𝑃𝐽1 = 3 𝑅 𝐼
2 
 
6.2.2 PERDA JOULE NO ROTOR 
 
A perda Joule no rotor (𝑃𝐽2) é dada pelo produto entre a resistência do enrolamento de campo 
(𝑅𝐹) e o quadrado da corrente de excitação (𝐼𝐹). 
 
𝑃𝐽2 = 𝑅𝐹 𝐼𝐹
2 
 
Em termos práticos, a determinação das perdas Joule no estator e no rotor, preconiza a correção 
da resistência para a temperatura de 75C, como estabelecido em norma. 
 
6.2.3 PERDAS NO FERRO 
 
As perdas no ferro se dão tão logo apareça um campo magnético criado pela tensão aplicada aos 
terminadas da armadura da máquina. Essa tensão pode ser dada por submissão, no caso de um 
motor, ou pela própria excitação, no caso de um gerador. 
 
As perdas no ferro são divididas em perdas por histerese e perdas por Foucault. A perda por 
histerese advém do ciclo de histerese, onde na Figura 6.5, pode-se observar o comportamento da 
indução magnética para uma intensidade de campo variável. Observa-se em pontos em que a 
intensidade de campo é nula, a indução magnética não é nula, como seria num sistema linear. 
Devido à histerese, há a necessidade de uma intensidade de campo extra para que a indução 
magnética seja nula, caracterizando-se não-linearidade e uma perda. Quanto maior a largura do 
ciclo de histerese maior será a perda, assim, a perda é proporcional à área do ciclo de histerese. 
Estas perdas são minimizadas utilizando-se materiaismagnéticos de melhor qualidade. 
 
 
Figura 6.5 – Perdas por histerese. 
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As perdas denominadas Foucault se caracterizam pela circulação de correntes parasitas no 
núcleo, quando este é submetido a um campo magnético. Estas perdas são do tipo Joule e são 
proporcionais à corrente de circulação. Estas perdas podem ser minimizadas substituindo-se o 
núcleo maciço por um núcleo laminado prensados compactamente, formando-se uma única peça, 
diminuindo-se as correntes de circulação, como ilustrado na Figura 6.6. A soma dos quadrados 
de correntes parciais será menor do que o quadrado de uma corrente total. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) 
Figura 6.5 – Perdas por correntes de Foucault. 
 
Na Figura 6.6 (a), para uma corrente de circulação de 16 A, a perda seria proporcional a I²R; em 
(b) esta seria n(I/n)²R, isto é, cerca de n vezes menor. 
 
Ao invés de dividir as perdas no ferro em suas componentes, opta-se por determinar um valor 
total, variável com o quadrado da tensão. A norma IEEE STD. 115, mostra um gráfico da 
variação das perdas no ferro com o quadrado da corrente. 
 
 
 
Figura 6.7 – Perdas no ferro segundo norma IEEE STD. 115. 
 
6.2.4 PERDAS SUPLEMENTARES 
 
Perdas suplementares, ou adicionais, são perdas devido a fluxos dispersos na máquina, não 
enlaçados entre o estator e rotor, mas em diferentes partes metálicas, tais como carcaça, eixo e 
outros. Estas perdas são consideradas linearmente variáveis com o quadrado do carregamento da 
máquina, como mostrado na Figura 6.4 
 
 
 
... 
... 
I 
I/n I/n I/n 
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Figura 6.8 – Perdas suplementares conforme norma IEEE STD. 115. 
 
6.2.5 PERDAS POR VENTILAÇÃO 
 
Esta perda é devida à autoventilação e às forças de arraste existentes nas partes girantes da 
máquina. Essas perdas são proporcionais à rotação da máquina e ao diâmetro, elevados à terceira 
e à quarta potência, respectivamente. Porém, para um dado gerador operando a uma dada 
rotação, o valor destas perdas é constante, a menos que a rotação de operação do gerador for 
variável. 
 
