Múltiplos e Divisores

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MÚLTIPLOS E DIVISORES 
 
1. (Puccamp) Para desbloquear a tela de um apa-
relho celular, o usuário deve digitar uma senha de 
três algarismos quaisquer. Note que também são 
válidas senhas, por exemplo, 088 ou 000. Se a 
pessoa digita duas vezes a senha errada, o meca-
nismo de segurança do aparelho trava a tela por 
uma hora. 
Rafael esqueceu sua senha, mas lembra que ela 
formava um número que era: quadrado perfeito, 
menor do que 900 e múltiplo de 3. Usando corre-
tamente suas três lembranças, as chances de Ra-
fael conseguir desbloquear a tela do seu celular, 
sem que ela trave por uma hora, são iguais a 
a) 
2
.
9
 
b) 
2
.
11
 
c) 
3
.
11
 
d) 
1
.
3
 
e) 
1
.
5
 
 
2. (Ime) Um hexágono é dividido em 6 triângulos 
equiláteros. De quantas formas podemos colocar 
os números de 1 a 6 em cada triângulo, sem repe-
tição, de maneira que a soma dos números em três 
triângulos adjacentes seja sempre múltiplo de 3 ? 
Soluções obtidas por rotação ou reflexão são dife-
rentes, portanto as figuras abaixo mostram duas 
soluções distintas. 
 
 
 
a) 12 
b) 24 
c) 36 
d) 48 
e) 96 
3. (Unigranrio) Uma mulher tem três filhas matri-
culadas regularmente no ensino fundamental. O 
produto da sua idade com as idades de suas 3 fi-
lhas é 37.037. Desta forma, pode-se afirmar que a 
diferença entre as idades de sua filha mais velha e 
sua filha mais nova é 
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 
 
4. (Upe-ssa) Rodrigo estava observando o pisca-
pisca do enfeite natalino de sua casa. Ele é com-
posto por lâmpadas nas cores amarelo, azul, verde 
e vermelho. Rodrigo notou que lâmpadas amarelas 
acendem a cada 45 segundos, as lâmpadas ver-
des, a cada 60 segundos, as azuis, a cada 27 se-
gundos, e as vermelhas só acendem quando as 
lâmpadas das outras cores estão acesas ao 
mesmo tempo. De quantos em quantos minutos, as 
lâmpadas vermelhas acendem? 
a) 6 
b) 9 
c) 12 
d) 15 
e) 18 
 
5. (Ebmsp) Um grupo de pesquisadores, composto 
por 6 médicos e seus 19 orientandos, recebeu, ao 
final de um projeto, como bonificação, uma quantia, 
em notas de R$ 100,00, a ser dividida entre eles de 
tal modo que metade fosse dividida, igualmente, 
entre os médicos e a outra metade fosse dividida, 
igualmente, entre os orientandos. 
Com base nessas informações, pode-se afirmar 
que a diferença entre os valores recebidos por um 
médico e um orientando foi, no mínimo, igual a 
a) R$ 1.300,00 
b) R$ 1.500,00 
c) R$ 2.000,00 
d) R$ 2.400,00 
e) R$ 3.000,00 
 
6. (Fuvest) Sejam a e b dois números inteiros po-
sitivos. Diz-se que a e b são equivalentes se a 
soma dos divisores positivos de a coincide com a 
soma dos divisores positivos de b. 
Constituem dois inteiros positivos equivalentes: 
 
 
a) 8 e 9. 
b) 9 e 11. 
c) 10 e 12. 
d) 15 e 20. 
e) 16 e 25. 
 
7. (Fac. Albert Einstein - Medicin) Um torneio de 
xadrez terá alunos de 3 escolas. Uma das escolas 
levará 120 alunos; outra, 180 alunos; e outra, 252 
alunos. Esses alunos serão divididos em grupos, 
de modo que cada grupo tenha representantes das 
três escolas, e o número de alunos de cada escola 
seja o mesmo em cada grupo. Dessa maneira, o 
maior número de grupos que podem ser formados 
é 
a) 12 
b) 23 
c) 46 
d) 69 
 
8. (Fatec) Os números naturais de 0 a 3.000 foram 
dispostos, consecutivamente, conforme a figura, 
que mostra o começo do processo. 
 
 
 
Nessas condições, o número 2.017 está na 
a) 1ª linha. 
b) 2ª linha. 
c) 3ª linha. 
d) 4ª linha. 
e) 5ª linha. 
 
9. (Enem (Libras)) "Veja os algarismos: não há 
dois que façam o mesmo ofício; 4 é 4, e 7 é 7. E 
admire a beleza com que um 4 e um 7 formam 
esta coisa que se exprime por 11. Agora dobre 11 
e terá 22; multiplique por igual número, dá 484, e 
assim por diante." 
ASSIS, M. Dom Casmurro. Olinda: Livro Rápido, 2010. 
 
No trecho anterior, o autor escolheu os algarismos 
4 e 7 e realizou corretamente algumas operações, 
obtendo ao final o número 484. 
 
A partir do referido trecho, um professor de mate-
mática solicitou aos seus alunos que escolhessem 
outros dois algarismos e realizassem as mesmas 
operações. Em seguida, questionou sobre o nú-
mero que foi obtido com esse procedimento e rece-
beu cinco respostas diferentes. 
 
