ANALISE MULTIVARIADA E MODELOS DE REGRESSAO TEMA 03 METODOS DAS DIFERENÇAS FINITAS

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Tema 03 – Método das 
diferenças finitas
Bloco 1
Professor Dr. Fábio Santiago
Análise Multivariada e 
Modelos de Regressão
W
BA0512_V1.0
Diferenças finitas
Assuntos abordados em aula:
• Balanço de energia;
• Equação da condução;
• Método de solução analítica;
• Resultados.
Balanço de energia
𝐸"# + 𝐸% − 𝐸'() = 𝐸+)
Fonte: Incropera, 2013.
Balanço de energia
𝑞- + 𝑞. + 𝑞/ +	 �̇�𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑞- +
𝜕𝑞-
𝜕𝑥 𝑑𝑥
− 𝑞. +
𝜕𝑞.
𝜕𝑦 𝑑𝑦 − 𝑞/ +
𝜕𝑞/
𝜕𝑧 𝑑𝑧	
= 𝜌𝑐9
𝜕𝑇
𝜕𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧	
Balanço de energia
Simplificando:
�̇�𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 −
𝜕𝑞-
𝜕𝑥 𝑑𝑥 −
𝜕𝑞.
𝜕𝑦 𝑑𝑦 −
𝜕𝑞/
𝜕𝑧 𝑑𝑧
= 𝜌𝑐9
𝜕𝑇
𝜕𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
Balanço de energia
Lei de Fourier para a condução de calor:
𝑞- = −𝑘-𝑑𝑦𝑑𝑧
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑞. = −𝑘	.𝑑𝑥𝑑𝑧
𝜕𝑇
𝜕𝑦
𝑞/ = −𝑘/𝑑𝑥𝑑𝑦
𝜕𝑇
𝜕𝑧
Balanço de energia
Obtendo–se:
�̇�
𝑘 +
𝜕=𝑇
𝜕𝑥= +
𝜕=𝑇
𝜕𝑦= +
𝜕=𝑇
𝜕𝑧= = 𝛼
𝜕𝑇
𝜕𝑡 	,		
𝛼 =
𝜌𝑐9
𝑘
Equação da condução
Unidimensional: 	@
AB
@-A
= 𝛼 @B
@)
CC: 	𝑇 0, 𝑡 = 𝑇 𝐿, 𝑡 = 0
CI:		𝑇 𝑥, 0 = 1F𝐶
Solução analítica
Separação de Variáveis:
𝑇 𝑥, 𝑡 = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡)
Voltando: equação de condução
𝑋KK 𝑥 𝑇 𝑡 = 𝛼𝑋 𝑥 𝑇K
Solução analítica
Com algumas manipulações algébricas: 
𝑋KK 𝑥
𝑋 𝑥 = 𝛼
𝑇K 𝑡
𝑇 𝑡 = −𝜆
=
𝑋 0 = 𝑋 𝐿 = 0
Solução analítica
Resolvendo as EDO’s:
𝑋 𝐿 = 𝐶=𝑠𝑒𝑛 𝜆𝐿 ,		
𝜆 =
𝑛𝜋
𝐿
𝑇 𝑡 = 𝛽𝑒R
SA
T )		
Solução
Considerando princípio da superposição:
𝑇 𝑥, 𝑡 = U𝐴#
W
#XY
𝑠𝑒𝑛 𝜆#𝑥 𝑒
RSZ
A
T )
Solução
Impondo a condição inicial:
𝐴# =
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝜆#𝑥 𝑑𝑥
\
F
∫ 𝑠𝑒𝑛= 𝜆#𝑥 𝑑𝑥
\
F
	=
	
2
𝜋
	 −1 #^Y + 1
𝑛
Solução analítica
𝑇 𝑥, 𝑡 = U
2
𝜋
	 −1 #^Y + 1
𝑛
W
#XY
𝑠𝑒𝑛 𝜆#𝑥 𝑒
RSZ
A
T )
Solução analítica
Fonte: O autor.
