Livro Digital - Método dos Elementos Finitos

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS 
Departamento de Engenharia de Estruturas 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aulas 
 
SET-0601 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 
 
 
Autor: 
Prof. João Batista de Paiva 
 
Co-Autores 
Rafael Marques Lins 
Maria do Socorro Martins Sampaio 
Camila Alexandrino Moura 
David de Paulo Pereira 
Ynaê Almeida Ferreira 
 
 
 
 
 
 São Carlos, Dezembro de 2012
2 
 
AGRADECIMENTOS 
 
 
 
 Este texto sobre o método dos elementos finitos aplicados à análise estrutural 
começou a partir de notas de aulas elaboradas para a disciplina Método dos Elementos 
Finitos ministrada na pós-graduação do Departamento de Engenharia de Estruturas da 
Escola de Engenharia de São Carlos. Este texto inicial foi então recebendo a contribuição 
de alunos da disciplina que o completaram e incluíram listagens de programas por eles 
desenvolvidos com trabalho da disciplina. As contribuições foram as seguintes: 
 
Eng. Rafael Marques Lins: 
 
Complementou o texto incluindo o algoritmo para a montagem da matriz de rigidez 
global e vetor de cargas nodais equivalentes; o algoritmo para endereçamento das 
matrizes de rigidez e vetor de cargas nodais e cálculo dos esforços internos. Os capítulos 
3 e 5 foram totalmente elaborados por ele tomando por base as notas de aula. 
 
Enga. Maria do Socorro Martins Sampaio: 
 
Fez uma revisão completa do texto e elaborou os anexos A, B e C incluindo os códigos 
computacionais com explicações linha por linha para facilitar o estudo por outros alunos. 
E também preparou os exemplos de validação dos códigos apresentados. 
 
Enga Camila Alexandrino Moura; Eng. David de Paulo Pereira e Enga. Ynaê Almeida 
Ferreira 
Este grupo ampliou o programa de pórticos planos deduzindo as matrizes de rigidez de 
barras com rótulas, apoios inclinados e também re-organizaram a entrada de dados que 
agora contempla três tipos de elementos: com rótula à esquerda; com rótula à direita e 
com rótula nos dois nós fazendo com que a matriz de rigidez do pórtico se reduza à 
matriz de rigidez de uma barra de treliça permitindo assim com uma entrada de dados 
bem simples calcular treliças e pórticos treliçados. 
 
Quero aqui expressar meu agradecimento a eles pois sem suas valiosas contribuições este 
texto ainda estria muito longe de estar disponível para os demais alunos. 
 
 
Prof. João Batista de Paiva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
SUMÁRIO 
 
1.  O MÉTODO DA ENERGIA __________________________________5 
1.1 Introdução __________________________________________________5 
1.2 Energia de Deformação _______________________________________5 
1.3  Energia de Deformação dos Vínculos Elásticos _________________7 
1.4  Energia Potencial das Cargas Externas ________________________8 
1.5  Aplicação do Método Energético à Análise de Vigas 
Elásticas _______________________________________________________11 
2.  MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (VIGAS CONTÍNUAS) ______35 
2.1   Função Aproximadora _______________________________________35 
2.2   Matriz de Rigidez e Vetor de Cargas Nodais Equivalentes ___45 
2.3 Matriz de Rigidez de um Elemento Finito Submetido à Carga 
Axial ___________________________________________________________47 
2.4       Determinação dos esforços internos nodais _________________59 
3.  MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (PÓRTICOS PLANOS) ______65 
3.1   Matriz de Rigidez de Elemento Finito para Treliça _________65 
3.2   Matriz de Rigidez de Elemento Finito para Pórtico Plano ___67 
3.3   Matriz de Rigidez e Vetor de Cargas Nodais Equivalentes 
de Pórtico Plano Rotulado _______________________________________69 
3.4   Rotação do Sistema de Coordenadas _________________________73 
3.5. Rotação do Sistema de Apoio _______________________________76 
3.6   Esquema de Endereçamento para Pórtico Plano _______________77 
4.  MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (PLACAS) _______________78 
4.1   Introdução ________________________________________________78 
4.2   Hipóteses Básicas de Placa Submetida à Flexão _____________79 
4.3   Condições de Equilíbrio de um Elemento de Placa ___________80 
4.4   Determinação das Tensões para Placas com Efeito do 
Esforço Cortante ________________________________________________82 
4.5   Determinação dos Esforços _________________________________88 
4.6   Equação Diferencial de Placa ______________________________89 
4.7   Energia de Deformação de Placas com Efeito do Esforço 
Cortante ________________________________________________________90 
4.8   Montagem da Matriz de Rigidez do Elemento DKT _____________90 
4 
 
4.9   Algoritmo para Implementação de Elemento de Placa DKT ____103 
4.10 Montagem do Vetor de Cargas Nodais Equivalentes do 
Elemento DKT ___________________________________________________107 
5.  MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (CHAPAS) ______________109 
5.1   Introdução _______________________________________________109 
5.2   Elemento Finito Triangular _______________________________110 
5.3   Elemento Finito Retangular _______________________________125 
6.  REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS _________________________133 
 
5 
 
 
1. O MÉTODO DA ENERGIA 
 
1.1 Introdução 
A energia potencial total de um sistema elástico é 
composta de duas parcelas: energia potencial dos esforços 
internos, também chamada de energia de deformação, e a energia 
potencial das cargas externas. Neste capítulo serão deduzidas 
as expressões das energias, acima mencionada, presentes nos 
problemas usuais de vigas elásticas. Além da energia de 
deformação da viga e da energia potencial das cargas externas, 
serão deduzidas as expressões da energia de vínculos elásticos 
discretos (molas) e contínuos (base elástica). Será também 
determinada a expressão de energia potencial de uma carga 
axial, durante a flexão da viga. 
 
1.2 Energia de Deformação 
A energia de deformação é a energia que um dado corpo 
absorve ao deformar-se sob ação de um carregamento nele 
atuante. Esta energia provém do trabalho realizado pelas forças 
internas do corpo sobre os respectivos deslocamentos. Esta 
energia, para uma determinada estrutura, é dada pela seguinte 
expressão: 
 
)dv+++++(
2
1
=U yzyzxzxzxyxyzzyyxxv  ... (1.1) 
 
onde a integral é realizada sobre todo o volume da estrutura em 
questão. 
Para estruturas formadas por barras, como por exemplo, 
vigas, pórticos e grelhas, a expressão 1.1, após a integração 
nas seções transversais das barras, pode ser reescrita: 
 
6 
 
)dx
ES
N+
GJ
M+
GS
cQ
+
EI
M(
2
1
=U
2
T
2
T
22
est ... (1.2) 
onde M, Q, MT e N são, respectivamente, momento fletor, força 
cortante, momento torçor e força normal, ou seja, os esforços 
solicitantes da estrutura e, também, E, I, G, S e JT são, 
respectivamente, o módulo de elasticidade longitudinal, o 
momento de inércia da secção, o módulo de elasticidade 
transversal, a área da secção transversal e momento de inércia 
à torção. Entre os dois módulos de elasticidade existe a 
seguinte relação: 
 
)+2(1
E
=G

 ... (1.3) 
 
onde ν é o coeficiente de Poisson. 
Como o presente estudo se restringirá aos problemas de 
flexão de vigas elásticas, o momento torçor é nulo, os efeitos 
das forças cortante e normal são desprezados e, assim, a 
expressão da energia de deformação (1.2) se reduz à: 
 
dx
EI
M
2
1
=U
2
 ... (1.4) 
 
O momento fletor está relacionado com a elástica da viga 
através da seguinte expressão: 
 
EIv"=M  ... (1.5) 
 
Substituindo-se M, dado por (1.5), na expressão da 
energia, dada por (1.4), obtém-se a seguinte expressão: 
 
dx
xd
vd EI
2
1
=U
2
2 2






 ... (1.6) 
 
7 
 
ou seja, conhecida a elástica de uma vigapode-se calcular, 
utilizando (1.6), a energia de deformação acumulada durante sua 
flexão. 
 
1.3 Energia de Deformação dos Vínculos Elásticos 
Considere a viga com vínculos elásticos indicada na figura 
1.1. 
 
Fig. 1.1 – Tipos de vínculos elásticos 
 
onde KD , KR são, respectivamente, as constantes de mola ao 
deslocamento e à rotação e KF é a constante de mola da fundação 
elástica, suposta bilateral, isto é, trabalhando tanto à 
tração quanto à compressão. 
A energia de deformação dos vínculos elásticos descritos é 
dada por: 
 
vK
2
1
=U 2iDiD ... (1.7) 
 
 vK
2
1
=V 2jRR j  ... (1.8) 
 
onde vi e v'j são, respectivamente, o deslocamento vertical do 
ponto i e a derivada do deslocamento do ponto j. 
A energia de deformação armazenada na fundação elástica, 
durante a flexão da viga é dada por: 
 
dxvK
2
1
=U 2FF  ... (1.9) 
8 
 
1.4 Energia Potencial das Cargas Externas 
Obtém-se o trabalho das cargas externas pelo produto entre 
a carga e deslocamento de seu ponto de aplicação. 
O deslocamento deve ser medido no sentido da carga 
aplicada. Deste modo, para uma carga concentrada (ver figura 
1.2) o trabalho é dado por: 
 
vF=T iiF ... (1.10) 
 
onde Fi é a intensidade da carga concentrada e vi é o 
deslocamento do ponto de aplicação da carga. 
Analogamente, para um momento concentrado aplicado em um 
ponto j da viga (ver figura 1.2), a expressão do trabalho 
realizado é dado por: 
 
Fig. 1.2 – Tipos de carregamentos aplicados à viga 
 
vM=T ’jjM ... (1.11) 
 
onde Mj e v'j são, respectivamente, o momento fletor aplicado 
no ponto j e a derivada do deslocamento transversal neste 
ponto. 
A expressão do trabalho realizado por um carregamento 
distribuído é dada por: 
 
9 
 
α 
dx v q=Tq  ... (1.12) 
 
Considere-se agora uma força normal de compressão, 
conforme indica a figura 1.3. O trabalho realizado pela força P 
pode ser dividido em duas parcelas. A primeira corresponde ao 
trabalho realizado pelo encurtamento da barra na ausência de 
flexão e a segunda corresponde ao trabalho realizado pelo 
encurtamento devido, unicamente, à flexão da barra. Neste 
estudo será considerada apenas a segunda parcela. 
O trabalho realizado no elemento dx é dado pelo produto da 
força P pelo encurtamento do elemento, ao longo de x, durante a 
flexão, ou seja: 
 
d P=T d p ... (1.13) 
 
