Matemática_2

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METODOLOGIA E PRÁTICA DE ENSINO 
DE MATEMÁTICA NOS ANOS INICIAIS DO 
ENSINO FUNDAMENTAL
CAPÍTULO 2 – COMO ENSINAR AS QUATRO 
OPERAÇÕES DE MANEIRA 
CONTEXTUALIZADA E ARTICULADA?
Jonatha Daniel dos Santos
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Introdução
Nesse capítulo vamos conhecer um pouco mais sobre as três operações elementares, subtração, multiplicação e
divisão. A compreensão sobre essas operações e sobre o sistema de numeração decimal articula-se com as
inteligências, principalmente com a inteligência lógico-matemática.
A matemática enquanto linguagem universal possui certas particularidades e é interessante ressaltar que,
mesmo sendo considerada uma disciplina de difícil compreensão, pode ser apresentada por outros olhares. Logo,
quando desarticulada de discursos forjados em sua complexidade, ou seja, apenas as pessoas inteligentes
aprendem matemática, inicia-se uma produção de conhecimento diferenciado que valoriza as maneiras de se
fazer matemática que estão a todo o tempo sendo problematizadas pelos estudantes. Assim, é possível
questionar: como ensinar matemática sem se prender a uma única forma de resolução? Como ter outras técnicas
para trabalhar com essas operações?
Partindo desse entendimento, este capítulo tem a intenção de facilitar a compreensão sobre a linguagem
científica da matemática; expor estratégias de ensino e de aprendizagem com a utilização do material dourado
para a aquisição do conhecimento matemático; perceber que o conceito da multiplicação além do numérico,
pode ser trabalhado com figuras geométricas; a estatística deve estar articulada nesses anos iniciais do ensino
fundamental com a possibilidade de desenvolvimento da compreensão de conceitos estatísticos por crianças dos
anos iniciais do Ensino Fundamental, entre outros.
Portanto, é possível problematizar: como ensinar as quatro operações de maneira contextualizada e articulada?
Vamos lá? Acompanhe este capítulo com atenção!
2.1 Subtração
A proposta desse tópico tem o objetivo de realizar uma discussão no âmbito na subtração. A subtração é
potencializada por meio da adição e seu uso é muito importante para o contexto social dos sujeitos bem como
para o contexto escolar, principalmente quando avançar para os períodos posteriores.
Assim, é interessante identificar a lacuna do conteúdo no momento de efetuar a adição com reserva ou preparar
o minuendo da subtração, também conhecida como “empresta um” e também compreender a linguagem
científica da matemática na formação do Licenciado em Pedagogia. A matemática, enquanto linguagem universal,
tem algumas particularidades e, por isso, é interessante que o futuro professor saiba identificá-las.
2.1.1 Tecnologias do passado e do presente
Conforme Bitttar, Freitas e Pais (2013), trabalhar com as quatro operações elementares exige certa
compreensão sobre o valor posicional dos algarismos, pois o trabalho com adição de números com duas ou mais
ordens exige muito a retomada do valor posicional, sobre as unidades, dezenas, centenas e assim por diante.
A abordagem do conceito de subtração historicamente alinha-se aos modelos didáticos e epistemológicos da
educação brasileira. Por exemplo, em certo momento, o uso do algoritmo da subtração foi amplamente utilizado
em detrimento de outras ações que possuíam vínculo com a ludicidade. Em outro momento, houve uma
centralização sobre os aspectos construtivistas e, então, foi possível visualizar um cenário que via no uso das
atividades lúdicas uma excelente oportunidade para facilitar a compreensão dos conteúdos matemáticos. É claro
que o uso do algoritmo deve aparecer no ensino de matemática, mas a questão é, será que deve ser exposto no
primeiro momento sem um aprofundamento dos conceitos?
Vários autores do campo da educação matemática convergem ao esclarecer que o conceito em si da matemática
já faz parte do cotidiano antes mesmo de entramos na escola e isso é uma realidade. Partindo dessa ideia, a
matemática, de alguma forma, já foi sentida, percebida pelas crianças antes do período da escolarização. Isso
quer dizer, então, que a escola atua como uma expositora de um determinado conteúdo de modo formal sobre o
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quer dizer, então, que a escola atua como uma expositora de um determinado conteúdo de modo formal sobre o
que já haviam presenciado em suas ações cotidianas.
As primeiras relações que as crianças têm como a matemática no espaço escolar estão atreladas ao conceito de
adição e, posteriormente, ao de subtração. Multiplicação e divisão vêm com o aperfeiçoamento dessas operações.
A combinação da adição com a subtração, e vice-versa, é como café com leite. Ambas funcionam sozinhas, porém,
ao juntá-las, a combinação ganha outro patamar e, por isso, é importante ressaltar que adição e subtração
devem, sempre quando possível, ser combinadas nas resoluções de problemas bem como nas atividades
escolares. Vamos, a seguir, estudar um pouco mais sobre subtração, sempre mantendo um diálogo com a adição.
Para começar, é necessário você saber o conceito básico que fundamenta a subtração. Trabalhar com subtração
exige no mínimo dois números naturais dos quais um é chamado de minuendo e o outro de subtraendo, tendo
como resultado dessa operação outra expressão conhecida como diferença. Além dessa questão, deve ser
respeitado o seguinte princípio: somando-se a diferença ao subtraendo obtém-se o minuendo. Veja o exemplo a
seguir:
Figura 1 - Princípio da Subtração.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Veja na imagem acima que estamos trabalhando com um exemplo, que para nós adultos é simples, mas para a
criança, que está se adaptando ao ensino de matemática formatada no contexto escolar, o processo não é tão
simples.
Há, nesse momento, vários processos cognitivos em ação, agindo em prol da inteligência para que esse exemplo
possa ser compreendido. Porém, a grande questão reside em como essa questão é apresentada em seu esse
contexto ou como a criança se sente perante os números, sinais, resultados, contas etc.; ou seja, se ela está feliz,
confusa, inquieta, se tem dúvidas, entre outras situações.
Cada criança tem uma maneira de aprender, umas mais rapidamente que outras, todavia, todas têm condição de
aprender. Sabendo que os seres humanos possuem inteligências múltiplas, ou seja, entender matemática pode
ser mais fácil para uma pessoa, enquanto que, para outra, a facilidade está em língua portuguesa ou para a área
musical e artística, cabe a nós, docentes, verificarmos essas questões bem como criar situações didáticas que
favoreçam um ambiente propício para a aprendizagem.
Voltando ao exemplo anterior, a imagem “Princípios da Subtração”, veja que ao lado foi realizado um cálculo
inverso à adição. Perceba, então, que a adição pode ser pensada como uma estratégia de inversão da subtração,
sendo que o movimento contrário é recíproco. É possível constatar que ambas são complementares e que
trabalhar com essa prerrogativa é interessante quando nos primeiros ensinamentos desse tema.
