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C 
 
 
 
 
CONHECIMENTO 
MATEMÁTICO INICIAL 
LIVRO DIGITAL N°2 
PROF DOUGLAS REICHEMBACH 
Enfrentando um processo 
árduo de busca até a 
identificação profissional, 
aprendi a lidar muito bem com 
as dificuldades e necessidades. 
Dos 13 aos 18 anos convivendo 
de forma intensa no meio do 
esporte conheci de perto a 
disputa elevada para se 
chegar a um objetivo. Por isso, 
entendo as fortes exigências e 
cobranças que os alunos fazem 
a si mesmos para alcançarem 
uma conquista acadêmica. 
Conclui o curso de 
Bacharelado em 
Administração e Licenciatura 
em Matemática. Durante esse 
processo trabalhei em algumas 
empresas, tive minha própria 
empresa e fui tutor de turmas 
de empreendedorismo. Após 
essa fase, iniciei minha atuação 
no ramo matemático 
auxiliando e assessorando 
alunos a encontrarem seus 
objetivos. Um caminho eterno 
sem volta! 
 
 
FORMAÇÃO 
LICENCIADO EM MATEMÁTICA 
 
BACHAREL EM ADMINISTRAÇÃO 
DIFERENCIAL 
Experiência prática e intensiva na formação de alunos que 
iniciaram do básico e passaram para o nível avançado da 
matemática. 
DIREITOS AUTORAIS 
Segundo a lei n.º 10.695 pirataria é crime. Além de descumprir o 
código penal você estará passando por cima de horas e horas de 
trabalho pensadas somente na sua conquista e aprovação. 
 
 
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Sumário 
 
1. Múltiplos e Divisores ..................................................................................................... 4 
2. Números Primos............................................................................................................. 9 
3. Critérios de Divisibilidade ............................................................................................ 15 
4. Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e Máximo Divisor Comum (MDC) .............................. 22 
5. Fração ........................................................................................................................... 27 
6. Quadrado Perfeito ....................................................................................................... 34 
7. Números Decimais ....................................................................................................... 36 
8. Sistema de Medidas ..................................................................................................... 38 
9. Razão e Proporção ....................................................................................................... 46 
10. Média Aritmética e Média Aritmética Ponderada ..................................................... 53 
Simulado ................................................................................................................................ 55 
Bibliografia ............................................................................................................................. 69 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Como estudar o método “Entendimento matemático”? 
Ao iniciar minha carreira como professor de matemática passei a trabalhar dando aulas 
particulares à alunos que tinham dificuldade na matéria. Então notei um certo padrão em todos 
eles para não conseguirem êxito nos assuntos: 
1° Não tinham a base da matéria; 
2° Não gostavam da matéria por não entenderem; 
3° Não gostavam de estudar ou tinham dificuldade; 
Analisando os três padrões percebi que um está ligado ao outro de forma escalonada, ou seja, 
o 1° está ligado ao 2° que está ligado ao 3°. Assim, os alunos que não têm base na matemática, 
não vão gostar da matéria por não entenderem e não terão motivação para estudar, sentindo 
assim muita dificuldade. 
Esse livro digital serve para quem quer avançar no conhecimento da matéria, aprendendo a 
trabalhar com a base para assim evoluir ao nível de clareza matemática. Será um passo para 
você dominar a matemática e os assuntos mais complexos. 
Abaixo citarei os passos necessários para você aproveitar o máximo potencial do curso, lógico 
que você pode incrementar suas estratégias de aprendizagem. 
 Leia com total atenção e não passe de assunto ou trecho sem entender completamente 
tudo; 
 Veja no máximo 2 assuntos por dia e faça o total de anotações que forem necessárias na 
apostila ou em um rascunho; 
 Não olhe o gabarito antes de tentar fazer a questão; 
 Se errar a questão, olhe o gabarito e tente respondê-la novamente; 
 Não se distraia com aparelhos eletrônicos ou afazeres diários no momento em que você 
estiver estudando; 
 Quando for resolver o simulado final faça uma simulação de prova, separando 4 horas para 
o mesmo; 
 Caso tenha muita dificuldade nesse livro digital será necessário revisar novamente o mesmo 
para fixar os conteúdos; 
 Se estiver obtendo 80% ou mais de acerto em todas as questões, vá até o final e logo você 
estará pronto para a próxima fase; 
 
 
 
 
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4 
 
 
 
Método 2.0 (Prof. Douglas Reichembach) 
Objetivo: Fazer o aluno desenvolver o conhecimento na matéria após ter adquirido uma boa 
base. Esse passo é fundamental para o desenvolvimento da matemática avançada. Criado para 
quem já construiu bem os fundamentos iniciais da matemática, ou para alunos que não 
conseguem evoluir nos assuntos sequentes. 
Jogue duro! 
1. Múltiplos e Divisores 
 
Vamos trabalhar com o conceito de múltiplo dentro dos números naturais e inteiros, pois como 
já estudamos, sabemos que um está contido no outro, ou seja, o conjunto dos números naturais 
está contido no conjunto dos números inteiros. 
Ex: N C I 
Para que venhamos a identificar o múltiplo de um número, basta encontrarmos um número 
inteiro de tal maneira que a multiplicação entre eles resulte no primeiro número. Vejamos 
como isso funciona na prática: 
a) 50 é múltiplo de 10, pois 50 é igual a 10 multiplicado pelo número inteiro 5. 
b) 35 é múltiplo de 7, pois 35 é igual a 7 multiplicado pelo número inteiro 5. 
c) 40 é múltiplo de 8, pois 40 é igual a 8 multiplicado pelo número inteiro 5. 
d) 21 não é múltiplo de 2, pois não existe número inteiro que multiplicado por 2 seja igual a 
21. 
Obs: Mais para frente veremos critérios de divisibilidade, você entenderá melhor o conceito 
de múltiplos de um número, pois verá que quando um número for dividido por outro e não 
resultar em uma divisão inteira, nesse caso não teremos múltiplos. 
Ex: Se dividimos o 47 por 5, resultará no número racional 9,4. Assim, sabemos que o 5 não é 
múltiplo de 47, pois a divisão não resultou em um número inteiro. 
 
Subindo as paredes da casa 
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5 
 
Múltiplos do 5 
5.1=5 
5.2=10 
5.3=15 
5.4=20 
5.5=25 
5.6=30 
5.7=35 
5.8=40 
5.9=45 
5.10=50 
 
Diante do conceito de múltiplos que aprendemos, o resultado das multiplicações dos números 
inteiros pelo 5 resulta em múltiplos de 5. Então, representamos esse conjunto da seguinte 
forma: 
M(5) ={5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50; … } 
Jovem exemplificamos a teoria e alguns exemplos relacionados a 
múltiplos deum número. Agora vou mostrar a relação que isso 
tem com a tabuada de multiplicação do 5. 
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6 
As reticências (...) no final do conjunto, significa que ainda têm infinitos números múltiplos de 
5. 
Obs.: O número zero faz parte do conjunto dos inteiros e sabemos que qualquer número 
multiplicado por zero será igual a zero, assim, o número zero é múltiplo de todo número inteiro. 
Agora vamos falar de divisores. Uma vez que você entendeu bem o conceito de múltiplos, esse 
próximo passo se tornará mais fácil. 
 
Vou utilizar os mesmos números do assunto passado para que você tenha mais facilidade na 
associação. Vejamos: 
a) 50 é múltiplo de 10, pois 50 é igual a 10 multiplicado pelo número inteiro 5. 
O 10 é divisor do 50, pois 50/10 é igual a 5, ou seja, dividindo os dois resultará em um 
número inteiro. 
b) 35 é múltiplo de 7, pois 35 é igual a 7 multiplicado pelo número inteiro 5. 
O 7 é divisor do 35, pois 35/7 é igual a 5, ou seja, dividindo os dois resultará em um número 
inteiro, por isso o 7 é divisor do 35. 
c) 40 é múltiplo de 8, pois 40 é igual a 8 multiplicado pelo número inteiro 5. 
O 8 é divisor do 40, pois 40/8 é igual a 5, ou seja, dividindo os dois números teremos como 
resultado um número inteiro, por isso o 8 é divisor do 35. 
d) 21 não é múltiplo de 2, pois não existe número inteiro que multiplicado por 2 seja igual a 
21. 
Eu costumo falar para os meus alunos que assim como a 
subtração é a operação inversa da soma e a multiplicação é a 
inversa da divisão, podemos considerar os divisores de um 
número como sendo inversos aos múltiplos. Eu vou mostrar 
alguns exemplos aqui para que você entenda melhor. 
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O 2 não é um divisor do 21, pois dividindo 21/2 não obteremos um número inteiro. 
Agora você já entendeu o conceito de divisores. Vamos entender de uma vez por todas 
como isso é cobrado em provas. 
Determinação dos divisores de um número 
Preste atenção, pois essa parte é bastante interessante, determinamos todos os divisores 
de um número utilizando os seus fatores primos. Veja, para determinarmos os divisores de 
90, seguiremos alguns passos: 
1º) decompomos o número em fatores primos; 
2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer número; 
 
3º) multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos 
esses produtos ao lado de cada fator primo; 
 
4º) os divisores já obtidos não precisam ser repetidos. 
 
 
 
Os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90. 
 