 
Fig. 1.3 – Posições de uma coluna antes e depois de flambar 
 
O encurtamento dΔ é dado por (ver figura 1.3c): 
 
)(1 dx = d cos ... (1.14) 
10 
 
Esta expressão pode ser, convenientemente, transformada 
em: 
 
)dx
2
(sen2 = d 2

 ... (1.15) 
 
Como o ângulo α é suposto pequeno, a expressão 1.15 pode 
ser reescrita: 
 
dx
2
1
 = d 2 ... (1.16) 
 
Sabe-se que: 
 
 ... (1.17) 
 
e, por ser pequeno o ângulo α: 
 
 v  ... (1.18) 
 
e portanto, a expressão do encurtamento fica: 
 
dx v
2
1
 = d 2 ... (1.19) 
 
Fazendo-se a soma das contribuições de todos elementos dx 
da viga, a expressão (1.13) torna-se: 
 
dx v
2
P
=T 2P 1 ... (1.20) 
 
A energia potencial das cargas externas corresponde ao 
trabalho dessas cargas com o sinal trocado, ou seja: 
 
 ... (1.21) 
 =v’ tan
T = 
11 
 
1.5 Aplicação do Método Energético à Análise de Vigas 
Elásticas 
A energia potencial total da estrutura é dada pela soma da 
energia de deformação com a energia potencial do carregamento 
externo aplicado. 
Para uma viga submetida a carregamento axial e transversal 
e com vínculos elásticos discretos ou não, conforme indica a 
figura 1.4, a expressão da energia total é obtida a partir de 
(1.6) a (1.12) e de (1.20), e é dada por: 
 
MQ
2
jR
2
iD
22
F
2
v Mv Qvdx g vK
2
1
+
VK
2
1
+dx vP
2
1
dxvK
2
1
+dx v"EI
2
1
=
j
i




 ... (1.22) 
 
 
Fig. 1.4 – Viga submetida à carregamentos axial e transversal 
 
Na posição de equilíbrio a energia potencial total é 
estacionária, ou seja: 
 
0= d+v d= d  ... (1.23) 
 
Assim o objetivo é procurar uma função v que minimize a 
energia potencial total (1.22). Esta função é conhecida como 
solução de Euler. Para obtê-la, é necessário reescrever a 
expressão da energia potencial total, também denominada de 
funcional, como se segue: 
 
12 
 
 vK
2
1
 + vK
2
1
 + x d ) v ,v v, x, ( F= 2jR
2
iD ji  ... (1.24) 
 
A equação de Euler para este funcional é: 
 
0=)
dv"
dF
(
dx
d+)
vd
dF
(
dx
d
dv
dF
2
2

 ... (1.25) 
 
Admitindo-se que os carregamentos, transversal e axial, e 
a constante de fundação elástica são constantes, a equação de 
Euler para um trecho genérico da viga é dada por: 
 
0=g+v Kv"+ P+v EI F
IV ... (1.26) 
 
A resolução desta equação é, em geral, muito trabalhosa. 
Uma alternativa a este procedimento consiste em procurar uma 
solução aproximada para a elástica da viga. Obviamente esta 
função, deve obedecer às condições de vinculação da viga. 
 
1.5.1 Exemplo 1: Viga em balanço 
Como exemplo do procedimento para se determinar uma função 
aproximadora dos deslocamentos, considere-se a viga em balanço 
indicada na figura 1.5a. 
 
 
 (a) (b) 
Fig. 1.5 – Viga engastada 
 
Na figura 1.5b está representada a viga após a aplicação 
do carregamento. O funcional desta viga é obtido a partir de 
1.22 e é dado por: 
13 
 
 
 ... (1.27) 
 
 
Pretende-se agora obter uma solução aproximada para a 
elástica desta viga. Considere-se inicialmente a seguinte 
função: 
 
C+x B+x A=(x)v 2ap ... (1.28) 
 
As condições de vinculação 
 
 ... (1.29) 
 
implicam em B e C nulos, ficando portanto: 
 
Ax=(x)v 2ap ... (1.30) 
 
Na figura 1.6 estão indicados a solução exata e possíveis 
posições da função aproximadora (1.30). O objetivo é determinar 
o valor de A para o qual a função aproximadora está o mais 
próximo possível da solução exata. 
 
 
Fig. 1.6 – Solução exata e possíveis soluções aproximadas 
(l) v F(x)dxv" 
2
EI
=  2
1
0

0=0)=(xv e 0=0)=(xv apap 
14 
 
Para cada valor de A e, portanto, para cada função vap, 
pode-se obter a energia potencial total correspondente, a 
partir de (1.27). Como esta energia é mínima para a solução 
exata, quanto mais próximo desta estiver a solução aproximada, 
menor será a energia correspondente. Assim, o valor de A 
referente à função Vap que mais se aproxima da solução exata é 
aquele que minimiza o funcional dado por (1.27) e que também é 
um valor aproximado. 
Assim pode-se escrever: 
 
 
 ... (1.31) 
 
A partir de (1.31) e (1.30) obtêm-se: 
 
l A FdxA EI 2= 22ap 
1
0
 ... (1.32) 
 
que resulta em: 
 
l A Fl A EI 2= 22ap  ... (1.33) 
 
O funcional agora é função de uma única variável, A. No 
ponto de mínimo deve-se ter: 
 
0=
A d
 d ap
 ... (1.34) 
 
Portanto: 
 
0=l FA l 4EI 2 ... (1.35) 
 
que fornece:(l)v Fx d v" 
2
EI
= ap
2
apap 
1
0

15 
 
Fl
A=
4 EI
 ... (1.36) 
 
e portanto, a função quadrática que mais se aproxima da solução 
exata é: 
 
2
ap
Fl
= v x
4 EI
 ... (1.37) 
 
Os valores exatos e aproximados do deslocamento vertical 
do ponto B são: 
 
EI 3
l F = v
3
ex ... (1.38) 
e 
EI 4
l F=v
3
ap ... (1.39) 
 
O erro cometido no deslocamento do ponto B, com essa 
aproximação da elástica, é de 25%. Este erro pode ser reduzido 
aumentando-se o grau da função aproximadora. 
Embora esta função aproxime razoavelmente os 
deslocamentos, o mesmo não se pode dizer do momento fletor e 
força cortante, cujas funções aproximadas são obtidas a partir 
de 1.37: 
 
ap ap
F l
= EI =v"M
2 EI
 ... (1.40) 
e 
 
 ... (1.41) 
 
Deve-se observar que, embora na solução exata o momento 
varie linearmente, na solução aproximada ele é constante. Já a 
força cortante, constante e não nula na solução exata, é nula 
0=v EI=Q apap 
16 
 
na solução aproximada. Estes problemas são minorados à medida 
que se aumenta o grau da função polinomial aproximadora. 
Considere-se, por exemplo, a seguinte função aproximadora: 
 
x B+x A=(x)v 23ap ... (1.42) 
 
a qual já obedece as condições de vinculação (1.29). A partir 
de (1.42), obtêm-se: 
 
B 2+x A 6=(x)v"ap 
 ... (1.43) 
 
 
 
que substituídas na expressão do funcional resulta em: 
 
1
0 2
 2 3 2ap
EI
= ( 6Ax+ 2B dx F ( + )) Al Bl ... (1.44) 
 
obtendo-se: 
 
 3 2 3 22 2ap
EI
= ( 12 +4 l +12A B )F A F B l l l lA B
2
 ... (1.45) 
 
O funcional agora é função de duas variáveis, A e B, e na 
posição de mínimo deve-se ter: 
 
0=
A
 
 
 ... (1.46) 
0=
B
  
 
de onde se obtêm o seguinte sistema de equações algébricas: 
 
l B+l A=(l)v 23ap
17 
 
EI
l F=Bl6+Al12
3
23 
 ... (1.47) 
2
2 Fl6 +4Bl =Al
EI
 
 
cuja solução fornece: 
 
EI 6
F
=A  
 ... (1.48) 
EI 2
Fl
=B 
 
e o polinômio do terceiro grau que melhor aproxima a elástica 
da viga é: 
 
x
2EI
Fl
+x
6EI
F
=(x)v 23ap  ... (1.49) 
 
que neste caso coincide com a solução exata, o mesmo ocorrendo 
com as expressões do momento fletor e força cortante. 
 
1.5.2 Exemplo 2: Flambagem de colunas 
Considere-se a coluna, indicada na figura 1.7a, submetida 
a uma força axial constante P. Na figura 1.7b está indicada a 
posição da coluna após a perda da estabilidade. O funcional 
dessa coluna é obtido a partir de 1.22 e é dado por: 
 
dx v
2
P
dx v" EI
2
1
= 22  
1
0
1
0
 ... (1.50) 
18 
 
 
 (a) (b) 
Fig 1.7 – Posições de uma coluna antes e depois da flambagem 
 
Adota-se inicialmente um polinômio do segundo grau como 
função aproximadora da elástica da coluna. Assim: 
 
C+x B+x A=(x)v 2ap ... (1.51) 
 
Esta função deve obedecer às seguintes condições de 
vinculação: 
 
Vap(0) = 0 
 
Vap(L) = 0 
 
o que resulta em: 
 
C = 0 
 
B = -AL 
 
Assim, a função aproximadora pode ser escrita: 
 
19 
 
)LxxA(=(x)v 2ap  ... (1.52) 
 
Substituindo-se (1.52) na expressão do funcional (1.50), e 
efetuando-se as integrais indicadas obtêm-se: 
 
A
6
PL
A L 2EI= 2
3
2
ap  ... (1.53) 
 
Da condição de mínima energia potencial total pode-se 
escrever: 
 
0=)A
3
PLL (4EI=
dA
d 3ap  ... (1.54) 
 
Para que a derivada da energia potencial (1.54) seja nula 
tem-se duas possibilidades. A primeira é que o coeficiente A 
seja nulo, porém isto implicaria em que a função aproximadora, 
(1.52), também seja nula, isto é, não existiria deslocamento 
transversal e, portanto, não teria ocorrido a flambagem. A 
outra possibilidade é que a expressão entre parênteses seja 
nula, isto é: 
 
0=
3
PL4EIL
3
 ... (1.55) 
 
de onde se obtém o valor da carga crítica de flambagem: 
 
L
EI
12=p
2e ap
 ... (1.56) 
 
Este valor é 21,6% superior ao valor exato, que é dado 
por: 
 
20 
 
L
EI
=p
2
2
elx

 ... (1.57) 
 
Considere agora a seguinte função aproximadora: 
 
Lx)xC(+x)LxB(+x)LxA(=(x)v 22334ap  ... (1.58) 
 
a qual já obedece as condições de vinculação. Após sua 
substituição na expressão do funcional (1.50), e uma vez 
efetuadas as integrais indicadas, obtém-se: 
 