6.2.6 PERDAS POR EXCITAÇÃO 
 
A potência de excitação faz parte das potências de entrada da máquina e também deve ser 
considerada. 
 
Num sistema ideal, sem perdas, a potência de saída de um gerador é a potência gerada subtraída 
da potência de excitação (𝑃𝐸). Entretanto, a potência de excitação é somada à potência da 
máquina primária, resultando que a potência de saída será igual à potência da máquina primária, 
como mostrado na Figura 6.9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.9 – Fluxo de potência no gerador excitado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pi Pg Po 
PE 
PE 
G 
Ex 
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Nestes termos, tem-se: 
𝑃𝑜 = 𝑃𝑔 − 𝑃𝐸 
e 
𝑃𝑔 = 𝑃𝑖 + 𝑃𝐸 
No que resulta: 
𝑃𝑜 = 𝑃𝑖 + 𝑃𝐸 − 𝑃𝐸 = 𝑃𝑖 
 
 
Entretanto, no mundo real, com perdas na conversão de energia do gerador (𝜂𝑔) e no sistema de 
excitação (𝜂𝐸), tem-se: 
𝑃𝑜 = 𝑃𝑔 − 𝑃𝐸 
e 
𝑃𝑔 = 𝜂𝑔 𝑃𝑖 + 𝜂𝐸 𝑃𝐸 
No que resulta: 
𝑃𝑜 = 𝜂𝑔 𝑃𝑖 + 𝜂𝐸 𝑃𝐸 − 𝑃𝐸 
Ou 
𝑃𝑜 = 𝜂𝑔 𝑃𝑖 − (1 − 𝜂𝐸) 𝑃𝐸 
 
O termo (1 − 𝜂𝐸) representa as perdas no sistema de excitação. 
 
Deve-se observar que estas equações são válidas apenas se a potência de saída é medida após a 
tomada de potência para o sistema de excitação. Se a saída for medida antes da tomada para 
excitação, a potência de excitação deve ser adicionada à potência do gerador, e a equação do 
rendimento do gerador será: 
𝜂𝑔 =
𝑃𝑜
𝑃𝑜 + Σ𝑃
 
 
6.2.7 PERDAS NAS ESCOVAS 
 
A perda total nas escovas de excitação é dada pela soma da perda que se deve à circulação da 
corrente de excitação nas escovas, resultando em uma queda de tensão, e à perda devido ao atrito 
causado pelo contato das escovas no anel girante. 
 
A parte das perdas relacionada à queda de tensão nas escovas é dada por: 
 
𝑃𝑏𝑟1 = 𝑘 𝑉𝐹 𝐼𝐹 
 
Onde 𝑃𝑏𝑟1 é a perda pela queda de tensão na escova (W), 𝑉𝐹 é a tensão de excitação (V), 𝐼𝐹 é a 
corrente de excitação (A), e 𝑘 é um fator de proporcionalidade cujo valor é 2% para escovas a 
base de grafite e 0,6% para escovas a base de metal. 
 
A parte das perdas relacionada ao atrito das escovas é dada por: 
 
𝑃𝑏𝑟2 = 0,6 𝐴 𝑣 
 
Onde 𝑃𝑏𝑟2 é a perda nas escovas devido ao atrito (W), 𝐴 é a área total de escorregamento em um 
único anel, e 𝑣 é a velocidade periférica (m/s). 
 
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6.2.8 PERDAS NOS MANCAIS 
 
Existem mancais no grupo gerador que pertencem à máquina primária e mancais que pertencem 
ao gerador. Estas perdas são relacionadas aos mancais que pertencem ao gerador somente, e se 
devem ao atrito entre eixo e mancal. 
 
