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MATEMÁTICA PARA CEF 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES 
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Aula 4 – Parte 2 
1 Análise de Investimentos .................................................................... 2 
1.1 Conceito ...................................................................................... 2 
1.2 Valor Presente Líquido (VPL) .......................................................... 3 
1.3 Taxa Interna de Retorno (TIR) ........................................................ 3 
1.4 Payback Descontado ..................................................................... 3 
1.5 Exercícios Resolvidos ..................................................................... 4 
2 Relação das questões comentadas ...................................................... 16 
 
 
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1 Análise de Investimentos 
1.1 Conceito 
 
Utilizaremos os principais conceitos da Matemática Financeira para abordar 
alguns critérios de avaliação de investimentos. Aproveitaremos os “modelos” já 
desenvolvidos para aplicá-los à tomada de decisão financeira em seus aspectos 
quantitativos. 
De um modo geral, a classificação dos investimentos é a mais variável 
possível. Deixaremos os aspectos qualitativos dos investimentos de lado e 
focaremos nosso objetivo no aspecto quantitativo da avaliação de 
investimentos. 
Consideraremos os fluxos de caixa de certas alternativas de investimentos 
para compará-las entre si e formar uma “escala” de prioridades na consecução 
da mais lucrativa. 
Sob esse aspecto de avaliação, estudaremos dois critérios básicos de análise 
de investimentos que são: 
- Critério do Valor Presente Líquido (VPL) ou Valor Atual. 
- Critério da Taxa Interna de Retorno. 
- Critério do Payback Descontado 
Esses critérios levam em consideração a taxa mínima de atratividade (TMA). É 
taxa mínima que o investidor se propõe a ganhar quando faz um investimento. 
No método do Valor Presente Líquido (VPL), utilizaremos a Taxa 
Mínima de Atratividade (TMA) para efetuar o transporte dos valores. 
A visualização de um problema envolvendo receitas e despesas que ocorrem 
em instantes diferentes do tempo é bastante facilitada por uma representação 
gráfica simples chamada diagrama de fluxo de caixa. 
Ou seja, quando desejamos analisar diferentes valores muitas vezes é difícil 
imaginar a sua distribuição nas datas disponíveis, sem que para isso não 
lancemos mão de um esquema financeiro que nos permita visualizar, ao 
longo do tempo, todos aqueles recebimentos a serem auferidos (entradas de 
recursos) e todos aqueles pagamentos a serem realizados (saída de recursos). 
Representamos com setas para cima um recebimento (positivo) e setas para 
baixo no caso de pagamentos (negativo). 
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1.2 Valor Presente Líquido (VPL) 
 
O valor presente de um projeto é o valor presente (data 0) de seu fluxo de 
caixa, valor este obtido mediante o desconto do fluxo de caixa a uma taxa que 
reflita o custo de oportunidade do capital investido. Lembrando que para 
retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )ni . 
Quanto maior o valor presente, melhor é o projeto. Caso existam duas ou mais 
formas de investimento, será escolhida aquela que possuir o maior valor 
presente líquido. No caso de haver apenas uma alternativa para o projeto, o 
VPL de seu fluxo de caixa indicará se o projeto é viável, inviável ou indiferente. 
Nesse caso, caso VPL > 0, o projeto é viável. 
Se VPL < 0, então o projeto é inviável. 
E se VPL = 0, então o projeto é indiferente. 
No método do Valor Presente Líquido (VPL), utilizaremos a Taxa Mínima de 
Atratividade (TMA) para efetuar o transporte dos valores. 
1.3 Taxa Interna de Retorno (TIR) 
 
