LISTA DE EXERCÍCIOS 01

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LISTA DE EXERCÍCIOS 01 – CÁLCULO NUMÉRICO
Aluna: Ana Renata da Silva Tranjano
Matrícula: 200500396
Curso: Engenharia de Produção
1) Converta os seguintes números decimais para sua forma binária:
a) x = 37
37/2=18 resto 1
18/2=9 resto 0
9/2=4 resto 1
4/2=2 resto 0
2/2=1 resto 0
1/2=0 resto 1
X= (100101)2
b) 	y = 2345
2345/2 = 1172 resto 1
1172/2 = 586 resto 0
586/2 = 293 resto 0
293/2 = 146 resto 1
146/2 = 73 resto 0
73/2 = 36 resto 1
36/2 = 18 resto 0
18/2 = 9 resto 0
9/2 = 4 resto 1
4/2 = 2 resto 0
2/2 = 1 resto 0
1/2 = 0 resto 1
Y = (100100101001)₂
c) z = 0,1217
Para números decimais ao invés de dividirmos, multiplicamos até encontrar 1
0,1217 x 2 = 0,2434 – Dígito 0
0,2434 x 2 = 0,4868 – Dígito 0
0,4868 x 2 = 0,9736 – Dígito 0
0,9736 x 2 = 1,9472 – Dígito 1
0,9472 x 2 = 1,8944 – Dígito 1
0,8944 x 2 = 1,7888 – Dígito 1
0,7888 x 2 = 1,5776 – Dígito 1
0,5776 x 2 = 1,1552 – Dígito 1
0,1552 x 2 = 0,3104 – Dígito 0
z = (0.000111110...)₂		
2) Converta os seguintes números binários para sua forma decimal:
a) x = (101101)₂
= 1 x 2⁵ + 0 x 2⁴ + 1 x 2³ + 1 x 2² + 0 x 2¹ + 1 x 2° = 32 + 8 + 4 + 1 = (45)₁₀
b) y = (110101011)₂
= 1 x 2⁸ + 1 x 2⁷ + 0 x 2⁶ + 1 x 2⁵ + 0 x 2⁴ + 1 x 2³ + 0 x 2² + 1 x 2¹ + 1 x 2° = 256 + 128 + 32 + 8 + 2 + 1 = (427)₁₀
c) z = (0,1101)₂
= 0 x 2° + 1 x 2¯¹ + 1 x 2¯² + 0 x 2¯³ + 1 x 2¯⁴ = 1/2 + 1/4 + 1/16 = (0.8125)₁₀
d) w = (0,111111101)₂
= 0 x 2° + 1 x 2¯¹ + 1 x 2¯² + 1 x 2¯³ + 1 x 2¯⁴ + 1 x 2¯⁵ + 1 x 2¯⁶ + 1 x 2¯⁷ + 0 x 2¯⁸ + 1 x 2¯⁹ = 
1/2 + 1/4 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/512 = (0.994140625)₁₀
3) Calcule o erro relativo e o erro absoluto envolvidos nos seguintes cálculos numéricos abaixo onde o valor preciso da solução é dado por x e o valor aproximado é dado por xa.
a) x = 0,0020 e xa =0,0021
Exato: 0,002
Aproximado: 0,0021	
Erro Absoluto: (0,002 – 0,0021) = -0,0001 
Erro Relativo: (-0,0001 / 0,002) = -0,05
b) x = 530000 e xa =529400
Exato: 530000
Aproximado: 529400	
Erro Absoluto: (530000 – 529400) = 600
Erro Relativo: (600 / 530000) = -0,00113208
c) x= 2x10¹² e xa =1,872 x 10¹²
Exato: 2x10¹²
Aproximado: 1,872 x 10¹²
Erro Absoluto: (2x10¹² – 1,872 x 10¹²) = 128000000000
Erro Relativo: (128000000000 / 2x10¹²) = 0.064
4) Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de quatro dígitos e base decimal que armazena os números utilizando arredondamento, dado os números: x = 0.7237×10⁴ , y = 0.2145×10¯³ e z = 0.2585×10¹ , obtenha o erro relativo das operações abaixo.
DICA: Lembre-se que em cada operação há sempre um fator que devemos somar para levar em consideração o fato de estarmos truncando ou arredondado os números.
a) x+y+z
= 0.7237×10⁴ + 0.2145×10¯³ + 0.2585×10¹ 
= 0.7240×10⁴ + 0.000000002145x10⁴ + 0.0002585x10⁴ = 0.723958502x10⁴
Arredondamento: 0.7240x10⁴
Truncamento: 0.7239x10⁴
b) x-y-z
= 0.7237×10⁴ - 0.2145×10¯³ - 0.2585×10¹ 
= 0.7234x10⁴ - 0.000000002145x10⁴ - 0.0002585x10⁴ = 0.7234412855 x10⁴
Arredondamento: 0.7234x10⁴
Truncamento: 0.7234x10⁴
5) Supondo que u é representado em um computador por ū, que é obtido por arredondamento. Obter os limites superiores para os erros relativos de v = 2. ū e w = ū + ū.
v = 2.ū
ER2.ū = ER₂ + ERū + RA = RA + RA = 2.RA |ER2.ū|<2x(1/2)x10¯ ͭᶧ¹
|ER̬|<10¯ ͭᶧ¹
w = ū + ū.
ERw = ERū [ū/(ū+ū)] + ERū [ū/(ū+ū)] +RA
ERw = 2.RA [ū/(ū+ū)] + RA = 2.RA
|ERw|=2.|RA|<2.(1/2).10¯ ͭᶧ¹ = 10¯ ͭᶧ¹
|ERw|=|ERv|< 10¯ ͭᶧ¹
6) Repetir o exercício 5 para v = 3. ū e w = ū + ū + ū.
v = 3.ū
ER2.ū = ER₂ + ERū + RA = RA + RA = 3.RA |ER2.ū|<3x(1/2)x10¯ ͭᶧ¹
|ER̬|<10¯ ͭᶧ¹
w = ū + ū + ū
ERw = ERū [ū/(ū+ū)] + ERū [ū/(ū+ū)] + ERū [ū/(ū+ū)] +RA
ERw = 3.RA [ū/(ū+ū)] + RA = 3.RA
|ERw|=3.|RA|<2.(1/2).10¯ ͭᶧ¹ = 10¯ ͭᶧ¹
|ERw|<4/3x10¯ ͭᶧ¹
7) Considere uma máquina cujo sistema de representação de números é definido por:
Base = 10; mantissa t = 4; expoente [-5, 5]. Pede-se:
a) Qual o menor e maior número em módulo representado nesta máquina?
O menor número em modulo: ou é zero (0) ou é :
 m = 0.1000 × = 
O maior número é :
 M = 0.9999 × 
b) Como será representado o número 73.758 nesta máquina, se for usado o arredondamento? E se for usado o truncamento?
73.758 = 0.73758 x 10⁵
Truncamento = 0.7375 x 10⁵
Arredondamento = 07376 x 10⁵
c) Se a = 42450 e b = 3 qual o resultado de a + b?
a + b = 0.4245 x 10⁵ + 0.00003 x 10⁵
a + b = 0.42453 x 10⁵ 
Truncamento = 0.4245 x 10⁵
Arredondamento = 04245 x 10⁵