De acordo com os PCN (1997, p. 65), os problemas aditivos e subtrativos devem ser trabalhados
concomitantemente ao trabalho de construção do significado dos números naturais, ou seja, “[...] a justificativa
para o trabalho conjunto dos problemas aditivos e subtrativos baseia-se no fato de que eles compõem uma
mesma família, ou seja, há estreitas conexões entre situações aditivas e subtrativas”.
O campo conceitual aditivo ou estruturas aditivas baseado em Vergnaud (1990) colabora com essa discussão,
principalmente, quando o autor expande algumas ideias de Piaget para o processo de ensinar e aprender no
contexto da matemática.
Magina et al. (2008, p. 12) sobre este tema salientam que se trata de “[...] uma consequência direta da teoria dos
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Magina et al. (2008, p. 12) sobre este tema salientam que se trata de “[...] uma consequência direta da teoria dos
campos conceituais – herança do passado e preparação para o futuro”, ou seja, esse campo de estudoacredita
que as competências que o sujeito adquiriu em seu contexto de vida tendem a colaborar quando é necessário no
desenvolvimento social e escolar. Esses autores são bem enfáticos ao inferirem que dominar as estruturas
aditivas exige do discente a capacidade de resolver vários modelos de situações-problema, em outras palavras,
não se trata apenas de conseguir resolver as contas como na figura anterior (“Princípios da Subtração”), mas sim
de agir e compreender um universo maior.
Esses problemas sobre os quais estamos tratando, na estrutura aditiva, ganha nomes específicos, podendo ser
classificados como: .composição, transformação, comparação e misto
Os PCN (1997, p. 66) trazem essa questão em seus escritos quando escreve que “[...] dentre as situações que
envolvem adição e subtração a serem exploradas nesses dois ciclos (1º e 2º série e 3º e 4º série), podem-se
destacar, para efeito de análise e sem qualquer hierarquização, quatro grupos [...]”. Note, então, que tal
perspectiva conceitual está disposta nesse documento público e é possível encontrar alguns exemplos para cada
situação-problema.
Para apresentar alguns exemplos sobre o que temos comentando, Magina et al. (2008, p. 20) expõem quatro
problemas, que certamente corrobora essa discussão.
• Problema A – Ao redor da mesa da sala de jantar de minha casa estão sentados 4 garotos e 7 garotas. 
Quantas pessoas estão sentadas ao redor da mesa?
• Problema B – Maria comprou uma boneca por R$ 4,00 e ficou com R$ 7,00 na carteira. Quanto ela 
possuía antes de fazer a compra?
• Problema C – Carlos tem 4 anos. Maria é 7 anos mais velha que Carlos. Quantos anos tem Maria?
• Problema D – Roberto foi jogar . Ao fim da primeira fase do jogo ele tinha perdido 4 pontos. videogame
Ele, então, foi para a segunda e última fase. Ele terminou o jogo com 7 pontos ganhos. O que aconteceu na 
segunda fase?
Segundo as autoras, baseado em Vergnaud (1990), o problema A geralmente é resolvido por crianças entre 4 e 5
anos e está atrelado à ideia de De acordo com Magina et al. (2008, p. 25), “[...] essa classe decomposição.
problemas compreende as situações que envolvem parte-todo – juntar uma parte com outra parte para obter o
todo, ou subtrair uma parte do todo para obter a outra parte”.
Já o problema B em sua grande maioria é respondido por crianças entre 6 e 7 anos e pode ser entendido como
um problema de Magina et al. (2008, p. 26) escrevem que essa classe “[...] é aquela que trata detransformação. 
situações em que a ideia temporal está sempre envolvida – no estado inicial tem-se uma quantidade que se
transforma (com perda/ganho; acréscimo/decréscimo etc.), chegando ao estado final com outra quantidade”.
Por outro lado, o problema C, é respondido por crianças a partir dos 8 anos de idade. É possível ligar esse
problema ao conceito de comparação, que segundo Magina et al. (2008, p.26) “[...] diz respeito aos problemas
que comparam duas quantidades, uma denominada de referente e a outra de referido”. Nesse problema, a idade
de Carlos é o referente e a idade de Maria é o referido, pois a idade dela é apontada em relação à idade de Carlos.
Agora, no problema D, as autoras comentam que 25% das crianças de 11 anos conseguem resolvê-lo. Esse pode
VOCÊ O CONHECE?
A professora Dra. Terezinha Nunes desenvolve, no campo da Educação Matemática, pesquisas
sobre a aprendizagem matemática de crianças em ambientes formais e informais já há mais de
35 anos. Atualmente, atua como professora da , na Inglaterra. Seus estudosOxford University
colaboram para compreender mais sobre como as crianças aprendem matemática bem como
sempre apresenta possibilidades interessantes para que isso possa ocorrer.
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Agora, no problema D, as autoras comentam que 25% das crianças de 11 anos conseguem resolvê-lo. Esse pode
ser considerado como um problema misto. O problema D envolve a classe de composição e a de decomposição.
Além do que estamos tratando até o momento, é necessário apresentar alguns modelos de resolução com a
subtração, mas antes é importante você entender, enquanto futuro professor dos anos inicias, algumas regras
práticas que podem colaborar no ensino e aprendizagem de matemática.
Aprendemos que, ao trabalharmos com subtração, quando um valor é menor que outro devemos “pegar
emprestado” do algarismo ao lado para conseguir finalizar a conta. Ora, o tratamento oferecido por esse modelo
de resolução não pode ser considerada errônea para outros períodos escolares, no entanto, há certo equívoco,
primeiro quando trabalhamos com o conceito de “empresta um” e, segundo, quando é apresentada como a
primeira ideia de resolução. É muito importante você entender que quando efetuamos isso não fazemos 
 e, sim, de dezenas em unidades, centenas em dezenas etc. Vamos refletir sobre umempréstimos decomposição 
exemplo contido em Bitttar; Freitas; Pais (2013).
Suponha que você tenha que efetuar Chega um momento que tal cálculo pode ser realizado mentalmente
sem o uso de lápis ou caneta. Agora, se o mesmo for aplicado para estudante dos anos iniciais, da forma mais
prática diríamos que 1 não tira 3 (uma unidade menos três unidades), logo, é necessário “pegar emprestado” da
dezena 2 ao lado.
Seguindo, o algarismo 2 valeria 1 e, consequentemente, o 1 se transformaria em 11, conforme a imagem a seguir:
Figura 2 - Representação de subtração realizando empréstimo.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Veja que efetuando dessa maneira, como dito anteriormente, o resultado será válido. Porém, para os anos
iniciais, principalmente no contexto das primeiras abordagens desse tema, não é interessante a forma vista. Uma
proposta é utilizar o material dourado, construído por Maria Montessori (1870-1952) e aperfeiçoado por
Lubienska de Lenval (1895-1972), sua seguidora.