É a taxa de juros que anula o valor presente líquido do fluxo de caixa do 
investimento. A TIR é aquela que torna VPL = 0. 
E já que o valor presente líquido é zero, então o fluxo de caixa será 0 em 
qualquer outra data. Assim, daremos preferência em usar como data focal 
aquela que estiver mais a direita do fluxo. 
Podemos utilizar o método da taxa interna de retorno em diversas situações, 
como por exemplo: 
- Existe apenas uma alternativa de investimento e esta será considerada viável 
se a taxa interna de retorno for maior que um valor aceitável (taxa mínima de 
atratividade), o qual representa o custo de oportunidade do capital. Ou seja, 
se TIR > TMA, então o projeto é viável. Se TIR = TMA, então o projeto é 
indiferente. Se TIR < TMA, então o projeto é inviável. 
1.4 Payback Descontado 
 
O que significa Payback? 
É o tempo necessário para recuperação do investimento. 
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O Payback descontado atualiza os fluxos de caixa por meio de operações de 
desconto racional composto. 
Em suma, o Payback Descontado é o tempo decorrido até que o VPL (Valor 
Presente Líquido) se iguale ao investimento inicial do projeto em análise. 
 
1.5 Exercícios Resolvidos 
 
01. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) O fluxo de caixa abaixo corresponde a um 
projeto de investimento (com os valores em reais), em que se apurou uma 
taxa interna de retorno igual a 20% ao ano. 
 
O valor de X é igual a 
a) R$ 13.824,00 
b) R$ 12.960,00 
c) R$ 12.096,00 
d) R$ 11.232,00 
e) R$ 10.368,00 
Resolução 
Por definição, a taxa interna de retorno é aquela que torna o valor presente 
líquido igual a 0. Se o valor presente líquido é igual a 0, então em qualquer 
outra data o somatório de entradas e saídas será igual a 0. 
Adotaremos como data focal a data 3. 
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Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )ni . 
Assim, a equação de equivalência de capitais será: 
 
 
 
 
 
Letra B 
02. (BB – Escriturário FCC 2006) Considere o seguinte fluxo de caixa cuja 
taxa interna de retorno é igual a 10% ao ano: 
 
O valor de X é igual a 
 
a) R$ 11 000,00 
b) R$ 11 550,00 
c) R$ 13 310,00 
d) R$ 13 915,00 
e) R$ 14 520,00 
Resolução 
A taxa interna de retorno é a taxa de juros que anula o valor presente 
líquido do fluxo de caixa do investimento. A TIR é aquela que torna VPL = 0. 
E já que o valor presente líquido é zero, então o fluxo de caixa será 0 em 
qualquer outra data. Assim, daremos preferência em usar como data focal 
aquela que estiver mais a direita do fluxo. 
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )ni . 
 
 
 
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Letra E 
03. (Agente Fiscal de Rendas 2006 FCC) A representação gráfica abaixo 
corresponde ao fluxo de caixa de um projeto de investimento com a escala 
horizontal em anos. 
 
Se a taxa interna de retorno referente a este projeto é igual a 10% ao ano e 
(X+Y) = R$ 10.285,00, tem-se que X é igual a 
a) R$ 3.025,00 
b) R$ 3.267,00 
c) R$ 3.388,00 
d) R$ 3.509,00 
e) R$ 3.630,00 
Resolução 
A taxa interna de retorno é a taxa de juros que anula o valor presente 
líquido do fluxo de caixa do investimento. A TIR é aquela que torna VPL = 0. 
E já que o valor presente líquido é zero, então o fluxo de caixa será 0 em 
qualquer outra data. Assim, daremos preferência em usar como data focal 
aquela que estiver mais a direita do fluxo. A data focal será a data 3. 
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por(1 )ni . 
Representamos com setas para cima um recebimento (positivo) e setas para 
baixo no caso de pagamentos (negativo). 
 
 
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Como o enunciado nos disse que X + Y = 10.285, então Y = 10285 – X. 
Substituindo na equação anterior: 
 
 
 
 
Letra E 
04. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Considerando o Gráfico abaixo, onde o eixo Y 
representa os VPL(s) em $ e o Eixo X, as taxas em %. 
 