]L C B+L C A
5
6
+L B 2A+LC
3
1
+LB
5
4
+LA
7
9
[
2
P
 
 
]CL12B+ACL16+ABL36+LC4+LB12+LA
5
144
[
2
EI
=
456325272
23423252
ap


 ... (1.59) 
 
A posição de mínima energia potencial total é obtida 
impondo-se que as derivadas parciais de Πap em relação à A, B e 
C sejam nulas obtendo-se assim o seguinte sistema de equações: 
 
0=C )L P
5
3
L EI (8+B )L PL EI (18+A )L P
7
9
L EI
5
144
( 536475 
 
 
0=C )L
2
P
L EI (6+B )L P
5
4
L EI (12+A )L PL EI (18 425364 
 
 
0=C )L
3
P
L EI (4+ B )L
2
P
L EI (6+A )PL
5
3
L EI (8 34253  
 
Colocando este sistema de equações na forma matricial 
obtém-se: 
 
21 
 































































 
0
 
0
 
0
 = 
C
 
B
 
A
 
L
3
P
4EIL L
2
P
EIL6 PL
5
3
EIL8
L
2
P
EIL6 PL
5
4
EIL12
 PLEIL18
PL
5
3
EIL8
 PLEIL18 PL
7
9
EIL
5
144
 
34253
4253
64
53
64
75
 ... (1.60) 
 
Este sistema de equações lineares homogêneas admite sempre 
como solução os valores de A, B e C iguais a zero. Entretanto, 
esta solução implica na nulidade da equação da elástica (1.58), 
e, portanto, não fica caracterizada a flambagem. Para que isto 
ocorra deve-se ter como solução do sistema de equações (1.60) 
valores não nulos de A, B e C, ou seja, o determinante dos 
coeficientes do sistema de equações, (1.60), deve ser nulo, 
isto é: 
 
0= 
L
3
P
4EIL L
2
P
EIL6 PL
5
3
EIL8
L
2
P
EIL6 PL
5
4
EIL12
 PLEIL18
PL
5
3
EIL8
 PLEIL18 PL
7
9
EIL
5
144
34253
4253
64
53
64
75



























 ... (1.61) 
 
O valor de P para que este determinante seja nulo, isto é, 
a carga crítica de flambagem é dada por: 
 
2apc
EI
= 9,875P
L
 ... (1.63) 
 
Este resultado está apenas 0,055% acima do valor exato 
(1.57). 
 
 
22 
 
B
C
A 
EI 
16·EI
Considere-se agora a coluna de momento de inércia variável 
e submetida a carregamento axial, conforme indica a figura 
1.8a. A carga crítica desta coluna poderia ser determinada, 
utilizando-se uma única função aproximadora para os 
deslocamentos, como nos exemplos anteriores. Este procedimento, 
entretanto, tendo em vista a descontinuidade da curvatura no 
ponto B, faz com que seja necessário utilizar funções 
polinomiais de grau elevado para se obter uma boa precisão dos 
resultados. A alternativa a este procedimento consiste em se 
adotar uma função polinomial para aproximar os deslocamentos do 
trecho AB e outra para aproximar os deslocamentos do trecho BC 
(ver figura 1.8b). As funções escolhidassão: 
 
L/3x0 D+xC+xB+xA=(x)V 11
2
1
3
11ap  ... (1.63) 
 
LxL/3 D+xC+xB+xA=(x)V 22
2
2
3
22ap  ... (1.64) 
 
 (a) (b) 
Fig. 1.8 – Coluna com momento de inércia variável 
 
As funções 1.63 e 1.64 devem obedecer às condições de 
vinculação isto é: 
 
 
0=(L)v
0=(0)v
2
1
ap
ap
 ... (1.65a) 
 
e
23 
 
No ponto B deve haver continuidade das funções tanto no 
deslocamento quanto na derivada, isto é: 
)
3
L
(v=)
3
L
(V 21 apap ... (1.65b) 
)
3
L
( v = )
3
L
( v 21 apap  ... (1.65c) 
 
As condições de vinculação dadas por (1.65) já são 
suficientes para se obter a carga crítica de flambagem com boa 
precisão. Entretanto, com o objetivo de reduzir o número das 
variáveis envolvidas, pode-se utilizar condições sobre os 
esforços, também denominadas condições mecânicas. 
Como já foi visto, o momento fletor se relaciona com a 
curvatura através de (1.5): 
 
EIV"=M  
 
Como o momento fletor é nulo nos dois apoios, pode-se 
escrever: 
 
0=(0) "v1 ap ... (1.65d) 
0=(L) "v2 ap ... (1.65e) 
 
Além disso, o momento fletor no ponto B é contínuo e, 
portanto: 
 
)
3
L
("vEI=)
3
L
("vE(16I) 2 ap1 ap ... (1.65f) 
 
Em seu conjunto, as condições de vinculação e mecânicas, 
dadas por (1.65), fornecem um sistema de sete equações a oito 
incógnitas. Assim, pode-se escrever A2, B1, B2, C1, C2, D1, e D2 
em função de A1, obtendo-se para as funções aproximadoras: 
 
24 
 
x)L5x(A=(x)V 2311ap  ... (1.66) 
 
)L2+xL 18x L 24+x8(A=(x)V 322312ap  ... (1.67) 
 
A expressão da energia potencial total aproximada é dada 
por: 
 
0        ap ap ap ap
L/ 3 L L/ 3 L2 2 2 2
ap 1 2 1 20 L/ 3 L/ 3
16EI EI P P
= ( dx+ ( d x ( dx ( dx) ) ) )v v v v
2 2 2 2
 
 ... (1.68) 
 
Após a substituição de v1ap e V2ap, (1.66) e (1.67), em 
(1.68), e a efetuação das integrais indicadas, obtém-se: 
 
PLA9,348EILA117,33= 5232ap  ... (1.69) 
 
Esta energia será mínima quando: 
 
0=
dA
d
1
ap 
 
isto é: 
 
0=P)L9,348EIL2A(117,33 53  ... (1.70) 
 
de onde se obtém os valor da carga crítica: 
 
L
EI
12,55=P 2eap ... (1.71) 
 
Este valor é 13% superior ao valor exato. 
 
 
 
25 
 
Pretende-se agora determinar um valor aproximado da carga 
crítica de flambagem da coluna apoiada, lateralmente, em uma 
base elástica, conforme indica a figura 1.9. 
 
 (a) (b) (c) 
Fig. 1.9 – Coluna com vínculo elástico 
 
Adota-se, como função aproximadora dos deslocamentos de 
toda coluna (ver figura 1.9b), um polinômio do quarto grau, o 
qual já obedece às condições de vinculação: 
 
Lx)xC(+x)LxB(+x)LxA(=(x)v 22334ap  ... (1.72) 
 
A expressão do funcional para essa coluna é obtida a 
partir de (1.22) e é dada por: 
 
dx v
2
P
dxv
2
K+dx v"
2
EI
= 2
L
2
LE2
L
ap   000 ... (1.73) 
 
Substituindo (1.72) em (1.73) obtêm-se: 
 
26 
 

















 BCL+ACL
5
6
+ABL2+C
3
L+BL
5
4
+AL
7
9
 
2
P
 
 BC
10
L+ACL
42
5
+ABL
60
11
+C
30
L+BL
105
8
+A
9
L 
2
K+ 
 
 BCL12+ACL16+ABL36+LC4+BL12+AL
5
144
 
2
EI
=
4562
3
2527
6
782
5
272
9
E
23422325
ap
 ... (1.74) 
 
Da condição de mínima energia potencial total obtêm-se o 
seguinte sistema de equações: 
 
0= 
LKL
3
P
4EIL LKL
2
P
EIL6 LKPL
5
3
EIL8
LKL
2
P
EIL6 LKPL
5
4
EIL12 LKPLEIL18
LKPL
5
3
EIL8LK PLEIL18
L
KPL
7
9
EIL
5
144
F
3
F
42
F
53
F
42
F
53
F
64
F
53
F
64
F
75

























567
678
78
9
30
1
20
1
84
5
20
1
105
8
120
11
84
5
120
11
9
 
 ... (1.75) 
 
A carga crítica é aquela que anula o determinante dos 
coeficientes do sistema, e é dada por: 
 
Pap = 8,89 kN 
 
A diferença percentual entre este resultado é o valor 
exato é da ordem de 0,01%. 
Outra alternativa para se determinar um valor aproximado 
dessa carga crítica consiste em se adotar duas funções 
aproximadoras para a elástica da viga como, por exemplo (ver 
figura 1.9c): 
 
2
L
x0 D+xC+XB+XA=(x)V 11
2
1
3
11ap  ... (1.76) 
 
27 
 
Lx
2
L
 D+xC+XB+XA=(x)V 22
2
2
3
22ap  ... (1.77) 
 
Utilizando-se as seguintes condições de vinculação: 
 
0=(0)V 1ap 
 ... (1.78a) 
0=(L)V 2 ap 
 
e as condições que garantem a continuidade da elástica em 
L/2 até a primeira derivada: 
 
)
2
L
(v=)
2
L
(v 21 apap ... (1.78b) 
 
)
2
L
(v=)
2
L
(v 2 ap1 ap  ... (1.78c) 
 
Obtém-se um sistema de quatro equações a oito incógnitas, 
o que permite que se escrevam v1ap, v2ap em função de apenas 
quatro variáveis: 
 
 
XC+XB+XA=(x)V 1
2
1
3
11ap ... (1.79) 
 
5xL)+x
L
4
(C+)L4Lx+x3(B+
 +)L
4
3
xL
4
11
+x2L(A+)L
4
1
xL
4
5
+Lx2x(A=(x)V
2
1
22
1
322
1
3223
22ap


 ... (1.80) 
 
Para essa escolha de funções aproximadoras, a energia 
potencial total é dada por: 
 
 
28 
 
dx)v(
2
P
dx)v(
2
P
 dx v
2
K+dx v
2
K+dx "v
2
EI
+dx "v
2
EI
=
2
2 ap
L
L
2
1 ap
L
2
2ap
LF2
1ap
LF
2
2
ap
L
L1
2
ap
L
''
2/2/
0
2/
0
2/
02/
2/
0




 
 ... (1.81) 
 
Após a substituição de v1ap e v2ap, (1.79) e (1.80), em 
(1.81), e a efetuação das integrais indicadas, obtém-se uma 
função nas variáveis A1, A2, B1 e C1. Da condição de mínima 
energia potencial total obtém-se um sistema de equações 
lineares homogêneo de ordem quatro. O valor de P que anula o 
determinante dos coeficientes deste sistema é a carga crítica 
procurada, isto é: 
 
9,77kN=Pr ap 
 
Pode-se concluir que a função do quarto grau aproxima a 
elástica da viga melhor do que duas funções do terceiro grau. 
Entretanto, a adoção de uma função aproximadora do terceiro 
grau para vários trechos da mesma viga é muito útil, 
principalmente pela facilidade de automatização do cálculo, o 
que será visto no próximo capítulo. 
 