 
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Exercício 
1) (Uece) Maria observou que suas férias, naquele ano, terminaram no dia 27 de julho, uma 
segunda-feira, e agendou uma reunião com seus amigos no primeiro feriado do segundo 
semestre, que no caso era dia 7 de setembro. A reunião foi agendada para um (a): 
a) sábado 
b) domingo 
c) segunda-feira 
d) terça-feira 
e) sexta-feira 
2) Assinale a alternativa a seguir que representa todos os múltiplos de 7: 
a) 14,21,49,50 
b)14,21,49,56 
c) 7,14,20,47 
d) 14,49,51,60 
3) O conjunto dos números naturais é composto por todos os números inteiros positivos. 
Das alternativas a seguir, qual representa um conjunto de múltiplos de um número natural 
e, ao mesmo tempo, um subconjunto dos números naturais? 
a) {1, 3, 5, 7, 9, 11, …} 
b) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …} 
c) {…, -4, -2, 0, 2, 4, ...} 
d) {2, 4, 8, 10, 12, 14, …} 
e) {-1, -2, -3, -4, -5, -6, …} 
4) Quais dos números a seguir estão entre os divisores de 148? 
a) 4, 7 e 8 
b) 4, 8 e 37 
c) 2, 4, 37 e 148 
d) 2, 8 e 37 
e) 2, 4, 7 e 37 
 
Gabarito 
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1) Do dia 27/07 a 07/09 temos aí 4+31+7=42 dias, sendo 4 dias em julho, 31 dias em agosto 
e 7 dias em setembro. Sabemos que cada semana tem 7 dias, e que o número 42 é múltiplo 
de 7. Como resultado da divisão 
42
7
= 6, ou seja, se passaram 6 semanas até o feriado, e por 
ser um número inteiro o resultado da divisão, o dia vai cair exatamente no mesmo dia que 
iniciou a contagem, segunda-feira. 
Gabarito: c) 
2) A alternativa que corresponde aos múltiplos de 7 é a letra b, pois ao serem divididos pelo 
mesmo sempre haverá como resultado um número inteiro. Veja: 
14/7=2 
21/7=3 
49/7=7 
56/7=8 
Gabarito: b) 
3) A alternativa d) revela o conjunto dos números pares, que é formado somente por 
múltiplos de 2 e está totalmente contido no conjunto dos números naturais, portanto, ela 
é a alternativa correta. 
Gabarito: d) 
4) Para encontrar os divisores vamos fazer sua decomposição em fatores primos. 
148 | 2 
 74 | 2 
 37| 37 
 1 | 
Os fatores primos desse número são 2 e 37. Realizando o produto entre esses fatores, temos 
4 ou 74, que também são divisores de 148. Então basta lembrarmos que todo número é 
divisor de 1 e de si mesmo. Temos a lista completa com os divisores de 148 é: 1, 2, 4, 37, 74 
e 148. 
Gabarito: c) 
2. Números Primos 
 
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Os números primos podem ser considerados divisores naturais que só podem ser divididos 
por 1 e pelo próprio número. 
Exemplos: 
O 2 é um número primo, pois contém apenas como divisores o número 1 e ele mesmo. 
O 3 também é um número primo, podendo assim ser dividido apenas por 1 e por ele mesmo. 
O 9 não é um número primo, pois ele pode ser dividido pelo 1, 3 e pelo próprio 9. 
Para um número não ser primo, basta apenas ter mais de 2 divisores. 
Obs.: Lembre que iremos considerar como divisores apenas aqueles números que vêm 
antes do algarismo analisado. Caso formos avaliar se o 9 é primo, não poderemos levar em 
consideração números que venham depois dele. 
Podemos chamar os números que têm mais de 2 divisores de compostos. 
 
 
Perceba também que para analisar se o número é primo ou não devemos analisar apenas 
os antecessores. 
Como saber se um número é primo ou não? 
Para facilitar o processo de aprendizagem vou deixar 
logo abaixo uma tabela com todos os números 
primos grifados em verde até o 100. Assim, irá 
facilitar sua análise. 
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No caso de números pequenos de 1 a 100 conseguimos identificar de uma maneira mais 
simples se ele é primo ou não, porém quanto mais alto é o valor será mais difícil saber sem 
fazer nenhum tipo de cálculo. 
Por isso existe uma regra que deverá ser utilizada caso você encontre um número que não 
tenha a certeza se é primo ou não. 
 
 
 
 
Lembre que no momento que o quociente acima for igual ou menor ao divisor pararemos 
a operação. 
Vamos pegar como exemplo o número 143 e veremos se é primo ou não: 
 
Perceba que paramos na divisão do 143 por 11, justamenteporque nesse momento o resto 
se tornou 0. Então sabemos que o número é composto, pois tem pelo menos o 11 além do 
1 e do próprio número que também pode ser dividido por 143. 
Em resumo 
Para verificar se um número é primo ou não você deverá dividir o mesmo começando 
pelo menor número primo que é o dois, e posteriormente ir dividindo pelos primos 
que vêm um após o outro até o momento que o divisor seja maior ou igual ao 
quociente. Nesse momento se houver resto ≠ 0 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 é 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜. 
Porém, se durante as divisões houver um resto = 0 o número não será primo, sendo 
assim composto.Vou te mostrar um exemplo logo abaixo para que você venha a 
entender essa relação. Mas, antes disso te explicarei a estrutura de uma divisão para 
que assim você tenha certeza do que é quociente. 
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Fazer divisões sucessivas por números primos, é basicamente dividir o número desejado 
por 2, 3, 5, 7, 11, 13 e pelo restante dos números primos sequentes, até o momento que 
se obtenha uma divisão na qual o resto é diferente de zero, e o divisor da mesma é maior 
ou igual ao quociente. No momento em que isso ocorrer, haverá a confirmação de que tal 
número é mesmo primo. Porém, se porventura, pelo caminho, alguma dessas divisões por 
números primos resultar num resto igual a zero, quer dizer que tal número possui pelo 
menos outro divisor além de 1 e dele mesmo, o que fará do mesmo número composto. 
 
 
 
 
 
Antes de entrarmos no estudo dos critérios de divisibilidade existe um braço referente ao 
assunto de números primos que você precisa entender bem, pois lá na frente fará a 
diferença em assuntos mais avançados. Iremos estudar a Fatoração dos Números Primos. 
Todo número composto pode ser representado por fatores primos. 
Prof. Doug, não existe um jeito 
mais fácil? Vou ter que ficar 
fazendo todas essas divisões ? 
Elias, não existe outra forma de 
descobrirmos se um número é primo ou 
não, infelizmente. Mas, existe um jeito 
de acelerar esse processo através dos 
critérios de divisibilidade. Veremos eles 
no próximo capítulo! 
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13 
Ex: 18=2.9=2.3.3 
21=3.7 
75=3.25=3.5.5 
Como você pode perceber fizemos a decomposição de números compostos em fatores 
primos. Vamos especificar esse assunto ainda nesse livro digital em MMC E MDC. 
Exercício 
1) Enumere a primeira coluna de acordo com a segunda, relacionando assim os números 
primos e compostos: 
( ) 13 
( ) 10 
( ) 29 
( ) 15 
( ) 20 
1. Número primo 
2. Número composto 
a) 1-2-1-2-2 
b) 2-1-2-1-1 
c) 1-2-1-1-2 
d) 2-1-2-1-1 
2) Marque a alternativa que contém apenas números primos: 
a) 3;4;7;9;10 
b) 3;5;7;11;97;100 
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14 
c) 13;19;23;29;83 
d) 73;79;88;89;100 
3) Levando em consideração os números primos e compostos assinale a alternativa 
incorreta: 
a) Os números compostos são aqueles que apresentam mais de dois divisores. 
b) Para o número ser considerado primo ele precisa ter apenas dois divisores. 
c) Do 1 ao 10 temos 4 números primos. 
d) Ao efetuarmos divisões sucessivas pelos números primos sequenciais teremos a certeza 
de que o número é primo se o divisor for maior que o quociente e o resto da divisão for 0. 
4) Assinale a alternativa que apresenta apenas números compostos: 
a) 10;17;20;30;40 
b) 5;10;15;16;30 
c) 10;20;30;40;45 
d) 5;7;9;13;17;19 
 
Gabarito 
1) Sabemos que o número será primo quando for divisível apenas por 1 e por ele mesmo e 
composto quando tiver mais de dois divisores. 
O 13 e o 29 são primos, pois só têm como divisores o 1 e o próprio número. 
O 10, 15 e 20 são compostos, pois possuem mais de 2 divisores. Veja: 
D(10) = {1; 2; 5; 10} 
D(15) = {1; 3; 5; 15} 
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15 
D(20) = {1; 2; 5; 10; 20} 
Portanto, alternativa correta letra a). 
Gabarito: a) 
2) A única alternativa que apresenta todos os números primos sendo divididos apenas por 
1 e por ele mesmo é a letra c. 
P={13; 19; 23; 29; 83} 
Gabarito: c) 
3) As letras a,b e c estão realmente encaixadas dentro da teoria que estudamos, porem a 
alternativa d, diverge de tudo que vimos, pois sabemos que para o número ser primo o 
resto da divisão em que deve ter um divisor maior que o quociente não pode ser zero. 
Gabarito: d) 
4) A alternativa que apresenta apenas números compostos é a letra c), pois todos os 
números que compõe esse conjunto têm mais de dois divisores. 
Gabarito: c) 
3. Critérios de Divisibilidade 
 
O assunto que iremos trabalhar agora é responsável por otimizar o tempo de resolução de 
questões e proporcionar uma dimensão matemática maior para os alunos. Costumo 
resumi-lo na seguinte frase: 
“Um número inteiro é considerado divisível por qualquer outro quando o resto da divisão 
entre eles é igual a 0”. 
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16 
 
Revisando os elementos da divisão concluímos que o resto é fruto da razão do dividendo 
pelo divisor, e o quociente é o número de vezes que o divisor irá se repetir. 
No exemplo acima temos uma divisão não exata, pois o resto é ≠ de 0. Mas, repare a 
divisão abaixo: 
Ex: 10:5=2, resto 0. Nesse caso temos uma divisão entre dois números naturais ou inteiros 
que apresenta como resto o número 0. Os critérios de divisibilidade serão abordados 
dentro desse contexto, sendo o resto da operação igual a zero. 
Divisibilidade por 1 
Esse é um dos critérios mais simples, pois todos os números são divisíveis por 1. 
Ex: 721:1=721 
842:1=842 
9:1=9 
 
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17 
PARADINHA DA MOTIVAÇÃO! 
 