Tema 03 – Método das 
diferenças finitas
Bloco 2
Professor Dr. Fábio Santiago
Análise Multivariada e 
Modelos de Regressão
Resumo
Assuntos abordados em aula:
• Equação da condução;
• Método de solução analítica;
• Resultados.
Diferenças finitas
De modo a se obter o esquema de 
discretização do método de diferenças 
finitas, vamos considerar inicialmente a 
expansão em série de Taylor da função 𝑓(𝑥), 
em torno do ponto 𝑥". Sendo assim:
Diferenças finitas
𝑓 𝑥" − ℎ = 𝑓"RY
= 𝑓" 𝑥 − ℎ𝑓"K 𝑥 +
ℎ=
2 𝑓
K 𝑥 − 	𝒪 ℎb
𝑓 𝑥" + ℎ = 𝑓"^Y
= 𝑓" 𝑥 + ℎ𝑓"K 𝑥 +
ℎ=
2 𝑓
K 𝑥 + 	𝒪 ℎb
Diferenças finitas
Somando as equações anteriores: 
𝑓"^Y + 𝑓"RY = 2𝑓" 𝑥 + ℎ=𝑓K 𝑥 + 𝒪 ℎc
𝑓KK 𝑥 =
𝑓"^Y	 − 2𝑓" 𝑥 + 𝑓"RY
ℎ=
Diferenças finitas
Subtraindo:
𝑓"^Y − 𝑓"RY = 2ℎ𝑓"K 𝑥 + 𝒪 ℎb
𝑓"K 𝑥 =
𝑓"^Y − 𝑓"RY
2ℎ
Diferenças finitas
Reescrevendo a equação de difusão:
𝜕=𝑇
𝜕𝑥= =
𝑇"RY − 2𝑇" + 𝑇"^Y
∆𝑥=
𝑑𝑇#^
Y
=
𝑑𝑡 ≅
𝑇f	#^Y − 𝑇f#
∆𝑡
Diferenças finitas
Aplicando o método de Crank-Nicolson:
𝑇f
#^Y= =
𝑇f#^Y + 𝑇f#
2
Diferenças finitas
Reagrupando os termos:
𝑇f	#^Y − 𝑇f#
∆𝑡
=
1
2 g
𝑇f^Y#^Y − 2𝑇f#^Y + 𝑇fRY#^Y
∆𝑥=
+
𝑇f^Y# − 2𝑇f# + 𝑇fRY#
∆𝑥= h
Diferenças finitas
Com algumas manipulações algébricas:
−𝑟𝑇fRY#^Y + 2 + 2𝑟 𝑇f#^Y − 𝑟𝑇f^Y#^Y
= 	𝑟𝑇fRY# + 2 − 2𝑟 𝑇f# + 𝑟𝑇f^Y#
sendo 𝑟 = j
kA
Matriz de discretização
Matriz de discretização
Sendo: 
𝑏Y# = 𝑇 0, 𝑡
𝑏f# = 𝑟𝑇fRY# + 2 − 2𝑟 𝑇f# + 𝑟𝑇f^Y# + 𝑓"
𝑗 = 2… 	𝑁𝑁𝑥 − 1
𝑏pp-# = 𝑇(𝐿, 𝑡)
Solução numérica
Fonte: O autor.
Solução numérica
ESPAÇO ANALÍTICA NUMÉRICA ERRO RELATIVO
0 0 0 0
0,1111 0,1623 0,16237 0,0003
0,2222 0,3050 0,3049 0,0004
0,3333 0,4109 0,4107 0,0005
0,4444 0,4672 0,4670 0,0006
0,5555 0,4672 0,4670 0,0006
0,6666 0,4109 0,4107 0,0005
0,7777 0,3050 0,3049 0,0004
0,8888 0,1623 0,1623 0,0003
1 0 0 0
Comparação: analítico e numérico
Fonte: O autor.