1.5.3 Exemplo 3: Viga apoiada em uma base elástica e com 
carregamento transversal 
Considere-se uma viga, apoiada em uma base elástica e 
submetida a um carregamento transversal uniformemente 
distribuído, conforme indica a figura 1.10. Adota-se, 
inicialmente, a seguinte aproximação para o deslocamento 
transversal, a qual já obedece às condições de contorno em x = 
0 e x = L. 
 
Lx)xA(=(x)V 2ap  ... (1.82) 
 
29 
 
A expressão da energia potencial total para esta viga é: 
 
dx v qdxv
2
K+dx v"
2
EI
=
L
2
LF2
L
  000 ... (1.83) 
 
 
Fig. 1.10 – Viga com carregamento transversal e apoiada em base 
elástica 
 
Substituindo em (1.83) a expressão de v, dada por (1.82) e 
efetuando os cálculos indicados, obtém-se: 
 
A
6
qL
+A)
30
L K+(2LEI=
3
2
5
F
ap ... (1.84) 
 
Como na posição de equilíbrio a energia é mínima, temos: 
 
0=
6
L q+)A
30
LK+EI L 2 ( 2 = 
dA
d 35Fap ... (1.85) 
 
De onde se obtém: 
 
)
30
LK+EI L 12(2
Lq = A
5
F
3
 ... (1.86) 
 
eportanto, a expressão da elástica aproximada fica dada por: 
 
) x Lx (
)
30
LK+EI L 12(2
Lq = (x)v 25
F
3
ap  ... (1.87) 
30 
 
Para os dados indicados na figura 1.10 obtêm-se o seguinte 
resultado, o qual é 22% inferior ao valor exato: 
 
0,002325m=)
2
l
(vap 
 
Considere-se agora a função aproximadora do quarto grau 
(1.72), a qual também já obedece às condições de vinculação: 
 
Lx)xC(+x)LxB(+x)LxA(=(x)v 22334ap  ... (1.72) 
 
Substituindo-se (1.72) em (1.83) obtêm-se: 
 
C
6
qL
B
4
qL
ALq
10
3
BC]
10
L+ACL
42
5
+
 ABL
60
11
+ +C
30
L+BL
105
8
+A
9
L[
2
K+BC]L12+ 
 +ACL16+ABL36+LC4+BL12+AL
5
144
[
2
EI
=
34
5
6
7
82
5
272
9
F2
3422325
ap



 ... (1.88) 
 
Derivando-se (1.88) em relação a A, B e C, obtém-se o 
seguinte sistema de equações: 
 


























































 
qL
4
qL
Lq
10
3
 = 
C
 
B
 
A
 
K
30
L+L 4EI K
20
L+L 6EI KL
84
5
+L 8EI
K
20
L+L 6EI KL
105
8
+EIL12 KL
120
11
+L 18EI
KL
84
5
+L 8EI KL
120
11
+L 18EI K
9
L+L EI
5
144
 
4
5
F
5
F
6
2
F
73
F
6
2
F
73
F
84
F
73
F
84
F
9
5
6
3
 
 ... (1.89) 
 
Para os dados indicados na figura 1.10, o sistema de 
equações (1.89) resulta: 
 
31 
 






























 
 = 
 C
B
A 
 
 
 
 
 
45
5.202
729
419401887307.751795
1887307.11219655019165
7.751795501916523952024
 ... (1.90) 
 
Cuja solução fornece: 
 




























104.0669
107.0675
101.1779 
 = 
C
B
A
 
6
4
4
 ... (1.91) 
 
Substituindo-se estes valores em (1.72) obtém-se, para o 
deslocamento do ponto médio da viga: 
 
0,002990m=(L/2)V ap 
 
Este valor é igual ao fornecido pela solução exata da 
equação diferencial desta viga. 
Como já foi visto, uma das alternativas para se analisar 
esse problema, consiste em se adotar funções aproximadoras para 
vários trechos da viga e impondo-se a continuidade do 
deslocamento transversal e sua derivada nas funções destes 
trechos. Considere-se, por exemplo, a divisão da viga da figura 
1.10 em 6 trechos, conforme indica a figura 1.11. Adota-se para 
cada elemento uma função aproximadora do tipo: 
 
) 6 1,=i ( D+xC+xB+xA=(x)v ii
2
i
3
ii ..., ... (1.92) 
 
Para garantir-se a continuidade do deslocamento 
transversal e sua derivada nas junções dos trechos, as 
seguintes condições de contorno devem ser obedecidas: 
 
)J(v=)J(v e )J(v=)J(v i1+iiii1+iii  ... (1.93a) 
 
32 
 
 
Fig. 1.11 – Viga dividida em 6 trechos 
 
Devem ser obedecidas também às condições de vinculação, 
isto é: 
 
0=(L)V e 0=(0)V 61 ... (1.93b) 
 
A expressão da mínima energia potencial total dessa viga é 
dada por: 
 






  x d v qx d v2
K
+x d "v
2
EI
 = ap
Li
ap
2
Li
f
ap
2
Li
6
1i=
ap iii ... (1.94) 
 
A condição de mínima energia potencial total resulta em um 
sistema de 12 equações a 12 incógnitas, cuja solução fornece os 
valores dos parâmetros em função dos quais estão escritas as 
aproximações dos deslocamentos de cada trecho da viga. A partir 
deles pode-se obter o deslocamento de qualquer ponto da viga. 
Para o ponto central da viga, obtém-se: 
 
33 
 
0,002990m=)
2
L
(V 3 
 
que coincide com o valor exato e com o obtido com a função 
aproximadora do quarto grau (1.72). 
 
 
Fig. 1.12 – Viga com vinculações e carregamentos genéricos 
 
Como pode ser facilmente avaliado, a divisão da viga em 
vários trechos torna a análise do problema praticamente 
inviável, devido à ordem do sistema de equações envolvido. 
Entretanto este procedimento é facilmente programável e 
constitui o fundamento do método dos elementos finitos. Deve-se 
ressaltar também que nem sempre se conseguem bons resultados 
adotando-se uma única função polinomial, de grau baixo, para 
aproximar os deslocamentos de toda a viga. Considere-se, por 
exemplo, a viga indicada na figura 1.12. Na solução exata, a 
elástica da viga nos trechos correspondentes a L1, L3 e L4 é 
dada por funções seno e cosseno hiperbólicos; no trecho 
correspondente a L2, a solução exata é um polinômio do quinto 
grau e no trecho correspondente a L5, um polinômio do terceiro 
grau. Para se aproximar a elástica desta viga por uma única 
função polinomial, obviamente o grau deste polinômio deverá ser 
elevado, o que torna a análise muito difícil. A adoção de 
funções aproximadoras para vários trechos da viga, embora esta 
solução seja bem trabalhosa, tem a vantagem de ser facilmente 
programável, o que permite que se façam análises bem mais 
34 
 
complexas. Por exemplo, a partir de um programa previamente 
desenvolvido, o estudo poderia começar dividindo-se a viga em 5 
trechos correspondentes a L1, L2,...(ver figura 1.12). Em 
seguida pode-se utilizar uma divisão mais refinada da viga e 
assim por diante até que os resultados de duas análises 
consecutivas sejam praticamente coincidentes. É exatamente 
nisto que consiste o método dos elementos finitos e cada trecho 
da viga recebe o nome de elemento finito. 
35 
 
 
2. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (VIGAS CONTÍNUAS) 
 
2.1 Função Aproximadora 
Seja a viga da figura, com condições de vinculação 
qualquer, dividida em vários segmentos. Cada um destes 
segmentos é chamado de Elemento Finito. As extremidades de cada 
elemento finito são ditas nós do elemento finito. A cada nó 
associam-se dois deslocamentos: o deslocamento vertical v e a 
rotação v'. 
 
 
Fig. 2.1 - Viga dividida em elementos finitos 
 
Considere agora um elemento finito genérico da viga: 
 
 
Fig. 2.2 - Elemento da viga 
 
Para este elemento, adota-se como função aproximadora dos 
deslocamentos, um polinômio do terceiro grau: 
 
 
A derivada de primeira ordem é dada por: 
 
d + cx + bx + ax = V 23 ... (2.1) 
hi
36 
 
 
Condições de contorno: 
 
a) x = 0 v = vi d = vi 
b) x = 0 v' = v'i c = v'i 
c) x = hi v = vj ahi
3 + bhi
2 + chi + d = vj 
d) x = hi v' = v'j 3ahi
2 + 2bhi + c = v'j 
 
Resolvendo este sistema de equações, obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo a, b, c e d na expressão da elástica (2.1) 
aproximada, obtém-se: 
 
 +])
h
x
3(+)
h
x
[-2(v +1]+)
h
x
3(-)
h
x
[2(v = v 
2
i
3
i
j
2
i
3
i
i 
 
 ]
h
x-
h
x[v+x]+
h
x2-
h
x[v + 
i
2
2
i
3
j
i
2
2
i
3
i  ... (2.3) 
 
A derivada de primeira ordem é dada por: 
 
 + +
h
x
h
x
v 
h
x
h
xv+
h
x
-
h
xvv 
ii
i2
i
3
i
j
ii
i 

















 1
43
'
6666'
2
22
23
2
 
 
 
h
x
h
x
v 
ii
j 






23
' 2
2
 ... (2.4) 
 
A derivada de segunda ordem é dada por: 
c + 2bx + ax3 = V 2 ... (2.2) 
)''(
1
)(
2
23 ij
i
ij
i
vv
h
vv
h
=a 
)'2'(
1
)(
3
2 ij
i
ij
i
vv
h
vv
h
=b 
iv=c ' iv=d
37 
 
 + 
hh
x
v 
hh
x
v+
h
-
h
x
vv 
ii
i2
i
3
i
j
ii
i 


















46
'
612612
"
223
 
 
 
hh
x
v 
ii
j 






26
' 2 ... (2.5) 
 
O quadrado de v' é dado por: 
 
 + 
h
x+
h
x
h
xv +
h
x
+
h
x
h
x36vv 
3
i
2
i
3
i
4
j
ii
3
i
4
i 











 367236
3672
'
56
2
4
2
56
22 
 
 + 
h
x
)
h
x
24(1+)
h
x
22(+)
h
x
9(v + 
i
3
i
2
i
4
i
2 
i 





8
 
 
 + 
h
x72+
h
x144
h
x72
vv )
h
x
4(+)
h
x
12()
h
x
9(v + 4
i
2
5
i
3
6
i
4
ji
2
i
3
i
4
i
2 
j 