 
 
 
 
Divisibilidade por 2 
Todos os números pares são divisíveis por 2, sendo os mesmos terminados em 0,4,6 e 8. 
Ex: 10:2=5 
14:2=7 
16:2=8 
18:2=9 
Divisibilidade por 3 
Um número é divisível por 3 quando a soma de todos os seus algarismos for divisível por 3. 
Ex: 711:3=237, pois 7+1+1=9:3=3 
Divisibilidade por 4 
Um número é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos forem 00 ou um número 
divisível por 4. 
Ex: 1000:4=250 
428:4=107, pois o 28 é um número divisível por 4. 
Divisibilidade por 5 
Todo número é divisível por 5 quando seu último algarismo terminar em 0 ou 5. 
Nesse nosso intervalo queria te falar um pouco sobre processos, mas não são 
aqueles jurídicos e sim os processos da vida. Certa vez conversando com um amigo 
descobri que um pé de jaca demora 4 anos para dar os seus primeiros frutos, no 
mesmo momento lembrei que nos estudos não é diferente, por mais que muitas 
pessoas não precisam de 4 anos paraconseguirem seus primeiros resultados, ainda 
assim é necessário um tempo para evolução nos estudos e domínio das matérias. 
Que neste exato momento você tire todo o peso que tem sobre seus ombros, 
respeite seu processo e dê um passo de cada vez! 
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18 
Ex: 100:5=20 
15:5=3 
Divisibilidade por 6 
Um número pode ser divisível por 6 quando for divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo. 
Ex: 12:2=6 
12:3=4 
12:6=2 
Perceba que o 12 foi dividido por pelo 2 e 3 resultando em divisões exatas, 
consequentemente também pode ser dividido por 6. 
Divisibilidade por 7 
Preste bem atenção, pois esse exemplo exige mais cuidado. 
Um número é divisível por 7 quando ao duplicar o algarismo das unidades e subtrair do 
resto do número, o resultado for divisível por 7. Veja o exemplo: 
Ex: 294: 7 = 42, pois 2 x 4 = 8 e 29 – 8 = 21, nesse caso sabemos que o 21 é divisível por 7 
tendo como resultado o número 3, portanto o 294 é divisível por 7. 
Divisibilidade por 8 
Um número pode ser divisível por 8 quando atender essas condições: 
1) O antepenúltimo algarismo deve ser par e os dois últimos formem um múltiplo de 8 
2) Quando os seus três últimos algarismos forem 000 ou divisíveis por 8 
Ex: 1000:8=125, pois seus 3 últimos algarismos são 000. 
45216:8=5652, pois o seu antepenúltimo algarismo é par e os dois últimos formam o 
número 16 que é um múltiplo de 8. 
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19 
Divisibilidade por 9 
Para que um número seja divisível por 9 a soma de todos os seus algarismos deve ser igual 
a um número divisível por 9. 
Ex: 801:9=89, pois 8+0+1=9:9=1 
Divisibilidade por 10 
Um número será divisível por 10 quando finalizar em 0. 
Ex: 610:10=61 
Divisibilidade por 11 
Um número pode ser divisível por 11 quando a diferença entre o último algarismo e o 
número formado pelos demais algarismos, de forma continuada até formar um número 
com 2 algarismos, resulte em um múltiplo de 11. Fique tranquilo que você irá entender 
nesse exemplo. 
Essa regra contempla às dezenas duplas (11, 22, 33, 44, 55, etc.), que são múltiplas de 11. 
Exemplo: 
14.641: 11 = 1.331, pois 1464 - 1 = 1463 --- 146 - 3 = 143 --- 14 - 3 = 11 
Divisibilidade por 12 
Um número pode ser divisível por 12 quando for divisível por 3 e 4 ao mesmo tempo. 
144: 12 = 12, pois 144:3 = 48 e 144:4 = 36 
Divisibilidade por 17 
Um número pode ser divisível por 17 quando o seu último algarismo é multiplicado por 5 e 
o resultado, subtraído do número que não contém este último algarismo, gerando assim 
um número divisível por 17. 
Ex: 221:17= 13, pois 5.1=5, 22-5=17 
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20 
Divisibilidade por 25 
Um número pode ser divisível por 25 quando seus últimos dois algarismos forem 00, 25, 50 
ou 75. 
Ex: 825:25= 33 
Exercícios 
1) (CFS) É divisível por 2, 3 e 5 simultaneamente o número: 
a) 235 
b) 520 
c) 230 
d) 510 
e) 532 
2) No número 34n27, qual é o algarismo que substitui n para que ele seja divisível por 9? 
a)2 
b)3 
c)4 
d)5 
e)6 
3) O número 152 489 476 250 é divisível por 6. 
a) Certo 
b) Errado 
4) Assinale a alternativa que corresponde apenas aos divisores de 480: 
a) 2,3,5,6,7 
b) 2,3,5,6,9 
c) 5,6,10,12 
d) 5,6,9,10 
Gabarito 
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21 
1) Vamos revisar os critérios de divisibilidade por 2,3 e 5. Para um número ser divisível por 
2 ele precisa terminar em um número par, ou seja, 0,2,4,6 e 8. 
Para um número ser divisível por 3 a soma de todos os seus algarismos deve dar um número 
divisível por 3. 
Para um número ser divisível por 5 ele deve terminar em 0 ou 5. 
A única alternativa que contém um número atendendo a todos esses requisitos é a letra d) 
510. 
Gabarito: d) 
2) Sabemos que para um número ser divisível por 9 a soma de todos os seus algarismos 
precisa resultar em um número divisível por 9. Ao somar 3+4+2+7 temos o 16. O número 
mais próximo a ele que resulta em um que pode ser divisível por 9 é o 18, portanto a soma 
de todos os algarismos devem ser iguais a 18. 
3+4+n+2+7=18 
16+n=18 
n=18-16 
n=2 
Então, temos que n=2. 
Gabarito: a) 
3) Para que um número seja divisível por 6 ele precisa ser divisível por 2 e 3 ao mesmo 
tempo. Sabemos que o número 152 489 476 250 é divisível por 2, pois termina em um 
algarismo par, mas ele não é divisível por 3 porque a soma de todos os seus algarismos que 
é o número 53 não resulta em uma divisão tendo como quociente um número inteiro ao 
ser dividido por 3. 
Gabarito: b) 
4) Você poderia pegar o número 480 e sair dividindo por todos os números das 
alternativas, mas isso levaria muito tempo, então usaremos os critérios de divisibilidade. 
A alternativa que corresponde a todos os divisores de 480 é a letra c)5,6,10,12. O 480 
termina em 0, por isso é divisível por 5, ele pode ser dividido por 2 e 3 ao mesmo tempo, 
tornando ele também divisível por 6, como termina em 0 é divisível por 10 e como pode 
ser divisível por 3 e 4 ao mesmo tempo também é divisível por 12. 
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22 
Gabarito: c) 
4. Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e Máximo Divisor Comum (MDC) 
 
O assunto que veremos agora está relacionado aos múltiplos e divisores de um número 
natural. Não é à toa que estamos trabalhando uma sequência de conteúdos que se Inter- 
relacionam em ordem cronológica para que você entenda da melhor maneira. 
Lembrando que ao pensarmos em múltiplos lembraremos de números maiores do qual 
estamos relacionando e se tratando de divisores pensaremos em números menores ao qual 
estamos relacionando. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O mínimo múltiplo comum de um número é representado pelo menor valor comum aos 
números comparados que seja múltiplo de todos. 
Vamos observar os múltiplos de 10 e 30: 
M(10) = 0,10,20,30,40,50,60, ... 
M(30) = 0,30,60,90,120,150, ... 
O MMC entre 10 e 30 é o próprio 30, pois é o menor número comum aos dois conjuntos 
acima, desconsiderando o zero. 
Outra forma de se encontrar o mmc entre dois ou mais números é através da fatoração. 
Prof. Douglas, entendi 
bem o conceito de 
múltiplos e divisores, mas 
o que vem a ser 
realmente MMC E MDC? 
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23 
Vejamos: 
 
 
Tiramos o mmc fatorando os dois números em conjunto e dividindo apenas os mesmos por 
números primos, seguindo a ordem de primeiro dividir pelos menores primos possíveis, ou 
seja, apesar do 10 e do 30 serem divisíveis por outros números não podemos seguir assim, 
pois deveremos considerar primeiro a divisão pelo menor primo que é o 2. 
Vamos ver outro exemplo: 
 
Sabemos que 2.5.5=50, consequentemente o mmc de 25 e 50 será 50. 
Agora que vimos o mmc veremos o máximo divisor comum, que é representado pelo maiorvalor comum que pertence aos divisores dos números envolvidos. Vamos usar como 
exemplo o 20 e o 30. Veja: 
D(20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20. 
D(30) = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. 
O maior divisor comum entre o 20 e o 30 é o número 10. 
Também poderíamos fazer pelo método da fatoração. 
 
