ANALISE MULTIVARIADA E MODELOS DE REGRESSAO TEMA 08 INTERPOLAÇÃO POLINOMINAL

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Tema 08 – Interpolação polinomial
Bloco 1
Professor Dr. Fábio Santiago
Análise Multivariada e 
Modelos de Regressão
W
BA0512_V1.0
Conceito de interpolação
Aplicamos interpolação quando:
• Conhecemos uma série de pares 
ordenados, mas desconhecemos a 
função que os relacionam;
• A função é difícil de ser manipulada (para 
cálculo de derivada, zero de função,…);
• Quando quer-se f(x) para um 
determinado x.
Conceito de interpolação
Solução para esses três pontos:
• Métodos de interpolação:
§ Trigonométrica;
§ Exponencial;
§ Logarítmica;
§ Polinomial.
Conceito de interpolação
xi
yi
Fonte: O autor.
Conceito de interpolação
Polinômio: série de termos axn
• a: coeficiente
• x: variável independente
• n: expoente natural à grau
1 2
1 2 1 0( ) ...
n n n
n n np x a x a x a x a x a
- -
- -= + + + + +
Conceito de interpolação
• Conhecimento de n+1 pontos (nós de 
interpolação) podemos obter um 
polinômio de grau máximo n
x 0x 1x 2x ... nx 
f(x) 0( )f x 1( )f x 2( )f x ... ( )nf x 
 
Conceito de interpolação
Determinaremos ai para estimar:
1 2
1 2 1 0( ) ...
n n n
n n np x a x a x a x a x a
- -
- -= + + + + +
0 i n£ £
1
0 1 0 1 0 0 0 0
1
0 1 1 1 1 1 1 1
1
0 1 1
... ( )
... ( )
 