 
 
 + 
h
x+
h
x
h
xvv
h
x
h
x+
h
x
h
xvv 
3
i
2
4
i
3
5
i
4
ji2
i
3
i
3
4
i
3
5
i
4
ii 











 246036
12608436 ''
 
 
 + 
h
x+
h
x
h
xvv
h
x
h
x+
h
x
h
xvv 
3
i
2
4
i
3
5
i
4
jj2
i
3
i
3
4
i
3
5
i
4
ij 











 246036
12608436 ''
 
 
 






h
x
)
h
x
22(+)
h
x
36()
h
x
18(vv + 
i
2
i
3
i
4
i
ji
4''
 ... (2.6) 
 
O quadrado de v" é dado por: 
 
 + +)
h
x
()
h
x
(
h
1
v+6)
h
x
()
h
x
(
h
1
vv 2
ii
j
i
2
ii
i 











 361441443144144"
4
2
4
22
 
 
 + 4+)
h
x
24()
h
x
36(
h
1
v+16+)
h
x
48()
h
x
36(
h
1
v + 
2
i
2
i
2
j
i
2
i
2
i
2
i 











 
 
 + 48
h
x
168)
h
x
144(
h
1
vv72
h
x
288)
h
x
288(
h
1
vv 
i
2
i
3
i
ii
i
2
i
4
i
ji 











 
 
 
 
 
38 
 
 
 + 48
h
x
168)
h
x
144(
h
1
vv24+
h
x
120)
h
x
144(
h
1
vv + 
i
2
i
3
i
jj
i
2
i
3
i
ji 











 
 












 16+
h
x
72)
h
x
72(
h
1
vv+24+
h
x
120)
h
x
144(
h
1
vv 
i
2
i
2
i
ji
i
2
i
3
i
ij ... (2.7) 
 
Efetuando-se as integrais das expressões de v'2 e v"2 no 
elemento, obtém-se: 
 
 + vv
h
v
h+v
h+v
h
+v
h
=dxv ji
i
2
j
i2
i
i2
j
i
i
i
2 
h
0
 
i
5
12
15
2
15
2
5
6
5
6 2  
 
 vv
h
vvvvvv+vv + jijjijjiii 
155
1
5
1
5
1
5
1
 ... (2.8) 
 
 
 + vv
h
v
h
+v
h
+v
h
+v
h
 =dxv ji3
i
2
j
i
2
i
i
2
j3
i
2
i
i
2 
h
0
 
i 24441212
3
 
 
 vv
h
+vv
h
vv
h
vv
h
+vv
h
 + ji
i
jj2
i
ij2
i
ji2
i
ii2
i

412121212
 ... (2.9) 
 
Utilizando-se as expressões (2.7) e (2.8) para um elemento 
finito genérico i, encontra-se a energia total no elemento i. A 
energia total de toda a viga é dada pela somatória das energias 
de cada elemento em que a mesma foi dividida. 
 
 
2.1.1 Exemplo 1: 
Calcular o deslocamento do ponto de aplicação da carga da 
viga da figura considerando toda a viga como um elemento 
finito. 
 
 
39 
 
 
 
Fig. 2.3 - Viga submetida a carregamento pontual 
 
2
2 
ih
0
E I
 = d x - P vv
2
 ... (2.10) 
 
E, como EI = constante: 
 
2 
ih
 2
0
E I
 = d x P vv
2
 - ... (2.11) 
 

  +vv
L
24
v
L
4
+v
L
4
+v
L
12
+v
L
12
2
EI
 = 213
2
2
2
1
2
23
2
13
 
 Pvvv
L
4
+vv
L
12
vv
L
12
vv
L
12
+vv
L
12
 + 221222122212112 

 ... (2.12) 
 
que é uma função nas variáveis v1 , v'1, v2 e v'2. 
 
Da condição de mínima energia potencial total, pode-se 
escrever: 
 
 0 = 
v
 
1

 
 
0 = v
L
12
+v
L
12
+v
L
24
L
v24
2
EI
 2212233
1




 ... (2.13) 
40 
 
 0 = 
v
 
1

 
 
0 = v
L
4
+v
L
12
v
L
12
+v
L
8
2
EI
 222121 



 ... (2.14) 
 
 0 = 
v
 
2

 
 
0 = Pv
L
12
v
L
12
v
L
24
v
L
24
2
EI
 22121323 



 ... (2.15) 
 
 0 = 
v
 
2

 
 
0 = v
L
4
v
L
12
v
L
12
v
L
8
2
EI
 122122 



 ... (2.16) 
 
Rearranjando o sistema de equações, obtém-se: 
 
0 = v
L
6EI
+v
L
12EI
v
L
6EI
+v
L
12EI
 22231213  ... (2.17) 
 
0 = v
L
2EI
+v
L
6EI
v
L
4EI
+v
L
6EI
 222112  ... (2.18) 
 
P = v
L
6EI
v
L
12EI
+v
L
6EI
v
L
12EI
22221213
 ... (2.19) 
 
0 = v
L
4EI
+v
L
6EI
v
L
2EI
+v
L
6EI
 222112  ... (2.20) 
 
Colocando este sistema de equações na forma matricial, 
obtém-se: 
41 
 





















































0
0
0
4626
612612
2646
612612
'
2
2
'
1
1
22
2323
22
2323
P
V
V
V
V
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
 ... (2.21) 
 
Condições de contorno: v1 = 0 e v'1 = 0 
Impondo-se as condições de contorno (retira-se a linha e a 
coluna referentes ao deslocamento v1 e v'1), obtém-se: 
 











































0'
2
2
4
2
6
2
6
3
12
P
V
V
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
 ... (2.22) 
 
3EI
PL = v 
3
2 ... (2.23) 
 
2EI
PL = v 
2
2 ... (2.24) 
 
Cálculo do momento fletor no ponto [1]: 
 
 (0)v" = v" 1 
 
  1 1 2 1 22 2
6 6 4 2
 = + - - v v v v v
L LL L
 
 
 
2EI
PL.
L
2
3EI
PL.
L
6
 = v 
23
21
 
 
EI
PL
 = v 1 
42 
 
M1= -EIv"1  M1=-PL , que é o valor exato. 
 
2.1.2 Exemplo 2: 
Calcular os deslocamentos e esforços da viga considerando 
toda viga como um elemento finito. 
 
 
Fig. 2.4 - Viga submetida a carregamento distribuído 
 
qvdx dxv"
2
EI
 = 
L
0
2 
L
0
  ... (2.25) 
 
Cálculo da parcela referente ao trabalho das cargas 
externas: 
 
 qvdx = 
L
0
 ... (2.26) 
 
 
L
3 2 3 2
1 2
0
x x x x
 = - q { [2( - 3( +1] + [-2( 3( ] ) ) ) )v v
L L L L
 
  
3 2 3 2
1 22 2
2x x x x + [ - + x] + [ - ]}dxv v
L LL L
 ... (2.27) 
 
 
 
43 
 
 ]
L
x+
L
x
4
2
[v+x]+
L
x
L
x
4
2
[vq{ = 2
3
3
4
22
3
3
4
1  
|
L 
0 
3
2
4
2
23
2
4
1 ]}
3L
x
L4
x[v+]
2
x+
L
x
3
2
L4
x[v +  ... (2.28) 
 
)
12
L
v 
12
L
v + 
2
L
v + 
2
L
vq( = 
2
2
2
121  ... (2.29) 
 
A expressão da energia potencial total pode ser escrita da 
seguinte forma: 
 
+vv
L
24
v
L
4
+v
L
4
+v
L
12
+
L
v12{
2
EI
 = 213
2
2
2
233
2
1 21' 
 +}vv
L
4
+vv
L
12
vv
L
12
vv
L
12
+vv
L
12
 + 21222122212112  
 }v
12
L
v
12
L+v
2
L
+v
2
L
q[ 2
2
1
2
21  ... (2.30) 
 
 0 = 
v
 
1

 
 
0 = 
2
L
qv
L
12
+v
L
12
+v
L
24
V
L
24
2
EI
 22122313 



 ... (2.31) 
 
 0 = 
v
 
1

 
 
0 = 
12
Lqv
L
4
+v
L
12
v
L
12
+v
L
8
2
EI
 
2
222121




 ... (2.32) 
 
 0 = 
v
 
2

 
 
0 = 
2
qL
v
L
12
v
L
12
v
L
24
v
L
24
2
EI
 22121323 



 ... (2.33) 
 
44 
 
 0 = 
v
 
2

 
 
0 = 
12
Lq+v
L
4
+v
L
12
v
L
12
+v
L
8
2
EI
 
2
122122 



 ... (2.34) 
 
Rearranjando o sistema de equações e colocando-o na forma 
matricial, obtém-se: 
 








































12
2
12
2
4626
612612
2646
612612
2
2
'
2
2
'
1
1
22
2323
22
2323
ql
ql
ql
ql
v
v
v
v
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
 ... (2.35) 
 
Condições de contorno: 
 
 v1 = 0 , v'1 = 0 
 
















































12
2
4
2
6
2
6
3
12
2'
2
2
qL
qL
V
V
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
 ... (2.36) 
 
 
8EI
qL
 = v 
4
2... (2.37) 
 
6EI
qL
 = v 
3
2 ... (2.38) 
 
que é a solução exata. 
 
 
45 
 
Cálculo do momento no ponto [1]: 
 
 v
L
2
v
L
4
v
L
6
+v
L
6
 = v 2122121  
 
 
6EI
qL
.
L
2
8EI
qL
.
L
6
 = v 
34
21
 
 
EI
qL
12
5
 = v 
2
1 
 
qL
12
5
 = vEI = M 
2
11  
 
Valor exato M1 = - qL2/2 
Erro: 16,6% 
 
2.2 Matriz de Rigidez e Vetor de Cargas Nodais Equivalentes 
Considere o caso geral de um elemento finito submetido a 
um carregamento distribuído ao longo de seu comprimento 
conforme indicado na figura 2.5. 
 