Para achar o mdc devemos multiplicar apenas os números primos que foram divisores de 
todos os dividendos ao mesmo tempo, no exemplo acima temos o 2 e o 5 que dividiu o 20 e 
o 30 ao mesmo tempo. Então sabemos que o mdc é o número 10. 
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24 
Exercício 
 
1) Aprendiz de Marinheiro - 2016 
Seja A = 120, B = 160, x = mmc (A,B) e y = mdc (A,B), então o valor de x + y é igual a: 
a) 460 
b) 480 
c) 500 
d) 520 
e) 540 
2) (Enem-2015) 
 
Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide 
reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 
810 cm e 10 de 1 080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro 
que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo 
que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor 
que 2 m. 
Atendendo ao pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir: 
a) 105 peças. 
b) 120 peças. 
c) 210 peças. 
d) 243 peças. 
e) 420 peças. 
3) (UNIFOR CE/2017) 
O Natal é um feriado religioso cristão comemorado anualmente em 25 de Dezembro. A data 
é o centro das festas de fim de ano e da temporada de férias. Costumes populares modernos 
típicos do feriado incluem a troca de presentes, a Ceia de Natal, músicas natalinas, festas na 
igreja e a decorações das casas e espaços públicos em alusão ao período, o que inclui árvores 
de Natal, pisca-piscas, guirlandas, presépios etc. 
 
Uma família comprou uma árvore de Natal e um dos enfeites colocados na árvore foi um 
pisca – pisca. Ao se ligar o pisca – pisca, todas as lâmpadas se acendem e depois um grupo 
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25 
de lâmpadas se acende de 3 em 3 segundos, outro grupo de 8 em 8 segundos e, finalmente, 
um terceiro grupo se acende de 10 em 10 segundos. Depois de quanto tempo todas as 
lâmpadas se acenderão novamente? 
 
a) 3 minutos 
 b)2 minutos 
 c)5 minutos 
 d)8 minutos 
 e)7 minutos 
4) (IFSC/2017) 
Roberto e João são amigos de infância e, sempre que podem, saem para pedalar juntos. Um 
dia, empolgados com a ideia de saberem mais sobre o desempenho da dupla, resolveram 
cronometrar o tempo que gastavam andando de bicicleta. Para tanto, decidiram pedalar 
numa pista circular, próxima à casa deles. 
 
Constataram, então, que Roberto dava uma volta completa em 24 segundos, enquanto João 
demorava 28 segundos para fazer o mesmo percurso. Diante disso, João questionou: 
 
– Se sairmos juntos de um mesmo local e no mesmo momento, em quanto tempo 
voltaremos a nos encontrar, pela primeira vez, neste mesmo ponto de largada? 
Assinale a alternativa CORRETA. 
 a) 2 min 28 s 
 b) 1 min 48 s 
 c) 3 min 8 s 
 d) 2 min 48 s 
 e) 1 min 28 s 
 
Gabarito 
1) Vamos encontrar o mmc e o mdc, logo após somaremos os dois para achar o resultado 
da questão. 
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26 
 
Gabarito: d) 
2) Tirando o MDC de 540,810 e 1080 temos o número 270. Vamos dividir os centímetros 
que cada tábua de madeira tem pelo MDC e depois multiplicar o resultado pelo número 
de tábuas de cada uma. 
 
540
270
.40= 80 
 
810
270
.30= 90 
 
1080
270
.40= 40 
 
Somando tudo vamos ter 210 tábuas de 2,7 m, mas a questão nos informa que cada tábua 
não pode ter mais que 2 m como é a medida que se encontra atualmente, a questão também 
afirma que as tábuas devem ter a mesma medida, não podemos assim deixar pedaços com 
1,99 m. Só nos resta cortar as tábuas ao meio dobrando assim a quantidade de tábuas para 
420. 
 
Gabarito: e) 
 
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27 
3) Essa assertiva basta apenas tirarmos o mmc entre 3,8 e 10, para saber qual o momento 
que os piscas vão entrar em sicronia. O mmc entre 3,8 e 10 é 120. 
 
Gabarito: b) 
 
 
4) Na presente questão faremos o mmc entre 24 e 28 para sabermos o momento em que 
roberto e João vão se encontrar. Encontramos o número 168 segundos como mmc. 
Sabemos que um minuto tem 60 segundos, ao total 168s=2 min e 48 seg. 
 
Gabarito: d) 
 
 
5. Fração 
 
Caso você tenha estudado todos os assuntos até aqui e feito os exercícios tenho certeza de 
que já teve uma boa evolução na matemática. Agora vamos dar continuidade a sua 
preparação rumo a aprovação vendo o assunto de fração. 
 
 
 
 
 
Meu jovem e minha jovem eu 
não vou ficar tentando definir 
fração através de conceitos. 
Você vai entender esse assunto 
muito bem através de 
representações gráficas! 
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28 
 
Imagine a figura acima como uma pizza de dois sabores, frango e portuguesa. A parte em 
vermelho está representando o que foi consumido da pizza, ou seja, só resta metade. 
Perceba que o número 1 se refere a parcela consumida da pizza e o dois ao total de sabores. 
 
Agora temos uma pizza com 8 fatias. Suponha que eu comi uma fatia e restaram 7. Caso eu 
queira representar as fatias que restam utilizarei a fração 
7
8
 , pois restam 7 de um total de 8. 
Porém, caso eu venha representar por meio de fração a fatia que comi em relação ao total 
da pizza será 
1
8
 . 
 
 
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29 
Jovem, as provas de concursos e vestibulares costumam cobrar fração pelo termo “RAZÃO”. 
Vamos supor que o examinador queira saber o total de fatias consumidas pelas restantes, 
ele vai te cobrar da seguinte forma. 
Simulação de prova 
1) Qual a razão entre as fatias consumidas e o total? 
 
Compreende? Ele vai te cobrar razão no sentido de divisão, ou seja, teremos 
1
8
. 
Vou te dar mais algumas sacadas interessantes, anota aí no seu caderninho! 
Quando uma questão te pedir o produto entre dois termos, sendo o termo A=8 e o B=5, ela 
está te cobrando a multiplicação entre esses dois algarismos, ou seja, 40. 
E, claro, quando o examinador te cobrar a diferença entre A e B você irá diminuir, 8-5=3. 
A soma não preciso nem explicar aqui, pois já vimos em algum momento exatamente nessas 
palavras. 
Continuando fração... 
Quanto a sua estrutura, chamaremos o a de numerador e o b de denominador, veja: 
𝑎
𝑏
 
O a representa as partes preenchidas do todo. E o b representa o número total de divisões 
de um todo. 
Agora que entendemos o que é realmente uma fração, vamos trabalhar com as 
classificações: 
a) Fração Própria: Em uma fração desse tipo tempos o numerador menor que o 
denominador. 
Ex: 
2
4
 
b) Fração Imprópria: Na fraçãoimprópria temos o numerador maior que o denominador. 
Ex: 
7
2
 
Isso pode acontecer em caso de soma de frações. Veja: 
4
4
+
1
4
= 
5
4
 
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30 
Em relação a regra que utilizamos para fazer a soma acima não precisa ficar preocupado, 
pois vou te ensinar logo mais. 
Transformando a fração imprópria em um número misto 
Ex1: 
18
4
= Teremos como resultado o número 4, com resto 2. Então, a fração imprópria será: 
4+
2
4
= O resto que era o dois fica no numerador, o 4 que era o todo se mantém no 
denominador e a quantidade de unidades inteiras ficará à frente da fração. 
Ex2: 
10
3
 = 3, com resto 1. Transformando para fração imprópria temos: 
3+
1
3
, o resto fica no numerador, o denominador se mantém e as quantidades inteiras ficará 
à frente da fração. 
Transformando um número misto em fração imprópria 
Vou utilizar os mesmos exemplos anteriores para que você entenda de uma forma mais 
clara. 
Ex1: 4+ 
2
4
 = Vamos multiplicar o denominador pelo número que vai à frente da fração e depois 
somar ao numerador: 4.4+2= 18, agora que já temos o numerador é só repetir o 
denominador. 
18
4
 
c) Fração aparente: Segue o mesmo padrão da imprópria, porém o resultado da divisão 
equivale a um número inteiro. Veja: 
Ex: 
8
4
 = 2 
d) Frações equivalentes: Quando o conjunto de frações representam a mesma parte do 
todo. 
Ex: 
𝟏
𝟐
 ; 
𝟐
𝟒
; 
𝟑
𝟔
 
