Estudo da Flexão em Estruturas de Concreto

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ESTRUTURAS DE CONCRETO
Engenharia Agrícola
AULA 3 – ESTUDO DA FLEXÃO: 
DIMENSIONAMENTO DE ARMADURA 
DUPLA
Prof. Juliane da Silva Dávila
ARMADURA DUPLA
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Uma seção com armadura dupla é aquela que além de conter armadura
resistente tracionada, apresenta também armadura longitudinal resistente
na região comprimida, inserida nesta região para auxiliar o concreto na
resistência às tensões de compressão.
SEÇÃO COM 
ARMADURA DUPLA
ARMADURA 
RESISTENTE 
TRACIONADA
ARMADURA LONGITUDINAL 
RESISTENTE NA REGIÃO 
COMPRIMIDA
INSERIDA PARA AUXILIAR O 
CONCRETO A RESISTIR ÀS 
TENSÕES DE COMPRESSÃO
ARMADURA DUPLA
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A armadura dupla é um artifício que permite dimensionar as seções cujas
deformações encontram-se no domínio 4, sem que haja a necessidade de se
alterar algum dos parâmetros inicialmente adotados.
A seção com armadura dupla surge como solução para:
▪ Dimensionamento anti-econômico;
▪ Falta de segurança (ruptura frágil, sem aviso prévio) proporcionada pelo
domínio 4.
RELEMBRANDO...
4
Domínio 4...
DOMÍNIO 4
Concreto encontra-se na 
ruptura (com 𝜺𝒄=3,5‰)
Aço apresenta 
deformação abaixo de 𝜺𝒚𝒅
MAL 
APROVEITADO
DIMENSIONAMENTO
Solução antieconômica
Solução Perigosa
Ruína por ruptura do 
concreto e sem 
escoamento do aço 
(ruptura brusca, sem aviso)
PEÇAS 
SUPERARMADAS
Devem ser 
evitadas
ALTERNATIVAS
Aumentar h
Fixar x como xlim34 e 
adotar armadura dupla
Aumentar fck
ARMADURA DUPLA
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Evita-se o domínio 4, alterando-se a posição da linha neutra para o limite
entre os domínios 3 e 4, ou seja, com a linha neutra passando por x34, no que
resulta na máxima seção comprimida possível no domínio 3.
Fazendo isso, a área de concreto comprimido não mais considerada para a
resistência da seção é “compensada” pelo acréscimo de uma armadura
longitudinal próxima à borda comprimida, que irá auxiliar o concreto à
resistir às tensões de compressão.
ARMADURA DUPLA
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Na maioria dos casos da prática, a necessidade de armadura dupla surge nas
seções sob momentos fletores negativos, nos apoios intermediários das vigas
contínuas.
Como os momentos fletores negativos são significativamente maiores que os
momentos fletores máximos positivos nos vãos, eles requerem seções
transversais com alturas bem maiores que os momentos positivos.
No entanto, fixar a altura das vigas em função dos momentos negativos aumenta
o seu custo, pois se na seção de apoio a altura fixada é a ideal, nas seções dos
vãos a altura resulta exagerada.
Dessa forma, uma solução simples e econômica pode ser fixar a altura da viga de
tal forma que resulte armadura dupla nos apoios e armadura simples nos vãos.
SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA
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0,68. 𝑏𝑤. 𝑑. 𝛽𝑥. 𝑓𝑐𝑑 + 𝐴′𝑠. 𝜎′𝑠 − 𝐴𝑠. 𝜎𝑠 = 0
𝑀𝑑 = 0,68. 𝑏𝑤. 𝑑
2. 𝛽𝑥. 𝑓𝑐𝑑 1 − 0,4𝛽𝑥 + 𝐴′𝑠 . 𝜎′𝑠 𝑑 − 𝑑
′
SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA
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Nas seções retangulares com armadura dupla, o Momento Fletor de Cálculo (Md) será:
Onde:
𝑴𝟑𝟒: É o momento obtido impondo que a seção trabalhe no limite entre os domínios 3 e 4;
este momento será resistido pelo concreto comprimido e por uma armadura tracionada
As34; a altura útil real da peça pode ser entendida como sendo a altura útil mínima para
M34;
𝑴𝟐: Momento que será resistido por uma armadura comprimida A’S e, para que haja
equilíbrio, por uma armadura tracionada As2 (além de As34 já calculada para M34).
𝑀𝑑 = 𝑀34 +𝑀2
SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA
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EQUAÇÕES DOS MOMENTOS E DAS ARMADURAS
▪ Momento 𝑀34:
▪ 𝛽𝑥34:
▪ 𝐴𝑠34:
▪ Momento 𝑀2:
𝑀34 = 0,68 . 𝑏𝑤. 𝑑
2. 𝛽𝑥34. 𝑓𝑐𝑑 . 1 − 0,4 𝛽𝑥34
𝛽𝑥34 =
𝜀𝑐
𝜀𝑐 + 𝜀𝑦𝑑
𝐴𝑠34 =
𝑀34
𝑑 − 0,4 𝑥 . 𝑓𝑦𝑑
=
𝑀34
1 − 0,4 𝛽𝑥 . 𝑑. 𝑓𝑦𝑑
𝑀2 = 𝑀𝑑 −𝑀34
𝑀2 = 𝑅′𝑠𝑑 . 𝑑 − 𝑑′ = 𝐴′2. 𝜎′𝑠. 𝑑 − 𝑑′
SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA
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EQUAÇÕES DOS MOMENTOS E DAS ARMADURAS
▪ Armadura Tracionada Total 𝐴𝑠:
▪ Deformação Específica da Armadura Comprimida:
𝐴𝑠 =
𝑀34
1 − 0,4 𝛽𝑥 . 𝑑. 𝑓𝑦𝑑
+
𝑀2
𝜎′𝑠. 𝑑 − 𝑑′
3,5
𝑋34
=
𝜀′𝑠
𝑋34 − 𝑑′
→ 𝜀′𝑠 =
3,5. 𝑋34 − 𝑑′
𝑋34
EXERCÍCIOS REAPRESENTADOS
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Quando estudamos armadura simples, ao resolver o Exercício 3, obtivemos
um 𝜷𝒙 > 𝜷𝒙𝟑𝟒 (Domínio 4) e, portanto, concluímos que havia solução
melhor com a utilização de armadura dupla.