Aluno 
1 
Aluno 
2 
Aluno 
3 
Aluno 
4 
Aluno 
5 
121 242 324 625 784 
Quais alunos apresentaram respostas corretas, 
obedecendo ao mesmo princípio utilizado nas ope-
rações matemáticas do autor? 
a) 3 e 5 
b) 2, 3 e 5 
c) 1, 3, 4 e 5 
d) 1 e 2 
e) 1 e 4 
 
10. (Fgv) O dono de uma papelaria comprou uma 
grande quantidade de canetas de dois tipos, A e 
B, ao preço de R$ 20,00 e R$ 15,00 a dúzia, res-
pectivamente, tendo pago na compra o valor de 
R$ 1.020,00. No total, ele saiu da loja com 777 ca-
netas, mas sabe-se que, para cada três dúzias de 
um mesmo tipo de caneta que comprou, ele ga-
nhou uma caneta extra, do mesmo tipo, de brinde. 
Nas condições descritas, o total de dúzias de cane-
tas do tipo B que ele comprou foi igual a 
a) 52. 
b) 48. 
c) 45. 
d) 41. 
e) 37. 
 
11. (Espm) Dividindo-se o número natural N por 
13, obtém-se quociente Q e resto R. Aumentando-
se 2 unidades no dividendo e mantendo-se o divi-
sor, o quociente aumenta de 1 unidade e a divisão 
é exata. 
Sabendo-se que Q R 16,+ = podemos afirmar que 
os divisores primos de N são: 
a) 2 e 19 
b) 2, 3 e 13 
c) 3 e 17 
d) 3, 5 e 7 
e) 5 e 11 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Leia o texto publicado em maio de 2013 para res-
ponder à(s) questão(ões) a seguir. 
 
Os Estados Unidos se preparam para uma inva-
são de insetos após 17 anos 
 Elas vivem a pelo menos 20 centímetros 
sob o solo há 17 anos. E neste segundo trimestre, 
bilhões de cigarras (Magicicada septendecim) 
emergirão para invadir partes da Costa Leste, en-
chendo os céus e as árvores, e fazendo muito ba-
rulho. 
 Há mais de 170 espécies de cigarras na 
América do Norte, e mais de 2 mil espécies ao re-
dor do mundo. A maioria aparece todos os anos, 
mas alguns tipos surgem a cada 13 ou 17 anos. 
Os visitantes deste ano, conhecidos como Brood II 
(Ninhada II, em tradução livre) foram vistos pela úl-
tima vez em 1996. 
 
 
Os moradores da Carolina do Norte e de Connecti-
cut talvez tenham de usar rastelos e pás para retirá-
las do caminho, já que as estimativas do número 
de insetos são de 30 bilhões a 1 trilhão. 
 Um estudo brasileiro descobriu que interva-
los baseados em números primos ofereciam a me-
lhor estratégia de sobrevivência para as cigarras. 
 
12. (Fatec) Suponha a existência de uma espécie 
1C de cigarras, emergindo na superfície a cada 13 
anos, e de uma espécie 2C de cigarras, emergindo 
a cada 17 anos. 
Se essas duas espécies emergirem juntas em 
2016, elas emergirão juntas novamente no ano de 
a) 2.271. 
b) 2.237. 
c) 2.145. 
d) 2.033. 
e) 2.029. 
 
13. (Fgvrj) Prudêncio dirige seu carro a 60 km/h 
quando não está chovendo e a 40 km/h quando 
está chovendo. Certo dia, Prudêncio dirigiu seu 
carro pela manhã, quando não estava chovendo, e 
no final da tarde, quando estava chovendo. No total 
ele percorreu 50 km/h em 65 minutos. 
O tempo, em minutos, que Prudêncio dirigiu na 
chuva foi 
a) 40 
b) 35 
c) 30 
d) 45 
e) 25 
 
14. (Espm) Um garoto está construindo uma se-
quência de polígonos formados por 8 palitos de 
fósforo cada um, como mostra a figura abaixo: 
 
 
 
Sabendo-se que ele dispõe de 225 palitos, ao for-
mar a maior quantidade possível desses polígonos, 
o número de palitos restantes será igual a: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
15. (Pucrj) Para n inteiro positivo, os números da 
forma 
2 2 2
n 3 n 4 n 53 3 3
+ + +
+ + 
são sempre múltiplos de: 
a) 5 
b)7 
c) 11 
d) 13 
e) 17 
16. (Fgvrj) De tempos em tempos, a mensagem a 
seguir circula pela internet, com as adaptações ne-
cessárias: 
 
Calendário de 2015 – Observe o mês de 
maio: 
ESTA SERÁ A ÚNICA VEZ QUE VOCÊ VERÁ 
ESTE FENÔMENO EM SUA VIDA: 
Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sáb 
 1 2 
3 4 5 6 7 8 9 
10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 
24 25 26 27 28 29 30 
31 
Este ano, o mês de maio terá 5 sextas-feiras, 
5 sábados e 5 domingos. 
Isto acontece somente uma vez a cada 823 
anos. 
Os chineses chamam a isto de “BOLSO 
CHEIO DE DINHEIRO”. 
Então envie esta mensagem a todos os seus 
contatos, exceto pra mim, e dentro de 4 dias 
um dinheiro extra irá surpreendê-lo(a). 
Baseado no Feng Shuí, quem não transmitir 
essa mensagem terá sua situação financeira 
arruinada. 
 