Perceba que as 3 frações representam a metade do todo, portanto são equivalentes. 
Simplificação de frações 
Utilizamos o processo de simplificação para tornar uma fração irredutível, ou seja, não 
podendo mais ser dividido o numerador e o denominador de forma conjunta. Abaixo vou te 
dar um exemplo 
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31 
8:4
20:4
 = 
2
5
 . Nesse momento a fração se tornou irredutível, ou seja, não podemos mais 
simplifica-la, nesse caso o mdc será 1. 
Comparação de Frações 
a) Denominadores iguais: 
2
5
 < 
7
5
 
Em caso de denominadores iguais, consideraremos na comparação o maior numerador. 
Abaixo vou descrever a representação dos sinais, aproveitarei para te explicar também 
outros símbolos que usaremos lá na frente: 
>: maior que 
<: menor que 
= igual a 
≅ aproximadamente 
≠ diferente 
∞= infinito 
Costumo falar que a boca do jacaré ficará virada sempre para o maior número. 
b) Denominadores diferentes: Multiplicarei as frações de modo a achar o mmc entre os 
denominadores. Veja só como funciona: 
Vou querer saber quem é a maior fração 
5
8
 ou 
7
12
 
O primeiro passo é achar o mmc entre os denominadores, que é igual a 24. 
Uma vez que achei o mmc, poderei saber por qual número devo multiplicar os 
denominadores para chegar a esse mmc. O número que eu vier a multiplicar o denominador 
repetirei a operação também pelo numerador. 
5.3
8.3
= 
15
24
 
7.2
12.2
= 
14
24
 
Pronto, agora que tenho denominadores iguais conseguirei comparar as frações. 
15
24
 > 
14
24
 
Operações envolvendo frações 
a) Adição e Subtração: Em caso de denominadores iguais, somo ou subtraio os 
numeradores e mantenho o denominador. 
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32 
Ex: 
𝟓
𝟏𝟎
+ 
𝟓
𝟏𝟎
 = 
𝟏𝟎
𝟏𝟎
 
 
𝟔
𝟏𝟎
+ 
𝟐
𝟏𝟎
 = 
𝟒
𝟏𝟎
 
Em caso de denominadores diferentes, precisaremos tirar o mmc entre eles para então 
depois somar. 
Ex: 
𝟑
𝟏𝟎
+ 
𝟓
𝟔
 / Tirando o mmc de 10 e 6 temos o número 30. 
𝟑
𝟏𝟎
+ 
𝟓
𝟔
 = 
𝟗+𝟐𝟓
𝟑𝟎
 / Nesse passo dividimos o denominador por cada denominador das frações 
que estão sendo somadas e depois multiplicamos pelo numerador de cada fração. Ou seja, 
dividimos o 30:10=3.3=9 e 30:6=5.5=25 
 
𝟑𝟒
𝟑𝟎
 / Ainda podemos simplificar o numerador e o denominador por 2 para tornar a fração 
irredutível. 
17
15
 
b) Multiplicação: Apenas multiplicaremos numerador com numerador e denominador com 
denominador. 
3
4
 . 
5
2
 = 
15
8
 
c) Divisão: Na divisão de frações vamos trocar o denominador da segunda fração pelo 
numerador e depois é só multiplicarmos as frações. 
5
6
 : 
3
4
 = 
5
6
 . 
4
3
 = 
20
24
 
Agora vou fazer uma representação que pode vim em algumas questões e te ensinar a 
solucionar. 
 
Quando você se deparar com alguma questão te cobrando dessa forma, esse tracinho no 
meio significa uma divisão entre as duas frações. Aí é só você colocar na forma lado a lado 
para facilitar a visualização e resolução. 
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33 
5
6
 : 
3
4
 = 
 
 
Exercícios 
1) Carlos fez uma viagem de 1.210 km, sendo 
7
11
 de aeroplano; 
2
5
 do resto, de trem, 
3
8
 do 
novo resto, de automóvel e os demais quilômetros, a cavalo. Calcule quantos quilômetros 
Carlos percorreu a cavalo. 
 
2) Juliana tinha R$ 245,00 e gastou 
1
7
 de 
1
5
 dessa importância. Quanto sobrou? 
 
 
3) Se 
7
8
 de um terreno valem R$ 21.000,00, qual é o valor de 
5
48
 do mesmo terreno? 
 
4) (Uece)Uma peça de tecido, após a lavagem, perdeu 1/10 de seu comprimento e este ficou 
medindo 36 metros. Determine o comprimento, em metros, da peça antes da lavagem. 
 
Gabarito 
1) 
Aeroplano: 
7
11
.1210= 770 
Trem: 
2
5
 . (1210-770)=
2
5
.440= 176 
Automóvel: 
3
8
 . (440-176)= 
3
8
.264=99 
Cavalo: 264-99=165 
Na viagem Carlos percorreu 165 km a cavalo. 
2) Bem quando a questão se referir a uma parte em fração de um valor em reais, poderemos 
multiplicar o valor pelo numerador e depois dividir pelo denominador, vamos utilizar esse 
princípio para resolver a questão. 
1
5
 . 245= 
245
5
 = 49 
1
7
.49= 
49
7
 = 7 
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34 
Juliana tinha R$ 245,00 e gastou R$ 7,00, portanto ficou com R$ 238,00. 
3) Vamos atribuir a fração que representa o valor de R$21.000,00 do terreno a 
7
8
 x. Sendo 
assim: 
7
8
 x = 21000 
7𝑥 = 21000.8 
x=
168000
7
= 24.000 
 
Sabemos que o valor total do terreno é R$24.000. Desse valor calcularemos 
5
48
 
5
48
 . 24000 = 2500 
 
Temos que 
5
48
 será R$2.500 . 
4) Se a peça perdeu 
1
10
 , então 36 metros corresponde a 
9
10
 da peça. Vamos fazer a 
correlação: 
9
10
 x = 36 
9𝑥 = 36.10 
x = 
360
9
 = 40 
A peça total mede 40 metros. 
6. Quadrado Perfeito 
 
 
O quadrado perfeito é um número resultante da multiplicação de dois números iguais. 
Ex: 4.4=16. O 16 é o quadrado perfeito e o 4.4 são os números quadrados perfeitos. Vou dar 
mais exemplos. 
7.7=49 
8.8=64 
9.9=81 
10.10= 100 
Acima temos os números 49,64,81 e 100 como números que são quadrado perfeito. 
Como reconhecer um número quadrado perfeito? 
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35 
Sabemos que números pequenos é bem simples conseguirmos saber se é quadradoperfeito 
ou não, basta ter uma boa base de tabuada. Mas, à medida que os números vão ficando 
maiores acaba sendo mais complexo. 
Fique tranquilo, eu vou te ensinar a encontrar o quadrado perfeito de números grandes. 
É bem simples, basta fatorar o número, tirando assim o mmc. Após a fatoração se todos os 
expoentes forem pares o número é quadrado perfeito, caso contrário, tendo apenas um 
expoente ímpar, o número não será quadrado perfeito. Vamos ver exemplos: 
 
Todos os expoentes são pares, portanto o número é quadrado perfeito. 
 
No caso acima, temos o expoente do 2 que é um número ímpar, por conta desse motivo o 
450 não é quadrado perfeito. 
Exercício 
1) Determine se os números abaixo são quadrados perfeitos: 
a) 169 
b) 196 
c) 195 
d) 240 
 
 
 
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36 
Gabarito 
1) 
a) O número 169 é quadrado perfeito, pois 13.13=169 
b) O número 196 é quadrado perfeito, pois 14.14=196 
c) O número 195 não é quadrado perfeito, pois os expoentes da sua fatoração são ímpares. 
 
e) O número 240 não é quadrado perfeito, pois a sua fatoração também contém expoentes 
ímpares. 
 
7. Números Decimais 
 
Em resumo, os números decimais são aqueles que contém vírgula e casas decimais após a 
vírgula. Já estudamos esse conjunto na apostila n° 1, mas vamos revisar e acrescentar mais 
algumas informações, justamente porque naquela ocasião vimos o assunto como conjunto 
dos números racionais. 
As casas decimais são contadas a partir da vírgula, por exemplo o número 11,532 possui três 
casas decimais, ou seja, três algarismos após a vírgula. 
Como podemos ler os números decimais? 
A leitura dos números decimais é realizada pela junção da parte inteira, que está expressa 
antes da vírgula e a quantidade de casas decimais após a vírgula que correspondente a parte 
fracionária: décimo, centésimo, milésimo, décimo de milésimo, centésimo de milésimo, 
milionésimo... 
 