VOCÊ QUER LER?
O livro “Repensando Adição e Subtração” (2008), de Sandra Magina, Tânia Campos, Terezinha
Nunes e Verônica Gitirana, é uma leitura interessante para compreender mais sobre as
contribuições dos Campos Conceituais para o ensino de matemática.
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Figura 3 - Material Dourado.
Fonte: Eenoki, Shutterstock, 2018.
Sabendo que uma barra representa a 1º dezena e que um cubinho vale a 1º unidade, podemos trabalhar com
essas peças para resolver essa subtração. Observe a imagem a seguir:
Figura 4 - Material Dourado e sua aplicabilidade na subtração.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Ainda com o Material Dourado não podemos tirar três unidade de uma, então, lembrando que a 1ª dezena vale
10 unidades, é possível transformar uma das barras em unidades. Confira a seguir:
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Figura 5 - Material Dourado e sua aplicabilidade na subtração.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Fazendo essa troca de dezenas para unidades operamos com e não com Conforme Bitttar,trocas empréstimos.
Freitas e Pais (2013, p. 32) salientam, “[...] esse trabalho pode ser iniciado com o Material Dourado e depois
transposto para a sapateira e, finalmente, para o quadro valor de lugar, para, finalmente, passar ao algoritmo”. As
autoras seguem dizendo que “[...] sempre que for efetuado um trabalho com material, recomenda-se transpô-lo
para o papel, ou seja, deve-se sempre tentar escrever os procedimentos que estão efetuados. Desse modo, o
algoritmo se constrói aos poucos”.
Veja então que o processo de ensinar é complexo e, por isso, enquanto docentes, devemos ter uma atenção às
novas discussões sobre os processos epistemológicos bem como sobre as possibilidades metodológicas no
ensino de matemática. O conceito de subtração compõe o itinerário inicial do ensino da matemática escolar, mas
outro conceito importante é do da multiplicação, como veremos a seguir.
2.2 Multiplicação
A multiplicação compõe as quatro operações básicas da matemática. Seu uso é essencial e pode ser atrelado,
principalmente, ao campo da divisão e da adição. Pela adição é possível estabelecer diálogos fundamentais com a
multiplicaçãoe compreendê-la colabora para a construção do conhecimento matemático das crianças nos anos
iniciais do ensino fundamental.
Nesse sentido, a proposta deste tópico é estabelecer a associação ideia e relação da multiplicação com a adição
de parcelas iguais e o raciocínio combinatório bem como abordar o conceito da multiplicação além do numérico,
trabalhando com uma figura geométrica. Partindo desse entendimento é exposta a construção de um algoritmo
da multiplicação por meio da malha quadriculada.
2.2.1 A construção do algoritmo da multiplicação
O conceito de multiplicação está alinhado ao da adição e podemos dizer que é possível trabalhar com as duas de
forma sincronizada, ou seja, não é necessário que o estudante conheça tudo sobre uma operação para então
passar para outra. A ideia de adição, quando trabalhado com parcelas iguais, cria um vínculo com à multiplicação
e o raciocínio combinatório, ou seja, “[...] a exploração dessas duas ideias é fundamental para a compreensão da
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e o raciocínio combinatório, ou seja, “[...] a exploração dessas duas ideias é fundamental para a compreensão da
operação de multiplicação e para que os alunos consigam, diante de um problema, saber como se colocar ou que
tipo de raciocínio devem ter” (BITTTAR; FREITAS; PAIS, 2013, p. 39).
Pensar em multiplicação traz à tona duas realidades: a tabuada e a soma de parcelas repetidas. A tabuada é um
instrumento importante para o ensino da multiplicação. Porém, aprender tabuada é diferente de gravar a
tabuada. Muitos docentes exigem que as crianças gravem toda a tabuada, afirmando que isso possibilita um
avanço na aprendizagem da multiplicação. Ora, se o estudante decorar, possivelmente não haverá uma
compreensão real sobre o objeto a multiplicar. Possivelmente, ele também não terá construído uma relação com
a adição e logo isso acarretará em problemas posteriores, como na divisão, por exemplo.
É claro que aprender a tabuada é importante, mas aprender é diferente de decorar. Uma vez que o estudante
consiga perceber as relações (adição, por exemplo) que estão contidas em seu contexto, há, então, uma grande
possibilidade de que as propriedades da adição sejam compreendidas e que o estudante perceba como atuam
sobre o campo da multiplicação.
Como vimos na adição e na subtração, trabalhar com o conceito de multiplicação também pode estar vinculado a
objetos manipuláveis, caso do Material Dourado e outros materiais concretos. Tomemos como um exemplo,
então, um caso contido nos PCN (1997, p. 67), que apresenta o seguinte problema: “[...] tenho que tomar 4
comprimidos por dia, durante 5 dias. Quantos comprimidos preciso comprar?”. Se caso resolvêssemos pela
adição, escreveríamos da seguinte forma: .
Considerando o algarismo 4, que se repete 5 vezes, é possível representar a multiplicação da seguinte forma: 
. Importante ressaltar que se denomina “multiplicando” o número que se repete e “multiplicador” o número de
repetições. Cada algarismo, nesse caso, exerce sua função e trocá-los resultaria, possivelmente, outros valores
como resultado.
Vamos a outro exemplo: Isabel, professora dos anos iniciais, resolveu fazer cinco bolos para levar aos estudantes.
Sabendo que para cada bolo ela utilizou três ovos, quantos ovos Isabel utilizou para que os bolos ficassem
prontos?
VOCÊ SABIA?
O sinal de , que indicamos na multiplicação, foi empregado pelo matemático inglês GuilhermeX
Oughtred no livro “Clavis Matematicae”, publicado em 1631. Ainda nesse mesmo ano, Thomas
Harriot, também inglês, colocava um ponto entre os fatores para indicar o produto a efetuar.
Veja mais em: < >.https://goo.gl/Vugjpw
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Nos primeiros momentos, pode acontecer de os estudantes tentarem resolver a questão somando as
quantidades que estão relacionadas no contexto do problema, a saber, 3 ovos e 5 bolos. A soma totalizaria 8, o
que não satisfaz o total de ovos usados na confecção dos bolos. Então, além da necessidade de compreender os
conceitos, os estudantes também devem interpretar os problemas de forma que consigam ter êxito em suas
atividades.