 
Fig. 2.5 - Elemento submetido a carregamento distribuído 
 
Neste caso a energia potencial total pode ser escrita da 
seguinte forma: 
 
qvdx dxv"
2
EI
 = 
ii h
0
2 
h
0
  ... (2.39) 
 
q
46 
 
Separando na equação anterior a parcela referente à 
energia de deformação da parcela referente à energia potencial 
das cargas externas pode-se escrever que: 
 
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
6 612 12
6 64 2' '
''
6 612 12
0
' '6 62 4
2
i i i i
i ii i
i i i i
i ii i
EI EIEI EIT
h h h hi i
EI EIEI EIh
h hh hi i
j jEI EIEI EI
h h h h
EI EIEI EI
j jh hh h
v v
v vEI
U v dx
v v
v v


 

                  
    
    
     

 
    Te e eK  ... (2.40) 
 
   eTe
i
i
i
i
T
j
j
i
i
h
0
P
qh
qh
qh
qh
v
v
v
v
qvdx = 
i






































 
12
2
12
2
2
2
'
'
 
... (2.41) 
 
A matriz Ke é a chamada matriz de rigidez do elemento, o 
vetor e é chamado de vetor de parâmetros nodais do elemento e o 
vetor Pe é denominado de vetor de cargas nodais equivalentes do 
elemento. 
Para determinação do vetor de parâmetros nodais basta 
utilizar a condição de estacionariedade da energia potencial 
total. A partir daí basta resolver o sistema linear resultante 
(equação 2.42) mediante a aplicação das condições de contorno. 
São exemplos deste sistema as equações 2.21 e 2.35 obtidas nos 
exemplos 1 e 2, respectivamente. 
 
    eee PK  ... (2.42) 
47 
 
2.3 Matriz de Rigidez de um Elemento Finito Submetido à Carga 
Axial 
 
 
Fig. 2.6 - Elemento submetido à carga axial 
 
dxv
2
P
dxv
2
IE = 2 
h
0
2 ii
h
0
i
ii
  ... (2.43) 
 
ou seja: 
 
 + vv
h
12
+vv
h
24
v
h
4
+v
h
4
+v
h
12
+v
h
12
[
2
IE = ii2
i
ji3
i
2 
j
i
2 
i
i
2
j3
i
2
i3
i
ii
i  
 +]vv
h
4
+vv
h
12
vv
h
12
vv
h
12
 + ji
i
jj2
i
ij2
i
ji2
i
 
 + vv
h5
12
vh
15
2
+vh
15
2
+v
h5
6
+v
h5
6
[
2
P
 ji
i
2
ji
2
ii
2
j
i
2
i
i
 
 ]vv
15
h
vv
5
1
vv
5
1
vv
5
1
+vv
5
1
 + jijjijjiii  ... (2.44) 
 
Calculando as derivadas em relação a Vi, V'i, Vj, V'j para 
o elemento i, obtém-se: 
 
 + v]
10
P
h
IE6[+v]
h5
P6
h
IE12[ = 
v
 i
i
2
i
ii
i
i
i
3
i
ii
i
i 


 
 v]
10
P
h
IE6[+v]
h5
P6+
h
IE12[ + j
i
2
i
ii
j
i
i
3
i
ii  ... (2.45) 
 
 + v]
15
hP2
h
IE4[+v]
10
P
h
IE6[ = 
v
 i
ii
i
ii
i
i
2
i
ii
i
i 


 
 v]
30
hP+
h
IE2[+v]
10
P+
h
IE6[ + j
ii
i
ii
j
i
2
i
ii  ... (2.46) 
 + v]
10
P+
h
IE6 [+v]
h5
P6+
h
IE12[ = 
v
 i
i
2
i
ii
i
i
i
3
i
ii
j
i 


 
hi
48 
 
 v]
10
P+
h
IE6 [+v]
h5
P6
h
IE12[ + j
i
2
i
ii
j
i
i
3
i
ii  ... (2.47) 
 
 + v]
30
hP+
h
IE2[+v]
10
P
h
IE6[ = 
v
 i
ii
i
ii
i
i
2
i
ii
j
i 


 
 v]
15
hP2
h
IE4[+v]
10
P+
h
IE6[ + j
ii
i
ii
j
i
2
i
ii  ... (2.48) 
 
A matriz de rigidez deste elemento finito é: 
 
















15
24
102
6
30
2
102
6
102
6
5
6
3
12
102
6
5
6
3
12
30
2
102
6
15
24
102
6
102
6
5
6
3
12
102
6
5
6
3
12
ihiP
ih
iIiEiP
ih
iIiEihiP
ih
iIiEiP
ih
iIiE
iP
ih
iIiE
ih
iP
ih
iIiEiP
ih
iIiE
ih
iP
ih
iIiE
ihiP
ih
iIiEiP
ih
iIiEihiP
ih
iIiEiP
ih
iIiE
iP
ih
iIiE
ih
iP
ih
iIiEiP
ih
iIiE
ih
iP
ih
iIiE
 
 
 ... (2.49) 
 
Esta matriz pode ser escrita de uma forma mais compacta, 
como se segue: 
 
















iKiKiKiK
iKiKiKiK
iKiKiKiK
iKiKiKiK
 
44434241
34333231
24232221
14131211
 ... (2.50) 
 
que pode ser dividida em 4 sub-matrizes: 
 
49 
 






jjji
ijii
KK
KK
 
 ... (2.51) 
 
onde: 
 
Kii = é a influência do nó i sobre os deslocamentos do nó i 
(influência do nó i sobre ele mesmo); 
 
 Kij = é a influência do nó i sobre os deslocamentos do nó j; 
 
 Kji = é a influência do nó j sobre os deslocamentos do nó i; 
 
 Kjj = é a influência do nó j sobre ele mesmo. 
 
As derivadas da energia potencial total do elemento finito 
i em relação a vi, v'i, vj e v'j podem ser escritas em função de 
todos os deslocamentos da viga, como se segue (coloca-se na 
linha 2i-1 a derivada em relação a vi...):?????? 
 










































































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


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



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

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



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

















 1
...
'
'
...
1
0...0000...0
............
0...
44434241
...0
0...
34333231
...0
0...
24232221
...0
0...
14131211
...0
............
0...0000...0
1
...
'
'
...
1
2
1
n
v
j
v
j
v
i
v
i
v
v
iKiKiKiK
iKiKiKiK
iKiKiKiK
iKiKiKiK
T
n
v
j
v
j
v
i
v
i
v
v
 ... (2.52) 
 
 
50 
 
Considere agora dois elementos finitos i e j: 
 
 
Fig. 2.7 - Elementos finitos (i) e (j) 
 
A energia potencial total dos dois elementos é dada por: 
 
  jiij + = ... (2.53) 
 
As derivadas em relação aos deslocamentos de i, j e k 
podem ser escritas em duas parcelas: as derivadas em relação 
aos deslocamentos do elemento i e as derivadas em relação aos 
deslocamentos do elemento j. 
 
v
 + 
v
 = 
v
 
e
j
e
i
e
ij





 
 ... (2.54) 
 
v
 + 
v
 = 
v
 
e
j
e
i
e
ij





 
 ... (2.55) 
 
kj,i,=e 
 
A soma das duas parcelas das derivadas da energia 
potencial total dos elementos i e j é dada por: 
 
 
 
51 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
... (2.56) 
 
Parcela relacionada ao elemento i. 
 
 
 
 
+ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 














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




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











































































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
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
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


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




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










'
1
'
'
'
1
44434241
34333231
24232221
14131211
'
1
'
'
'
1
...
...
0...000000...0
..............
0...000000...0
0...000000...0
0...00...0
0...00...0
0...00...0
0...00...0
.............
0...000000...0
...
...
2
1
n
k
k
j
j
i
i
iiii
iiii
iiii
iiii
T
n
k
k
j
j
i
i
v
v
v
v
v
v
v
v
KKKK
KKKK
KKKK
KKKK
 
v
v
v
v
v
v
v
v
52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ... (2.57) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parcela relacionada ao elemento j. 
 
 
 
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 












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
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

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
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












































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'
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1
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34333231
24232221
14131211
'
1
'
'
'
1
...
...
0...000000...0
..............
0...00...0
0...00...0
0...00...0
0...00...0
0...000000...0
0...000000...0
.............
0...000000...0
...
...
2
1
n
k
k
j
j
i
i
jjjj
jjjj
jjjj
jjjj
T
n
k
k
j
j
i
i
v
v
v
v
v
v
v
v
KKKK
KKKK
KKKK
KKKK
 
v
v
v
v
v
v
v
v
53 
 
 
 
 ... (2.58) 
 
 
Observar a superposição de elementos nas linhas dos 
deslocamentos do nó j. 
Isso ocorre porque eles recebem duas contribuições: a do 
elemento i e a do elemento j. 
Esta mesma superposição é verificada no vetor dos termos 
independentes do sistema de equações para as contribuições do 
carregamento distribuído, quando houver aplicação deste à 
estrutura. 
De um modo geral, o sistema de equações de uma viga 
dividida em n elementos finitos será: 
 
 



















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

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
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


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


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
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
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





































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
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

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
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
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
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










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'
1
'
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'
1
44434241
34333231
2423224421434241
1413122411333231
24232221
14131211
'
1
'
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1
...
...
0...000000...0
..............
0...00...0
0...00...0
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0...00...0
0...00...0
.............
0...000000...0
...
...
2
1
n
k
k
j
j
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jjjj
jjjj
jjjijiii
jjjijiii
iiii
iiii
T
n
k
k
j
j
i
i
v
v
v
v
v
v
v
v
KKKK
KKKK
KKKKKKKK
KKKKKKKK
KKKK
KKKK
 
v
v
v
v
v
v
v
v
54 
 
 
Uma observação importante é lembrar que se por acaso a 
numeração dos nós não for seqüencial, isto é, da esquerda para 
direita, haverá coeficientes não nulos fora da banda da matriz 
de rigidez global. Tal fato é indesejável uma vez que pode 
aumentar a área necessária de armazenamento durante a solução 
por computador e ainda gerar resíduos na solução do sistema 
linear de equações. 
Visando a solução do problema de vigas contínuas por via 
computacional é ilustrado a seguir um esquema de endereçamento 
no qual é indicada a posição na escala global da contribuição 
de cada elemento presente na discretização da estrutura. Seja o 
elemento ilustrado a seguir formado pelos nós i e j: 
 
 
Fig. 2.8 - Elemento genérico formado pelos nós i e j 
 
 
 
 
55 
 
A localização na escala global dos termos da matriz de 
rigidez e do vetor de cargas nodais equivalentes deste elemento 
é apontada pelos chamados índices de posição que neste caso são 
2i-1, 2i, 2j-1 e 2j. Abaixo é colocado de que forma é efetuado 
este endereçamento. 
 
 
 
 
 











44434241
34333231
24232221
14131211
KKKK
KKKK
KKKK
KKKK
 
 
 
 
 
 
 
 








4
3
2
1
P
P
P
P
 
Fig. 2.9 – Esquema de endereçamento de vigas contínuas 
 
2.3.1 Exemplo 3: 
Objetivando um melhor entendimento do esquema de 
endereçamento colocado anteriormente é colocada a seguir uma 
viga contínua com deslocamentos nodais a serem determinados 
mediante discretização indicada. 
 