Assinale a alternativa que identifica corretamente a Taxa Interna de Retorno 
(TIR). 
a) 30% 
b) 25% 
c) 20% 
d) 15% 
e) 0% 
Resolução 
A Taxa Interna de Retorno é a taxa de juros que anula o valor presente líquido 
do fluxo de caixa do investimento. A TIR é aquela que torna VPL = 0. 
O gráfico mostra claramente que VPL = 0 para uma taxa de 20%. 
Letra C 
05. (Prefeitura Municipal de Brusque – Auditor Fiscal Tributário- 2009 – 
FEPESE) Considerando o fluxo de caixa de $50.000, $30.000, $80.000 e 
$20.000 para o 1o, 2o, 3o e 4o ano, respectivamente, assinale a alternativa que 
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demonstra corretamente o valor presente desse fluxo, no ano zero, com a 
aplicação das taxas de desconto de 10% a.a., 5% a.a. e 0% a.a., 
respectivamente. 
a) $ 144.013 ; $ 180.000 ; $ 160391 
b) $ 180.000 ; $ 160391 ; $ 144.013 
c) $130.000 ; $ 140.000 ; $ 150.000 
d) $ 144.013 ; $ 160.391 ; $ 180.000 
e) $ 180.000; $ 170.000; $ 160.000 
Resolução 
Vejamos o desenho do fluxo de caixa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )ni . 
Dessa forma, o valor presente líquido desse fluxo de caixa (X) será 
igual a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcularemos o valor presente líquido com a aplicação das taxas de desconto 
de 
10% a.a. = 0,10 a.a., 5% a.a. = 0,05 a.a. e 0% a.a 
i) i = 0,10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos reduzir as frações ao um mesmo denominador comum. O m.m.c. dos 
denominadores é igual a 1,104. Então dividiremos esse valor pelo denominador 
e multiplicaremos o resultado pelo numerador. Por exemplo, olhemos para a 
X 
0 
 1 ano 2 anos 3 anos 4 anos 
20.000 
80.000 
30.000 
50.000 
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primeira fração. 1,104 dividido por 1,101 é igual a 1,103, isso porque para 
dividir potências de mesma base repetimos a base e subtraímos os expoentes. 
Então o numerador será 50.000 vezes 1,103. Repetiremos o mesmo processo 
nas 4 frações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) i = 0,05 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos reduzir as frações ao um mesmo denominador comum. O m.m.c. dos 
denominadores é igual a 1,054. Então dividiremos esse valor pelo denominador 
e multiplicaremos o resultado pelo numerador. Por exemplo, olhemos para a 
primeira fração. 1,054 dividido por 1,051 é igual a 1,053, isso porque para 
dividir potências de mesma base repetimos a base e subtraímos os expoentes. 
Então o numerador será 50.000 vezes 1,053. Repetiremos o mesmo processo 
nas 4 frações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iii) i = 0% 
Se a taxa é de 0%, então os valores não serão alterados ao longo do tempo. 
Em qualquer época, a soma dos valores será igual a R$ 180.000,00. Basta 
somar os 4 valores. Na verdade, você nem precisava fazer as contas acima. Se 
você percebesse que quando a taxa é de 0% o VPL é 180.000 reais, já dava 
para marcar a resposta. 
Letra D 
06. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Podemos afirmar que o resultado do Valor 
Presente Líquido (VPL) depende do custo inicial, dos retornos e suas datas de 
ocorrência, e da taxa requerida ajustada ao nível de risco de um determinado 
projeto. A partir da análise do fluxo de caixa abaixo, considerando uma taxa de 
juros de 10% ao ano, 
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Calcule o VPL e assinale a alternativa que indica a resposta correta. 
a) $ 89.790,57 
b) $ 87.029,57 
c) $ 80.920,57 
d) $ 78.290,57 
e) $ 72.790,57 
Resolução 
O valor presente de um projeto é o valor presente (data 0) de seu fluxo de 
caixa, valor este obtido mediante o desconto do fluxo de caixa a uma taxa 
que reflita o custo de oportunidade do capital investido. Lembrando que para 
retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )ni . 
Quanto maior o valor presente, melhor é o projeto. 
Para calcular o VPL devemos transportar todos os valores para a data 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Letra B 
07. (Universidade Federal da Fronteira Sul – Economista – 2009 – FEPESE) 
Os métodos de análise de investimentos do valor presente líquido e da taxa 
interna de retorno estão de certa forma relacionados. Considerando um 
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determinado valor presente líquido (VPL), uma taxa interna de retorno (TIR), e 
um custo de oportunidade i%, o critério aceitar-rejeitar dos métodos de 
avaliação de investimentos deve estar de acordo com a seguinte alternativa: 
a) Se VPL > 0, a TIR < i%. 
b) Se VPL > 0, a TIR = i%. 
c) Se VPL = 0, a TIR > i%. 
d) Se VPL > 0, a TIR > i%. 
e) Se VPL < 0, a TIR = i%. 
 