Duas formas de resolução podem ser pensadas para esse problema. A primeira pode ser feita desenhando, por
exemplo, 3 ovos em 5 cestas, ou 5 ovos em 3 cestas. A segunda está alinhada com a primeira, podendo agora agir
 sobre a representação numérica, ou seja, para o primeiro caso, poderíamos representar como 
. e para o segundo caso é possível representar como Após essas representações, por desenhos e por
 ou .adição, a multiplicação pode aparecer, ficando da seguinte forma, respectivamente, 
Podemos afirmar que a multiplicação é a soma de parcelas repetidas. Logo, se a soma é comutativa, a
multiplicação também é. Se a adição é associativa, a multiplicação também é. Resumindo, a multiplicação tanto é
comutativa como associativa. Vejamos um exemplo a seguir para explicar essa questão.
Será se a ordem das parcelas não alterar a soma ou a multiplicação, isto é, somando a primeira comcomutativa
a segunda, ou multiplicando, o valor da parcela o valor final será o mesmo. Observe:
Por outro lado, será , se na adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer sejaassociativa
possível associar as parcelas de quaisquer modos. Exemplo: .
Substituindo ; e , temos .
No caso da multiplicação valerá a mesma regra. Veja: .
Substituindo ; e , temos .
Construir o algoritmo da multiplicação exige que o docente compreenda que, como qualquer outro conteúdo
relacionado à matemática, é necessária uma ação docente vinculada ao momento de aprendizagem dos
discentes, ou seja, valorizar o que foi aprendido para, então, possibilitar novas compreensões sobre os objetos
CASO
Alice é professora de uma turma do quarto ano do Ensino Fundamental. Alice participou de um
projeto pedagógico oferecido pela Universidade de sua cidade como proposta de um curso de
extensão. Nesse curso foi dado foco para o ensino de matemática e uma das teorias que
embasaram esse curso foi a do Campo Conceitual, de Vergnaud.
Essa professora, durante sua graduação, já tinha mostrado interesse por assuntos dessa
temática e, agora, por meio desse curso, decidiu ler mais sobre o campo e principalmente como
as pesquisas já realizadas poderiam colaborar com sua prática em sala de aula. Aprofundando
no tema conheceu sobre as estruturas aditivas e multiplicativas. Leu que para dominar as
estruturas aditivas e multiplicativas, o estudante deveria ser capaz de resolver problemas e
resolver tipos de situações problemas, que podem ser classificados em: composição,
transformação, comparação e misto.
A partir desse contato com a teoria e, principalmente, com várias pesquisas, Alice, com auxílio
de professores da Universidade, elaborou um projeto denominado “Repensando as quatro
operações”, que tinha como objetivo principal estabelecer outras maneiras de se pensar o
ensino dessas operações e também colaborar para o desenvolvimento cognitivo das crianças
daquele ano.
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discentes, ou seja, valorizar o que foi aprendido para, então, possibilitar novas compreensões sobre os objetos
matemáticos. Assim, a multiplicação pode ser ensinada passo a passo no intuito de que a mesma possa
compreender os processos dos algoritmos.
Perceba que, como você vem estudando nesse capítulo, há várias formas de representar o mesmo conceito e isso
é importante para que os estudantes compreendam que a matemática não é fixa, ou seja, não existe apenas uma
única forma de se calcular ou de se obter uma determinada resposta para um problema. Existem diversas
técnicas e maneiras de resolução. Sabendo disso, vamos ver quatro modelos de problemas que envolvem
multiplicação baseado nos PCN (1997). Tais modelos também amparam a divisão, a qual veremos no próximo
tópico.
O é denominado de multiplicação comparativa. Seguem dois exemplos.primeiro grupo 
• Joaquim tem R$ 5,00 e Rozane tem o dobro dessa quantia. Quanto tem Rozane?
• Mariapossui 4 selos enquanto Eduardo tem 5 vezes mais selos que ela. Quantos selos tem Eduardo?
Já no estão as situações associadas à comparação entre razões, que, portanto, envolvem a ideia segundo grupo
de proporcionalidade. Segue um exemplo.
• Isabelly comprou três pacotes de chocolate. Sabendo que cada pacote custa R$ 8,00, quanto ela vai pagar 
pelos três pacotes?
A ideia de proporcionalidade nesse exemplo consiste em que para cada pacote de chocolate comprado é
necessário ter R$ 8,00. Logo, no caso de Isabelly, que comprou três pacotes, o valor dispensado para essa compra
foi de R$ 24,00. Então, caso aumente a quantidade de pacotes de chocolates comprados, o valor aumentará
proporcionalmente. Essa situação é interessante, pois possibilita ao docente trabalhar com outros temas por
meio da multiplicação.
O , configuração retangular, alinha-se aos problemas de cunho geométrico. Veja dois exemplos.terceiro grupo
• Em um anfiteatro, as cadeiras estão dispostas em 7 fileiras e 8 colunas. Quantas cadeiras há no 
anfiteatro?
• Qual é a área de um retângulo cujos lados medem 2 cm por 4 cm?
A organização espacial de elementos dispostos sob uma superfície retangular pode ser explorada como uma
situação ligada à multiplicação. Por exemplo, no primeiro exemplo, é possível resolver de duas formas. A
primeira consiste em contar todas as cadeiras, uma por uma, e depois contabilizar o total. Por outro lado, o
professor pode explicar aos alunos que, caso queiram, podem também realizar uma multiplicação entre a
. quantidade de fileiras com a quantidade de colunas, ou seja, multiplicar Então, o total de cadeiras desse
espaço tem a quantidade de 56 cadeiras.
No segundo exemplo há um retângulo com medidas de 2 cm e 4 cm, representado abaixo:
Figura 6 - Retângulo como forma de efetivar a multiplicação retangular.
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Figura 6 - Retângulo como forma de efetivar a multiplicação retangular.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Sabemos que o retângulo é formado por duas medidas, sendo elas: comprimento (base) e largura (altura). A área
de um retângulo pode ser obtida multiplicando-se a medida da base pela medida da altura . Na figura anterior,
a base representa 4 cm e altura representa 2 cm.
Lembre-se de que o “centímetro quadrado” é uma unidade de medida de superfície, ou seja, é a superfície ou a
área de um quadrado de 1 cm de lado, logo, cada “quadradinho” vale 1 unidade. Somando os “quadradinhos”
temos o total de 8 “quadradinhos”, ou seja, 8 cm².
A resolução, nesse caso, pode ser pela contagem dos “quadradinhos” ou pela noção inicial da área do retângulo:
lado base ( ) multiplicado pelo lado altura ( ). Dessa forma, a fórmula pode ser posta da seguinte maneira: 
 podendo ser resolvida como . Utilizando a malha quadriculada também é possível trabalhar com
o conceito da multiplicação.
Figura 7 - Malha quadriculada para trabalhar com o conceito da multiplicação.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Por meio da malha quadriculada é possível trabalhar com padrões, regularidades, figuras equivalentes e
congruentes, figuras justapostas, entre outras particularidades que podem ser abordadas conforme a proposta
de atividade de cada docente.