Não precisamos de grandes conhecimentos mate-
máticos para comprovar a falsidade desta mensa-
gem, cujo objetivo é simplesmente congestionar a 
internet. Lembrando que de 2001 a 2099 os anos 
múltiplos de 4 são bissextos (366 dias), podemos 
concluir que o próximo ano em que ocorrerá o “fe-
nômeno” citado, isto é, um mês de maio com 5 sex-
tas-feiras, 5 sábados e 5 domingos é 
a) 2022. 
b) 2020. 
c) 2024. 
d) 2021. 
e) 2023. 
 
17. (Ufu) Em uma gráfica, uma impressora foi ajus-
tada para imprimir as 323 páginas de um livro, em 
ordem crescente da 1ª até a 323ª página. Assuma 
que ocorreu uma pane, interrompendo a impressão 
e deixando de ser impresso um total de páginas, 
em cujas enumerações seriam utilizados 636 alga-
rismos. 
Se é o conjunto de todos os números usados na 
enumeração das páginas, então a quantidade de 
elementos desse conjunto que são quadrados per-
feitos é igual a 
 
a) 11. 
b) 8. 
c) 9. 
d) 10. 
 
 
18. (Fgv) O resto da divisão do número 20156 por 
10 é igual a 
a) 4. 
b) 5. 
c) 6. 
d) 8. 
e) 9. 
 
19. (Acafe) Um feirante deseja distribuir 576 goia-
bas, 432 laranjas e 504 maçãs entre várias famí-
lias de um bairro carente. A exigência do feirante é 
que a distribuição seja feita de modo que cada fa-
mília receba o mesmo e o menor número possível 
de frutas de uma mesma espécie. 
A quantidade total de frutas recebida por cada fa-
mília representa um número: 
a) divisível por 9. 
b) múltiplo de 7. 
c) múltiplo de12. 
d) entre 40 e 50 . 
 
20. (Uece) Ao fatorarmos o número inteiro positivo 
n, obtemos a expressão x yn 2 5 ,=  onde x e y são 
números inteiros positivos. Se n admite exata-
mente 12 divisores positivos e é menor do que o 
número 199, então, a soma x y+ é igual a 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
 
21. (Uerj) O ano bissexto possui 366 dias e sempre 
é múltiplo de 4. O ano de 2012 foi o último bis-
sexto. Porém, há casos especiais de anos que, 
apesar de múltiplos de 4. não são bissextos: são 
aqueles que também são múltiplos de 100 e não 
são múltiplos de 400. O ano de 1900 foi o último 
caso especial. 
A soma dos algarismos do próximo ano que será 
um caso especial é: 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
 
22. (Uece) O número de degraus de uma escada é 
um múltiplo de sete, compreendido entre 40 e 100. 
Se ao subirmos essa escada, de dois em dois de-
graus, falta um degrau para atingir o topo da es-
cada e ao subirmos de três em três degraus faltam 
dois degraus, podemos afirmar corretamente que o 
número de degraus da escada é 
 
a) 49. 
b) 63. 
c) 77. 
d) 91. 
23. (Fgvrj) Os números nas seis faces de um cubo 
são seis múltiplos consecutivos de 3. Além disso, 
as somas dos números em faces opostas são todas 
iguais. A figura, a seguir, mostra três faces com os 
números 18, 24 e 27. 
 
 
 
A soma dos três números que estão nas faces ocul-
tas do cubo é 
a) 66. 
b) 72. 
c) 84. 
d) 36. 
e) 48. 
 
24. (Upe-ssa) Dois números inteiros diferentes são 
tais que 
- a soma deles vale 288; 
- o MDC entre eles vale 18; 
- um é múltiplo do outro. 
Nessas condições, quanto vale a diferença entre 
eles? 
a) 160 
b) 216 
c) 252 
d) 270 
e) 306 
 
25. (Insper) Dez dados convencionais não viciados 
serão lançados simultaneamente. Se o produto dos 
números obtidos nas faces dos dados for igual a 
2 5 2
2 3 5 ,  então a maior soma possível dos núme-
ros obtidos nas faces dos dez dados será 
a) 30. 
b) 31. 
c) 32. 
d) 33. 
e) 34. 
 
26. (Pucrj) Assinale a opção correta: 
a) 
1 2 3 5
2 3 5 8
   
b) 
1 3 2 5
2 5 3 8
   
c) 
1 3 5 2
2 5 8 3
   
d) 
2 5 3 1
3 8 5 2
   
e) 
5 3 2 1
8 5 3 2
   
 
 
27. (Pucpr) Um estagiário recebeu a tarefa de or-
ganizar documentos em três arquivos. No primeiro 
arquivo, havia apenas 42 contratos de locação; no 
segundo arquivo, apenas 30 contratos de compra 
e venda; no terceiro arquivo, apenas 18 laudos de 
avaliação de imóveis. Ele foi orientado a colocar os 
documentos em pastas, de modo que todas as pas-
tas devem conter a mesma quantidade de docu-
mentos. Além de não poder mudar algum docu-
mento do seu arquivo original, deveria colocar na 
menor quantidade possível de pastas. O número 
mínimo de pastas que ele pode usar é: 
a) 13. 
b) 15. 
c) 26. 
d) 28. 
e) 30. 
 
28. (Uefs ) Uma equipe de professores corrigiu, em 
três dias de correção de um vestibular, números de 
redações iguais a 702, 728 e 585. Em cada dia, as 
redações foram igualmente divididas entre os pro-
fessores. 
O número de professores na equipe é um divisor 
de 
a) 52. 
b) 54. 
c) 60. 
d) 68. 
e) 77. 
 