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37 
Veja alguns exemplos de como se lê: 
 
0,1: um décimo 
0,5: cinco décimos 
0,01: um centésimo 
0,36: trinta e seis centésimos 
0,126: cento e vinte e seis milésimos 
1,60: um inteiro e sessenta centésimos 
2,1: dois inteiros e um décimo 
5,8: cinco inteiros e oito décimos 
Transformação de fração em número decimal 
5
10
 = 0,5 (Um zero, desloco para esquerda uma casa decimal) 
152
100
= 1,52 (Dois zeros, desloco para esquerda duas casas decimais) 
52
1000
= 0,052 (Três zeros, desloco para esquerda três casas decimais) 
Ao transformar fração em números decimais deslocaremos a vírgula para esquerda de 
acordo com quantos zeros tiverem no denominador. 
E para transformar número decimal em fração faremos o processo inverso, deslocaremos a 
virgula para direita de forma que o número se torne inteiro e acrescentaremos as quantos 
zeros forem necessários no denominador, de acordo com o deslocamento. 
0,052= 
52
1000
 
Exercícios 
1) Marque a alternativa que corresponde a fração 
78
1000
 na forma decimal: 
a) 0,078 
b) 0,0078 
c) 0,78 
d) 0,00078 
2) Marque a alternativa que corresponde ao número 1,52 no formato de fração: 
a) 
152
100
 
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38 
b) 
1,52
100
 
c) 
15,2
100
 
d) 
15200
100
 
3) Assinale a alternativa que corresponde a leitura correta do número 0,78: 
a) Setenta e oito milésimos 
b) Setenta e oito décimos 
c) Setenta e oito centésimos 
d) Setenta e oito unidades 
Gabarito 
1) Como têm 3 zeros no denominador deslocaremos a virgula para esquerda 3 vezes, tendo 
o número 0,078. 
Gabarito: a) 
2) 
Gabarito: a) 
3) Como temos duas casas decimais após a vírgula lemos setenta e oito centésimos. 
Gabarito: c) 
8. Sistema de Medidas 
 
Esse assunto que vamos trabalhar é muito cobrado em concursos e vestibulares, apesar de 
englobar também as matéria de física e química, vamos focar no que diz respeito a 
matemática. 
Em nosso dia a dia como um todo utilizamos bastante sistema de medidas, bem, todo ser 
humano tem altura, precisa se alimentar e consome líquido para sobreviver. Todos esses 
exemplos citados existem unidades de medida para exemplificar cada um em específico. 
Para que haja uma padronização, o Sistema Internacional – SI de medidas atribui uma 
unidade para cada sistema de medida, facilitando assim as tarefas em nosso dia-a-dia. 
Veja abaixo alguns exemplos de padronização das unidades pelo Sistema Internacional: 
Tempo – em segundos (s); 
Massa – em quilograma (kg); 
Comprimento – em metro (m); 
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39 
Capacidade – em litro (l) 
Volume – em metro cúbico (m³) 
Agora que você conhece algumas das principais unidades de medidas, vamos trabalhar cada 
uma delas de maneira separada. 
Tempo 
Vou colocar uma tabela logo abaixo para que você possa entender bem cada unidade. 
 
Questões de provas costumam cobrar de forma recorrente essas medidas. Oriento que 
anote no seu caderno para facilitar a resolução de questões e revisões. 
Você irá ver de forma bastante corriqueira também a relação entre segundos, minutos e 
horas. 
60 segundos = 1 minuto 
60 minutos = 1 hora 
Para sabermos quantos segundos existem dentro de 2 minutos, basta multiplicarmos por 60. 
Ex: 60.2= 120 segundos 
E para sabermos quantos minutos existem dentro de 120 segundos, basta dividirmos por 60. 
Ex: 120:60= 2 
Caso venhamos a querer saber quantas horas existem dentro de 180 minutos, dividiremos 
por 60. 
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40 
Ex: 180:60=3 
E para saber quantos minutos existem dentro de 3 horas, multiplicaremos por 60. 
Ex: 3.60=180 
Vou deixar logo abaixo uma figura representativa que resume essa regra. 
 
 
Massa 
 
Observe a tabela abaixo: 
 
A unidade de massa pode ser mensurada como: 
Quilograma – (kg); 
Hectograma – (hg); 
Decagrama – (dag); 
Grama – (g); 
Decigrama – (dg); 
Centigrama – (cg); 
Miligrama – (mg). 
Perceba que assim como o tempo, a partir de agora irá começar a existir um padrão. 
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41 
A medida que eu solicito uma unidade de medida para direito, acrescentarei um zero e a 
medida que eu solicito uma unidade para a esquerda, desloco a virgula também para 
esquerda, completando de acordo com a quantidade de zeros necessários. 
Ex: Quero transformar 10 g em mg. Veja: 
 
Acrescentarei mais 3 zeros, pois até chegar à casa da miligrama vou avançar 3 vezes. 
10 g=10000mg 
Agora se eu quero transformar 100 decigramas em grama, eu desloco a virgula para 
esquerda 1 vez, pois preciso pular uma casa para chegar a grama. 
100 dg=10g 
Vamos ver outros exemplos: 
1kg=1000g 
10hg=1000g 
25,5kg=25500kg 
E assim segue o baile. 
Comprimento 
O comprimento pode ser expresso das seguintesformas: 
Quilômetro – (km); 
Hectômetro – (hm); 
Decâmetro – (dam); 
Metro – (m); 
Decímetro – (dm); 
Centímetro – (cm); 
Milímetro – (mm); 
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42 
 
A transformação entre as medidas segue a mesma linha de raciocínio da massa. 
Capacidade 
A capacidade pode ser expressa da seguinte forma: 
Quilolitro – (kl); 
Hectolitro - (hl); 
Decalitro – (dal); 
Litro – (l); 
Decilitro – (dl); 
Centilitro – (cl); 
Mililitro – (ml); 
 
A transformação seguirá a mesma linha de raciocínio das outras medidas. 
1 l=1000 ml 
1 kl=1000l 
Volume 
Preste bem atenção ao volume, ele tem uma particularidade em relação as outras unidades 
que é preciso ficarmos atento. Primeiro veja como é nomeada cada unidade de volume: 
 
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43 
Quilômetro cúbico – (km³); 
Hectômetro cúbico – (hm³); 
Decâmetro cúbico – (dam³); 
Metro cúbico – (m³); 
Decímetro cúbico – (dm³); 
Centímetro cúbico – (cm³); 
Milímetro cúbico – (mm³); 
 
Diferente das outras que trabalhamos até o momento ao deslocar uma casa para esquerda 
ou para direita, dividiremos por 1000 ou multiplicaremos por 1000. Ao pular cada casa 
consideraremos 3 zeros. 
1 m³= 1000dm³ 
10cm³=10000mm³ 
1m³=1000000000mm³ 
 
Filhinho, de nada 
adianta teoria sem 
questões. Vamos a 
prática! 
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44 
Exercícios 
1) (TRE/PE 2011 – FCC) Sabe-se que 1 hectômetro (1 hm) corresponde a 100 metros, e que 
1 hm2 corresponde a 1 hectare (1 ha). A Fazenda Aurora possui área de 1000 km2, o que 
corresponde, em hectares: 
a) 10 mil 
b) 100 mil 
c) 1 milhão 
d) 10 milhões 
e) 100 milhões 
2) (TRT 9ª 2010 - FCC ) Às 8 horas e 45 minutos de certo dia foi aberta uma torneira, com a 
finalidade de encher de água um tanque vazio. Sabe-se que: 
– o volume interno do tanque é 2,5 m3; 
– a torneira despejou água no tanque a uma vazão constante de 2L/min e só foi fechada 
quando o tanque estava completamente cheio. 
Nessas condições, a torneira foi fechada às: 
a)5 horas e 35 minutos do dia seguinte. 
b)4 horas e 50 minutos do dia seguinte. 
c)2 horas e 45 minutos do dia seguinte. 
d)21 horas e 35 minutos do mesmo dia. 
e)19 horas e 50 minutos do mesmo dia. 
3) (TJ/AP 2009 – FCC) Uma indústria farmacêutica dispõe em estoque 21,6 litros de certo 
medicamento que devem ser colocados em frascos, cada qual com capacidade para 
0,000003 m3. 
Considerando que não há perda de medicamento no ato de preenchimento dos frascos, a 
quantidade mínima de frascos necessários para acomodar os 21,6 litros é: 
a) Maior que 4 000. 
b) Está compreendida entre 3 000 e 4 000. 
c) Está compreendida entre 2 000 e 3 000. 
d) Está compreendida entre 1 000 e 2 000.é menor que 1 000. 
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45 
4) (TRT 15ª 2009 - FCC ) Num dado momento, observou-se que o volume de água no interior 
da caixa d’água de um edifício ocupava 1/3 de sua capacidade e que, se lá fossem colocados 
mais 0,24 m3 de água, o volume de água na caixa passaria a ocupar os 2/5 de sua capacidade. 
Considerando que não foi colocada água no interior da caixa, então, no momento da 
observação, o número de litros de água que seriam necessários para enchê-la era: 
a)1 800. 
b)2 400. 
c)2 500. 
d)3 200. 
e)3 600. 
Gabarito 
1) A questão nos informa que 1 hm²=1ha. Ela quer saber quanto 1000 km² corresponderá 
em hectare. Têm várias formas para resolver essa questão. Vamos comparar hm² com km². 
1hm²=0,01km² e 0,01km²=1ha 
 