2i-1 2i 2j-1 2j 
2i-1 
2i 
2j-1 
2j 
Linha a ser 
ocupada na 
matriz de 
rigidez global 
Coluna a ser ocupada na 
matriz de rigidez global 
Matriz de rigidez do elemento 
formado pelos nós i e j 
2i-1 
2i 
2j-1 
2j 
Linha a ser 
ocupada no vetor 
de cargas nodais 
equivalentes 
global 
Vetor de cargas nodais 
equivalentes do elemento 
formado pelos nós i e j 
Dados: g = 10 kN/m 
 EI = 108 kN·cm2 
 L = 2 m 
56 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2.10 – Viga contínua discretizada em dois elementos 
 
O primeiro passo para solucionar um problema deste tipo é 
escrever a matriz de rigidez e o vetor de cargas nodais 
equivalentes para cada elemento envolvido na discretização, ou 
seja: 
 Elemento 1: 



































12
2
12
2
4626
612612
2646
612612
2
2
1
22
2323
22
2323
1
gL
gL
gL
gL
Pe
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
K
 
 
 Elemento 2: 































3
2
3
2
1624824
24482448
8241624
24482448
2
2
2
22
2323
22
2323
2
gL
gL
gL
gL
Pe
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
K
 
O passo seguinte é deixar a escala local que se refere ao 
 
 
y 
x 
57 
 
domínio dos elementos e passar para escala global de toda 
estrutura. Para tanto é necessário determinar os índices de 
posição que irão apontar as posições globais dos elementos 
locais. 
 Elemento 1: 
 
 
 
2i-1=1 ; 2i=2 
2j-1=5 ; 2j=6 
 Elemento 2: 
 
 
 
 
2i-1=5 ; 2i=6 
2j-1=3 ; 2j=4 
 
A idéia então é explorar o esquema de endereçamento 
indicado na figura 2.9. Por exemplo, foi calculado para o 
elemento 1 que o índice de posição 2j-1 é igual a 5, 
conseqüentemente, o termo K33 da matriz de rigidez deste 
elemento vai ocupar a posição 55 da matriz de rigidez global. 
Este procedimento se repete para determinar qual a posição 
global de todos os elementos locais, tanto da matriz de rigidez 
quanto do vetor de cargas nodais equivalentes. O resultado 
final da matriz de rigidez e do vetor de cargas nodais 
equivalentes globais é colocado a seguir: 
i=1 
j=3 
i=3 
j=2 
58 
 
e 









































L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
K
G
201882426
18602448612
8241624
00
24482448
00
26
00
46
612
00
612
222
232323
22
2323
222
2323
 






























4
2
5
3
2
12
2
2
2
gL
gL
gL
gL
gL
gL
P
G
 
 
Os termos destacados receberam contribuição dos dois 
elementos uma vez que se referem ao nó intermediário. 
Impondo as condições de contorno (v1=0; v’1=0 e v2=0) 
obtém-se o seguinte sistema linear de equações em sua forma 
matricial: 
 















































4
5
2
5
3
20188
186024
82416
2
2
'
3
3
'
2
2
232
2
gL
gL
gL
v
v
v
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
 
 
Substituindo os dados do problema tem-se: 
 

































10
50
3
40
1000004500040000
450007500060000
400006000080000
'
3
3
'
2
v
v
v
 
 
cuja solução fornece: 
 
59 
 



























rad
m
rad
v
v
v
4
3
3
'
3
3
'
2
10839,1
10092,2
10644,1
 
 
2.4 Determinação dos esforços internos nodais 
Voltando ao exemplo anterior para calcular os esforços 
internos nos nós basta utilizar as seguintes equações 
anteriormente discutidas: 
 
'''
''
EIvV
EIv=M


 ... (2.59a e 2.59b) 
 
 
Elemento 1: 
 
 
  kNEIvV
mkNEIv=M
138,340
219,330
'''
11
''
11


 
 
  kNLEIvV
mkNLEIv=M
138,34
058,35
'''
13
''
13


 
 
Elemento 2: 
 
 
  kNEIvV
mkNEIv=M
862,1504
057,4504
'''
23
''
23


 
 
  kNLEIvV
mkNLEIv=M
862,154
333,134
'''
22
''
22


 
 
As respostas acima explicitadas, entretanto são diferentes 
dos valores corretos que seriam: 
 
kNV
mkN=M
138,44
552,36
1
1


 
60 
 
kNV
=M
kNVmkN=M
862,55
0
138,24
724,31
2
2
3
3



 
 
Tal fato ocorre em virtude de que o método dos elementos 
finitos prescreve que o carregamento distribuído seja 
transformado em cargas concentradas aplicadas sobre os nós. 
Esse fenômeno fica mais evidente ainda quando se trabalha com 
um exemplo mais simples como é o caso da viga engastada com 
carregamento distribuído ao longo de seu domínio. Basta 
conferir que a energia potencial total para a estrutura 
submetida a carregamentos distintos colocada na figura 2.11 
abaixo é a mesma. 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2.11 – Transformação de carregamento distribuído em cargas 
nodais 
 
 Uma maneira de corrigir a determinação dos esforços 
internos para casos como esse é efetuar a diferença entre a 
resposta obtida com as equações clássicas da teoria de flexão 
de vigas (equações 2.59) e as cargas nodais equivalentes 
aplicadas sobre os nós. Cabe salientar neste momento que o 
sentido dos esforços considerado positivo na teoria de flexão 
de vigas (Figura 2.12a) é diferente daquele utilizado no método 
MEF 
61 
 
dos elementos finitos (Figura 2.12b). Neste caso uma convenção 
precisa ser adotada como padrão, por conveniência a convenção 
tomada é a do método dos elementos finitos. 
 
 
 
Fig. 2.12 – Sentido positivo para os esforços para teoria de 
flexão de vigas (a) e para o método dos elementos finitos (b) 
 
Tomando como referência as respostas obtidas no exemplo 
anterior vem que os esforços devidamente corrigidos seriam: 
 
 Elemento 1 
 
 Esforço Cortante (kN·m): 
kNPVV
kNPVV
TFV
TFV
138,2410138,34
138,4410138,34
33
1
*
1


 
 
 Momento Fletor (kN·m): 
mkNPMM
mkNPMM
TFV
TFV


724,31)333,3(058,35
552,36333,3219,33
4
*
3
21
 
 
(*) = indica que foi necessário trocar o sinal já que para os 
graus de liberdade atrelado a esses esforços a convenção 
adotada (MEF) é diferente da convenção da teoria de flexão de 
vigas da qual foi obtida a resposta. 
 
 
 Elemento 2 
 
(a) (b) 
 1 
 2 
 3 
 4 
 1 
 2 
 3 
 4 
62 
 
 Esforço Cortante (kN·m): 
kNPVV
kNPVV
TFV
TFV
862,5540862,15
138,2440862,15
32
1
*
3


 
 
 Momento Fletor (kN·m): 
0)333,13(333,13
724,31333,13057,45
4
*
2
23


PMM
mkNPMM
TFV
TFV
 
 
(*) = indica que foi necessário trocar o sinal já que para os 
graus de liberdade atrelado a esses esforços a convenção 
adotada (MEF) é diferente da convenção da teoria de flexão de 
vigas da qual foi obtida a resposta. 
 
 Portanto, em módulo, os valores se igualaram aos corretos, 
todavia aonde a convenção do método dos elementos finitos é 
diferente daquela colocada para a teoria de flexão de vigas o 
sinal está trocado. Como a resposta correta respeita a 
convenção da teoria de flexão de vigas é necessário corrigir o 
sinal nos graus de liberdade onde a convenção é desrespeitada. 
Sendo assim, é preciso corrigir os esforços que se referem aos 
graus de liberdade 1 e 4 para cada elemento. 
 Outra forma mais direta de se determinar os esforços 
nodais visando à implementação computacional é multiplicar a 
matriz de rigidez de cada elemento por seu respectivo vetor de 
parâmetros nodais. Este produto chegaria a respostas iguais em 
módulo àquelas obtidas através da teoria clássica de flexão de 
vigas. De sorte que para se obter respostas corretas bastaria 
fazer a diferença entre este produto e o respectivo vetor de 
cargas nodais equivalentes para o elemento em questão. Logo, 
para um elemento finito genérico de comprimento hi (figura 
2.13) tem-se: 
 
63 
 










































































4
3
2
1
'
'
22
2323
22
2323
4626
612612
2646
612612
P
P
P
P
v
v
v
v
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
M
V
M
V
j
j
i
i
iiii
iiii
iiii
iiii
j
j
i
i
 
      eee PKV  
 
... (2.60)
 
 
 
 
Fig. 2.13 – Esforços nodais em elemento genérico de viga 
 
 Para exemplificar é tomado como modelo o elemento 1 do 
exercício resolvido acima. Por conseguinte, empregando a 
equação 2.60 vem que: 
 
 



































































333,3
10
333,3
10
10839,1
10092,2
0
0
20000150001000015000
15000150001500015000
10000150002000015000
15000150001500015000
4
3
3
3
1
1
M
V
M
V
 


































































mkN
kN
mkN
kN
M
V
M
V
.724,31
138,24
552,36
138,44
333,3
10
333,3
10
058,35
138,34
219,33
138,34
3
3
1
1
 
 
 
Vi 
Mi 
Vj
Mj j i 
hi 
E,I 
64 
 
 Como esperado a resposta foi igual à correta exceto pelos 
sinais trocados nos graus de liberdade onde a convenção do MEF 
é diferente da convenção de vigas. 
65 
 
 
3. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (PÓRTICOS PLANOS) 
 
3.1 Matriz de Rigidez de Elemento Finito para Treliça 
No caso das treliças, os parâmetros nodais a serem 
determinados são dois deslocamentos longitudinais ui e uj, 
conforme ilustrado na figura 3.1. Nesta mesma figura é mostrado 
também as cargas nodais aplicadas Pi e Pj. 
 