6.3 CURVA DE CAPABILIDADE 
 
Os limites operativos mais severos impostos a u’a máquina síncrona são térmicos, podendo ser 
originados pela circulação de corrente nos diversos enrolamentos da máquina e pela circulação 
de correntes parasitas nas lâminas do pacote magnético do estator, de estabilidade. Tanto a 
corrente de campo as correntes de armadura circulando em seus respectivos enrolamentos 
provocam elevação de temperatura pelo efeito Joule. A curva de capabilidade, ou carta de 
capacidade, é o lugar geométrico no plano cartesiano definido pelas potências ativa e reativa que 
apresenta os limites operativos de u’a máquina síncrona. 
 
Para um gerador síncrono de polos salientes, um exemplo de curva de capabilidade é mostrado 
na Figura 6.10, onde podem ser observadas as suas curvas, que definem os limites operativos da 
máquina. O trecho A-B é o limite de aquecimento do campo, e termina no ponto determinado 
pela corrente de armadura nominal e o fator de potência nominal. O trecho B-C é o limite de 
aquecimento de armadura, definido pela corrente (potência aparente) nominal. O trecho C-D é o 
limite prático de estabilidade. Este é construído a partir da curva teórica de estabilidade. Já o 
trecho D-E é conhecido como limite de mínima excitação, definido pelo magnetismo 
remanescente da máquina. 
 
 
 
Figura 6.10 – Curva de capabilidade de um hidrogerador. 
 
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A Figura 6.11 mostra uma curva de capabilidade para um gerador síncrono de polos lisos. Os 
trechos A-B e B-C são idênticos aos da curva de capabilidade para um gerador síncrono de polos 
salientes, isto é, limite de aquecimento de campo, até ao fator de potência nominal, e limite de 
aquecimento da armadura. Porém, o trecho C-D, neste caso, é o limite de aquecimento das 
extremidades do estator, que também acontece em geradores de polos salientes, mas muito mais 
proeminente em máquinas de polos lisos. 
 
Outros limites, aplicáveis a ambas as máquinas ainda não representados, são também impostos 
pela operação de reguladores de tensão, máximo e mínimo limites operativos da máquina 
primária, máximo e mínimo limites da tensão em barramentos auxiliares, mínima excitação, etc. 
 
 
 
 
Figura 6.11 – Curva de capabilidade para turbogerador 
 
O carregamento de u’a máquina além desua capacidade pode causar elevação de temperatura, 
resultando em uma redução da vida útil da máquina. Sendo assim, a repetida aplicação de tais 
cargas deve ser evitada. Entretanto, para turbogeradores, pode-se admitir uma sobrecarga de 
curta duração, sem comprometimento do isolamento da máquina, se o seguinte tempo limite de 
exposição for respeitado. 
 
𝑡 =
150
𝐼1
2 − 1
 
 
Onde 𝑡 é o tempo limite de sobrecarga (s) e 𝐼1 é a corrente de sobrecarga em p.u. 
 
Em função da saliência do rotor, a curva de capabilidade de um hidrogerador difere 
substancialmente da curva de um turbogerador. 
 
 
 
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6.4 CURVAS V 
 
Algumas características operativas de interesse em máquinas síncronas podem ser obtidas 
através da família de curvas V. Estas curvas mostram, para cada potência ativa gerada, a relação 
existente entre a corrente de armadura e a corrente de excitação. Também, visualmente, pode-se 
identificar o fator de potência operativo, se é indutivo ou se é capacitivo. A Figura 6.12 ilustra 
uma família de curvas V. 
 
 
 
 
Figura 6.12 – Curvas V de um gerador síncrono 
 
Observe que a família de curvas V da Figura 6.12 toca o eixo das abscissas em um valor de 
corrente de campo exatamente igual a um pu, com potência ativa zero. Isto se dá exatamente 
quando a máquina está flutuando em relação ao sistema, condição esta, por exemplo, quando a 
máquina acaba de entrar em paralelo com o sistema. 
 
Por outro lado, a corrente de campo base é sempre aquela corrente de excitação que leva a tensão 
na linha de entreferro ao valor igual a 1 pu. Devido à saturação, a corrente de campo necessária 
para a máquina apresentar 1 pu de tensão nos seus terminais é sempre maior que 1. 
 