O apresenta problemas relacionados à ideia de raciocionio combinatório. Veja o exemplo.quarto grupo
• Jaine possui em seu guarda roupa duas sais e três blusas. Quantas combinações de roupas ele pode 
realizar utilizando suas peças de roupa?
Para responder esse problema, devemos pensar que para cada saia utilizada Jaine pode usar três blusas.
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Para responder esse problema, devemos pensar que para cada saia utilizada Jaine pode usar três blusas.
Sabendo disso, veja a imagem a seguir da qual utilizamos o diagrama de árvore:
Figura 8 - Diagramas de árvore para o raciocínio combinatório.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Veja que para cada saia tenho 3 blusas disponíveis para uso. Vamos chamar a primeira saia de S1 e a segunda
saia de S2 e as blusas de B1, B2 e B3 para montarmos por outra representação, como pode ser pensada a
resolução desse problema. Assim, podemos montar a seguinte sequência:
Note que foram criadas 6 possibilidades para usar as duas saias com as três blusas. Perceba que combinar sais
com blusas ou blusas com saias o resultado continuará o mesmo e, por isso, é possível inferir que aqui estamos
utilizando a propriedade associativa da multiplicação, ou seja, .
Outro exemplo para colaborar com essa discussão está contido no documento “Programa gestão da
aprendizagem escolar gestar I - Operações com números naturais” (BRASIL, 2007, p. 41), onde se apresenta o
seguinte problema: Com 2 tipos de caretas e 4 tipos de chapéus, quantos palhacinhos diferentes você pode
formar?
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Figura 9 - Representação por meio do diagrama de árvore.
Fonte: BRASIL, 2007, p. 41.
Por meio do diagrama de árvore, e analisando as combinações, é possível montar 8 palhacinhos (combinando
careta e chapéu). Poderíamos também esboçar essa ideia por meio do cálculo da multiplicação ou .
Depois do que vimos nesse tópico, foi possível notar que com a multiplicação pode ser trabalhada por diversas
maneiras. A forma mais utilizada pelos docentes é a dos algoritmos, mas apresentar os cálculos sem a
compreensão real dos objetos gera as primeiras dificuldades em matemática e, em muitos casos, acompanha os
sujeitos durante sua vida acadêmica. Importante ressaltar que os exemplos apresentados aqui não são os únicos,
e cabe a cada docente ser um pesquisador reflexivo, sempre no intuito de facilitar o aprendizado dos discentes
no campo da educação escolar. No tópico a seguir veremos sobre a divisão.
2.3 Divisão
A linguagem da divisão tem suas especificidades e sua aplicação, normalmente, causa estranhamentos quando
abordadas de forma desconexa das outras operações. A divisão para ser compreendida deve estar intimamente
ligada à multiplicação e sua operação deve estar alinhada às outras operações. Para isso, a proposta desse tópico
reside em estabelecer uma relação conceitual da operação da divisão com as operações da adição, subtração e
multiplicação e também sobre o sistema de numeração decimal.
Há várias maneiras de se efetuar divisão utilizando os algoritmos, no entanto, principalmente para os anos
iniciais, sua utilização deve estar atrelada às situações didáticas contemporâneas e contextualizadas, ou seja, que
façam parte do contexto social e escolar das crianças.
2.3.1 Divisão e suas técnicas de operacionalização
O trabalho com o ensino da divisão segue a mesma ideia das outras operações elementares, ou seja, seu contexto
não pode estar desconectado do conceito da adição, subtração e multiplicação, bem como necessita de
articulações com o cenário diário das crianças.
Sabemos que não é na escola que a aprendizagem se inicia, uma vez que o conhecimento é construído a partir do
momento em que a criança toma consciência da realidade onde vive, bem como sobre os objetos presentes em
seu cotidiano. A escola, nesse caso, vem ao encontro de colaborar com essa produção de conhecimento, e é um
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seu cotidiano. A escola, nesse caso, vem ao encontro de colaborar com essa produção de conhecimento, e é um
espaço que apresenta aos estudantes sistematizações de conteúdos produzidos historicamente.
No contexto da multiplicação é interessante que o docente explore, em suas ações pedagógicas, situações
didáticas de modo que a divisão, quando for realmente conceituada, não cause dificuldades de seu aprendizado
aos estudantes. Nesse caso, a matemática deve constituir-se por um trabalho de contextualização, historicização
e articulação com o ambiente social.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática (1997, p. 55) apontam que o trabalho com as operações no
ensino fundamental deve se concentrar “[...] na compreensão dos diferentes significados de cada uma delas, nas
relações existentes entre elas e no estudo reflexivodo cálculo, contemplando diferentes tipos – exato,
aproximado, mental e escrito”.
Porém, ainda há uma concepção epistemológica na educação brasileira que sustenta uma prática a qual
desconsidera diferentes formas de cálculo, afetando o trabalho pedagógico, pensado a partir apenas do ensino de
algoritmo, conhecido na escola como contas armadas. Nesse caso, normalmente, as operações são expostas no
intuito de memorização e repetição de técnicas, procedimentos e ações, ou seja, compostas por atividades que
rompem com o entendimento de compreensão sobre o objeto e colabora com a condução às respostas.
De acordo com Miguel (2005) podemos definir esse modelo de trabalho como práticas pedagógicas tradicionais,
onde não há apreensão dos objetos, mas sim a estruturação de habilidades que colaboram com que os alunos
consigam operar com algoritmos apenas por uma maneira, em outras palavras, os alunos conseguem resolver
determinada conta apenas pelo método apresentada pelo professor. É evidente que a forma de resolução
exposta pelo docente deva ser levada em conta, no entanto, não deve ser a única.
Nesse sentido, é interessante “[...] que o professor não só permita que seus alunos conheçam e tenham acesso às
diversas formas de cálculo, como também, os incentive a criar suas próprias estratégias, e que os ensinem a usá-
las em situações diferentes dependendo da necessidade que se tem” (SOUZA, 2008, p. 02). Assim, “[...] o ensino
da matemática deveria potencializar o uso de procedimentos dos próprios alunos, mesmo que não sejam de
caráter formal e sim intuitivo” (GÓMEZ-GRANELL, 1999, p. 257).
Partindo desse entendimento, cabe ao docente trabalhar diferentes formas de cálculo e isso não significa afirmar
que as crianças dos anos iniciais do ensino fundamental não devem ser apresentadas aos algoritmos tradicionais.
Pelo contrário, a apresentação aos algoritmos além de essencial para a vida escolar é também para sua vida
social. O que não pode acontecer é subitamente apresentar os algoritmos sem a devida compreensão sobre o que
é divisão, sobre a finalidade da divisão e de como essa operação pode auxiliar no seguimento de outras
operações dentro do campo da matemática, podendo, para isso, articular manipulação de diversos materiais
concretos e criação de diversas estratégias de resolução e suas relações.
