Capítulo 01 Erros

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Capítulo 01 
Noções Básicas Sobre Erros 
 
1.1 Introdução 
Problemas matemáticos → necessidade de resolver problemas reais. 
 
Problemas reais → podem ser descritos por meio de modelos matemáticos. 
 
 
Etapas de solução de um problema: 
 
Problema 
 físico 
 modelagem 
 
 Modelo 
matemático 
 resolução 
 
 
Solução 
 
 
Modelo Matemático → simplificações → problema solúvel 
 
 
 
Solução do modelo 
matemático 
 difere 
 
 
 Solução do problema 
 real devido a simplificações 
 
 
Fontes de erros que causam a diferença: 
 
 Simplificação no modelo 
 Erro de truncamento: o modelo envolve a avaliação de uma série infinita 
 Erro de arredondamento: os computadores e calculadoras trabalham com um 
número fixo de algarismos significativos 
 Erros nos dados: dados obtidos por meio de experimentos ou dados com dízima 
periódica, que nos levam ao arredondamento 
 Erros devidos ao processo de conversão decimal/binário e vice-versa. 
 
1.2 Representação de Números 
Problema I: Calcular a área de uma circunferência de raio de 100m. 
Resultados: 2 rA  
I) A=31.400m2 
II) A=31.416m2 
III) A=31.415,92654m2 
 
O “erro” ocorrido depende da representação do número de casas da máquina 
utilizada. 
Capítulo 1 – Noções Básicas Sobre Erros 
 2 
O valor de π foi escrito como 3,14; 3,1416 e 3,141592654, respectivamente. O 
“erro” obtido nestes casos depende da aproximação escolhida para π. Como π é um 
número irracional, não se pode obter o valor exato da área de nenhuma circunferência. 
 
Problema II: (Ruggiero e Lopes, 1996). Efetuar os somatórios seguintes em uma 
calculadora e em um computador. 



30000
1i
ixS para xi=0,5 e 0,11. 
Resultados: 
 I) xi=0,5 na calculadora S=15000 e no computador S=15000. 
 II) xi=0,11 na calculadora S=3300 e no computador S=3299,99691. 
 
Observe o que ocorre na interação entre o usuário e o computador: o usuário 
passa seus dados no sistema decimal e toda esta informação é convertida em binário 
pelo computador. Os resultados numéricos obtidos em binário são convertidos para o 
sistema decimal e finalmente são transmitidos ao usuário. 
Considerando que as conversões numéricas e a aritmética de ponto flutuante são 
grandes fontes de erro, estes tópicos serão abordados a seguir. 
 
1.2.1 Conversão de números inteiros e fracionários: binário/decimal 
a) Conversão binário → decimal 
Para converter da base 2 para base 10, basta multiplicar o dígito binário por uma 
potência de 2 adequada, conforme exemplo a seguir. 
Exemplo 1.1: Conversão de números binários para decimais 
(1011)2=1*2
3+0*22+1*21+1*20=1*20+1*21+0*22+1*23=1+2+8=(11)10=0,11*10
2 
 (11101)2=1*2
4+1*23+1*22+0*21+1*20=16+8+4+1=(29)10=0,29*10
2 
 (0,110)2=1*2
-1+1*2-2+0*2-3=1/2+1/4=(3/4)10=(0,75)10=0,75*10
0 
 
b) Conversão - decimal → binário, válido para números inteiros 
Um número inteiro decimal pode ser convertido para uma base diferente por meio de 
divisões sucessivas pela base desejada. Para converter um número inteiro decimal no 
seu equivalente binário, divida o número por 2 sucessivamente até encontrar o 
quociente nulo e anote os restos. Quando se divide por 2, o resto será sempre 1 ou 0. Os 
restos formam o número binário equivalente, conforme ilustra o exemplo a seguir. 
Exemplo 1.2: Conversão de números inteiros decimais para binários 
i) converter (35)10 para base 2. 
 
Divisões Restos Ordem 
35/2=17 1 
 
 ↑ 
17/2=8 1 
8/2=4 0 
4/2=2 0 
2/2=1 0 
1/2=0 1 
 
 ... (35)10=(100011)2=0,100011*2
6 
 
 
Capítulo 1 – Noções Básicas Sobre Erros 
 3 
ii) transformar (347)10 para base 2. 
 