Esta Figura 6.12 mostra as diversas correntes de armadura em função da corrente de excitação para 
cada potência elétrica ativa gerada. As linhas tracejadas mostram pontos de mesmo fator de 
potência. A linha central é o fator de potência unitário. Note que todas as curvas de corrente 
apresentam seu mínimo junto à linha de fator de potência unitário. 
 
O conhecimento de tal característica operativa é de grande importância para a correta operação 
do gerador quando se deseja usa-lo também como compensador síncrono, corrigindo o fator de 
potência de um sistema ou instalação. 
 
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A sua construção é feita tendo-se em mãos a curva de capabilidade, conhecendo-se os limites de 
operação da máquina. Para uma dada potência, a corrente de armadura é proporcional à corda 
que liga cada par coordenado P-Q à origem do diagrama. A corrente de excitação é proporcional 
à distância cada par coordenado P-Q até a borda da circunferência de relutância, sobre a linha 
que vai do ponto de carga até o ponto V²/Xq, nas máquinas de polos salientes; ou simplesmente à 
corda que vai do ponto de carga até V²/Xd nas máquinas de polos lisos. 
 
6.5 DIAGRAMA R-X 
 
O diagrama R-X traz informações muito úteis para a operação de máquinas síncronas, 
principalmente em se tratando da proteção de perda de campo, como ilustra a Figura 6.13. 
 
 
 
Figura 6.13 – Diagrama R-X de u’a máquina síncrona. 
 
O diagrama R-X é um jeito diferente de se enxergar a curva de capabilidade. Uma vez obtida 
esta curva, os valores de R e de X poderiam ser calculados da seguinte forma: 
 
R =
V2 P
P2 + Q2
 
e 
X =
V2 Q
P2 + Q2
 
 
 
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6.6 CONSTRUÇÃO DA CURVA DE CAPABILIDADE 
 
Primeiramente será mostrada a construção da curva de capabilidade para um gerador de polos 
lisos, qual se inicia com diagrama fasorial de um gerador alimentando uma carga indutiva. 
Multiplicando todos os lados do diagrama original por 𝑉/𝑥𝑑, este se transforma, considerando 
apenas umas das fases, um diagrama de tensões em um diagrama de potências, como mostra a 
Figura 6.14. 
 
 
Figura 6.14 – Diagrama fasorial modificado. 
 
Desprezando-se a saturação, verifica-se que a aresta 𝐸𝑞𝑉/𝑥𝑑 é diretamente proporcional à 
corrente de excitação, indicando um limite de aquecimento do rotor para uma corrente de 
excitação nominal. A aresta 𝑉𝐼 é proporcional à potência aparente, ou à corrente de armadura, 
dando uma indicação do limite de corrente da armadura para a condição nominal. 
 
Como colocado anteriormente, um turbogerador, a máxima transferência de potência de se dá 
quando o ângulo de carga é igual a 90o, estabelecendo o limite teórico de estabilidade. O limite 
prático de estabilidade é obtido, ou aplicando um fator de segurança sobre o ângulo de carga, ou 
sobre potência gerada sob uma mesma excitação. Para a obtenção da curva de capabilidade 
completa, deve-se ainda considerar o limite de mínima excitação, como mostrado na Figura 6.15. 
 
 
 
Figura 6.15 – Introdução dos limites operativos. 
 
𝐸𝑞 
𝐼 
𝑉 
𝐸𝑞𝑉
𝑥𝑑
 
𝑉𝐼 
𝑉2/𝑥𝑑 
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Por outro lado, em máquinas síncronas de polos lisos, existe um fator muito mais limitante que a 
curva de estabilidade prática ou o limite de mínima excitação. Trata-se do limite de aquecimento 
das extremidades da armadura. Este fenômeno ocorre quando em fraca excitação, as linhas de 
fluxo se conectam de forma perpendicular com a laminação da armadura, originado correntes no 
plano da laminação, resultando em aquecimento excessivo. A Figura 6.16 ilustra o exposto. 
 
