Trabalho Pronto AV1 metodo de garlekin

Prévia do material em texto

[Digite texto] Página 1 
 
1.0 INTRODUÇÃO HISTÓRICA 
 
Galerkin (1871-1945) foi o primeiro a estudar soluções aproximada (soluções 
em espaços de dimensão finita) de problemas variacionais definidos em 
espaços de dimensão infinita. Este método é conhecido como Método de 
Galerkin. Argyris e Kelsey (1954) apresentaram o Método de Elementos Finitos 
em trabalhos relacionados a engenharia aeronáutica. Entre os anos 1960 e 
1990 foram desenvolvidos os principais Métodos de Elementos Finitos 
conhecidos hoje. Inicialmente foram desenvolvidos MEF para problemas da 
mecânica dos sólidos e engenharia civil. Posteriormente, estes MEF foram 
aplicados à mecânica dos fluidos. Junto a todo este desenvolvimento foram se 
solidificando as bases matemáticas do MEF. Atualmente, o desenvolvimento de 
MEF é feito dentro da teoria do Análise Funcional aplicada a Problemas 
Variacionais (semelhante aos trabalhos iniciais de Galerkin). 
 
2.0 MÉTODO DE GALERKIN 
2.1 Método dos Elementos Finitos 
 
O Método dos Elementos Finitos é uma técnica numérica onde o domínio do 
problema é dividido em um número discreto de elementos de dimensões finitas, 
chamados de elementos finitos, que são interligados por meio de certo número 
depontos nodais.No modelo de deslocamentos do Método dos Elementos 
Finitos, arbitra-se o campo de deslocamentos de cada elemento em função dos 
deslocamentos nodais e, então, substitui-se a interação de componentes de 
tensão entre elementos adjacentes pela interação de forças nodais entre 
elementos. O equilíbrio infinitesimal do meio contínuo é substituído pelo 
equilíbrio de cada elemento finito trocando-se as equações diferenciais de 
equilíbrio por equações algébricas de equilíbrio do elemento como um todo. A 
partir das equações algébricas de cada elemento obtém-se o sistema de 
equações de equilíbrio da malha de elementos. Com a adição das condições de 
contorno pode-se, então, chegar à solução em termos de deslocamentos 
nodais. 
2.2 Equacionamento básico 
 
[Digite texto] Página 2 
 
Deseja-se resolver numericamente a equação diferencial reescrita como Eq. 1, 
que é conhecida como a equação de equilíbrio de um elemento infinitesimal. 
Este problema pode ser resolvido usando considerações de resíduos 
ponderados. 
 1 
m 
 
O contorno do corpo pode ser dividido em duas partes As condições de 
contorno essenciais são aplicadas em e as naturais, em . Dessa forma é 
válido 
 
para : 
 
 2 
 
Para é válido: 
 
 3 
 
 
O erro gerado com a substituição da solução exata do problema por uma 
solução aproximada pode ser ponderado. Para tal pode ser usada como função 
ponderadora um deslocamento virtual . Ponderando o erro em todo o domínio 
, pode-se escrever: 
 
 
 
 
 
que pode ainda ser escrita como 
 
Integrando a primeira parte da Eq. 5 por partes e substituindo o resultado na 
Eq. 4, tem-se: 
[Digite texto] Página 3 
 
 
 
 
Escrevendo a expressão acima na forma matricial e aplicando as condições de 
contorno, é obtido: 
 
 
 
 
Para resolver a Eq. 7 usando o Método dos Elementos Finitos, o domínio do 
problema é dividido em uma série de elementos onde a equação é aplicada e a 
influência desses elementos é somada. Para cada elemento a equação pode 
ser escrita como: 
 
 
 
 
 
onde [D] é a matriz constitutiva. 
 