29. (Uece) Se o resto da divisão do número natural 
n por 20 é igual a 8 e o número natural r é o resto 
da divisão do mesmo número por 5, então, o valor 
de 3r− é igual a 
a) 1. 
b) 
1
.
8
 
c) 
1
.
27
 
d) 
1
.
64
 
 
30. (Espm) As soluções inteiras e positivas da 
equação x y z 30,  = com x y z  são dadas por 
ternas ordenadas (a, b, c). Essas soluções são em 
número de: 
a) 4. 
b) 6. 
c) 12. 
d) 24. 
e) 48. 
 
31. (Fgvrj) O número 2016 pode ser decomposto 
como a soma de dois números naturais ímpares de 
várias maneiras. Por exemplo, 1 2015+ e 13 2003+ 
são duas dessas decomposições. 
Considere que as decomposições 1 + 2015 e 
2015 + 1 sejam iguais. 
O número de decomposições diferentes é 
a) 505. 
b) 504. 
c) 507. 
d) 506. 
e) 503. 
 
32. (Uece) O número de divisores positivos do pro-
duto das raízes da equação 22x 114x 56 0− + = é 
a) 12. 
b) 10. 
c) 8. 
d) 6. 
 
33. (Uece) O menor número natural que pode ser 
escrito como produto de fatores primos positivos e 
distintos e que tem 32 divisores é 
a) 2280. 
b) 2310. 
c) 2350. 
d) 2380. 
 
34. (Espm) As soluções inteiras da equação 
 (x 1) (x y) 3+  + = 
representam, no plano cartesiano, os vértices de 
um quadrilátero cuja área vale: 
a) 9 
b) 12 
c) 8 
d) 20 
e) 16 
 
35. (Enem) Uma carga de 100 contêineres, idênti-
cos ao modelo apresentado na Figura 1, devera ser 
descarregada no porto de uma cidade. Para isso, 
uma área retangular de 10 m por 32 m foi cedida 
para o empilhamento desses contêineres (Figura 
2). 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com as normas desse porto, os contêi-
neres deverão ser empilhados de forma a não so-
brarem espaços nem ultrapassarem a área delimi-
tada. Após o empilhamento total da carga e aten-
dendo a norma do porto, a altura mínima a ser atin-
gida por essa pilha de contêineres é 
a) 12,5 m. 
b) 17,5 m. 
c) 25,0 m. 
d) 22,5 m. 
e) 32,5 m. 
 
36. (Uece) Ao dividirmos o produto de três números 
inteiros ímpares positivos e consecutivos por 15, 
obtemos o quociente 143 e o resto zero. O menor 
destes três números é 
a) 9. 
b) 11. 
c) 15. 
d) 17. 
 
37. (Upe) Em um dos lados de um parque em for-
mato retangular de uma cidade, existem 19 árvo-
resplantadas em linha reta e igualmente espaça-
das umas das outras. 
 
Se a distância entre a terceira e a sexta árvore é de 
750 metros, qual a distância entre a primeira e a 
última árvore? 
a) 3 500 metros 
b) 4 000 metros. 
c) 4 500 metros. 
d) 4 750 metros. 
e) 5 000 metros 
 
38. (Pucrs) Para o sorteio de uma bicicleta em uma 
festa, havia uma urna com 100 fichas enumeradas 
de 1 a 100 Uma delas daria o prêmio tão esperado. 
A probabilidade de o número sorteado ser, ao 
mesmo tempo, múltiplo de 6 e 15 é 
a) 0,01 
b) 0,02 
c) 0,03 
d) 0,04 
e) 0,05 
 
39. (Acafe) Um grupo de 216 mulheres e 180 ho-
mens inscreveram-se como voluntários para visitar 
pessoas doentes em hospitais de uma cidade. To-
das as pessoas inscritas serão divididas em grupos 
segundo o seguinte critério: todos os grupos deve-
rão ter a mesma quantidade de pessoas, e em cada 
grupo só haverá pessoas do mesmo sexo. 
Nessas condições, se grupos distintos deverão vi-
sitar hospitais distintos, o menor número de hospi-
tais a serem visitados é um número: 
a) par. 
b) divisível por 6 
c) quadrado perfeito. 
d) primo. 
 
40. (Enem) Um arquiteto está reformando uma 
casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, 
decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da 
casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm e 30 de 
810 cm e 10 de 1 080 cm todas de mesma largura 
e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cor-
tasse as tábuas em pedaços de mesmo compri-
mento, sem deixar sobras, e de modo que as novas 
peças ficassem com o maior tamanho possível, 
mas de comprimento menor que 2 m. 
Atendendo ao pedido do arquiteto, o carpinteiro de-
verá produzir 
a) 105 peças. 
b) 120 peças. 
c) 210 peças. 
d) 243 peças. 
e) 420 peças. 
 