Resolução 
 
Para que o projeto seja viável o VPL deve ser positivo e taxa interna de retorno 
deve ser maior do que a taxa mínima de atratividade. 
Letra D 
08. (CVM 2003/FCC) A empresa "Y" realiza certo investimento em projeto 
que apresenta o fluxo de caixa a seguir: 
 
Se a taxa mínima de atratividade for de 25% ao ano (capitalização anual), o 
valor presente líquido deste investimento no ano 0 será de 
 
a) Zero 
b) R$ 448,00 
c) R$ 480,00 
d) R$ 960,00 
e) R$ 1.560,00 
Resolução 
O valor presente de um projeto é o valor presente (data 0) de seu fluxo de 
caixa, valor este obtido mediante o desconto do fluxo de caixa a uma taxa 
que reflita o custo de oportunidade do capital investido. Lembrando que para 
retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )ni . 
Para calcular o VPL devemos transportar todos os valores para a data 0. 
 
 
 
 
 
 
 
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Letra B 
09. (CVM 2003/FCC) O esquema abaixo representa o fluxo de caixa de um 
investimento no período de 3 anos, valores em reais: 
 
 
Sabendo-se que a taxa interna de retorno (TIR) é de 10% ao ano, o valor do 
desembolso inicial (D) é de 
 
a) R$ 17.325,00 
b) R$ 16.500,00 
c) R$ 16.000,00 
d) R$ 15.500,00 
e) R$ 15.000,00 
Resolução 
A taxa interna de retorno é a taxa de juros que anula o valor presente 
líquido do fluxo de caixa do investimento. A TIR é aquela que torna VPL = 0. 
E já que o valor presente líquido é zero, então o fluxo de caixa será 0 em 
qualquer outra data. Assim, daremos preferência em usar como data focal 
aquela que estiver mais a direita do fluxo. A data focal será a data 3. 
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )ni . 
Representamos com setas para cima um recebimento(positivo) e setas para 
baixo no caso de pagamentos (negativo). 
 
 
 
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Para efetuar a divisão, devemos igualar a quantidade de casas decimais e 
apagar a vírgula. 
 
 
 
 
 
 
 
Letra D 
10. (BB 2006/FCC) Uma empresa deverá escolher um entre dois projetos X e 
Y, mutuamente excludentes, que apresentam os seguintes fluxos de caixa: 
 
