Unidade IV_Transformações Trigonométricas

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Trigonometria
Transformações Trigonométricas
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Dr. Marcio Eugen
Revisão Textual:
Profa. Ms. Fatima Furlan
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• Introdução
• Fórmulas de Multiplicação
• Fórmulas da Adição
• Fórmulas de Divisão
• Produtos Notáveis
• Fórmulas da Subtração
• Transformação em Produto
• Fatoração por Colocação de um Fator Comum em Evidência
Realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça todos os exemplos e anote 
suas dúvidas. 
Fique atento às atividades avaliativas e aos prazos de entrega. 
Ao término desta Unidade, desejamos que você seja capaz de 
resolver atividades que envolvam transformações trigonométricas.
Transformações Trigonométricas
6
Unidade: Transformações Trigonométricas
Contextualização
Veja algumas situações-problema em que usamos as transformações trigonométricas.
1. Jorge, atleta brasileiro de atletismo, decidiu praticar a modalidade de arremesso de dardo. 
No dia em que começou seu treinamento, pediu ao seu técnico que calculasse a distância que o 
dardo atingiu em seu primeiro lançamento. Sabendo que a velocidade atingida pelo dardo foi 
de 60 km/h a uma angulação de 75˚. Calcule a distância obtida no lançamento.
REFLITA
a. Fazendo um esboço esquemático da situação apresentada, que fórmula você poderia 
obter para calcular a distância obtida?
b. Dependendo do ângulo com que é lançado o dardo, ele interfere na distância percorrida?
c. Além de relações matemáticas, que conceitos físicos são empregados para se resolver 
o problema?
2. Uma torre de iluminação foi colocada no platô de um arranha céu. Para que permanecesse 
sempre na posição vertical, foram necessários o uso de 4 cabos de sustentação sendo que cada 
um deles determinava um ângulo de 25˚ com a superfície do platô. Sabendo que a torre possui 
32m, que comprimento deve medir cada cabo para sustentá-la?
REFLITA
a. Esboce graficamente a situação e determine as relações matemáticas envolvidas.
b. Se soubesse o valor de cada cabo utilizado, o ângulo mudaria?
c. A aproximação de valores nos cálculos envolvidos influenciaria na resposta do problema?
3. Se um jogador de futebol conseguir chutar uma bola e ela atingir uma velocidade de 100 
km/h sob um ângulo de 75˚, a que distância a bola conseguirá atingir?
REFLITA
a. Que relação seria utilizada para resolver esse problema?
b. O valor da gravidade influenciará na trajetória da bola?
c. Que altura máxima a bola atingiu nessa situação problema?
4. Um fotógrafo estava a 400m de uma árvore observando em seu topo um belo espécime 
de pássaro. Para registrar esse raro momento com sua câmera fotográfica, aproximou-se mais 
da árvore, aumentando em 30˚ o ângulo de observação. Determine a altura do topo da árvore 
em que o pássaro se encontra.
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REFLITA
a. Faça um esboço esquemático da situação problema.
b. Que relações matemáticas podem ser observadas?
c. Se mantiver a distância de observação, é possível determinar a altura do topo com 
mais facilidade?
As aplicações apresentadas anteriormente apontam a necessidade de se conhecer 
trigonometria para compreender fenômenos e situações onde elas estão presentes. Deter 
este tipo de conhecimento garante uma visão mais elaborada e a possibilidade de solucionar 
problemas e de poder sugerir alterações, ou seja, ter a capacidade de interagir com a situação.
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Unidade: Transformações Trigonométricas
Introdução
Para se determinar os valores de funções trigonométricas que não fossem as de 30˚, 45˚ e 
de 60˚, já que os seus respectivos valores já eram conhecidos, foi preciso criar fórmulas que 
pudessem calculá-las com maior precisão.
Para isso foi necessário criar fórmulas que pudessem auxiliar na obtenção de valores de 
outras razões trigonométricas.
Assim sendo, veremos nesta unidade as fórmulas que possibilitam os cálculos desejados.
Cosseno da soma
Cos( x + y ) = cos x. cos y – sen x. sen y
Seno da soma
Sen( x + y ) = sen x .cos y + sen y.cos x
Tangente da soma
( ) 
1 – .
tg x tgy
Tg x y
tgx tgy
+
+ =
Exemplos de aplicação das fórmulas:
Determine os valores de cosseno, seno e tangente para o ângulo de 75˚.
Resolução
Podemos resolver esse problema empregando valores já conhecidos por nós, que no caso são 
os ângulos de 30˚, 45˚ e 60˚. Substituamos o valor de 75˚ pela soma de 30˚+ 45˚.
Cos75˚ = cos(30˚+ 45˚) = (cos 30˚.cos 45)˚ - (sen 30˚.sen 45˚)
sen75˚= sen(30˚+ 45˚) = ( sen 30˚.cos 45)˚ + (sen 45˚. cos 30˚)
Fórmulas da Adição
( )(( 3 ) 2 ))75 / 2 .( / 2 – 1 / 2 . / 2( 2 )) 6 / 4 / 42Cos = = -
( ) (75 1 / 2. 2 / 2   2 / 2. 3 / 2) 2 / 4 6 / 4sen = + = +
9
( ) 30 4575 30 45
1 – 30 . 45
tg tg
tg tg
tg tg
+
= + =
 