Os campos de deslocamentos e deformações em cada elemento podem ser 
aproximados em função dos deslocamentos nodais do elemento usando, para 
isso, funções interpoladoras. Assim, o vetor de deslocamentos {u} e o vetor de 
deformações podem ser escritos da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 Usando as expressões 9 e 10, a Equação 8 pode ser reescrita da 
seguinte forma: 
 
 
 
[Digite texto] Página 4 
 
Resolvendo-se as integrais é obtido o seguinte sistema de equações para o 
elemento: 
 
 
 
onde [Ke] é a matriz de rigidez do elemento e é expressa da seguinte forma: 
 
 
 
e {fe} é o vetor de cargas nodais do elemento, que é escrito como se segue: 
 
 
 
Escrevendo a Equação 12 para todos os elementos é formado um sistema de 
equações, representado pela expressão 15, que após a aplicação das 
condições de contorno do problema, pode ser solucionado, resultando nos 
valores de deslocamentos de todos os nós da malha de elementos. 
 
 
 
2.3 Elemento Finito de Pórtico Plano 
 
Na Figura 1 são mostrados os graus de liberdade do elemento finito onde ui1 
representa o deslocamento longitudinal e ui2 e ui3 representam o deslocamento 
lateral e a rotação do nó i, respectivamente. O mesmo vale para o nó j. 
 
[Digite texto] Página 5 
 
2.4 Matriz de Rigidez 
 
A matriz de rigidez do elemento de pórtico é montada a partir das matrizes de 
rigidez dos elementos de barra e de viga. Essas matrizes, por sua vez, são 
obtidas com a aplicação da expressão 13. Para obter a matriz [B] para o 
elemento de barra escreve-se, inicialmente, o deslocamento axial (u) de um 
ponto qualquer da barra, em função dos valores nodais de deslocamento (u1 e 
u2) e considera-se uma interpolação linear: 
 
 
 
A deformação axial é dada por: 
 
 
 
 
Onde 
 
 
 
No caso do elemento de barra a matriz constitutiva [D] é simplesmente o 
módulo de elasticidade E do material. Assim, pode-se escrever a matriz de 
rigidez: 
 
 
 
Onde A e L são, respectivamente, área da seção transversal e o comprimento 
do elemento. 
 
[Digite texto] Página 6 
 
A forma da Equação 13 para elementos de viga é a seguinte: 
 
 
onde I é o momento de inércia. 
 
Para obter a matriz [B] do elemento de viga, escreve-se o deslocamento lateral 
em termos das seguintes funções de forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ou seja, 
 
 
 
A curvatura da viga é 
 
 
 
onde 
 
 
 
[Digite texto] Página 7 
 
Substituindo a expressão 24 em 20 é obtida: 
 
 
 
Unindo as matrizes de rigidez dos elementos de viga e barra pode-se, então, 
escrever a matriz de rigidez do elemento de pórtico: 
 
 
 
A matriz de rigidez obtida está escrita nas coordenadas locais do elemento. Na 
montagem da matriz de rigidez global da estrutura, as matrizes de todos os 
elementos devem estar escritas no mesmo sistema de coordenadas que é o 
sistema global da estrutura. Para isso é usada a matriz de incidência cinemática 
 e a aplicação da seguinte expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Digite texto] Página 8 
 
2.5 Vetor de Forças Nodais 
 
O vetor de forças nodais da estrutura é formado pelas forças aplicadas 
diretamente nos nós, bem como pelas forças nodais equivalentes, oriundas dos 
carregamentos uniformemente distribuídos sobre os elementos. Para 
transformar carregamentos distribuídos em forças nodais equivalentes é usada 
a seguinte matriz de transformação. 
 
 
 
A matriz de transformação permite que o sistema de equações gerado pela 
aplicação do MEF seja acoplado ao sistema obtido pelo MEC. Essa matriz é 
necessária porque o MEF trata de forças nodais enquanto o MEC lida com 
forças de superfície, sendo necessário uma compatibilização entre as variáveis 
presentes nos dois métodos. O sistema de equações global pode apresentar 
problemas de instabilidade numérica. Este fato pode ocorrer devido aos valores 
dos elementos das matrizes de rigidez e transformação poderem apresentar 
uma grande diferença em sua magnitude. Becker (1992) trata deste tipo de 
problema, sendo que aplicado a sistemas de equações provenientes do MEC. 
Este autor sugere a aplicação de um fator de escala à matriz que apresentaos 
menores valores, que no caso de sistemas de equações produzidos pelo MEF é 
a matriz de transformação [C]. Com a aplicação do fator de escala a Eq. 15 é 
reescrita da seguinte forma: 
 
 
[Digite texto] Página 9 
 
O fator de escala (SF) é obtido por: 
 
 
onde Lmáx é a maior distância entre dois pontos quaisquer da discretização. 
 