Imagine chegar apresentando divisão com o seguinte enunciado: Em uma divisão de dois números naturais, com
o divisor diferente de zero, o dividendo é igual ao produto do divisor pelo quociente somado com o resto. Em
 em que é o dividendo, o divisor e o resto.linguagem matemática, escrevemos é o quociente, 
Esse enunciado acima se trata do princípio fundamental da divisão. Perceba que a linguagem é robusta e que no
VOCÊ QUER VER?
A TV Escola produz vários vídeos voltados para o campo da educação em geral e também
produzem algumas séries para falar sobre matemática. Esse vídeo da série Sua escola, nossa
, apresenta um projeto denominado “Problema não é problema”,escola – Iniciação Matemática
onde os alunos são estimulados a definir e exemplificar os problemas cotidianos que eles
conhecem. Vale a pena conferir. Acesse em: < >.https://goo.gl/udPLBV
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Esse enunciado acima se trata do princípio fundamental da divisão. Perceba que a linguagem é robusta e que no
primeiro momento não se adéqua a uma linguagem para crianças nos primeiros períodos de escolarização. Parte-
se do princípio de que tal enunciado seja exposto quando as noções iniciais da divisão forem compreendidas
pelas crianças e sua aplicação esteja bem delimitada enquanto campo de utilidade no contexto escolar.
Conforme a Base Nacional Comum Curricular - BNCC, o trabalho com divisão aparece a partir do 3º ano do
ensino fundamental. Nesse documento, inserido na unidade temática “Números”, é apresentado o seguinte
objeto de conhecimento: “Problemas envolvendo diferentes significados da multiplicação e da divisão: adição de
parcelas iguais, configuração retangular, repartição em partes iguais e medida” (BNCC, 2017, p. 284). Para esse
objeto de conhecimento é exposta a seguinte habilidade: “[...] resolver e elaborar problemas de divisão de um
número natural por outro (até 10), com resto zero e com resto diferente de zero, com os significados de
repartição equitativa e de medida, por meio de estratégias e registros pessoais” (BNCC, 2017, p. 284).
Outro objeto de conhecimento seguido por sua habilidade para o 3º ano é apresentado da seguinte forma: “[...]
significados de metade, terça parte, quarta parte, quinta parte e décima parte [...] Associar o quociente de uma
divisão com resto zero de um número natural por 2, 3, 4, 5 e 10 às ideias de metade, terça, quarta, quinta e
décima partes” (BNCC, 2017, p. 284).
É possível, de acordo com os PNC (1997), trabalhar com 4 grupos de problemas, os mesmos que foram vistos
quando estudamos multiplicação, a saber, situações comparativas; situações associadas à comparação entre
razões; situações associadas à configuração retangular; e situações associadas à ideia de combinatória. Vamos
ver cada uma delas.
Para o primeiro grupo, situações comparativas, o exemplo de multiplicação era o seguinte:
• Joaquim tem R$ 5,00 e Rozane tem o dobro dessa quantia. Quanto tem Rozane?
Para a divisão podemos trabalhar inversamente, podendo ser escrito da seguinte forma:
• Rozane possui em sua carteira R$ 10,00. Sua quantia é o dobro do que Joaquim possui. Qual é o valor em 
R$ de Joaquim?
Já , situações associadas à comparação entre razões, que em seu contexto envolve problemaso segundo grupo
de proporcionalidade, no campo da multiplicação foi exposto assim:
• Isabelly comprou três pacotes de chocolate. Sabendo que cada pacote custa R$ 8,00, quanto ela vai pagar 
pelos três pacotes?
Para o contexto da divisão poderíamos reescrever o problema multiplicativo para a divisão conforme exposto a
seguir:
• Isabelly pagou R$ 24,00 em três pacotes de chocolate. Qual é o valor de cada pacote de chocolate que 
Isabelly comprou?
Esse problema retrata a ideia de “parte”, ou seja, quanto valerá cada parte depois de realizada a divisão do valor
total pelo total da quantidade de chocolates.
O , terceiro grupo situações associadas à configuração retangular, alinha-se aos problemas de cunho geométrico.
Um dos exemplos que vimos na multiplicação foi o seguinte:
• em um anfiteatro, as cadeiras estão dispostas em 7 fileiras e 8 colunas. Quantas cadeiras há no 
anfiteatro?
Se reescrevêssemos esse problema multiplicativo para ser pensado por meio da divisão, poderia ser reescrito da
seguinte forma:
• das 56 cadeiras desse anfiteatro, sabendo que há 8 colunas, qual é o total de fileiras?
O , que apresenta problemas relacionados à ideia de situações que envolvam o raciocínioquarto grupo
combinatório, usamos o seguinte problema na multiplicação:
• Jaine possui em seu guarda roupa duas sais e três blusas. Quantas combinações de roupas ele pode 
realizar utilizando suas peças de roupa?
Para a divisão poderia ser escrito assim: se Jaine conseguiu formar 6 tipos de combinação de roupas utilizando
saias e bluas e sabendo que dispunha de duas saias, quantas saias Jaine possuia para realizar essas combinações?
Por meio desses exemplos retratados acima é possível identificar que a multiplicação e a divisão podem e devem
ser trabalhadas concomitantemente. Mesmo que o docente não queira trabalhar com a divisão no primeiro
momento, apenas com a multiplicação, o trabalho também é válido, desde que em períodos posteriores, em
•
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momento, apenas com a multiplicação, o trabalho também é válido, desde que em períodos posteriores, em
trabalhos com a divisão, a multiplicação não fique de lado, agindo como se as mesmas não possuíssem conexão.
Como já vimos, o trabalho com ambas colabora para compreensão mais profunda do ensino de matemática e
também para para situações didáticas mais contextualizadas.Sabendo dessas questões, vamos agora conhecer um pouco sobre os termos da divisão e sobre suas funções
dentro desse campo. Veja a seguir os termos da divisão e como são arranjados dentro de uma conta armada:
Figura 10 - Termos da divisão e sobre suas funções.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Uma das habilidades apresentadas no BNCC (2017) para o 3º ano é resolver e elaborar problemas de divisão de
um número natural por outro (até 10), com resto zero e com resto diferente de zero. Dizemos que se o resto for
zero a divisão é exata e se for diferente de zero a divisão não é exata. Vamos ver dois exemplos, um com divisão
exata e outro com divisão não exata. Observe o exemplo:
• Rozane possui em sua carteira R$ 10,00. Sua quantia é o dobro do que Joaquim possui. Qual é o valor em 
R$ de Joaquim?