  
 
( ) ( )
( ) )
 3 / 3 1  3 3 / 3  3 3
75
1 ) (–  3 / 3 .1  3  3) / 3 3  3
tg
+ + +
= = =
- -

3 3 3 3 3. 3 9 3. 3 12 6. 3 6(2 3)
 75 2 3
6 63 3 3 3 9 9
tg
+ + + + + +
= ´ = = = = +
- + -

Cosseno da diferença
Cos( x - y ) = cos x.cos y + sen x.sen y
Seno da diferença
Sen( x - y ) = sen x.cos y – sen y.cos x
Tangente da diferença
( ) –
1 .
tg x tgy
Tg x y
tgx tgy
-
=
+
Exemplo de aplicação das fórmulas:
Calcule o valor de cosseno, seno e tangente para o ângulo de 15˚.
Podemos determinar os valores trigonométricos para o ângulo de 15˚ efetuando o 
seguinte cálculo:
Cos 15˚= cos(60˚ - 45˚) = cos 60˚.cos 45˚ + sen60˚.sen45˚
Sen15˚= sen(60˚- 45˚) = sen 60˚.cos 45˚ - sen45˚. cos60˚ 
( ) 60 45 3 1 3 115 60 45
1 60 . 45 1 ( 3.1) 1 3
tg tg
tg tg
tg tg
- - -
= - = = =
+ + +
 
  
 
3 1 1 3 3 1 9 3 1 3 2. 3 4 2. 3 2( 2 3)
15 2 3
1 3 2 21 3 1 3 1 9
tg
- - - - + - - + - + - +
= ´ = = = = = -
- - -+ - -