Após a resolução do sistema o vetor {P} é multiplicado pelo fator de escala para 
que seus valores fiquem na ordem de grandeza original. 
 
3.0 ELEMENTOS TRIANGULARES 
 
Uma treliça é um sistema estrutural composto por elementos de barra 
arranjados de forma a suportarem apenas cargas axiais. A forma com que estes 
elementos são montados é tal que o resultado final envolva sempre a formação 
de triângulos básicos entre as barras e as conexões pinadas. Esta montagem 
pode ser discretizada tal que as barras formem elementos e as conexões 
representem os nós em uma formulação FEM. Como as barras suportam 
apenas carregamentos axiais, o elemento linear para o problema de 
deformação em barras axiais pode ser empregado nesta formulação. 
A questão é que estes elementos são dispostos formando estruturas no plano 
ou no espaço. Sendo assim, é necessário realizar uma transformação de 
coordenadas visando descrever todos os elementos em um mesmo sistema de 
referência, para assim ser possível realizar a montagem nas equações em um 
sistema global. Neste contexto, um elemento de treliça plana é um elemento 
com deformação axial orientado arbitrariamente em um espaço bidimensional. 
Como mostrado na fig. 1, em um sistema s ao longo do eixo da barra o 
elemento é idêntico ao problema de deformação axial em barras. Em termos do 
deslocamento assumido na coordenada s no elemento, tem-se a seguinte 
função de interpolação: 
 
[Digite texto] Página 10 
 
 
 
As equações do elemento neste sistema de coordenada local s são escritas 
como: 
 
 
 
 
 
 
 
Porém uma vez que pode existir diferentes elementos de barra em uma treliça 
com orientações diferentes se faz necessário a definição de um sistema global 
de coordenadas, como mostrado na fig.1. Neste exemplo, definese o sistema (x; 
y) e localiza-se todos os elementos em função deste. Assim, o que se faz é 
[Digite texto] Página 11 
 
decompor os deslocamentos no sistema s na direção x, que aqui é denotado 
por u, e decompor na direção y, denotado por v. Portanto, no sistema global de 
coordenadas os graus de liberdade do elemento serão quatro: 
 
 
O mesmo é feito com as forças nodais: 
A transformação de coordenadas é realizada em função do ângulo entre o 
sistema local e global. Os deslocamentos u1 e v1 são escritos como: 
 
 
 
 
[Digite texto] Página 12 
 
 
 
[Digite texto] Página 13 
 
 
 
 
 
Estas equações são usadas para analisar qualquer montagem de barras no 
plano. Depois de calculado os deslocamento nodais para elemento, a solução 
final é programada pela transformação dos deslocamentos nodais para o 
sistema de coordenadas locais conforme a eq. 14. O deslocamento axial em 
qualquer ponto do elemento é calculado pela função de interpolação da eq. 1. O 
objetivo em uma análise estrutural é determinar a distribuição de tensões na 
treliça, assim é necessário calcular a deformação axial da barra. No 
elemento de treliça plana a deformação axial é assumida constante em todo 
o elemento e calculada por: 
[Digite texto] Página 14 
 
 
 
 
4.0 MÉTODO DOS RESÍDUOS PONDERADOS 
No método dos resíduos ponderados pelo critério de Galerkin também 
conhecido como Método de Galerkin, a função tentativa Ni(x) é igualada à 
função peso wi(x), de modo que o sistema de equações lineares é determinado 
pela integral 
 
wi (x)r(x)dx = Ni (x)r(x)dx = 0 i = 1, 2, .., n 
 
Veremos no exemplo seguinte a aplicação do método de Galerkin. 
 