 
A taxa mínima de atratividade é de 8% ao ano (capitalização anual) e verifica-
se que os valores atuais líquidos referentes aos dois projetos são iguais. Então, 
o desembolso D referente ao projeto X é igual a 
 
a) R$ 30 000,00 
b) R$ 40 000,00 
c) R$ 45 000,00 
d) R$ 50 000,00 
e) R$ 60 000,00 
Resolução 
No regime de juros compostos, se dois conjuntos de capitais são equivalentes 
em certa data, o serão em qualquer outra data. 
Dizer que os valores atuais líquidos referentes aos dois projetos são iguais é o 
mesmo que dizer que os dois conjuntos de capitais são equivalentes na data 0. 
Desta forma, podemos afirmar que os conjuntos de capitais também são 
equivalentes na data 2. 
Vamos, então, utilizar a data 2 como data focal. 
Para transportar um valor para o futuro, devemos multiplicá-lo por 
 
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Letra A 
11. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) A tabela abaixo registra o fluxo de caixa 
anual de um projeto de investimento com duração de 4 anos. A terceira coluna 
fornece os respectivos valores atuais (na data 0) em função da taxa mínima 
requerida de 10% ao ano. 
 
Utilizando interpolação linear, obtém-se que, pelo método do Payback 
descontado, o tempo necessário para recuperar o investimento é 
a) 3,2 anos 
b) 2,8 anos 
c) 2,6 anos 
d) 2,4 anos 
e) 2,2 anos 
Resolução 
O Payback descontado atualiza os fluxos de caixa por meio de operações de 
desconto racional composto. 
E o que significa Payback? É o tempo necessário para recuperação do 
investimento. 
No segundo ano, o somatório das receitas é de R$ 1.800,00. Já que o 
investimento inicial foi de R$ 2.000,00 precisamos de R$ 200,00 para 
recuperar o investimento. No terceiro ano, recuperamos mais R$ 1.000,00. 
Então fazemos a interpolação. 
 
 
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 Período (ano) Capital 
 1 1.000 
 X 200 
 
 
Assim o payback descontado é de 2 + 0,2 = 2,2 anos. 
 Letra E 
 
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2 Relação das questões comentadas 
 
01. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) O fluxo de caixa abaixo corresponde a um 
projeto de investimento (com os valores em reais), em que se apurou uma 
taxa interna de retorno igual a 20% ao ano. 
 
O valor de X é igual a 
a) R$ 13.824,00 
b) R$ 12.960,00 
c) R$ 12.096,00 
d) R$ 11.232,00 
e) R$ 10.368,00 
02. (BB – Escriturário FCC 2006) Considere o seguinte fluxo de caixa cuja 
taxa interna de retorno é igual a 10% ao ano: 
 
O valor de X é igual a 
 
a) R$ 11 000,00 
b) R$ 11 550,00 
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c) R$ 13 310,00 
d) R$ 13 915,00 
e) R$ 14 520,00 
03. (Agente Fiscal de Rendas 2006 FCC) A representação gráfica abaixo 
corresponde ao fluxo de caixa de um projeto de investimento com a escala 
horizontal em anos. 
 
Se a taxa interna de retorno referente a este projeto é igual a 10% ao ano e 
(X+Y) = R$ 10.285,00, tem-se que X é igual a 
a) R$ 3.025,00 
b) R$ 3.267,00 
c) R$ 3.388,00 
d) R$ 3.509,00 
e) R$ 3.630,00 
04. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Considerando o Gráfico abaixo, onde o eixo Y 
representa os VPL(s) em $ e o Eixo X, as taxas em %. 
 