Divisões Restos Ordem 
347/2=173 1 
 
 
 
 ↑ 
173/2=86 1 
86/2=43 0 
43/2=21 1 
21/2=10 1 
10/2=5 0 
5/2=2 1 
2/2=1 0 
1/2=0 1 
 
 ... (347)10=(101011011)2=0,101011011*2
9 
 
c) Conversão decimal → binário, válido para números fracionários 
Para converter uma fração decimal para uma base diferente, multiplique a fração 
sucessivamente pela base desejada e guarde as partes inteiras produzidas pela 
multiplicação, repetindo até que zere. 
 
Exemplo 1.3: Conversão números fracionários de decimal para binário 
i) transformar (0,6875)10 para base 2. 
0,6875*2=1,375 
0,375*2=0,75 
0,75*2=1,5 ... (0,6875)10=(0,10110)2 
0,5*2=1,0 
0*2=0,0 
 
ii) transformar (0,6)10 para base 2. 
0,6*2=1,2 
0,2*2=0,4 
0,4*2=0,8 
0,8*2=1,6 
0,6*2=1,2 ... (0,6)10=(0,10011001...)2 
0,2*2=0,4 
0,4*2=0,8 
0,8*2=1,6 
  
Obs: O número (0,6)10 não tem representação exata na base binária. Este fato ilustra 
também o erro nos dados devido ao arredondamento. 
 
Exercícios de Fixação 1.1 
Converter a representação dos seguintes números: 
a) 1,101 da base 2 para a base 10. 
b) 13 da base 10 para a base 2. 
c) 3,8 da base 10 para a base 2 
d) 20,6875 da base 10 para a base 2. 
 
 
 
Capítulo 1 – Noções Básicas Sobre Erros 
 4 
1.2.2 Aritmética de Ponto Flutuante 
Nesta seção é abordado o sistema computacional de aritmética de ponto flutuante 
utilizado por calculadoras e computadores na representação dos números e nas 
execuções das operações. 
 Um número qualquer na base β, em aritmética de ponto flutuante de t dígitos 
significativos tem a forma: 
   etddd  21,0 
tal que: (0,d1d2...dt) é uma fração da base β, denotada mantissa, 10  id , 
ti ,...,3,2 , 01 d e e o expoente que varia entre o intervalo (-m, M). 
 O sistema de aritmética de ponto flutuante é denotado por F(β,t,m,M). 
 O número máximo de dígitos da mantissa, no caso t, é determinado pelo 
comprimento da palavra do computador. 
 Dado um número n, sua representação em aritmética de ponto flutuante de t 
dígitos é feita por truncamento ou arredondamento. Este número não pode ser 
representado neste sistema se o expoente e estiver fora dos limites –m e M. 
 
Exemplo 1.4: (Ruggiero e Lopes, 1996) Representar no sistema F(10, 3, 4, 4) os 
seguintes números: 
 
Número Truncamento Arredondamento 
25,2 0,252*102 0,252*102 
10,053 0,100*102 0,101*102 
-238,15 -0,238*103 -0,238*103 
2,71828 0,271*101 0,272*101 
0,000007 0,7*10-5 (expoente <-4) = 
718235,82 = 0,718*106 (expoente >4) 
 
Exercícios de Fixação 1.2 
1) Representar os números a seguir no sistema F(2, 3, 1, 2). 
a) (0,38)10 
b) (5,3)10 
c) (0,15)10 
 
2) Dado o número 12,20 que está na base 4, representa-lo na base 3. 
 Dicas: a) converter para a base 10 (multiplicar por 4i). 
b) converter o número da base 10 para a base 3 (dividir por 3 a parte inteira e 
multiplicar por 3 a fração). 
1.3 Erros 
Nesta seção são abordados os conceitos sobre erros absolutos e relativos. 
 
1.3.1 Erros Absolutos e Relativos 
Definição 1.1: Seja x o valor exato e x~ um valor aproximado. O erro absoluto é 
definido por: 
xxEAx
~ 
 
Exemplo 1.5: Se o valor de x é 7,372 e o valor aproximado é 7,37; logo: 
 EAx=7,372-7,37=0,002 
Capítulo 1 – Noções Básicas Sobre Erros 
 5 
 
Como, em geral, o valor de x é desconhecido, fica impossível calcular o erro absoluto. 
Assim, o que se faz é procurar um limitante superior para o erro absoluto ou uma 
estimativa para o módulo do erro absoluto. 
 