 
 
 
 
Fig. 3.1 – Elemento finito de treliça submetido a cargas 
externas 
 
Como existem dois parâmetros nodais associados ao elemento 
finito é adotada como função aproximadora para os deslocamentos 
longitudinais uma reta, isto é: 
 
BAx=uap  ... (3.1) 
 
As condições de contorno então são: 
 
a) x = 0 u = ui 
b) x = L u = uj 
 
Logo, 
L
uu
=A
ij
 
iu=B 
 
Substituindo os coeficientes A e B na equação 3.1 a mesma 
pode ser reescrita como: 
i j
ui ujx 
L Pi Pj 
E,A
66 
 
   e
j
i
ap
x
u
u
L
x
L
x
u 














 1
 ... (3.2) 
 
A energia potencial total para uma barra submetida a 
carregamento axial é dada por: 
 
 U= ... (3.3) 
 
onde, 
 
           dxxEAxU eTTe  ''2
1
 ... (3.4) 
     eTe
j
iT
e PP
P
 






 ... (3.5) 
 
Substituindo as equações 3.4 e 3.5 em 3.3 vem que: 
 
               eTeeTTe PdxxEAx=    ''2
1
 ... (3.6) 
 
Porém, da equação 3.2 conclui-se que: 
 
  



LL
x
11
)(' ... (3.7) 
 
 Substituindo a equação 3.7 na equação 3.6 e realizando 
posteriormente algumas simplificações tem-se uma nova energia 
potencial total dada por: 
 
       1
2
T T
e e e e
EA EA
L L= P
EA EA
L L
  
 
 
    
 
  
 ... (3.8) 
67 
 
 Impondo a condição de estacionariedade (∂π = 0) na equação 
3.8 obtém-se a seguinte equação: 
 
    eetreliça
j
i
j
i
PK
P
P
u
u
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA


























 ... (3.9) 
 
Portanto, a matriz de rigidez do elemento finito de 
treliça é dada por: 
 
 













L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
Ktreliça ... (3.10) 
 
3.2 Matriz de Rigidez de Elemento Finito para Pórtico Plano 
No caso dos pórticos planos, os parâmetros nodais a serem 
determinados são dois deslocamentos longitudinais ui e uj, dois 
deslocamentos transversais vi e vj e ainda duas rotações θi e 
θj, conforme ilustrado na figura 3.2. 
 
 
 
Fig. 3.2 – Elementofinito de pórtico plano 
ui 
vi
θi 
uj 
vj 
θj
i 
j
68 
 
Para obtenção da matriz de rigidez deste elemento basta 
fazer uma superposição das matrizes de rigidez dos elementos de 
viga e treliça discutidos anteriormente. Para tanto é 
necessário fazer a correta correspondência entre os graus de 
liberdade destes três elementos. A figura 3.3 indica uma 
correlação para estes graus liberdades. 
 
 
Fig. 3.3 – Correspondência entre os graus de liberdade dos 
elementos finitos de pórtico, viga e treliça 
 
Portanto, resgatando as matrizes de rigidez do elemento de 
viga e do elemento de treliça tem-se: 
 
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
viga
EI EI EI EI
L L L L
EI EI EI EI
L LL LK
EI EI EI EI
L L L L
EI EI EI EI
L LL L



  

 
 
 
    
 
 
 
 
 
(2) (3) (5) (6) 
(2) 
(5) 
(3) 
(6) 
Posições dos elementos 
da matriz de rigidez 
do elemento de viga na 
matriz de rigidez do 
elemento de pórtico de 
acordo com a figura 
3.3. 
69 
 
 













L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
Ktreliça 
 
Uma vez estabelecido a posição a ser ocupada por cada 
elemento das matrizes de rigidez dos elementos de viga e 
treliça dentro da matriz de rigidez do elemento de pórtico a 
mesma pode ser escrita para o sistema local de coordenadas 
como: 
 
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
0 0 0 0
12 6 12 6
0 0
6 4 6 2
0 0
0 0 0 0
12 6 12 6
0 0
6 2 6 4
0 0
pórtico
EA EA
L L
EI EI EI EI
L L L L
EI EI EI EI
L L L LK
EA EA
L L
EI EI EI EI
L L L L
EI EI EI EI
L L L L
 
 
 
 
 
  
      
 
 
   
 
 
 
  
 ... (3.11) 
 
3.3 Matriz de Rigidez e Vetor de Cargas Nodais Equivalentes de 
Pórtico Plano Rotulado 
 
Como visto no item 3.2 o elemento finito de pórtico plano 
é resultado da soma do elemento finito de viga com elemento de 
treliça. Desta forma, fica evidente que uma rótula irá 
influenciar apenas nos termos da matriz que corresponde ao 
comportamento de viga. Portanto, para simplificações de cálculo 
será deduzida somente a matriz de rigidez de viga rotulada e 
endereçada para a matriz de pórtico. 
Considere agora um elemento finito de viga rotulado no nó 
i. 
(1) (4) 
(1) 
(4) 
Posições dos elementos da matriz de 
rigidez do elemento de treliça na 
matriz de rigidez do elemento de 
pórtico de acordo com a figura 3.3. 
70 
 
 
Fig. 3.4 – Elemento finito de viga rotulado submetido à carga 
linear 
 
Para este elemento, adota-se como função aproximadora dos 
deslocamentos, um polinômio do terceiro grau: 
 
3 2V ax bx cx d    ... (3.12) 
 
As condições de contorno: 
 
a) x = 0 v = vi d = vi 
b) x = 0 v''= 0 b = 0 
c) x = hi v = vj ahi3 + bhi2 + chi + d = vj 
d) x = hi v'= v'j 3ahi2 + 2bhi + c = v'j 
 
Resolvendo o sistema de equações, tem-se: 
 
'
3 3 22 2 2
j ji
i i i
v vv
a
h h h
   
0b  
'
2
33
2 2 2
j ji
i i
v vv
c
h h
    
id v 
 
Substituindo a, b, c e d na expressão da elástica 
aproximadora, obtém-se: 
71 
 
 
3 3 3
'
2
1 3 1 3
1
2 2 2 2 2 2i j ji i i i i
x x x x x x
v v v v
h h h h h
            
                   
               
...(3.13) 
 
Para este elemento finito, tem-se o funcional de energia 
dado na equação 2.39. 
A matriz de rigidez do elemento é obtida apenas pela 
parcela de energia de deformação. Assim: 
 
3 3 3
' '
''2
3 3 20
' '
3 2
3 3 3
0
0 0 0 0
3 3 3
02
3 3 3
0
i
T
i i i
i i
h
i i
j j
i i i
j j
i i i
EI EI EI
h h hv v
v vEI
U v dx EI EI EI
v v
h h h
v v
EI EI EI
h h h
  
    
    
               
        
  

 
    Te e eK  ...(3.14) 
 
A matriz Ke representa a matriz de rigidez do elemento com 
rótula no nó i. 
Considerando agora o elemento finito rotulado no nó j, 
utiliza-se a mesma função aproximadora, com as seguintes 
condições de contorno: 
 
a) x = 0 v = vi d = vi 
b) x = 0 v' = v'i c = v’i 
c) x = hi v = vj ahi3 + bhi2 + chi + d = vj 
d) x = hi v'' = 0 6ahi + 2b = 0 
 
Após o desenvolvimento dos mesmos cálculos adotados para a 
situação anterior, tem-se: 
72 
 
3 2 3
' '
2 2''2
0
' '
3 2 3
3 3 3
0
3 3 3
0
2
3 3 3
0
0 0 0 0
i
T
i i i
i i
h
i i
i i i
j j
j j
i i i
EI EI EI
h h hv v
EI EI EI
v vEI
h h hU v dx
v v
EI EI EI
v vh h h
  
    
    
          
    
         
  

 
    Te e eK  ...(3.15) 
 
Para este caso, a matriz Ke é a matriz de rigidez do 
elemento com rótula no nó j. 
O vetor de forças para o elemento finito de viga rotulado 
no nó i é dado através da parcela do trabalho de cargas 
externas: 
     
1 2
'
1 2
0
'
2
1 2
(11 4 )
40
0
(9 16 )
40
(7 8 )
120
i
T
i
h
i T
e e
j
j
q q L
v
v
q x vdx Pq q Lv
v q q L

 
                
   
   
     

 ...(3.16) 
 
O vetor Pe corresponde ao vetor de cargas nodais 
equivalentes do elemento com rótula no nó i. 
Do mesmo modo, para o elemento finito de viga rotulado no 
nó j, tem-se: 
 
73 
 
     
1 2
2
' 1 2
0
1 2'
(16 9 )
40
(8 7 )
120
(4 11 )
40
0
i
T
i
h
i T
e e
j
j
q q L
v
q q Lv
q x vdx P
v
q q L
v

 
                
   
   
   
  

 ...(3.17) 
 
O vetor Pe é o vetor de cargas nodais equivalentes do 
elemento com rótula no nó j. 
Nos casos em que o elemento apresenta rótula nas duas 
extremidades, o comportamento será equivalente ao de treliça 
(ver item 3.1). 
 
3.4 Rotação do Sistema de Coordenadas 
 Na grande maioria dos casos é mais razoável gerar a matriz 
de rigidez do elemento finito em relação ao seu sistema de 
coordenadas, porém, para a montagem da matriz de rigidez global 
da estrutura é necessário fazer com que essa matriz passe a se 
referir a um sistema global de coordenadas. Esse processo se 
repete para todos os elementos envolvidos na discretização. 
 Um exemplo típico onde seria conveniente utilizar a 
rotação do sistema de coordenadas é apresentado na figura 3.5, 
na qual é indicado um pórtico plano formado por dois elementos, 
sendo que o elemento inclinado forma um ângulo α entre o 
sistema global de coordenadas (X,Y) e o sistema local (x,y). 
 
 
 
 
 
 
 
74 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.5 – Pórtico plano 
 
Sendo U e V, respectivamente, as componentes dos 
deslocamentos nas direções dos eixos X e Y e u e v nas direções 
dos eixos x e y, respectivamente, e  e  as rotações em torno 
de um eixo perpendicular ao plano XY, ou ao plano xy, 
respectivamente em relação aos sistemas global e local de 
coordenadas, as equações que convertem os deslocamentos 
referidos ao sistema local para o sistema global são: 
 
cos
cos
u U V sen
v U sen V
 
 

   
    

 ... (3.18) 
 
Em forma matricial expandida para o caso de pórtico plano 
a equação 3.18 pode ser reescrita como: 
 
cos 0 0 0 0
cos 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cos 0
0 0 0 cos 0
0 0 0 0 0 1
i i
i i
i i
j j
j j
j j
u Usen
v Vsen
u Usen
v Vsen
 
 

 
 

    
        
           
    
    
    
       
 ... (3.19) 
 
ou, ainda reescrevendo a equação 3.19 de maneira mais compacta: 
x(u) 
y(v) 
X(U) 
Y(V) 
α 
75 
 
    L GP PT  ... (3.20) 
 
 Escrevendo a energia de deformação (U ) e a energia 
potencial das cargas externas ( ) para o caso de pórticos 
planos tem-se: 
 
   1
2
TL L L
P P PU K     ... (3.21) 
   TL LP P  ... (3.22) 
 
Neste caso,