Tendo em vista os conhecimentos agora adquiridos sobre o
dimensionamento de seção retangular utilizando armadura dupla, refaça o
Exercício 3 (mostrado no slide a seguir) dimensionando a seção
adequadamente.
EXERCÍCIOS REAPRESENTADOS
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Reapresentação do Exercício 3: Calcule a altura útil (d) e a área de aço (As)
para uma seção retangular que possui os seguintes dados:
▪ Concreto C25
▪ Aço CA-50
▪ bw = 30 cm
▪ h = 45 cm
▪ Mk = 252 kN.m
Resposta: As = 25,77 cm² (arm. inf./trac.); A’s = 4,46 cm² (arm. sup./comp.)
EXERCÍCIOS REAPRESENTADOS
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Quando estudamos armadura simples, ao resolver o Exercício 4, obtivemos
delta negativo, e, portanto, constatamos que para aquele caso, só era
possível o dimensionamento daquela seção (com aqueles dados) com a
utilização de armadura dupla.
Tendo em vista os conhecimentos agora adquiridos sobre o
dimensionamento de seção retangular utilizando armadura dupla, refaça o
Exercício 4 (mostrado no slide a seguir) dimensionando a seção
adequadamente.
EXERCÍCIOS REAPRESENTADOS
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Reapresentação do Exercício 4: Calcule a altura útil (d) e a área de aço (As)
para uma seção retangular que possui os seguintes dados:
▪ Concreto C25
▪ Aço CA-50
▪ bw = 30 cm
▪ h = 45 cm
▪ Mk = 315 kN.m
Resposta: As = 31,25 cm² (arm. inf./trac.); A’s = 9,94 cm² (arm. sup./comp.)
0,68 . 𝑏𝑤 . 𝑑 . 𝛽𝑥 . 𝑓𝑐𝑑 − 𝐴𝑠 . 𝜎𝑠 = 0
𝑀𝑑 = 0,68 . 𝑏𝑤 . 𝑑
2 . 𝛽𝑥 . 𝑓𝑐𝑑 . 1 − 0,4 𝛽𝑥
EXERCÍCIOS REAPRESENTADOS
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Reapresentação do Exercício 6: Dimensione a armadura de flexão para a
seção do meio do vão da viga esquematizada abaixo.
Considere os seguintes dados:
▪ Concreto C20
▪ Aço CA-50
Resposta: As = 5,40 cm² (arm. inf./trac.); A’s = 0,09 cm² (arm. sup./comp.)
0,68 . 𝑏𝑤 . 𝑑 . 𝛽𝑥 . 𝑓𝑐𝑑 − 𝐴𝑠 . 𝜎𝑠 = 0
𝑀𝑑 = 0,68 . 𝑏𝑤 . 𝑑
2 . 𝛽𝑥 . 𝑓𝑐𝑑 . 1 − 0,4 𝛽𝑥
Seção Transversal
35 cm
12 cm
EXERCÍCIOS
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Exercício 10: Dimensione a armadura longitudinal de flexão para o momento fletor
negativo no apoio intermediário de uma viga contínua, considerando os seguintes
dados:
▪ Concreto C25
▪ Aço CA-50
▪ bw = 20 cm
▪ h = 50 cm
▪ Mk = -15700 kN.cm
▪ c = 2,5 cm
▪ Øt = 6,3 mm
▪ Brita 1
Resposta: As = 13,85 cm² (arm sup./trac.); A’s = 1,28 cm² (arm. inf./comp.)
0,68 . 𝑏𝑤 . 𝑑 . 𝛽𝑥 . 𝑓𝑐𝑑 − 𝐴𝑠 . 𝜎𝑠 = 0
𝑀𝑑 = 0,68 . 𝑏𝑤 . 𝑑
2 . 𝛽𝑥 . 𝑓𝑐𝑑 . 1 − 0,4 𝛽𝑥
REFERÊNCIAS
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ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT. NBR 6118: Projeto de Estruturas de Concreto –
Procedimento. Rio de Janeiro, 2014.
DE ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. Editora Dunas: v. 1, 2 ed. Rio Grande, 2003.
DE ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. Editora Dunas: v. 2, 2 ed. Rio Grande, 2003.
DEIFELD, T. E. C. Estudos da flexão – Armadura dupla. Notas de aula, 2014.
DIAS, M. Estudo da flexão: Armadura dupla. Notas de aula, 2016.
PEREIRA, T. S. Flexão normal simples: Armadura simples/Armadura dupla. Notas de aula, 2015.