Fórmulas da Subtração
( )) 15 . 1 / 2.( 2 / 2   3 / 2. 2 / 2 2 / 4 6( ( / 4))Cos = + = +
( )( 3 ( 2 )) ( 2 ) ) 6 215 / 2. / 2 ( / 2 . ½ / 4 / 4Sen = - = -
10
Unidade: Transformações Trigonométricas
A partir das relações obtidas pelas fórmulas de adição e subtração, podemos deduzir outras 
fórmulas para resolver funções trigonométricas de arcos duplos, triplos etc.
Por exemplo:
Para se determinar a fórmula do arco duplo de cos2x aplicamos a fórmula da adição de arcos.
Cos 2x = cos( x + x ) = cos x. cos x – sen x.sen x= cos2 x – sen2 x ( equação I )
Da relação fundamental da trigonometria temos:
sen2 x + cos2 x =1 sen2 x = 1 - cos2 x ( equação II )
Substituindo a equação II na equação I temos:
cos 2x = cos2 x – (1 - cos2 x ) = = cos2 x -1 + cos2 x
cos 2x = 2 cos2 x – 1
Utilizando-se de outra relação, encontramos que cos2x= 1 - 2 sen2 x
Sen2x =sen( x + x ) = sen x.cos x + sen x.cos x = 2.sen x.cos x
( ) 2
2
2
1 . 1
tgx tgx tgx
Tg x tg x x
Tgx tgx tg x
+
= + = =
- -
Se quisermos determinar as fórmulas do arco triplo faremos a mesma dedução que foi feita 
para o arco duplo.
Cos 3x = (2x + x) = cos 2x.cos x – sen 2x.sen x
Utilizando-se os valores do arco duplo e substituindo-os na equação temos:
Cos 3x = (2 cos2 x – 1).cos x – (2 sen x.cos x).sen x
Cos 3x = 2 cos3 x- cos x – 2 sen2 x.cos x
Cos 3x = 2 cos3 x- cos x – 2 (1 - cos2 x).cos x
Cos 3x = 2 cos3 x- cos x – 2 cos x + 2 cos3 x
Cos 3x = 4 cos3 x - 3 cos x
Sen 3x = sen(2x + x) = sen 2x.cos x + sen x. Cos 2x
Sen 3x = (2.sen x .cos x).cos x + sen x (1 – 2sen2 x)
Sen 3x = 2 sen x, cos2 x + sen x - 2 sen3 x
Sen 3x = 2 sen x (1 – sen2 x) + sen x - 2 sen3 x
Sen 3x = 3 sen x – 4 sen3 x
Fórmulas de Multiplicação
11
( )
( )
( )
2
2
2 / 1 –2
3   2
1 – 2 . 1 2 / 1 – .
tgx tg x tgxtg x tgx
Tg x tg x x
tg x tgx tgx tg x tgx
++
= + = =
-
( )2
2
2. . 1
3  
1 2 .
Tgx tgx tg x
Tg x
tg x tgx tgx
+ -
=
- -
3
2
3.
3  
1 3
Tgx tg x
Tg x
tg x
-
=
-
Exemplo de aplicação das fórmulas de arco duplo:
Sendo o valor de sen x = 3 / 4 e cos x = 7 /4 , x pertencente ao 1˚ quadrante, determine 
o valor de cos2x, sen2x e tg 2x.
cos 2x= 1 - 2 sen2 x
( )2 9 16 18 21 2. 1 / 8
1
 2 1
6 16
2 3 / 4
16
cos x
- -
= - = = =-= -
Sen 2x = 2.sen x.cos x = 2. (3 / 4). ( 7 /4 ) = 6 7 /16 = 3 7 /8
3 / 4 3 7 3 7
cos 77 / 4 7 7
senx
tg x
x
= = = =
2 2
2. 2.37 / 7 6 7 / 7 6 7 / 7
 2
1 1 (9.7 / 49) 1 63 / 491 3 7 / 7( )
Tgx
Tg x
tg x
= = = =
- - --
6 7 / 7 6 7 / 7 6 7 49
 2 3 7
(49 1463) / 49 7/ 49 14
Tg x
-
-
= = = ´ =-
-
Exemplo de aplicação para as fórmulas de arco triplo:
Sendo o valor de cos x = 1/2 e sen x = 3 / 2senx = , x pertencente ao 1˚ quadrante, 
determine o valor de cos 3x , sen 3x e tg 3x.
Cos 3x = 4 cos3 x - 3cos x