41. (Uerj) Na tabela abaixo, estão indicadas três 
possibilidades de arrumar n cadernos em pacotes: 
 
Nº de paco-
tes 
Nº de cader-
nos por pa-
cotes 
Nº de cader-
nos que so-
bram 
X 12 11 
Y 20 19 
Z 18 17 
 
Se n é menor do que 1200, a soma dos algarismos 
do maior valor de n é: 
a) 12 
b) 17 
c) 21 
d) 26 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [A] 
 
Os quadrados perfeitos menores que 900 e múlti-
plos de 3 são aqueles cujas raízes também são 
múltiplas de 3. Como 900 é o quadrado perfeito de 
30, os possíveis quadrados perfeitos são aqueles 
de raízes menores que 30, portanto de 0 a 29. 
Destes, são serão múltiplos de 3 : 
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 e 27. Logo, Rafael terá um 
total de 9 combinações possíveis, de acordo com 
as informações que lembrava. 
Para que Rafael não trave seu celular, ele deve 
acertar a senha na primeira ou na segunda tenta-
tiva, ou seja: 
total
1
Acerta 1ª
9
8 1 1
Erra 1ª /Acerta 2ª
9 8 9
1 1 2
P
9 9 9
→
→  =
= + =
 
 
Resposta da questão 2: 
 [D] 
 
Fazendo congruência em mod 3 pode-se concluir: 
- 3 e 6 são côngruos a 0 
- 1 e 4 são côngruos a 1 
- 2 e 5 são côngruos a 2 
 
Assim, escolhendo a posição do número 6, há seis 
maneiras de 6 2 maneiras posicionar o resto (pois 
a ordem de colocação é fator de diferenciação) e 
cada no côngruo pode ser escolhido de 2 formas: 
2 2 4 = maneiras. Logo tem-se 6 2 4 48  = manei-
ras. 
 
Resposta da questão 3: 
 [C] 
 
Fatorando-se o produto das idades, tem-se: 
37037 
5291 
481 
37 
1 
|
|
7
11
13
37
 
 
Logo, a idade da mãe será 37 anos e das filhas 7, 
11 e 13 anos. A diferença de idade entre a filha 
mais velha e a mais nova será de 6 anos. 
 
Resposta da questão 4: 
 [B] 
 
Transformando os tempos dados para minutos e 
calculando-se o mínimo múltiplo comum entre eles, 
tem-se: 
( )
45 s 0,75 min
60 s 1 min MMC 0,75; 1; 0,45 9
27 s 0,45 min
=
=  =
=
 
 
Assim, a cada 9 minutos as lâmpadas vermelhas 
estarão acesas (pois todas as outras estarão ace-
sas ao mesmo tempo). Lembrando que para en-
contrar o MMC deve-se fatorar os números (dividir 
sucessivamente por números primos em ordem 
crescente). Ou seja: 
 
0,75 1 0,45
0,75 0,50 0,45
0,75 0,25 0,45
|
2
2
3
0,25 0,25 0,15
0,25 0,25 0,05
0,05 0,05 0,01
|
3
5
5
  
0,01 0,01 0,01| }
 
 
 
 
  2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 900
⇒
900
100
= 9 
 
Resposta da questão 5: 
 [A] 
 
O valor total em notas de 100 será representado 
por 100n, onde n é o número de notas. 
 
A diferença entre o valor recebido por um médico e 
o valor recebido por um orientando será dada por: 
( )950 300 n50n 50n 650 n
6 19 114 114
−  
− = = 
 
Considerando: 
650 n
n 114 650 (não é múltiplo de 100)
114
650 n
n 228 1500 (múltiplo de 100)
114

=  =

=  =
 
 
Portanto, a diferença pedida é no mínimo 
R$ 1.500,00. 
 
Resposta da questão 6: 
 [E] 
 
Calculando os divisores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Divisores de 8 1, 2, 4, 8 Soma 15
Divisores de 9 1, 3, 9 Soma 13
Divisores de 10 1, 2, 5, 10 Soma 18
Divisores de 11 1, 11 Soma 12
Divisores de 12 1, 2, 3, 4, 6, 12 Soma 28
Divisores de 15 1, 3, 5, 15 Soma 24
Divisores de 16 1, 2, 4, 8, 16 S
→ → =
→ → =
→ → =
→ → =
→ → =
→ → =
→ →
 
oma 31
Divisores de 25 1, 5, 25 Soma 31
=
→ → =
 
 
Logo, 16 e 25 são dois inteiros positivos equiva-
lentes. 
 
Resposta da questão 7: 
 [A] 
 
O resultado pedido corresponde ao máximo divisor 
comum dos números 120, 180 e 252, ou seja, 
3 2 2 2 2
2
mdc(120, 180, 252) mdc(2 3 5, 2 3 5, 2 3 7)
2 3
12.
=      
= 
=
 
 
Resposta da questão 8: [B] 
 
Na primeira linha se encontra todos os números 
que quando divididos por 4 deixam resto zero e 
apresentam um quociente par. Sabendo que 
2016 504 16,=  podemos concluir que 2016 encon-
tra-se na primeira linha, portanto 2017 encontra-se 
na segunda linha. 
 
Resposta da questão 9: [A] 
 
Sejam x e y dois algarismos do sistema de nume-
ração decimal. Para quaisquer x e y, tem-se que 
o número resultante das operações mencionadas é 
expresso por 2 2(2(x y)) 4(x y) ,+ = + ou seja, um múl-
tiplo de 4. 
 
Em consequência, desde que apenas 324 e 784 
são múltiplos de 4, somente os alunos 3 e 5 apre-
sentaram respostas corretas. 
 