 
 
Figura 6.16 – Operação com enfraquecimento de campo. 
 
Este limite no plano P-Q é obtido a partir da curva V da máquina, definindo-se uma reta que 
limita ambas, corrente de campo e corrente de armadura. Esta reta é obtida a partir de dois 
pontos. Um ponto dado por 25% da corrente de excitação nominal com 75% da corrente 
armadura nominal, e outro ponto relacionando 100% da corrente de armadura nominal com a 
corrente de excitação que leve a 100% da corrente de armadura na curva referente ao fator de 
potência nominal. Como mostrado na Figura 6.17. 
 
 
Figura 6.17 – Limites de corrente. 
 
Os valores obtidos nesta reta obtida no plano I-IF deverão ser levados ao plano P-Q, resultando 
no limite de aquecimento das extremidades da armadura. Este limite é mais proeminente em 
máquinas de polos lisos, porém nada impede que o mesmo se apresente em máquinas de polos 
salientes. Para minimizar este problema, os fabricantes fazem a armadura me um formato de 
escada, impedindo que as linhas de fluxo de fechem em no plano da laminação do estator. 
 
1,00 FPN 
 
 
0,75 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0,25 IEX
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Figura 6.18 – Laminação em degraus para reduzir os efeitos de fluxos transversais. 
 
 
 
Figura 6.19 – Diagrama fasorial da máquina de polos salientes. 
 
Devido à saliência, para a construção da curva de capabilidade para máquinas de polos salientes, 
deve-se proceder a uma pequena modificação no diagrama fasorial da Figura 6.19. O triângulo 
inserido na semicircunferência é, por definição, retângulo. O cateto menor é (𝑥𝑑 − 𝑥𝑞) 𝐼𝑞, e é 
proporcional à projeção da tensão terminal no eixo em quadratura, 𝑉 sin(𝛿). Como 𝐼𝑞 é 𝑉𝑞/𝑥𝑞, 
resultaque a hipotenusa, ou o diâmetro da circunferência, é 𝑉 (𝑥𝑑 − 𝑥𝑞)/𝑥𝑞. 
 
Mais uma vez, multiplicando-se todos os lados deste diagrama por 𝑉/𝑥𝑑, ter-se-á um diagrama de 
potências. As coordenadas extremas da semicircunferência serão 𝑉2/𝑥𝑑 e 𝑉
2/𝑥𝑞. Seguindo os 
mesmos procedimentos adotados para máquina de polos lisos, obtém-se o diagrama de potências e 
os limites mostrados na Figura 6.20. 
𝐸𝑞 
𝑗 (𝑥𝑑 − 𝑥𝑞) 𝐼𝑞 
𝑗 (𝑥𝑑 − 𝑥𝑞) 𝐼𝑑 
 
𝑗 (𝑥𝑑 − 𝑥𝑞) 𝐼𝑑 
 
𝑗 𝑥𝑞 𝐼 
 𝑉𝑞 = 𝑗 𝑥𝑞 𝐼𝑞 
 
𝑉 
𝐼 
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Figura 6.20 – Introdução dos limites operativos. 
 
Primeiramente traça-se um arco de circunferência com raio unitário. Este é o limite de 
aquecimento da armadura e considera que a corrente máxima é igual à nominal, ou seja, 1 pu. Em 
seguida traça-se a curva de excitação zero, que também é uma circunferência com centro em 
𝑉2 (1/𝑥𝑞 + 1/𝑥𝑑)/2 e raio 𝑉
2 (1/𝑥𝑞 − 1/𝑥𝑑)/2. 
 