Cos 3x = 4. ( 1/2 )3 – 3.( 1/2 ) =
Cos 3x = 4. ( 1/8 ) – 3/2
Cos 3x = 4/8 – 3 /2 = 1/2 – 3 / 2 = - 2/2 = -1
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Unidade: Transformações Trigonométricas
33 3. / 2 4 / 2
3 3 / 2 4 3. / 8
3  3 
( 3 ) ( 3 )
3 ( 3 )
3 / 2 12 / 8
3  3 / 2 3
3
3 3 / 2 0
Sen x
Sen x
Sen x
Sen x
= -
= -
= -
= - =
3
2
3. 
3
1 3 
Tgx tg x
Tg x
tg x
-
=
-
Antes de utilizar a fórmula, é preciso calcular a tangente.
3 / 2
 3
1 / 2
sen
Tg x
Cosx
= = =
3
2
3. 3 3 3. 3 3. 3
 3 0
1 91 3.
( )
( 3)
Tg x
- -
= = =
--
( )
( )
( )
/ 2 (1 cos ) / 2
/ 2 (1 cos ) / 2 
/ 2 (1 cos ) / (1 cos )
Cos x x
sen x x
tg x x x
=± +
=± -
=± - +
Somente quando se souber o valor de cos x, sem conhecer x é que os sinais ± terão sentido, 
pois, se observarmos as expressões abaixo, elas nos indicarão que existem possivelmente 4 
arcos de x/2, sendo que k pode assumir valores pares ou ímpares.
x/2 = x0 /2 + kπ e x/2 = -x0 /2 + kπ
Exemplo:
Seja o valor de cos x = 3/5, calcule as funções circulares de x/2, sabendo que π/2 < x < π.
Resolução
Primeiro precisamos determinar o intervalo de x/2 e consequentemente determinar o quadrante.
Como é x/2 basta dividir o intervalo do problema por 2. Sendo assim teremos:
π/2 < x < π π/4 < x < π/2, portanto x/2 ∈ 1˚quadrante
Fórmulas de Divisão
13
( ) 3 8/ 2 ( 1 cos ) / 2   1 / 2 / 2 4 / 5
5 5
Cos x x
æ ö æ ö÷ ÷ç ç= ± + = + = =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
( ) 3 2/ 2 (1 cos ) / 2 1 / 2 / 2 1 / 5
5 5
sen x x
æ ö æ ö÷ ÷ç ç= ± - = - = =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
( ) 3 3 2 5 1/ 2 (1 cos ) / (1 cos ) 1 / 1 . 1 / 2
5 5 5 8 4
tg x x x
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç= ± - + = - + = = =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
Das fórmulas de adição e subtração de arcos de cosseno e seno, podem-se obter as relações 
denominadas fórmulas de Werner.
Fazendo-se cos(x + y) + cos(x – y), temos:
cos x.cos y - sen x.sen y + cos x.cos y + sen x.sen y 
= 2.cos x.cos y
cos(x + y) - cos(x – y) =
cos x.cos y - sen x.sen y – (cos x.cos y + sen x.sen y)
= -2 sen x.sen y
sen(x + y) + sen(x – y)
= sen x.cos y + sen y.cos x + sen x.cos y - sen y.cos x
= 2.sen x.cos y
sen( x + y ) - sen( x – y )
=sen x.cos y + sen y.cos x – (sen x.cos y- sen y.cos x)
= 2.sen y.cos x
Transformação em Produto
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Unidade: Transformações Trigonométricas
Chamando de p = x+y e q = x–y, obteremos as fórmulas de transformação em produto:
 2. . 
2 2
p q p q
Cos p cos q cos cos
+ -
+ =
 2. . 
2 2
p q p q
Cos p cos q sen sen
+ -
- =
 2. . cos
2 2
p q p q
sen p sen q sen
+ -
+ =
 2. . cos
2 2
p q p q
sen p sen q sen
- +
- =
( ) 
 