Resposta da questão 10: 
 [B] 
 
Sejam x e y, respectivamente, o número de dúzias 
compradas de canetas do tipo A e o número de 
dúzias compradas de canetas do tipo B. Tem-se 
que 
20x 15y 1020 4x 3y 204.+ =  + = 
 
Ademais, sendo 777 36 21 21,=  + podemos concluir 
que ele ganhou 21 canetas e, portanto, comprou 
3 21 63 = dúzias de canetas. Em consequência, 
vem 
4 (63 y) 3y 204 y 48. − + =  = 
 
Resposta da questão 11: 
 [A] 
 
Desde que R 16 Q= − e N 13Q R,= + temos 
N 13Q 16 Q N 12Q 16.= + −  = + 
 
Ademais, se N 2 13(Q 1),+ = + então 
12Q 16 2 13Q 13 Q 5.+ + = +  = 
 
Portanto, vem R 11= e N 76.= 
Escrevendo 276 2 19,=  podemos concluir que os 
divisores primos de N são 2 e 19. 
 
Resposta da questão 12: 
 [B] 
 
Elas emergirão juntas depois de M anos, onde M 
é o mínimo múltiplo comum entre 13 e 17. 
M 13 17 221.=  = 
 
Portanto, estas espécies emergirão juntas nova-
mente no ano de 2016 221 2237.+ = 
 
Resposta da questão 13: [D] 
 
65 minutos 13 12h= 
Sabemos que velocidade e tempo são grandezas 
inversamente proporcionais. Admitindo que x é o 
tempo em horas que Prudêncio dirigiu na chuva e 
13 12 x− é o tempo que Prudêncio dirigiu seu carro 
sem chuva, temos as seguinte equação. 
13
60 x 40 x 50
12
65 60 x 40x 50
20x 15
x 0,75 horas
x 45 minutos.
 
 − +  = 
 
−  + =
− = −
=
=
 
 
Resposta da questão 14: [C] 
 
Para montar mais um conjunto de dois polígonos 
um padrão de 11 palitos é usado. 
 
Assim, o número de palitos restantes será igual a: 
225 ÷ 11 = 20,4545454545 
0,4545454545 ⋅ 11 = 5 
 
 
 
Porém, para o último conjunto do padrão de 11 pa-
litos ficar completo, são necessários mais dois pa-
litos, logo restarão 3 palitos. 
 
Resposta da questão 15: 
 [D] 
 
Colocando 
2
n 3
3
+ em evidência, vem 
 
2 2 2 2
2
n 3 n 4 n 5 n 3 1 2
n 3
3 3 33 (1 3 3 )
3 13,
+ + + +
+
+ + =  + +
= 
 
 
que é um múltiplo de 13 para todo n natural. 
 
Resposta da questão 16: 
 [B] 
 
Vamos estabelecer em que ano o dia primeiro de 
maio (dia do trabalho) voltará a ser sexta feira. 
2015: 1 de maio é uma sexta-feira. 
2016: 1 de maio é um domingo, pois 2016 é um ano 
bissexto. 
2017: 1 de maio é uma segunda-feira. 
2018: 1 de maio é uma terça-feira. 
2019: 1 de maio é uma quarta-feira. 
2020: 1 de maio é um sexta-feira, pois 2020 é um 
ano bissexto. 
 
Resposta da questão 17: 
 [D] 
 
Número de páginas não impressas: =636 : 3 212 
Total de páginas impressas: − =323 212 111 
 
Escrevendo todos os quadrados perfeitos de 1 até 
111, temos: 
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. 
 
Temos então 10 quadrados perfeitos utilizados na 
enumeração das páginas. 
 
Resposta da questão 18: 
 [C] 
 
2
3
4 2015
5
10
6 36
6 216
6 1296 6 10 resto 6
6 7776
6 7776 7776 60466176
=

=

=   

= 

=  = 
 
 
Resposta da questão 19: 
 [B] 
 
Fatorando as quantidades de goiabas, laranjas e 
maçãs, tem-se: 
( )
6 2
4 3 3 2
3 2
576 2 3
432 2 3 MDC 432,504,576 2 3 72 famílias
504 2 3 7
= 


=  =  =

=   
 
 
Assim, cada família receberá: 
576 72 8 goiabas
432 72 6 laranjas
504 72 7 maçãs
 =
 =
 =
 
 
Somando as frutas que cada família receberá tem-
se o número 21, que é múltiplo de 7. 
 
Resposta da questão 20: 
 [B] 
 
Se o número de divisores positivos de n é igual a 
12, então (x 1) (y 1) 12.+  + = Logo, sendo x e y in-
teiros positivos, temos 
(x, y) {(1, 5), (2, 3), (3, 2), (5, 1)}. Porém, como n 199, 
só pode ser x 5= e y 1.= Daí, segue que 
x y 5 1 6.+ = + = 
 
Resposta da questão 21: 
 [A] 
 
O próximo ano múltiplo de 100 após o ano de 1900 
é o ano 2000. Porém, 2000 é múltiplo de 400, 
(2000 400 5). = Assim, o próximo ano múltiplo de 
100 é o ano 2100. Este, além de múltiplo de 100, 
não é múltiplo de 400, configurando um caso espe-
cial. Logo, a soma dos algarismos do próximo ano 
que será um caso especial é 2 1 0 0 3.+ + + = 
 
Resposta da questão 22: 
 [C] 
 
Seja n 7k,= com k inteiro positivo, o número de de-
graus da escada. Desse modo, estando n compre-
endido entre 40 e 100, temos 6 k 14.  Por outro 
lado, segue que 7k 1 2(p 1) 3(q 1),+ = + = + com p, q 
inteiros positivos. Em consequência, sendo 2 e 3 
primos entre si, podemos concluir que 7k 1+ é um 
múltiplo de 6 e, portanto, só pode ser k 11.= 
 
Resposta da questão 23: 
 [E] 
 
Podemos considerar 3 sequências para as 6 faces 
do dado. 
Sequência 1: (18, 21, 24, 27, 30, 33) 
Não poderá ser, pois neste caso 24 e 27 devem 
ser faces opostas. 
 