 Exemplo: 
Resolver o problema de valor de fronteira descrito pela equação diferencial 
ordinária: 
 
 
 
 
Sujeita às condições de contorno homogêneas: y(0) = y(1) = 0. 
 
 Solução: 
 
A presença do termo quadrático na EDO sugere que funções tentativas 
polinomiais possam ser usadas. Para as condições de contorno homogêneas 
em x = a e x = b, a seguinte função tentativa será usada: 
 
[Digite texto] Página 15 
 
N(x)= (x - a)p (x - b)q 
Na qual as constantes p e q são valores estritamente positivos e inteiros. Essa 
função tentativa satisfaz as condições de contorno e é contínua no intervalo a 
≥x≥b. 
A função tentativa mais simples que pode ser escolhida é aquela fazendo p = q 
= 1: 
N1xxx 1
Usando esta função tentativa na solução aproximada da EDO:. 
uxc1xx 1
de onde vem a primeira e a segunda derivadas: 
 
 Observamos neste ponto que a solução escolhida não corresponde à 
solução “física” do PVF, pois a derivada segunda acima é constante, 
enquanto que na EDO que descreve o problema, a derivada segunda é 
função da variável x2. Entretanto, continuaremos com o cálculo do problema 
para ilustrar o método de Galerkin. 
 
 Substituindo a derivada segunda de u(x) na equação para o cálculo do 
resíduo, resulta: 
 
r(x) = 2C1 – 10x² - 5 
 
que, claramente, é não-nulo. Substituindo na integral (24): 
 
 – (2c1 – 10x² - 5).dx = 0 
 
Integrando a equação acima, vem que c1 = 4, de modo que a solução 
aproximada resulta em: 
ux4 xx 1
Para este exemplo simples, podemos encontrar a solução analítica através da 
integração sucessiva da EDO: 
[Digite texto] Página 16 
 
 + C1 
na qual C1 é uma constante de integração. 
 
 x4 + x² + C1.X + C2 
 
Aplicando a condição de contorno y(0) = 0, obtém-se C2 = 0, ao passo que a 
condição de contorno y(1) = 0 faz com que C1 = -10/3, de maneira que a 
solução exata seja: 
 
Y = x4 + - 
 
 
O gráfico da Fig. 5 mostra as curvas da solução aproximada pelo método de 
Galerkin e da solução analítica exata. 
 
 
 
 
Figura 1 Comparação entre a solução aproximada pelo método de Galerkin e pela solução 
analítica da EDO. 
 
 Comparação entre os métodos de análise 
[Digite texto] Página 17 
 
O diagrama mostrado na Fig. 6 apresenta os principais métodos analíticos e 
numéricos para solução de PVF de equações diferenciais. Observar que 
embora o método dos elementos finitos seja uma técnica essencialmente 
numérica, pode utilizar-se de métodos analíticos na sua forma fraca. 
 
Métodos de análise (solução de equações diferenciais) 
 
Figura 2. Diagrama de métodos de análise de problemas de valor de fronteira representados por 
equações diferenciais. 
 
5.0 BIBLIOGRAFIAS CONSULTADAS: 
 
https://www.yumpu.com/pt/document/view/...do...o...elementos.../65 
http://www.professores.uff.br/gbenitez/Aula_17.pdf 
http://www.demar.eel.usp.br/metodos/mat_didatico/Metodo_dos_Elementos_Fini
tos.pdf 
 
Métodos analíticos 
 
Métodos numéricos 
Métodos exatos 
(p. ex.: separação de 
variáveis, 
transformada 
de Laplace) 
Métodos 
aproximados 
(p. ex.: métodos 
Rayleigh-Ritz, 
Galerkin) 
Elementos 
finitos 
Solução 
numérica 
Integração 
numérica 
Diferenças 
finitas 
https://www.yumpu.com/pt/document/view/...do...o...elementos.../65
http://www.professores.uff.br/gbenitez/Aula_17.pdf