 . 
sen p q
Tg p tg q
cos p cos q
+
+ =
( ) 
 
 . 
sen p q
Tg p tg q
cos p cos q
-
- =
Exemplos:
Transforme em produto as seguintes expressões:
a. y = sen4x + sen2x
 4 2 4 – 2 2    . 2 3 . 
2 2
x x x x
y sen cos sen x cos x
+
= =
b. y= cos12x + cos8x
 12 8 12 – 8 2. . 2. 10 . 2
2 2
x x x x
y Cos cos cos x cos x
+
= =
Nesta unidade, você pôde observar que é preciso relembrar alguns cálculos e propriedades 
importantes como racionalização de denominadores e fatoração de polinômios por fator comum 
em evidência.
A racionalização de denominadores consiste em eliminar os radicais dos denominadores.
Para tal é preciso efetuar as seguintes operações:
Caso o radical do denominador seja simples, basta multiplicar tanto no numerador como no 
denominador o valor do radical do denominador.
15
Exemplos:
Racionalize os seguintes denominadores:
3 7 3. 7
.
77 7
=
5 15 5. 15 15
.
15 315 15
- - -
= =
Agora, caso haja uma adição ou subtração com radicais, é preciso que se faça a seguinte operação:
5 1 7
1 7 1 7
- -
´
+ -
É preciso trocar o sinal do radical, caso você não o faça, não o eliminará, como veremos abaixo:
5 1 7 5 (1 7) 5 (1 7)
1 7 1 7 1 7 7 7 2 7 8
+ + +
´ = =
+ + + + + +
Agora, se trocar o sinal do radical e efetuar a operação:
5 1 7 5 (1 7) 5 (1 7) 5 (1 7) 5 (1 7)
1 7 6 61 7 1 7 1 7 7 7
- - - - - -
´ = = = =
- -+ - - + -
Outro exemplo de racionalização de denominadores:
5 2 6 5 ( 2 6) 5 ( 2 6) 5 ( 2 6) 5 ( 2 6)
2 6 4 42 6 2 6 4 36
- - - - - -
´ = = = =
- -+ - -
A. Quadrado da soma de dois termos
(x + y)2 = x2 + 2.x.y + y2
Exemplo:
(x + 3)2 = x2 + 2.x.3 + 32 = x2 + 6x + 9
B. Quadrado da diferença de dois termos
(x - y)2 = x2 - 2.x.y + y2
Exemplo:
(x - 7)2 = x2 - 2.x.7 + 72 = x2 - 14x + 49
Produtos Notáveis
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Unidade: Transformações Trigonométricas
C. Produto da soma pela diferença de dois termos
x2 - y2 = (x + y). (x – y)
Exemplo:
(x - 4). (x + 4)= x2 + 4x - 4x – 16 = x2 – 1
Para simplificar expressões fracionárias podemos deixar em evidência quando possível 
pelo maior divisor comum de todos os elementos encontrados na fração, deixando-o na 
forma irredutível.
Exemplos:
Observe a fração abaixo. Nota-se que todos os valores são pares e automaticamente percebe-
se que todos, portanto são divisíveis e no caso da expressão abaixo por 2.
4 26 2 13
8 4
x x- -
=
Agora, observe a fração a seguir. Embora existam dois valores que são divisíveis por 3, existe 
um elemento que não é, consequentemente não é possível efetuar a simplificação.
215 12
14
x x+
Nos dois casos acima, pudemos perceber a possibilidade ou não de simplificação.
Em algumas situações é melhor colocar o fator comum em evidência para simplificar a expressão.
Exemplo:
2 62 2 ( 31) ( 31)
4 4 2
xy x x y x y
y y
- - -
= =
52 13 13 (4 ) 13 (4 ) 4
78 78 13.6 6
x y x y x y x y- - - -
= = =
Fatoração por Colocação de um Fator Comum em Evidência
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Material Complementar
Depois de ter estudo a unidade sobre transformações trigonométricas e vivenciado as mais 
diferentes aplicações e conceitos envolvidos, sugerimos, para aprofundar seus estudos, que 
consulte as indicações a seguir:
• O artigo intitulado “Utilizando Geogebra em Sala de Aula no Estudo de Transformações 
Aplicadas às Funções Trigonométricas”, de ANTONIO CARLOS OLIVEIRA DE MAGALHÃES, 
traz o projeto desenvolvido para alunos do Ensino Médio, onde são apresentados as 
transformações, os gráficos das funções até o estudo das funções trigonométricas.
http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/handle/123456789/256
• O fascículo 4 da coleção Quanta , Matemática em fascículos para o ensino médio, Scipione 
de Pierro Netto e Sergio Orsi Filho, saraiva, 2000.
• Volume 1 da Coleção Matemática na escola, Atual Editora,2005.
• http://www.brasilescola.com/matematica/transformacoes-trigonometricas.htm
• http://www.mundoeducacao.com/matematica/transformacoes-trigonometricas-formulas-
adicao.htm
http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/handle/123456789/256
http://www.brasilescola.com/matematica/transformacoes-trigonometricas.htm
http://www.mundoeducacao.com/matematica/transformacoes-trigonometricas-formulas-adicao.htm
http://www.mundoeducacao.com/matematica/transformacoes-trigonometricas-formulas-adicao.htm
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Unidade: Transformações Trigonométricas
Referências
GIOVANNI, José Ruy. Matemática Completa. 2ª edição. São Paulo: FTD, 2005
IEZZI...[et.al], Gelson. Matemática: Ciência e aplicações: Ensino médio. 6ª edição. São 
Paulo: Saraiva, 2010.
MACHADO, Antonio dos Santos. Matemática na escola: Ensino médio – Vol.1. 2ª edição. 
São Paulo: Atual, 1996.
DANTE, L. R. Matemática: Contexto e aplicações – Vol 1. São Paulo: Ática, 2011.
19
Anotações
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