FASC 12_MEDIO

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CEJA PAULO FREIRE 
 
ESTUDO DIRIGIDO–Ensino Médio -MATEMÁTICA –Fascículo 12 
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1) Monômios 
Monômio ou Termo Algébrico, é uma expressão 
algébrica inteira composta por uma parte numé-
rica e outra parte literal 
EXEMPLO: parte numérica = 1 
 parte literal = x 
 
 parte numérica = 3 
 parte literal = b 
 
 Operações com Monômios: 
 Só podemos operar monômios semelhantes, 
 isto é, que possuam a mesma parte literal 
 
a) Adição: Somamos os coeficientes e 
 repetimos a parte literal semelhante 
 2x3 + 5x3 = (2 + 5) x3  7x3 
 
b) Subtração: Subtraímos os coeficientes 
e repetimos a parte literal semelhante 
 2x2 - 5x2 = (2 - 5) x2  - 3x2 
 
c) Multiplicação: Multiplicamos os coefi- 
cientes e somamos os expoentes das 
literais semelhantes 
 (2x3) x (5x4) = (2x5)(x 3 + 4) = 10x7 
 
d) Divisão: Dividimos os coeficientes e 
subtraímos os expoentes das literais 
semelhantes 
 (15x5) : (5x3) = (15 : 5)(x 5 - 3) = 3x2 
 
2) Polinômios 
É a soma algébrica de vários monômios 
 
 Operações com Polinômios: 
 Para operarmos os polinômios, aplicamos as 
 mesmas regras vistas nos monômios, ou 
 seja, só operamos com termos semelhantes 
 a) Adição 
(-2x
2 
 + 5x – 2) + (-3x
3
 + 2x – 1) 
 -2x
2 
 + 5x – 2 - 3x
3
 + 2x – 1 
 -3x
3
 - 2x
2 
 + 5x + 2x – 2 - 1 
 -3x3 - 2x2 + 7x – 3 
b) Subtração 
(-2x
2 
 + 5x – 2) - (-3x
3
 + 2x – 1) 
 -2x
2 
 + 5x – 2 + 3x
2
 - 2x +1 
 3x
2 
- 2x
2 
 + 5x - 2x – 2 +1 
x2 + 3x - 1 
c) Multiplicação 
(x – 1) (x
2
 + 2x – 6) 
x . x
2
 + x . 2x – x . 6 – 1 . x
2 
 - 1 . 2x + 1.6 
 x
3
 + 2x
2
 – 6x – x
2
 – 2x + 6 
 x
3
 + 2x
2
 – x
2
 – 6x - 2x + 6 
 x3 + x2 – 8x + 6 
 
 
 3) Grau do polinômios 
 O grau de um polinômio é dado pelo maior 
 grau de um monômio com coeficiente 
 não nulo 
 EXEMPLO: P(x) = x3 + 3x2 – 7x + 6 
 Completo de grau 3 
 
 
4) Raízes de um Polinômio 
As raízes de um polinômio são obtidas 
resolvendo-o como uma equação do 2
0
 
grau 
 Δ = b2 – 4.a.c 
 
 x = - b ± ѴΔ 
 2.a 
 
EXEMPLO: x2 – 2x – 24 = 0 
 
 Δ = b2 – 4.a.c 
 = (- 2)2 – 4(1)(-24) 
 = 4 + 96  Δ = 100 
 
 x = - b ± ѴΔ  x = -(-2) ±Ѵ100 
 2.a 2.(1) 
 
 x = 2 ± 10  x’ = 12 → x’ = 2 
 2 6 
 x” = - 8 → x’ = - 4 
 2 
5) Valor numérico de um polinômio 
Calculamos o valor de um polinômio, substi- 
tuindo o valor dado no lugar da variável do 
polinômio. 
EXEMPLO: Dado o polinômio abaixo, 
 calcule seu valor para x = 1 
 p(x) = x
4
 + 3x
3
 – 2x + 1 
 p(x) = (1)
4
 = 3(1)
3
 – 2(1) + 1 
 p(x) = 1 + 3 – 2 + 1 = 3 
 
 6) Cálculo do Resto 
 O resto da divisão de um polinômio por um 
 binômio é dado igualando o binômio a 
zero, resolvendo-o e substituindo o valor 
encontrado no lugar da variável. 
 EXEMPLO: Dado o polinômio abaixo, 
 p(x) = 4x
3
 – 2x
2
 + x + 1, calcu- 
 le sua divisão por x – 2 
 x – 2 = 0 → x = 2 
 
 p(x) = 4(2)
3
 – 2(2)
2
 + 2 + 1 
 p(x) = 4 . 8 – 4 + 2 + 1 
 p(x) = 27 
 
 
 
x 
3b 
a = 1 
b = - 2 
c = - 24 
 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 + 
 