1ha____0,01km² 
 x _____1000km² 
0,01x=1000 
x= 
1000
0,01
 = 100.000 
Gabarito: b) 
2) Sabe-se que o volume interno do tanque é de 2,5 m³ 
Também sabemos que 1m³=1000 litros então 2,5m³ tem 2500 l 
O texto nos informa que a torneira enche 2 litros por minuto, portanto faremos uma regra 
de três para saber em quantos minutos enche 2500 l. 
 2 l_____ 1 min 
2500_____x 
2x=2500 
x=
2500
2
= 1250 minutos o tanque estará cheio. 
1250 min : 60= 20, 8 horas o tanque estará cheio 
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46 
Se ele abriu a torneira as 8h e 45 min vamos somar esse valor a 20 h e 48 min. Lembrando 
que um dia tem 24 horas. 
Então 8h e 45 min + 20h e 48 min = 5h e 35 min do dia seguinte. 
Gabarito: a) 
3) Bem, sabemos que 1m³=1000l então 0,000003 m³=0,003l. Para sabermos quantos frascos 
terão de 0,003l, basta fazermos a razão entre a quantidade total de litros de medicamento 
e a quantidade de cada frasco. 
21,6
0,003
= 7200 frascos 
Gabarito=a) 
4) Essa questão vai nos exigir uma maior interpretação, perceba que ele quer saber quando 
precisaria para encher a caixa total antes de adicionar 0,24 m³. 
Sabemos que 0,24m³=240 l 
Então temos: 
1
3
𝑥+240l=
2
5
x 
5𝑥 + 3600
15
=
6𝑥
15
 
x=3600 
O valor total da caixa é 3600 litros, agora vamos descobrir quando equivale a 
1
3
 . 
1
3
𝑥 + 240 = 
2
5
.3600 
1
3
𝑥 = 1440-240 
1
3
𝑥 = 1200 
Agora vamos subtrair 3600-1200=2400 
Gabarito: b) 
9. Razão e Proporção 
 
A razão estabelece uma comparação entre duas grandezas, resultando num coeficiente 
entre os dois números. 
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47 
E a proporção é determinada pela igualdade entre duas razões, ou seja, quando as duas 
razões possuem o mesmo resultado. 
Fique tranquilo que através das nossas exemplificações você vai entender de maneira 
prática esse assunto. 
Entre os principais pontos quero que você lembre como já havíamos revisado atrás que razão 
equivale a divisão. Ou seja, a razão entre a e b= 
𝑨
𝑩
 . 
Duas grandezas são proporcionais logicamente quando as duas possuem a mesma 
proporção, lembrando que devemos ter as mesmas unidades de medida ao fazer a 
comparação. 
 
 
DE OLHO NA DICA DO PROF!!! 
 
 
 
 
 
 
Vamos ver esse exemplo: 
A razão entre 
60
20
 = 3 
Perceba que temos dois números sendo divididos resultando num terceiro valor. 
Quando o denominador é igual a 100, temos uma razão do tipo porcentagem. Ou seja, 
50%= 
𝟓𝟎
𝟏𝟎𝟎
 = 0,50 
Encontre o valor de x na proporção abaixo: 
1
3
 = 
12
𝑥
 
Aprender matemática é descobrir uma realidade que estava debaixo dos seus olhos 
e você não conseguia enxergar. É se abrir para um novo mundo, onde existirá mais 
vida, mais cor e mais lógica nas coisas. Entender a matéria é muito mais que ser 
aprovado ou tirar notas altas, é aumentar seu raciocínio lógico e encontrar nas 
situações cotidianas os exemplos estudados! 
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48 
x=36 
Fizemos a multiplicação cruzada para encontrar a proporçãodos valores acima. 
 Propriedade da proporção 
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, veja o exemplo: 
𝐴
𝐵
 = 
𝐶
𝐷
 
Então: 
A.D=B.C 
Grandezas Diretamente Proporcionais 
Podemos chamar de grandeza a medida de um objeto: largura, peso, distância, velocidade. 
Elas são diretamente proporcionais quando variam na mesma proporção, ou seja, quando 
uma cresce a outra cresce na mesma proporção e quando uma diminui a outra também 
diminui na mesma instância. 
 
 
Supomos que um carro tunado “boladão” percorria 120 km/h, porém em uma determinada 
curva precisou reduzir a velocidade para 60 km/h. Nesse caso estamos trabalhando com as 
grandezas de velocidade e distância, a medida que a velocidade reduziu a metade a distância 
percorrida por uma hora também reduziu à metade. 
No exemplo acima temos um caso de grandezas diretamente proporcionais. 
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49 
 
 
Uma caixa de lápis de cor custa R$12,00 , consequentemente duas caixas de lápis de cor 
custarão R$24,00 , três caixas R$36,00 e assim por diante. Veja a tabela: 
Caixas Preço 
1 R$ 12,00 
2 R$ 24,00 
3 R$ 36,00 
4 R$ 48,00 
 
A medida que aumentamos a quantidade de caixa, também aumentam os valores. Isso é um 
exemplo de grandezas diretamente proporcionais. 
 
Grandezas Inversamente Proporcionais 
Aqui começa-se a exigir um pouco mais de raciocínio da nossa parte, enquanto no outro tipo 
de grandeza as coisas estão bem claras nesse exemplo é necessário mais atenção. Nesse 
exemplo a medida que uma grandeza aumenta a outra diminui na mesma proporção, são 
inversas. Veja alguns exemplos: 
 
 
 
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50 
 
Considere uma fábrica de chocolates que produz X barras de doce em 10 horas, com 20 
funcionários. Se o número de funcionários dobrar, a mesma quantidade X de barras de 
chocolate será produzida na metade do tempo, ou seja, 5 horas. 
Quando iniciarmos a resolução de questão você vai perceber que a forma como esse assunto 
é tratada é um pouco mais embaraçosa, justamente para dificultar a vida do aluno. Porém, 
não precisa se preocupar. Conosco você não terá problemas. 
Regra de Três 
Um sistema utilizado para calcular as grandezas. Grandezas diretamente proporcionais, a 
montagem do cálculo é feita de forma direta. Veja: 
Um carro percorre 120 km a uma velocidade de 60 km/h, qual seria a distância percorrida 
por ele se estivesse a 80 km/h? 
120------60 
X---------80 
60x=9600 
X=
9600
60
 = 160 
Ou seja, a 80 km/h ele percorreria 160 km. 
Bem simples não é mesmo? 
Quando as grandezas são inversamente proporcionais, o cálculo é feito de maneira 
semelhante, mas com uma peculiaridade: uma das frações deve ser invertida de modo que 
seja possível encontrar a razão correta. Vamos ver um exemplo: 
Um veículo a 50 km/h gasta 2 horas para chegar ao seu destino. Se ele aumentar a velocidade 
para 75 km/h, em quantas horas completará o mesmo percurso? 
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51 
50-----2 
75-----x 
Invertendo uma das frações temos: 
50---x 
75---2 
75x=100 
X=
100
75
 ≅ 1,33 hrs 
Perceba que aumentando-se a velocidade do veículo a distância diminuiu. Portanto, torna-
se uma grandeza inversamente proporcional. 
É importante que você saiba que nem sempre as relações de proporcionalidade vão ser tão 
claras assim. Ou seja, é possível que você entenda que exista uma proporção entre duas 
grandezas, no entanto tenha com dificuldades para descobrir se são grandezas diretamente 
ou inversamente proporcionais. 
Algumas questões podem cobrar ao longo do seu raciocínio o cálculo misto das relações de 
proporção. Ou seja, dentro de uma única questão, pode ser necessário calcular grandezas 
proporcionais diretamente e inversamente ao longo do desenvolver, para que chegue assim 
a alternativa final. 
Então, vamos resolver algumas questões para fixar isso de uma vez por todas. 
Exercício 
1) Uma caixa de chocolate possui 250g de peso líquido e 300g de peso bruto. Qual é a razão 
do peso líquido para o peso bruto? 
 
 
2) Pedrinho resolveu 20 problemas de Matemática e acertou 18. Cláudia resolveu 30 
problemas e acertou 24. Quem apresentou o melhor desempenho? 
 
 
3) Três caminhões transportam 250 m³ de areia. Quantos caminhões iguais a esse serão 
necessários para transportar 7000 m³ de areia? 
 
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52 
a) 30 caminhões. 
b) 44 caminhões. 
c) 60 caminhões. 
d) 74 caminhões. 
e) 84 caminhões. 
4) Qual é a velocidade de um automóvel que gasta duas horas em um percurso, sabendo que 
gastaria 6 horas nesse mesmo percurso se estivesse a 30 km/h? 
a) 90 km/h 
b) 60 km/h 
c) 30 km/h 
d) 20 km/h 
e) 10 km/h 
 
Gabarito 
1) A razão de a por b é 
𝑎
𝑏
 , então, 
250
300
 = 
25
30
 = 
5
6
 .A razão entre o peso líquido e o peso bruto será 
5
6
 
2) Faremos a regra de 3 para saber a porcentagem de acerto de cada um. 
 
20---100 
18---x 
20x=1800 
x=
1800
20
= 90 
30---100 
24---x 
30x=2400 
x=
2400
30
= 80 
Um acertou 90% e outro 80%. Pedrinho teve um melhor desempenho que Cláudia. 
 