Sabendo que o dobro é vinculado à ideia de “duas vezes alguma coisa”, para ser 10, o resultado da questão é 5, ou
seja, 5 multiplicado por 2 equivale à 10. Sendo assim, perceba que essa questão tem como resultado um valor
exato, uma vez que não há sobras. Olhando por meio do processo da conta armada temos:
Figura 11 - Exemplo de divisão exata.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Para resolver problemas como esses é interessante pensar da seguinte forma: qual é o número que multiplicado
por 5 (divisor) tenha como resultado um valor que se aproxime ou é seja o dividendo, que nesse exemplo é o
algarismo 10. Ora, a tabuada auxilia nesse momento quando operamos . O valor da multiplicação do
quociente pelo divisor deve ser subtraído pelo dividendo como visto na imagem acima. Logo, o resultado é 0,
podendo inferir que é uma divisão exata. Vamos a outro exemplo:
• Joaquim deseja repartir igualmente 20 lápis por 6 crianças. Utilizando a forma de resolução vista 
anteriormente, podemos calcular da seguinte forma:
•
•
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Figura 12 - Exemplo de divisão não exata.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Novamente pensamos qual número multiplicado por 6 (divisor) que tem como resultado um valor que se
aproxime ou que seja o dividendo, que nesse exemplo é o algarismo 20. Na tabuada é o valor que se
mais aproxima de 20. Se fizéssemos , o resultado é maior que 20, inferindo a ideia inicial que o valor da
multiplicação deva ser igual ou menor que o algarismo que está no dividendo. Logo, o número 18 deve ser
subtraído por 20 resultando como resultado o algarismo 2, ou seja, o quociente representa que cada criança terá
3 lápis e 2 sobrarão. Como o resto não é 0, o problema, então, é conhecido como uma divisão não exata.
Os exemplos vistos não são regras. Lembre-se de que enquanto docentes devemos trabalhar com várias técnicas
de resolução colaborando com o ensino e aprendizagem de matemática. Nesse sentido, trabalhar com materiais
manipuláveis e instigar processos investigativos em sua suas ações pedagógicas, dando voz aos estudantes e
valorizando suas ideias, são exemplos interessantes para compor o itinerário pedagógico. No tópico a seguir
seguirmos nossas discussões com o tema da estatística.
2.4 Estatística nos anos iniciais de escolarização
Historicamente, o campo da estatística por muito tempo esteve ligado ao ensino superior e ao contexto dos
mercados de capitais. Ao longo do tempo foram realizadas diversas sistematizações no intuito de aplicá-las ao
ensino da educação básica. Assim, foi nos PCN (1997) que sua aplicação nos anos iniciais do ensino fundamental
ganhou ênfase sendo tratado dentro do bloco denominado tratamento da informação.
Nesse sentido, esse tópico tem a intenção de refletir como se dá o desenvolvimento da compreensão de conceitos
estatísticos por crianças dos anos iniciais do Ensino Fundamental e, principalmente, em compreender o trabalho
pedagógico acerca dos conceitos e dos procedimentos no campo da estatística.
2.4.1 Estatística e anos iniciais do ensino fundamental
O termo Estatística, em sua origem, está ligado à palavra que em latim significa “estado”. O uso dostatus,
conceito de estatística, por mais que não haja um consenso, de acordo com alguns historiadores, data por volta
do ano 3.000 A.C., quando as grandes sociedades do Mediterrâneo começaram a avançar territorialmente com
seus estados e, consequentemente, com o aumento de pessoas residindo em seus territórios.
Dessa forma, há indícios de que nessa época foram realizados os primeiros censos de forma a verificar o número
de pessoas que habitavam os seus territórios. Além disso, a verificação de habitantes também tinha como
premissa o conhecimento sobre os aptos para guerra, proprietários das terras, uso das terras, entre outros, ou
seja, uma forma de controle do Estado sobre os seus habitantes. É importante destacar que o termo censo,
derivado da palavra que em latim significa “taxar”, e serviu de base para o cálculo de impostos. Comcensere,
isso, é possível inferir que a ideia inicial da estatística vem ao encontro da necessidade de um controle do Estado
sobre o seu território, bem como da obtenção de lucro.
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O campo da Estatística historicamente articulava-se mais intensamente no ensino superior. Com o tempo sua
aplicação na escola básica vai tomando corpo e sua validade se efetiva, por exemplo, pelos PCN (1997), com um
bloco temático denominado “Tratamento da Informação”, que se divide nos conteúdos de Estatística,
Probabilidade e Combinatória. Para os PCN (1997, p. 36), “[...] com relação à estatística, a finalidade é fazer com
que o aluno venha a construir procedimentos para coletar, organizar, comunicar e interpretar dados, utilizando
tabelas, gráficos e representações que aparecem frequentemente em seu dia-a-dia”.
Ainda conforme os PCN (1997, p. 45):
Os assuntos referentes ao Tratamento da Informação serão trabalhados neste ciclo de modo a
estimularem os alunos a faz desenvolver o espírito de investigação. A finalidade não é a de que os
alunos aprendam apenas a ler e a interpretar representações gráficas, mas que se tornem capazes de
descrever e interpretar sua realidade, usando conhecimentos matemáticos.
Com a formulação dos PCN (1997) houve, nesse momento, um grande avanço sobre o tratamento da informação,
especialmente no campo da estatística, que vem estabelecer algumas especificidades desse campo pensado
agora para a educação básica. O tema ganha atenção de vários pesquisadores do campo da educação matemática
no intuito de pesquisar e produzir conhecimento no campo educacional brasileiro, gerando informações úteis
para os docentes que precisam trabalhar com esse tema nos anos iniciais do ensino fundamental.
Na educação, o termo educação estatística entra em cena quando necessário problematizar o uso e aplicação
desse conteúdo na escola básica. Conforme Cazorla et al. (2017, p. 15):
A Educação Estatística está centrada no estudo da compreensão de como as pessoas aprendem
Estatística envolvendo os aspectos cognitivos e afetivos e o desenvolvimento de abordagens
didáticas e de materiais de ensino. Para isso, a Educação Estatística precisa da contribuição da
Educação Matemática, da Psicologia, da Pedagogia, da Filosofia, da Matemática, além da própria
Estatística.
Perceba que educação estatística se preocupa com os aspectos cognitivos e afetivos bem como sobre o
desenvolvimento de abordagens didáticas e de materiais de ensino. Além disso, está articulado com outros
campos disciplinares, como a Pedagogia, Filosofia, Matemática e Estatística.
O trabalho com esse tema na escola da educação básica propicia vivências para um trabalho interdisciplinar e,
principalmente, possibilita abordar temas transversais. Para ser estatisticamente crítico, conforme Guimarães
(2013, p. 04), “[...] é preciso conhecer sobre os dados, como interpretá-los, aprender a colocar perguntas críticas
e refletidas acerca do que é apresentado, ou seja, saber se os dados coletados são confiáveis e representativos da
amostra”.