Agora parte-se para o traçado do limite de aquecimento de campo, definido pelo aquecimento 
provocado pela passagem da corrente de excitação nos enrolamentos de campo. Este limite é 
construído traçando-se várias linhas radiais que partem de 𝑉2/𝑥𝑞 no eixo das abscissas. Deve-se 
traçar uma corda que liga este ponto ao ponto definido pela corrente de armadura nominal ao 
fator de potência nominal. A partir da semicircunferência de excitação zero, esta corda é 
proporcional a 𝐸𝑞 e, desconsiderando-se a saturação, é proporcional à corrente de campo 
nominal. O limite de aquecimento de campo é obtido adotando-se, a partir da semicircunferência 
de excitação zero, esta distância em todos os raios estabelecidos previamente. 
 
A máxima transferência de potência em máquinas síncronas de polos salientes se dá para um 
ângulo de carga menor que 90. Este é o limite teórico de estabilidade. Assim como em uma 
máquina de polos lisos, o limite prático de estabilidade é obtido ou aplicando-se um fator de 
segurança ou sobre o ângulo de carga, ou sobre a potência ativa para uma dada excitação. 
Adotando a primeira abordagem, a máxima potência para um dado ângulo de carga se verifica 
quando a derivada parcial da equação da potência em relação ao ângulo de carga, é igual a zero. 
Matematicamente: 
 
𝜕𝑃
𝜕𝛿
=
𝐸𝑞𝑉
𝑥𝑑
cos(𝛿) − 𝑉2 (
1
𝑥𝑑
−
1
𝑥𝑞
) cos(2𝛿) = 0 
 
The value of 𝐸𝑞 that satisfy such equation is: 
 
𝐸𝑞 = 𝑉 (1 −
𝑥𝑑
𝑥𝑞
) 
cos(2𝛿)
cos(𝛿)
 
𝐸𝑞𝑉
𝑥𝑑
 
𝑉𝐼 
𝑉2
𝑥𝑞
 
𝑉2
𝑥𝑑
 
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A máxima transferência de potência em máquinas síncronas de polos salientes se dá para um 
ângulo de carga menor que 90. Este é o limite teórico de estabilidade. Assim como em u’a 
máquina de polos lisos, o limite prático de estabilidade é obtido ou aplicando-se um fator de 
segurança ou sobre o ângulo de carga, ou sobre a potência ativa para uma dada excitação. 
Adotando a primeira abordagem, a máxima potência para um dado ângulo de carga se verifica 
quando a derivada parcial da equação da potência em relação ao ângulo de carga, é igual a zero. 
Matematicamente: 
 
A seguinte identidade trigonométrica é usada: 
 
cos(2𝛿) = 2 cos2(𝛿) − 1 
 
No que resulta: 
 
2 𝑉2 (
1
𝑥𝑑
−
1
𝑥𝑞
) 𝑐𝑜𝑠2(𝛿) +
𝐸𝑞 𝑉
𝑥𝑑
𝑐𝑜𝑠(𝛿) − 𝑉2 (
1
𝑥𝑑
−
1
𝑥𝑞
) = 0 
 
Definem-se então as seguintes variáveis auxiliares: 
 
𝑝 = cos(𝛿) 
 
𝑎 = 2 𝑉2 (
1
𝑥𝑑
−
1
𝑥𝑞
) 
 
𝑏 =
𝐸𝑞 𝑉
𝑥𝑑
𝑐𝑜𝑠(𝛿) 
 
𝑐 = −𝑉2 (
1
𝑥𝑑
−
1
𝑥𝑞
) 
Então, tem-se: 
𝑎 𝑝2 + 𝑏 𝑝 + 𝑐 = 0. 
 
A partir da qual pode-se determinar 𝑝 como a solução de um polinômio de segunda ordem: 
 
𝑝 =
−𝑏 + √𝑏2 − 4 𝑎 𝑐
2 𝑎
 
 
O correspondente ângulo delta é o ângulo cujo cosseno é 𝑝: 
 
𝛿 = acos(𝑝) 
 
Finalmente, considerando-se o limite de mínima excitação, obtém-se a curva de capabilidade 
completa para u’a máquina síncrona de polos salientes, como a mostrada na Figura 6.20. 
 