Exemplo 1.6: 
1) Sabendo-se que  3,76 ;75,3x . Se for considerada a aproximação 754,3~ x , 
tem-se: 
 01,0~  xxEAx . 
2) Sendo  142,3 ;141,3 . Se 001,0 14103,3~  xEA . 
 
Definição 1.2: O erro relativo é definido por: 
 
x
xx
x
EA
eER xx ~
~
~

 . 
 
Exemplo 1.7: Sabendo-se que x=3,76 e 754,3~ x , calcule o erro relativo. 
 0015982,0
754,3
754,376,3


xER . 
 
1.3.2 Análise de Erros nas Operações de Aritméticas de Ponto Flutuante 
Ao contrário do que é válido para números reais, as operações de adição e multiplicação 
em aritmética de ponto flutuante não são associativas e nem distributivas. Isto se deve 
ao fato de que numa série de operações aritméticas, o arredondamento é feito após cada 
operação.Exemplo 1.8: Verificar que a operação associativa da adição não é válida em aritmética 
de ponto flutuante. Considerar apenas três dígitos significativos. 
 (4,26 + 9,24) + 5,04 = (0,426*101+0,924*101) + 0,504*101 = 
 =(0,135*101) + 0,504*101 ≈ 1,85*101= 0,185*102 
 4,26 + (9,24 + 5,04) = 0,426*101+(0,924*101 + 0,504*101) ≈ 
 ≈ 0,426*101+ 0,143*101 ≈ 1,86*101 = 0,186*102 
 
 Assim, os erros de arredondamento introduzidos em cada operação efetuada 
influenciam na solução obtida por meio do método numérico utilizado. Como 
conseqüência, métodos matematicamente equivalentes podem fornecer resultados 
diferentes. 
 
Exemplo 1.9: Seja F(10, 4, 10, 10). Dados x = 0,937*104 e y = 0,1272*102; obter x+y e 
x*y. 
 
a) Cálculo da adição: 
1° passo: alinhar os pontos decimais 
 x = 0,937*104 e y = 0,001272*104, então 
2° passo: efetuar as operações 
 x + y = (0,937 + 0,001272)*104 = 0,938272*104. 
3° passo: resultado 
 O resultado obtido no Passo 2 é exato. Porém, dado que t=4, este resultado deve 
ser arredondado ou truncado, então: 
 x + y = 0,9383*104 no arredondamento e 
Capítulo 1 – Noções Básicas Sobre Erros 
 6 
 x + y = 0,9382*104 no truncamento. 
 
b) Cálculo da multiplicação: 
 x * y = (0,937 * 104) * (0,1272 * 102) = (0,937 * 0,1272) * 106 
 = 0,1191864 * 106 (valor exato) 
 Então: 
 x * y = 0,1192 * 106 no arredondamento e 
 x * y = 0,1191 * 106 no truncamento. 
 
1.3.3 Operações Aritméticas para Erros Absolutos e Erros Relativos 
Nesta subseção são abordadas as fórmulas para os erros absoluto e relativo nas 
operações aritméticas com erros nas parcelas ou fatores. Supõe-se que o erro final é 
arredondado. 
Sejam x e y, tais que xEAxx 
~ e yEAyy 
~ . 
 
a) Adição: 
)()~~()~()~( yxyx EAEAyxEAyEAxyx  . 
 Então, o erro absoluto na soma, denotado por EAx+y, é a soma dos erros 
absolutos das parcelas: 
 EAx+y=EAx+EAy.. 
 