Trabalhar com estatística envolve além dos aspectos gráficos, ações que envolvam reflexão sobreos objetos bem
como percebê-los como uma ferramenta potente para entender o mundo no qual se vive, ou seja, interpretar as
informações e com elas expandir seu conhecimento frente às problemáticas que nos rodeiam. Outro fato
VOCÊ SABIA?
Em 1871, no período Imperial, foi criado o primeiro órgão destinado exclusivamente à
Estatística, que até 1934 mudou de nome e de função algumas vezes. Posteriormente, em
1936, foi criado o Instituto Nacional de Estatística, que no ano seguinte passou a ser chamado
de Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, o IBGE (BRASIL, [201-?]).
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como percebê-los como uma ferramenta potente para entender o mundo no qual se vive, ou seja, interpretar as
informações e com elas expandir seu conhecimento frente às problemáticas que nos rodeiam. Outro fato
importante é que o pensamento estatístico trabalha com as incertezas, ou seja, por meio da probabilidade analisa
chances de eventos acontecerem e até mesmo de não acontecerem.
Assim, conforme Cazorla e Santana (2010), as fases de uma investigação científica têm as seguintes etapas: a)
problematização da pesquisa; b) planejamento da pesquisa; e c) execução da pesquisa. Para Crespo (2002) e
Larson e Farber (2010), a Estatística é uma ciência que fornece métodos para a coleta, organização, descrição,
análise e interpretação de dados que, posteriormente, serão utilizados para a tomada de decisões.
Ao empreender-se em um estudo estatístico, é necessário o desenvolvimento de diversas fases do trabalho a fim
de que se possa chegar a resultados finais que possibilitem tomadas de decisões válidas. As fases principais, de
acordo com Falco (2008), são as seguintes:
VOCÊ QUER LER?
O livro “Estatística para os anos iniciais do ensino fundamental” (2017), de Irene Cazorla,
Sandra Magina, Verônica Gitiran e Gilda Guimarães, é composto por reflexões oriundas de
pesquisas das pesquisadoras e busca expor as articulações possíveis entre a estatística e os
anos inicias. Trazem ainda nesse livro vários caminhos e possibilidades para trabalhar com
essa temática. Leia em: < >.https://goo.gl/tptu9Y
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Quadro 1 - Fases desenvolvidas para o estudo estatístico.
Fonte: Elaborado pelo autor, baseado em FALCO, 2008.
É possível definir fenômeno como “[...] os acontecimentos observáveis, algo que pode ser visto. Estes podem ser
observados em condições naturais ou experimentais. Os experimentos são réplicas dos fenômenos naturais em
condições controladas pelo experimentador” (CAZORLA et al., 2017, p. 21).
Um fato que marca a infância é a curiosidade. Por meio da curiosidade as crianças questionam, investigam e
descobrem infinitas informações que passam, então, a compor seu acervo mental. O papel do docente entra em
cena quando consegue aproveitar essa curiosidade para trabalhar com os conteúdos curriculares, caso da
educação estatística.
Para Cazorla et al. (2017, p. 21), “[...] o fato de uma questão já ter resposta científica não implica em sua
inviabilidade de uso em sala de aula. Essas investigações são feitas para que o aluno observe ou reconstrua o
conhecimento, ou parte dele, a partir de experimentos ou de observação dos fenômenos”.
Para escolher um problema a ser investigado pode haver uma escolha entre os docentes e os estudantes. O
trabalho de pesquisa pode ser articulado com as aulas, podendo essa pesquisa durar um bom tempo, como um
bimestre letivo todo, pois cada retorno à pesquisa tem a intenção de incentivar os estudantes para que não
desanimem ao longo do processo.
Conforme Cazorla et al. (2017, p. 26), “[...] é importante ressaltar que algumas vezes se confunde pesquisa com
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Conforme Cazorla et al. (2017, p. 26), “[...] é importante ressaltar que algumas vezes se confunde pesquisa com
estudo. Entretanto, a diferença entre os dois está exatamente na produção de um conhecimento e não na
apropriação por alguém de um conhecimento já produzido”. Ou seja, pesquisa produz algo novo, mesmo que já
produzido por outras pessoas.
Imagine que você, enquanto docente, queira aprofundar a discussão sobre multiplicação e divisão com os
estudantes. Nesse sentido é possível trabalhar com tarefas investigativas, pois permite o “[...] contato das
crianças com uma matemática que não seja baseada apenas na reprodução de procedimentos, que incentive a
autonomia e a criatividade dos estudantes, pode ter uma maior potencialidade nos anos iniciais, pois as crianças
ainda não apresentam resistência em relação a ela” (BERTINI, 2015, p. 20).
O espaço que fará essa pesquisa é particular de sua escola, os recursos, o espaço onde a escola se encontra, a
cidade, o bairro etc. Então, cada pesquisa é única, pois cada escola vive uma realidade e, por isso, ela será
produzida conforme esse espaço, mas sempre no intuito de produção de conhecimento. Interessante ressaltar
que atividades de pesquisa devem estar alinhadas com a faixa etária dos estudantes e com o tempo necessário
para efetivar a ação.
Importante lembrar que para qualquer atividade em sala de aula deve haver um planejamento bem como
objetivos a serem alcançados. O interessante da estatística é a possibilidade que nos oferece para trabalhar com
situações didáticas de ações de nosso cotidiano. Sendo assim, o ganho no processo de aprendizagem em
matemática possivelmente será mais qualificado.
Síntese
Neste capítulo você pôde observar alguns conceitos que atravessam o ensino de subtração, multiplicação, divisão
e estatística, sendo todos pensados a partir dos anos iniciais do ensino fundamental.
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
• compreender que dominar as estruturas aditivas exige do discente a capacidade de resolver vários 
modelos de situações-problema;
• visualizar que no campo conceitual quando trabalhamos com situações problemas nos deparamos com 
quatro grupos: ;composição, transformação, comparação e misto
• aprender que efetuar não se trata de realizar empréstimos e sim de dezenas em decomposição 
unidades, centenas em dezenas etc.;
• perceber que o campo da multiplicação pode ser pensado pelo raciocínio combinatório;
• identificar que o campo da estatística quando pensado para a educação tem um termo próprio, 
conhecido também como educação estatística.
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	Introdução
	2.1 Subtração
	2.1.1 Tecnologias do passado e do presente
	2.2 Multiplicação
	2.2.1 A construção do algoritmo da multiplicação
	2.3 Divisão
	2.3.1 Divisão e suas técnicas de operacionalização
	2.4 Estatística nos anos iniciais de escolarização
	2.4.1 Estatística e anos iniciais do ensino fundamental
	Síntese
	Bibliografia