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53 
3) Vamos usar a regra de três aplicando as grandezas diretamente proporcionais para 
calcular: 
3---250 
x---7000 
250x=21000 
x= 
21000
250
 = 84 
Serão necessários 84 caminhões. 
Gabarito: e) 
3) Vamos utilizar a regra de três aplicando as grandezas inversamente proporcionais. Ou 
seja, quanto mais rápido menos tempo demorará para chegar. 
6----30 
2-----x 
Invertendo: 
6---x 
2---30 
2x=180 
x= 
180
2
 = 90 
Gabarito: a) 
10. Média Aritmética e Média Aritmética Ponderada 
 
Vamos trabalhar esse assunto de forma simples e prática. 
A média aritmética é representada pela soma de todos os termos dividido pela quantidade 
de termos. Vamos ver alguns exemplos abaixo. 
 
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54 
Uma equipe de vôlei possui 5 jogadoras da mesma cidade de origem. Uma possui 1,90m, 
outra 1,83m, a mais baixa têm 1,80 m e as outras duas 1,87m. Qual a média de altura dessas 
jogadoras. 
1,90+1,83+1,80+1,87+1,87=9,27 : 5≅ 1,85 m 
Perceba que para calcularmos a altura da equipe, somamos todos os termos e depois 
dividimos pela quantidade de termos, restando assim a média 1,85 m. 
Já a média aritmética ponderada possui pesos atribuídos a cada termo. Sabe aquele 
concurso que você já realizou e que as matérias contidas nele têm pesos diferentes? Vamos 
ver um exemplo abaixo. 
Matéria Nota Peso 
Matemática 9 3 
Português 8 2 
Redação 7 1 
 
9.3+8.2+7.1
6
 = 
50
6
 ≅ 8,3 
Na média ponderada os pesos influenciam na nota final, ela é realizada pela soma do 
resultado da multiplicação de cada termo por seuspesos dividido pela soma de todos os 
pesos. 
Exercício 
1) (FGV – SP) A tabela abaixo representa a distribuição de frequências dos salários de um 
grupo de 50 empregados de uma empresa, em certo mês. Determine o salário médio dos 
empregados nesse mês. 
 
2) Um grupo de pessoas apresenta as idades de 10, 13, 15 e 17 anos. Se uma pessoa de 12 
anos se juntar ao grupo, o que acontecerá com a média de idade do grupo? 
 
Gabarito 
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1) Primeiro tenho que calcular a média salarial de cada classe para aí depois calcular a média 
aritmética ponderada. 
1. 1000+2000:2=1500 
2. 2000+3000:2= 2500 
3. 3000+4000:2= 3500 
4. 4000+5000:2= 4500 
Depois vamos calcular a média aritmética ponderada multiplicado os salários de cada classe 
por seus respectivos pesos e depois somando todos e dividindo pela soma do número de 
empregados. 
1500.20+2500.18+3500.9+4500.3
50
= 2400 
2) Para que venhamos a entender a correlação entre as médias das idades, primeiro vamos 
calcular a média do grupo sem a pessoa de 12 anos e depois com o acréscimo da pessoa de 
12 anos. 
10+13+15+17
4
 = 13,75 
10+13+15+17+12
5
 = 13,4 
A média de idade caiu de 13,75 para 13,4. 
Simulado 
1) (METRÔ/SP 2012-FCC) Seja o número inteiro 5X7Y, em que X e Y representam os 
algarismos das centenas e das unidades, respectivamente. O total de pares de valores (X, Y), 
que tornam tal número divisível por 18, é: 
a)4. 
b)5. 
c)6. 
d)7. 
e)8. 
2) (TJ/RR 2012 - CESPE) Considere as seguintes definições: 
I_ os divisores próprios de um número inteiro positivo n são todos os divisores inteiros 
positivos de n, exceto o próprio n; 
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II_ um número n será perfeito se a soma de seus divisores próprios for igual a n; 
III_ dois números serão números amigos se cada um deles for igual à soma dos divisores 
próprios do outro. 
Com base nessas definições, julgue os itens que seguem. 
Nenhum número primo é um número perfeito. 
a) Certo 
b) Errado 
3) (TJ/RR 2012 - CESPE) Se um número é maior que 1, então o conjunto dos seus divisores 
próprios tem, pelo menos, 2 elementos. 
a) Certo 
b) Errado 
4) (TJ/RR 2012 - CESPE) Os números 284 e 220 são números amigos. 
a) Certo 
b) Errado 
5) (TRT 6ª 2012 – FCC) Os Jogos Pan-americanos ocorrem de 4 em 4 anos, as eleições gerais 
na Índia ocorrem de 5 em 5 anos e o Congresso Internacional de Transportes a Cabo ocorre 
de 6 em 6 anos. Se esses eventos aconteceram em 1999, a próxima vez que os três voltarão 
a ocorrer num mesmo ano será em: 
a)2119. 
b)2059. 
c)2044. 
d)2029. 
e)2023. 
6) (VUNESP-2012) Sabe-se que 945 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 e que 990 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11. O maior 
número que pode ser utilizado como divisor dos elementos da fração 945/900 de modo a 
deixá-la irredutível é: 
a) 5. 
b) 9. 
c) 15. 
d) 45. 
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e) 90. 
7) (VUNESP-2012) Um eletricista possui 2 rolos de um mesmo tipo de fio, tendo um 104 m e 
o outro, 84 m. Os fios de ambos os rolos deverão ser totalmente cortados em pedaços, todos 
do mesmo comprimento, sem deixar sobras, sendo que esses pedaços deverão ter o maior 
comprimento possível. O eletricista pretende usar 2 pedaços cortados em cada um dos 22 
apartamentos de um prédio em construção e, nesse caso, é correto afirmar que o número 
de pedaços cortados será: 
a) insuficiente, pois faltarão 3 pedaços. 
b) insuficiente, pois faltarão 2 pedaços. 
c) suficiente e não restará nenhum pedaço. 
d) suficiente e ainda restarão 2 pedaços. 
e) suficiente e ainda restarão 3 pedaços. 
8) (VUNESP-2012) Um escritório comprou os seguintes itens: 140 marcadores de texto, 120 
corretivos e 148 blocos de rascunho e dividiu esse material em pacotinhos, cada um deles 
contendo um só tipo de material, porém todos com o mesmo número de itens e na maior 
quantidade possível. Sabendo-se que todos os itens foram utilizados, então o número total 
de pacotinhos feitos foi: 
a)74. 
b)88. 
c)96. 
d)102. 
e)112. 
9) (Vunesp-2012) Suponha que você seja o(a) responsável pela elaboração e entrega de três 
relatórios: um relatório A, que deve ser elaborado bimestralmente; um relatório B, que deve 
ser elaborado trimestralmente; e um relatório C, que deve ser elaborado de 4 em 4 meses. 
Suponha, também, que a entrega dos três relatórios deva ocorrer no último dia útil de cada 
respectivo período. Se no último dia útil deste mês você tiver que entregar todos os três 
relatórios, então é verdade que a próxima vez em que você entregará os três relatórios A, B 
e C, no mesmo dia, será após: 
a) 12 meses. 
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b) 15 meses. 
c) 18 meses. 
d) 21 meses. 
e) 24 meses. 
10) (Vunesp-2011) A tabela, elaborada a partir de informações contidas no Plano Municipal 
da Educação 2005/2010 do Município de São José do Rio Preto, identifica o número de 
alunos atendidos, em 2003, de duas das três Unidades Escolares municipais com mais de 1 
000 alunos naquele ano. 
 
 
 
Sabendo-se que média de alunos atendidos nessas unidades, em 2003, foi de 1 113, o 
número de alunos atendidos pela Unidade Darcy Ribeiro é divisível por: 
a) 2. 
b) 3. 
c) 5. 
d) 11. 
e) 13. 
11) (SEE/SP-2011) Um ônibus, em uma avenida, tem pontos de 300 em 300 metros e outro 
ônibus, de outra empresa, tem, nessa mesma avenida, pontos de 400 em 400 metros, sendo 
que ambos ocupam a mesma posição no início da avenida. Desse modo, eles coincidirão de 
quantos em quantos metros? 
O professor, ao propor essa atividade, tem como objetivo verificar se o aluno sabe aplicar 
conhecimentos de 
a) porcentagem. 
b) máximo divisor comum. 
c) mínimo múltiplo comum. 
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d) razão e proporção. 
e) média aritmética. 
12) (SEDUC-2011) Considere P, x e y números inteiros estritamente positivos tais que P + x e 
P ! y sejam divisíveis por 13 e suponha que x e y sejam os menores números nessas 
condições. Nesse caso, é correto afirmar que 13 < x + y 26: 
a) Certo 
b) Errado 
13) (TRT/FCC-2011) Um evento em comemoração ao dia do trabalho, com duração de 2 dias, 
é promovido para empresas de uma certa cidade. Para o primeiro dia do evento foram 
distribuídos 1 200 ingressos, e para o segundo dia 1 800 ingressos. As empresas 
contempladas só poderiam participar em um único dia, recebendo, cada uma, a mesma 
quantidade máxima possível de ingressos. O número de empresas participantes do evento 
é: 
a) 12. 
b) 18. 
c) 9. 
d) 6. 
e) 5. 
14) Transformando 100 dm² em m² temos: 
a) 10 m² 
b) 10000 m² 
c) 1 m² 
d) 1000 m² 
15) Se A=20 e B=10 qual é a razão do produto de A e B pela diferença dos dois: 
a) 20 
b) 10 
c) 30 
d) 2 
e) 100 
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