 
 
 
 
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Figura 6.20 – Limites operativos do hidrogerador de polos salientes. 
 
Um ponto importante a ser observado é a influência dos valores do fator de potência nominal e 
da relação de curto circuito sobre a forma da curva de capabilidade de u’a máquina. Esta 
influência pode ser vista na Figura 6.21. 
 
 
Figura 6.21 – Influência de Xd e FP sobre o desempenho da máquina 
 
Pode-se observar que o aumento do fator de potência nominal reduz a flexibilidade operativa da 
máquina em termos de sobre-excitação e fornecimento de reativos para alimentar uma carga 
indutiva (funcionamento como gerador). Uma máquina com menor fator de potência nominal 
pode ceder reativos muito mais do que uma máquina com maior fator de potência nominal. Os 
principais procedimentos de rede do mundo preconizam que o fator de potência máximo seja 
0,95 em redes de transmissão e 0,90 em redes de distribuição, justamente para que o gerador 
distribuído possa atender melhor as expectativas de reativos indutivos das cargas. 
P 
V2/xq V
2/xd Q 
 
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Para atender um menor fator de potência nominal, o limite de aquecimento do rotor se desloca 
para a direita; isto é, o enrolamento de campo permite uma maior corrente de excitação. Isto é 
feito aumentando-se a bitola dos condutores do enrolamento de campo, fazendo com que a 
máquina fique mais pesada e mais cara. Não é demais afirmar que a variação no custo de um 
gerador é da ordem do inverso do fator de potência nominal, ou seja, se uma máquina com fator 
de potência unitário custa 100% de um dado valor, essa máquina iria custar 11% mais caro o 
fator de potência nominal fosse 0,90, isto é, um acréscimo de 1/0,90. 
 
Por outro lado, quanto maior a reatância síncrona de eixo direto da máquina, mais restritivo fica 
o limite de estabilidade, ao ponto de, u’a máquina com reatância síncrona de eixo direto menor 
que a unidade, nunca iria experimentar o limite de estabilidade prática. Infelizmente, a tendência 
vai à direção de se construir máquinas, principalmente as de polos lisos, com relação de curto-
circuito cada vez mais baixas, tanto quanto 0,5, resultando em uma reatância saturada de 2 pu, 
exacerbando bastante o limite de estabilidade. 
 
6.7 CONSTRUÇÃO DA FAMÍLIA DE CURVAS V 
 
A curva V mostra as relações entre corrente de armadura e corrente de excitação para cada 
potência, e podem ser obtidas a partir da carga de capacidade da máquina sob estudo. Para um 
dado ponto de carga a uma tensão constante, a corrente de armadura é proporcional à potência 
aparente, ou seja, é proporcional à linha que liga o ponto da origem até o ponto de carga. 
 
Por outro lado, a linha que liga o ponto fixo 𝑉2/𝑥𝑞 no eixo das abscissas na carta de capacidade, 
ao ponto de carga, partindo-se da borda da circunferência para máquinas de polos salientes, e 
partindo-se do ponto 𝑉2/𝑥𝑑 para máquinas de polos lisos, é proporcional à tensão induzida. 
Desprezando-se a saturação esta linha é proporcional à corrente de campo, Figura 6.22. 
 
 
Figura 6.22 – Correntes de campo e de armadura a partir da carta de capacidade. 
 
 
K1 IF 
K2 I 
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Estes valores aplicados ao lugar geométrico definido pela corrente de armadura e corrente de 
excitação resultam na curva V da máquina, que pode ser construída para quaisquer pontos que se 
desejar. Como mostra a Figura 6.23. 
 
 
 
Figura 6.23 – Construção da família de curvas V. 
 