 O erro relativo será: 
 












yx
y
y
EA
yx
x
x
EA
yx
EA
yx
EA
yx
EA
ER
yxyxyx
yx ~~
~
*~~~
~
*~~~~~~~ 
 














yx
y
ER
yx
x
ER yx ~~
~
~~
~
. 
 
b) Subtração: (Exercício) 
 x – y (análogo à adição). 
 EAx-y=EAx-EAy. 
 














yx
y
ER
yx
x
ERER yxyx ~~
~
~~
~
. 
 
c) Multiplicação: 
     yxxyyx EAEAEAyEAxyxEAyEAxyx **~*~~*~~*~*  . 
 Considerando que EAx*EAy é um número pequeno, despreza-se este termo da 
expressão anterior, logo: 
 xyyx EAyEAxEA
~~
*  . 
 O erro relativo será: 
 xy
xyxyxy
yx ERER
x
EA
y
EA
yx
EAy
yx
EAx
yx
EAyEAx
ER 

 ~~~*~
~
~*~
~
~*~
~~
* . 
 
 
 
 
 
Capítulo 1 – Noções Básicas Sobre Erros 
 7 
d) Divisão: 
 




















y
EAy
EAx
EAy
EAx
y
x
y
x
y
x
~1
1
~
~
~
~
. 
 Representando o fator 
y
EAy
~1
1

 sob a forma de uma série infinita tem-se: 
 

















32
~~~1
~1
1
y
EA
y
EA
y
EA
y
EA
yyy
y
 
 e desprezando os termos com potências maiores que um, tem-se: 
 
22 ~
*
~
~
~~
~
~1~
~
y
EAEA
y
EAx
y
EA
y
x
y
EA
y
EAx
y
x yxyxyx 









 . 
 
 Então: 
 
2~
~
~~
~
y
EAx
y
EA
y
x
y
x yx  . 
 Assim, 
 
22/ ~
~~
~
~
~
y
EAxEAy
y
EAx
y
EA
EA
yxyx
yx

 , 
 e 
 yx
yxyx
yx ERER
y
EA
x
EA
x
y
y
EAxEAy
ER 






 
 ~~~
~
*~
~~
2/
. 
 
1.4. Referências Bibliográficas 
 
RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e 
Computacionais. 2ª edição, São Paulo, Editora Person/Makron Books, 1996. 
FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo, Pearson, 2006. 
 
1.5 Exercícios 
 
1.5.1 Obrigatórios 
 
1) Converta os seguintes números decimais para a sua forma binária: 
X=37 Y=2345 Z=0,1217 
 
2) Converta os seguintes números binários para a sua forma decimal: 
X=  2101101 Y=  2111111101,0 Z=  21101,0 
 
Capítulo 1 – Noções Básicas Sobre Erros 
 8 
3) Calcule o valor das expressões que se seguem, utilizando aritmética de ponto 
flutuante com 3 algarismos significativos. 
a) 19,3+1,07-10,3 
b) 27,2*1,3-327*0,00251 
c) 
2)2,3(*09,71,14
82*1,31,10


 
 
4) Usando arredondamento para quatro dígitos significativos, efetue as operações 
indicadas e escreva o resultado na forma normalizada (a aritmética de ponto 
flutuante é dita normalizada quando o primeiro dígito da mantissa é 1). 
a) 0,5971 * 103 + 0,4268 *100 
b) 0,5971 * 10-1 – 0,5956 * 10-2 
c) 
1
3
10*4268,0
10*5971,0

 
 
5) Dado o número 2,47 na base 10, qual é sua representação na base 2 usando 8 
algarismos significativos? Essa representação é exata? 
 
 
1.5.2 Opcionais 
 
6) Represente os números que se seguem em ponto flutuante com 5 algarismos 
significativos usando a base 10. Se a representação não for exata, dê as duas 
representações: truncamento e arredondamento. 
a) 2 b) 1/9 c)  d) 1/7 e)100/7 
 
7) (Franco 2006). Efetue as operações indicadas, utilizando aritmética de ponto 
flutuante com três algarismos significativos. 
a) (19,3–1,07)–10,3 
b) 19,3–(1,07–10,3) 
c) 27,2*1,3-327*0,00251 
d) (10,1 – 3,1 * 8,2)/ (14,1 + 7,09 * 3,22) 
 
8) Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de quatro dígitos e base decimal. 
x= 410*7237,0 y= 310*2145,0  z= 110*2585,0 
Efetue as operações abaixo e obtenha o erro relativo no resultado, supondo que 
x, y e z estão exatamente representados. 
a) x+y+z b) x-y-z c) x/y 
 
9) Suponhamos uma máquina que opera na base 10 e consideremos 3 dígitos 
significativos. 
a) Seja 1,046)( 23  xxxxP . 
Calcular P(5,24) usando aritmética de ponto flutuante e o cálculo exato. 
 
b) Calcular x
n
n


10
1 2
1
.