... ( )
n n
n n
n n
n n
n n
n n n n n n n
a a x a x a x f x y
a a x a x a x f x y
a a x a x a x f x y
-
-
-
-
-
-
+ + + + = =
+ + + + = =
+ + + + = =
M
Conceito de interpolação
• Temos, então, um sistema linear de 
ordem n:
à Incógnitas (x): ai
à Termos independentes (b): yi
à Matriz dos coeficientes (A): xi
Então, temos: Ax=b
Conceito de interpolação
1
00 0 01
0 1 0 1 0 0 0 0 1
1 1 11
0 1 1 1 1 1 1 1
1
1 1 11
0 1 1 1
1
... ( )
1
... ( )
1
... ( )
1
-
-
- -
-
-
-
- - --
- -
é ù
ì + + + + = = ê ú
ï ê ú+ + + + = =ï ê úÞ = Þí ê úï ê úï + + + + = =î ê ú
ë û
L
L
M M O M M
M
L
L
n n
n n
n n n n
n n
n n
n n
n n nn n
n n n n n n n n n
n n n
ax x x
a a x a x a x f x y
ax x x
a a x a x a x f x y
Ax b
x x x
a a x a x a x f x y
x x x
0
1 1
1 1- -
é ù é ù
ê ú ê ú
ê ú ê ú
ê ú ê ú=
ê ú ê ú
ê ú ê ú
ê ú ê úë û ë û
M M
n n
n n
y
y
a y
a y
1
00 0 01
0 1 0 1 0 0 0 0 1
1 1 11
0 1 1 1 1 1 1 1
1
1 1 11
0 1 1 1
1
... ( )
1
... ( )
1
... ( )
1
-
-
- -
-
-
-
- - --
- -
é ù
ì + + + + = = ê ú
ï ê ú+ + + + = =ï ê úÞ = Þí ê úï ê úï + + + + = =î ê ú
ë û
L
L
M M O M M
M
L
L
n n
n n
n n n n
n n
n n
n n
n n nn n
n n n n n n n n n
n n n
ax x x
a a x a x a x f x y
ax x x
a a x a x a x f x y
Ax b
x x x
a a x a x a x f x y
x x x
0
1 1
1 1- -
é ù é ù
ê ú ê ú
ê ú ê ú
ê ú ê ú=
ê ú ê ú
ê ú ê ú
ê ú ê úë û ë û
M M
n n
n n
y
y
a y
a y
Conceito de interpolação
• A matriz A recebe um nome especial: 
matriz de Vandermonde.
• Caso xi sejam todos distintos, então
determinante de A é diferente de zero.
• Então, sistema linear possui uma única
solução à coeficientes do polinômio
são únicos.
Exemplo
(2; 16,4), (3;15,2), (4;14,9), (5;16)
• 4 pares de pontos
• Polinômio de grau no máximo 3
Exemplo
(2; 16,4), (3;15,2), (4;14,9), (5;16)
• 4 pares de pontos
• Polinômio de grau no máximo 3
01233 axa²xa³xa)x(p +++=
Exemplo
(2; 16,4), (3;15,2), (4;14,9), (5;16)
16aa5a25a251 :5x
9,14aa4a16a46 :4x
2,15aa3a9a72 :3x
4,16aa2a4a8 :2x
0123
0123
0123
0123
=+++=
=+++=
=+++=
=+++=
Exemplo
(2; 16,4), (3;15,2), (4;14,9), (5;16)
Eliminação de Gauss
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
16
9,14
2,15
4,16
1525125
141664
13927
1248
Exemplo
• Zerar os elementos abaixo da 
diagonal principal.
• Preservar a primeira linha para zeramos
elementos abaixo de a11, então zerar
a21, a31, a41.
• Encontrar os devidos multiplicadores para 
a primeira etapa: m21, m31, m41
Exemplo
M21= a21/a11=27/8
M31= a31/a11=64/8
M41=a41/a11=125/8
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
16
9,14
2,15
4,16
1525125
141664
13927
1248
Exemplo
M21= 27/8
M31= 64/8
M41=125/8
L2nova=L2antiga-m21.L1
L3nova=L3antiga-m31.L1
L4nova=L4antiga-m41.L1
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
16
9,14
2,15
4,16
1525125
141664
13927
1248
Exemplo
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
-
-
---
---
---
25,240
3,116
15,40
4,16
625,1425,265,370
712160
375,275,35,40
1248
Exemplo
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
-
-
---
875,4
456,26
15,40
4,16
25,0000
444,1333,100
375,275,35,40
1248
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=+++
-=---
=+
-=-
4,16aa2a4a8
15,40a375,2a75,3a5,4
456,26a4444,1a333,1
875,4a25,0
0123
012
01
0
Exemplo
• Observação: cuidado com extrapolações!
5,19x2833,1²x3,0³x0833,0)x(p3 +--=
Tema 08 – Interpolação polinomial
Bloco 2
Professor Dr. Fábio Santiago
Análise Multivariada e 
Modelos de Regressão
Lagrange
0 0 1 1( ) ( ) ( ) ... ( )n n np x y L x y L x y L x= + + +
0 1 1 1
0 1 1 1
( )( )...( )( )...( )( )
( )( )...( )( )...( )
k k n
k
k k k k k k k n
x x x x x x x x x x
L x
x x x x x x x x x x
- +
- +
- - - - -
=
- - - - -
0 se 
( )
1 se k i
k i
L x
k i
¹ì
= í =î
Lagrange
(2;16,4), (3;15,2), (4;14,9), (5;16)
4 PARES DE PONTOS
POLINÔMIO DE GRAU 3
4 OPERADORES DE LAGRANGE
Lagrange
(2;16,4), (3;15,2), (4;14,9), (5;16)
332211003 yLyLyLyL)X(P +++=
16L9,14L2,15L4,16L)X(P 32103 +++=
Lagrange
(2;16,4), (3;15,2), (4;14,9), (5;16)
30
3
20
2
10
1
0 xx
xx
xx
xx
xx
xxL
-
-
-
-
-
-
=
52
5x
42
4x
32
3xL0 -
-
-
-
-
-
=
Lagrange
(2;16,4), (3;15,2), (4;14,9), (5;16)
31
3
21
2
01
0
1 xx
xx
xx
xx
xx
xxL
-
-
-
-
-
-
=
53
5x
43
4x
23
2xL1 -
-
-
-
-
-
=
Lagrange
(2;16,4), (3;15,2), (4;14,9), (5;16)
54
5x
34
3x
24
2xL2 -
-
-
-
-
-
=
45
4x
35
3x
25
2xL3 -
-
-
-
-
-
=
Fórmula de Newton
• Uso de DIFERENÇAS DIVIDIDAS (DD).
• Ordem da diferença dividida é igual ao
grau do polinômio desejado
DD ordem zero:
DD ordem um:
DD ordem dois:
0 0( ) [ ]f x f x=
1 0
0 1
1 0
[ ] [ ][ , ] f x f xf x x
x x
-
=
-
1 2 0 1
0 1 2
2 0
[ , ] [ , ][ , , ] f x x f x xf x x x
x x
-
=
-
Fórmula de Newton – Tabela de DD
 Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 K Ordem n 
ix [ ]if x [ , ]i jf x x [ , , ]i j kf x x x [ , , , ]i j k lf x x x x K 
0x 0[ ]f x 
 0 1[ , ]f x x 
1x 1[ ]f x 0 1 2[ , , ]f x x x 
 1 2[ , ]f x x 0 1 2 3[ , , , ]f x x x x 
2x 2[ ]f x 1 2 3[ , , ]f x x x O 
 2 3[ , ]f x x 1 2 3 4[ , , , ]f x x x x 
3x 3[ ]f x 2 3 4[ , , ]f x x x 0 1 2[ , , ,..., ]nf x x x x 
 3 4[ , ]f x x M N 
4x 4[ ]f x M 3 2 1[ , , , ]- - -n n n nf x x x x 
 M 2 1[ , , ]- -n n nf x x x K 
M M 1[ , ]-n nf x x 
nx [ ]nf x 
 
Fórmula de Newton
(1,0); (2,6); (4,12); (5,24)
Xi Yi DD1 DD2 DD3
1 0
2 6
4 12
5 24
12
06
-
-
24
612
-
-
45
1224
-
-
Fórmula de Newton
(1,0); (2,6); (4,12); (5,24)
Xi Yi DD1 DD2 DD3
1 0
2 6
4 12
5 24
6
3
12
14
63
-
-
25
312
-
-
Fórmula de Newton
(1,0); (2,6); (4,12); (5,24)
Xi Yi DD1 DD2 DD3
1 0
2 6
4 12
5 24
6
3
12
-1
3 15
)1(3
-
--
Fórmula de Newton
(1,0); (2,6); (4,12); (5,24)
Xi Yi DD1 DD2 DD3
1 0
2 6
4 12
5 24
6
3
12
-1
3
1
Fórmula de Newton
(1,0); (2,6); (4,12); (5,24)
Então o polinômio ficará:
)4x)(2x)(1x(1
)2x)(1x)(1()1x(60)x(p3
---+
+---+-+=