De outra forma, a família de curvas V pode ser obtida a partir das equações usadas para calcular 
a corrente de campo para uma dada carga representada pelas suas potência ativa e potência 
reativa. Neste caso, o fenômeno da saturação e considerado, e a curva V para potência ativa igual 
a zero não toca mais a corrente de campo na corrente nominal, definida como sendo aquela que 
correspondente à tensão nominal na linha do entreferro, mas em um valor maior que este, como 
mostra a Figura 6.24. 
 
 
 
I (pu) 
0 1 IF (pu) 
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Figura 6.24 – Família de curvas V considerando a saturação. 
 
6.8 OPERAÇÃO DESEQUILIBRADA 
 
Um sistema desequilibrado pode, à luz da técnica de componentes simétricas, ser decomposto 
em um sistema equilibrado de sequência positiva, um sistema equilibrado de sequência negativa 
e em um sistema de componentes de sequência zero. 
 
O rotor das máquinas síncronas são extremamente sensíveis às componentes de sequência negativa 
e zero, oriundas da operação desequilibrada ou da alimentação de faltas à terra. Isto acontece 
porque uma corrente de sequência negativa na armadura irá dar origem a um campo girante, com a 
mesma velocidade, porém contrário ao campo criado pelo rotor, induzindo correntes parasitas à 
dupla frequência na superfície do rotor. Da mesma forma, uma componente de sequência zero na 
armadura irá induzir uma corrente à frequência fundamental no rotor. 
 
Posto que estas correntes irão circular pelos anéis de retenção em ambas extremidades, 
estabelecendo um caminho de baixa resistência, toda a superfície do rotor e seus componentes 
estarão sujeitos a uma forte elevação de temperatura. 
 
Dessa forma, para se avaliar a extensão dos possíveis danos causados pela operação 
desequilibrada, assim como estabelecer limites para este tipo de operação, é de suma importância o 
conhecimento da componente de sequência negativa da corrente de carga. A Figura 6.22 apresenta 
estes limites operativos em regime de desequilíbrio de tensão, bem como elementos básicos para a 
obtenção do corrente de sequência negativa é mostrado na Figura 6.23, em função do valor da 
corrente nas três fases. 
 
 
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00
I
(p
u
)
IF (pu)
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Figura 6.25 – Limites operativos em condições desequilibradas. 
 
 
Figura 6.25 – Obtenção da corrente de sequência negativa. 
 
 
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6.9 OBTENÇÃO DAS RELAÇÕES DE POTÊNCIA 
 
As relações de potência podem ser obtidas da curva de capabilidade para a máquina síncrona de 
polos salientes, através de simples relações trigonométricas. Para máquinas de polos lisos, basta 
fazer 𝑥𝑞 igual a 𝑥𝑑. 
 
 
 
 
Figura 6.26 – Relações de potência. 
 
Da figura, tem-se 
sen(𝛿) =
𝑃
𝐸𝑞𝑉
𝑥𝑑
+ 𝑉2 (
1
𝑥𝑞
−
1
𝑥𝑑
) cos (𝛿)
 
Ou 
 
𝑃 =
𝐸𝑞𝑉
𝑥𝑑
sen(𝛿) +
𝑉2
2
(
1
𝑥𝑞
−
1
𝑥𝑑
) sen(2𝛿) 
E 
 
cos(𝛿) =
𝑄 +
𝑉2
𝑥𝑞
𝐸𝑞𝑉
𝑥𝑑
+ 𝑉2 (
1
𝑥𝑞
−
1
𝑥𝑑
) cos (𝛿)
 
Ou 
 
𝑄 =
𝐸𝑞𝑉
𝑥𝑑
cos(𝛿) + 𝑉2 (
1
𝑥𝑞
−
1
𝑥𝑑
) cos2(𝛿) −
𝑉2
𝑥𝑞
 
P 
P 
Q 
 
𝐸𝑞𝑉
𝑥𝑑
 
Q 𝑉
2
𝑥𝑞
 
𝑉2
𝑥𝑑
 
 
𝑉2 (
1
𝑥𝑞
−
1
𝑥𝑑
) cos (𝛿)