Assinale a alternativa que identifica corretamente a Taxa Interna de Retorno 
(TIR). 
a) 30% 
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b) 25% 
c) 20% 
d) 15% 
e) 0% 
05. (Prefeitura Municipal de Brusque – Auditor Fiscal Tributário- 2009 – 
FEPESE) Considerando o fluxo de caixa de $50.000, $30.000, $80.000 e 
$20.000 para o 1o, 2o, 3o e 4o ano, respectivamente, assinale a alternativa que 
demonstra corretamente o valor presente desse fluxo, no ano zero, com a 
aplicação das taxas de desconto de 10% a.a., 5% a.a. e 0% a.a., 
respectivamente. 
a) $ 144.013 ; $ 180.000 ; $ 160391 
b) $ 180.000 ; $ 160391 ; $ 144.013 
c) $130.000 ; $ 140.000 ; $ 150.000 
d) $ 144.013 ; $ 160.391 ; $ 180.000 
e) $ 180.000; $ 170.000; $ 160.000 
06. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Podemos afirmar que o resultado do Valor 
Presente Líquido (VPL) depende do custo inicial, dos retornos e suas datas de 
ocorrência, e da taxa requerida ajustada ao nível de risco de um determinado 
projeto. A partir da análise do fluxo de caixa abaixo, considerando uma taxa de 
juros de 10% ao ano, 
 
Calcule o VPL e assinale a alternativa que indica a resposta correta. 
a) $ 89.790,57 
b) $ 87.029,57 
c) $ 80.920,57 
d) $ 78.290,57 
e) $ 72.790,57 
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07. (Universidade Federal da Fronteira Sul – Economista – 2009 – FEPESE) 
Os métodos de análise de investimentos do valor presente líquido e da taxa 
interna de retorno estão de certa forma relacionados. Considerando um 
determinado valor presente líquido (VPL), uma taxa interna de retorno (TIR), e 
um custo de oportunidade i%, o critério aceitar-rejeitar dos métodos de 
avaliação de investimentos deve estar de acordo com a seguinte alternativa: 
a) Se VPL > 0, a TIR < i%. 
b) Se VPL > 0, a TIR = i%. 
c) Se VPL = 0, a TIR > i%. 
d) Se VPL > 0, a TIR > i%. 
e) Se VPL < 0, a TIR = i%. 
08. (CVM 2003/FCC) A empresa "Y" realiza certo investimento em projeto 
que apresenta o fluxo de caixa a seguir: 
 
Se a taxa mínima de atratividade for de 25% ao ano (capitalização anual), o 
valor presente líquido deste investimento no ano 0 será de 
 
a) Zero 
b) R$ 448,00 
c) R$ 480,00 
d) R$ 960,00 
e) R$ 1.560,00 
09. (CVM 2003/FCC) O esquema abaixo representa o fluxo de caixa de um 
investimento no período de 3 anos, valores em reais: 
 
 
Sabendo-se que a taxa interna de retorno (TIR) é de 10% ao ano, o valor do 
desembolso inicial (D) é de 
 
a) R$ 17.325,00 
b) R$ 16.500,00 
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c) R$ 16.000,00 
d) R$ 15.500,00 
e) R$ 15.000,00 
10. (BB 2006/FCC) Uma empresa deverá escolher um entre dois projetos X e 
Y, mutuamente excludentes, que apresentam os seguintes fluxos de caixa: 
 
 
A taxa mínima de atratividade é de 8% ao ano (capitalização anual) e verifica-
se que os valores atuais líquidos referentes aos dois projetos são iguais. Então, 
o desembolso D referente ao projeto X é igual a 
 
a) R$ 30 000,00 
b) R$ 40 000,00 
c) R$ 45 000,00 
d) R$ 50 000,00 
e) R$ 60 000,00 
11. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) A tabela abaixo registra o fluxo de caixa 
anual de um projeto de investimento com duração de 4 anos. A terceira colunafornece os respectivos valores atuais (na data 0) em função da taxa mínima 
requerida de 10% ao ano. 
 
Utilizando interpolação linear, obtém-se que, pelo método do Payback 
descontado, o tempo necessário para recuperar o investimento é 
a) 3,2 anos 
b) 2,8 anos 
c) 2,6 anos 
d) 2,4 anos 
e) 2,2 anos 
 
MATEMÁTICA PARA CEF 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES 
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 21 
01. B 
02. E 
03. E 
04. C 
05. D 
06. B 
07. D 
08. B 
09. D 
10. A 
11. E