 
 
Sequência 2: (15, 18, 21, 24, 27, 30) 
Não poderá ser, pois neste caso 18 e 27 devem 
ser faces opostas. 
 
Portanto, a única sequência possível é: 
Sequência 3: (12, 15, 18, 21, 24, 27) 
 
Logo, a soma das três faces ocultas será 
12 15 21 48.+ + = 
 
Resposta da questão 24: 
 [C] 
 
Os números pedidos podem ser escritos na forma 
18x e 18y com y sendo múltiplo de x. Nestas con-
dições temos a seguinte equação: 
18x 18y 288 ( 18) x y 16.+ =   + = 
 
As soluções para esta equação com y x, são: 
(1, 15), (2, 14), (3, 13), (4, 12), (5, 11), (6, 10) e (7, 9). 
 
Destas soluções as únicas que possui y sendo 
múltiplo de x são (1, 15) e (4, 12). 
Temos então duas possibilidades. 
 
Considerando a solução (1, 15), temos: 
18x 18= e 18y 270,= com x – y = 270 – 18 = 252. 
 
Para a solução (4, 12), temos: 
18x = 72 e 18y =261 com x y 216 72 144.− = − = 
 
Portanto, a alternativa correta é a [C]. 
 
Resposta da questão 25: 
 [E] 
 
2 5 2 2 5 2
2 5 2 2 1 4 2
2 5 2 3 2 3 2
2 3 5 1 2 3 5 (soma = 1 + 2 2 5 3 2 5 30)
2 3 5 1 6 2 3 5 (soma = 2 1 + 6 2 4 3 2 5 34)
2 3 5 1 6 3 5 (soma = 3 1 +2 6 3 3 2 5 34)
  =     +  +  =
  =      + +  +  =
  =      +  +  =
 
 
Portanto a maior soma possível será 34. 
 
Resposta da questão 26: 
 [C] 
 
Analisando as alternativas e o MMC dos divisores, 
percebe-se que a única correta é a alternativa [C]. 
1 3 5 2 60 72 75 80
2 5 8 3 120 120 120 120
   →    
 
 
Resposta da questão 27: 
 [B] 
 
O número de documentos em cada pasta é dado 
por mdc(42, 30, 18) 6.= Por conseguinte, a resposta 
é 
42 30 18
15.
6 6 6
+ + = 
 
Resposta da questão 28: 
 [A] 
 
O número de professores corresponde ao máximo 
divisor comum dos números de redações. Portanto, 
desde que 3702 2 3 13,=   3728 2 7 13=   e 
2
585 3 5 13,=   temos mdc(702, 728, 585) 13.= Logo, 
como 52 4 13,=  segue o resultado. 
 
Resposta da questão 29: 
 [C] 
 
Desde que n 20a 8= + e n 5b r,= + com a, b inteiros 
positivos e 0 r 4,  temos 
 
n 5 4a 5 3 5(4a 1) 3.=  + + = + + 
 
Daí, vem b 4a 1= + e r 3.= Por conseguinte, a res-
posta é 3 3
1
r 3 .
27
− −
= = 
 
Resposta da questão 30: 
 [D] 
 
As possíveis soluções são: 
3 10 1
2 15 1
4 3! 24
3 5 2
6 5 1
 
 
 =
 
 
 
 
Resposta da questão 31: 
 [B] 
 
De 1 até 2016, temos 1008 números ímpares, por-
tanto teremos 1008 : 2 504= somas possíveis para 
a decomposição do 2016, como é sugerido no 
enunciado. 
 
Resposta da questão 32: 
 [D] 
 
Solução 1: 
Utilizando as Relações de Girard e a fatoração: 
1 2 1 2
c 56
x x x x 28
a 2
 = = →  = 
 
Fatorando este número, tem-se: 2 128 2 7 .=  Assim, 
o número de divisores será: (2 1) (1 1) 6+  + = diviso-
res. 
 
 
 
 
Solução 2: 
Simplificando a equação e calculando suas raízes, 
tem-se: 
2 2
2
1,2
2x 114x 56 0 x 57x 28 0
( 57) 4 1 28 3137
57 3137
x
2
− + = → − + =
 = − −   =

=
 
 
Assim, utilizando as propriedades dos produtos no-
táveis, o produto das raízes da equação será: 
𝑥1 ⋅ 𝑥2 = (
57 + √3137
2
) ⋅ (
57 − √3137
2
)
= (
57
2
)
2
− (
√3137
2
)
2
=
3249
4
−
3137
4
=
112
4
→ 𝑥1 ⋅ 𝑥2
= 28 
 
Os divisores de 28 são: 1, 2, 4, 7, 14 e 28. São, por-
tanto, 6 divisores. 
 
Resposta da questão 33: 
 ANULADA. 
 
Questão anulada pelo gabarito oficial. 
 
Observando que 32280 2 3 5 19,=    
2310 2 3 5 7 11,=     22350 2 5 47=   e 
2
2380 2 5 7 17,=    podemos concluir que, dentre os 
números apresentados, apenas 2280 e 2310 pos-
suem 32 divisores positivos. Porém, 2280 apre-
senta fatores repetidos, já que o expoente de 2 é 
maior do que 1. O resultado segue de imediato. 
 