 
 
 
 
 = (7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e 
 
 
 
 
 
 
 M = XA + XB ; YA + YB 
 2 2 
 
 
 1) Plano Cartesiano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2) Distância entre Dois Pontos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3) Ponto Médio : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4) Coeficiente Angular da Reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 mr = tg () = YB - YA 
 XB – XA 
 
 
 5) Equação da Circunferência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (X - Xc )
2
 + (Y - Yc )
2
 = r
2 
 
 EXEMPLO: Escreva a equação da circunfe- 
 rência de centro (3, 8) e raio 
 7 cm. 
 (x – 3)2 + (y – 8)2 = (7)2 
 (x – 3)2 + (y – 8)2 = 49 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria Analítica 
 
 Ao determinarmos as coordenadas de um 
número ou objeto, precisamos sempre de duas 
referências (eixo X: horizontal) e (eixo Y: vertical ). 
 Precisamos obedecer esta ordem (x,y). 
 No exemplo acima a piscina está na 
 coordenada ( 3, 5 ) 
 
 
dAB = Ѵ(x2 – x1)
2 
+ (y2 – y1)
2
 
 
 dAB = Ѵ(x2 – x1)
2 + (y2 – y1)
2 
 
 dAB = Ѵ(1 – 1)
2 + (4 – 1)
2 
 dAB = Ѵ(0)
2 + (3)2 
 dAB = Ѵ0
 + 9 
 dAB = Ѵ9  dAB = 3 
 
 
 CEJA PAULO FREIRE 
 
EXERCÍCIOS – Ensino Médio - MATEMÁTICA – Fascículo 12 
 1a Parte 
1) Calcule as raízes dos polinômios: 
 a) x
2
 + x - 20 = 0 b) x
2 
+ 5x + 6 = 0 c) x
2
 -3x – 10 = 0 d) 9x
2
 – 12x + 4 = 0 
 
 2) Dados os polinômios: A = 8x
2
 – 7x – 5; B = 3x
2
 – 4x + 2; C = -2x
2
 + 9x + 3; D = x – 3, determine : 
 a) B + C b) A – B c) B . D d) A + B e) (A + B) - C 
 
3) Efetue os seguintes polinômios: 
a) (2x
3
 - 3x
2
 + 4x - 1) + (x
3
 + 2x
2
 - 5x + 3) b) (4x
2
 + 3x - 4) - (2x
3
 + x
2
 - x + 2) c) (x – 2)(x + 5) 
d) (x
2 
- 3x + 7) + (3x
2
 + 5x – 3) e) (-3x
2
 – 5) – (x
2
 + 7x + 12)
 
f) (2x + 3)(4x + 1) 
g) – (y
2
 + 2y – 3) + (5y
2
 + 3y + 4) h) (x – 3)(x
2
 + 3x – 2) 
 
 4) Determine o valor numérico do polinômio 6x
3
 – 13x
2
 + x + 3 para x = 2 
 
5) Calcule o resto da divisão : 
 a) 9x
3
 – 36x
2
 + 29x – 6 por x – 3 b) x³ + 3x² – 5x + 1 por x – 2 
 c) x
4
 + 2x
3
 - 2x
2
 - 4x – 21 por x + 3 d) x³ - x² +2x - 5 por x – 2. 
 2a Parte 
6) Determine a distância entre os pontos: 
a) A = ( 4, 3) e B = ( 5, 2 ) b) A = (1, 3) e B = (-1, 4) c) A = (8, 3) e B = (-4, 8) 
 
7) Calcule o ponto médio do segmento formado pelos pontos: 
a) A = ( 3, 1) e B = ( 4, 2 ) b) A = (1, 7) e B = (11, 3) 
 c) A = (-6, 9) e B = (-2, -5) d) A = (-3, 0) e B = (9, 0) 
 
8) Dada a equação da circunferência : (x – 2)
2
 + (y – 3)
2
 = 16, determine : 
 a) as coordenadas do centro b) o valor do raio 
 
9) Calcule o coeficiente angular das retas abaixo: 
a) A= ( 4, 3) e B = ( 4, 2 ) b) A = (-1, 5) e B = (-3, -1) c) A = (3, 1) e B = (1, 0) d) A = (2, 2) e B = (4, 3) 
 
10) Dado o plano cartesiano abaixo : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Localize no plano cartesiano os seguintes pontos: 
 a) A = (4; 2) b) B = (-1; -2) c) C = (2; 3) d) D = (2; -3) e) E = (0; 4) 
 f) F = (-4; 0) g) G = (-2; 0) h) H = (-3; -4) i) I = (-3; -2) j) J = (0;1) 
 
Dê as coordenadas dos pontos: 
 
 B _________ 
 
 D _________ 
 
 E _________