Resposta da questão 34: 
 [E] 
 
Os possíveis valores dos termos da equação 
(x 1) (x y) 3+  + = para que a mesma seja válida são: 
3 1 3 = ou 3 1 3.−  − = Assim, pode-se escrever: 
⟨
𝑥 + 1 = 1 → 𝑥 = 0
𝑜𝑢
𝑥 + 1 = 3 → 𝑥 = 2
→ ⟨
𝑥 + 𝑦 = 1 → ⟨
𝑥 = 0 → 𝑦 = 1  (𝑛ã𝑜 é 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑞. (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 + 𝑦) = 3)
𝑥 = 2 → 𝑦 = −1
𝑜𝑢
𝑥 + 𝑦 = 3 → ⟨
𝑥 = 0 → 𝑦 = 3
𝑥 = 2 → 𝑦 = 1  (𝑛ã𝑜 é 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑞. (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 + 𝑦) = 3)
 
 
ou 
 
⟨
𝑥 + 1 = −1 → 𝑥 = −2
𝑜𝑢
𝑥 + 1 = −3 → 𝑥 = −4
→ ⟨
𝑥 + 𝑦 = −1 → ⟨
𝑥 = −2 → 𝑦 = 1  (𝑛ã𝑜 é 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑞. (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 + 𝑦) = 3)
𝑥 = −4 → 𝑦 = 3
𝑜𝑢
𝑥 + 𝑦 = −3 → ⟨
𝑥 = −2 → 𝑦 = −3
𝑥 = −4 → 𝑦 = 1  (𝑛ã𝑜 é 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑞. (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 + 𝑦) = 3)
 
 
Logo, as soluções inteiras da equação dada serão 
os pares ordenados (2, 1),− (0,3), ( 4,3)− e ( 2, 1).− − 
Estes podem ser representados no plano cartesi-
ano: 
 
 
Assim, a área do quadrilátero formado por estes 
pontos será igual a 16. 
 
Resposta da questão 35: 
 [A] 
 
A altura mínima é atingida quando toda a área é 
ocupada pelos contêineres. A única maneira de fa-
zer isso, é dispor os contêineres de modo que 
= 10 4 2,5 e 32 5 6,4.=  Logo, serão dispostos 
 =4 5 20 contêineres em cada nível e, portanto, a 
resposta é  =
100
2,5 12,5 m.
20
 
 
Resposta da questão 36: 
 [B] 
 
Se considerarmos os três números inteiros menci-
onados no enunciado como x, y e z, pode-se de-
duzir, uma vez que são ímpares, que os três núme-
rosterão a seguinte relação: 
y x 2
z y 2 x 4
= +
= + = +
 
 
O produto dos três números dividido por 15 será 
143, conforme enunciado, ou seja: 
x (x 2) (x 4)
143 x (x 2) (x 4) 143 15
15
 +  +
= →  +  + =  
 
 
 
Se fatorarmos o número 143, pode-se reescrevê-lo 
como sendo o produto de 11 e 13. Logo: 
x (x 2) (x 4) 11 13 15 +  + =   
 
Dessa equação percebe-se facilmente que: 
x 11
x 2 13
x 4 15
=
+ =
+ =
 
 
Assim, o menor dos números ímpares dessa se-
quência de números ímpares é 11. 
 
 
Resposta da questão 37: [C] 
 
Entre a terceira e a sexta árvores há 3 espaços. 
Logo, a distância entre duas arvores consecutivas 
é de 
750
250 m.
3
= Em consequência, a distância 
entre a primeira e a última árvores é igual a 
18 250 4500 = metros. 
 
Resposta da questão 38: [C] 
 
Entre 1 e 100 existem 6 números múltiplos de 15, 
dentre os quais apenas 3 também são múltiplos de 
6 (30, 60 e 90). Assim a probabilidade de o número 
sorteado ser, ao mesmo tempo, múltiplo de 6 e 15 
é 
3
0,03.
100
= 
 
Resposta da questão 39: [D] 
 
Para visitar o menor número de hospitais, devemos 
ter o máximo de pessoas em cada grupo. O má-
ximo divisor comum entre 216 e 180 é 36. Logo, 
serão formados 6 grupos de mulheres 
(216 36 6), = e 5 grupos de homens (180 36 5). = 
Se cada grupo visitará um hospital distinto, serão 
visitados 11 hospitais (6 5).+ 
 
Resposta da questão 40: [E] 
 
Sendo =  2 3540 2 3 5, =  4810 2 3 5 e 
=  
3 3
1080 2 3 5, vem que o máximo divisor comum 
desses números é   =32 3 5 270. Contudo, se o 
comprimento das novas peças deve ser menor do 
que 200 centímetros, então queremos o maior di-
visor comum que seja menor do que 200, ou seja, 
 =
3
3 5 135. 
 
Em consequência, a resposta é 
 
540 810 1080
40 30 10 420.
135 135 135
 +  +  = 
 
Resposta da questão 41: [B] 
 
De acordo com a tabela, temos: 
 
( )
( )
( )
( )
n 12x 11 n 1 12 x 1
n 20y 19 n 1 20 x 1
n 18z 17 n 1 18 x 1
mmc 12,20,18 180
= +  + = +
= +  + = +
= +  + = +
=
 
 
Concluímos então que, n + 1 é o maior múltiplo de 
180 que é menor que 1200. 
Portanto, n 1 1080 n 1079.+ =  = 
A soma dos algarismos de n será dada por: 1 + 0 + 
7 + 9 = 17. 
 
 
 
 
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