unidade 1

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FENÔMENOS DE TRANSPORTEFENÔMENOS DE TRANSPORTE
CONCEITOS BÁSICOSCONCEITOS BÁSICOS
Autor: Me. Rafaela Guimarães
R e v i s o r : M a r i o H e n r i q u e B u e n o
I N I C I A R
/
introdução
Introdução
Nesta unidade, será feito um estudo inicial das características e propriedades dos �uidos,
para que possamos compreender as principais diferenças entre o comportamento de
líquidos e gases, e de�niremos importantes conceitos como massa especí�ca e densidade,
por exemplo. Após isso, iniciaremos o estudo da estática dos �uidos, também chamada de
hidrostática, o ramo dos fenômenos de transporte que estuda os �uidos em repouso. Esse
campo da engenharia é muito utilizado no transporte de grandes cargas, como no caso dos
elevadores hidráulicos, em que precisamos mover um peso do ponto A para o ponto B.
Depois serão estudados os conceitos de tensão super�cial e tangencial e do comportamento
de �uidos submetidos a essas forças. Também iniciaremos o estudo da pressão que nos
acompanhará em todo o estudo de fenômenos de transporte, porque �uidos produzem
pressão na tubulação ou sofrem uma pressão para produzir o resultado que queremos.
Finalmente, introduziremos o conceito de pressão nos �uidos homogêneos e heterogêneos e
abordaremos a equação fundamental da estática dos �uidos. Essa equação, como o próprio
nome nos diz, será muito utilizada nesta disciplina. Portanto, ao término desta unidade, o
aluno será capaz de entender os conceitos introdutórios de fenômenos de transporte de
maneira clara e precisa. Bons estudos.
/
Os gregos já acreditavam que tudo �ui na natureza, ou seja, tudo se movimenta. Essa teoria,
chamada de panta rei, que pode ser traduzida por “tudo �ui”, equivale ao que hoje chamamos
de fenômenos de transporte ou o estudo dos �uidos em movimento. Atualmente, uma das
de�nições mais comuns sobre fenômenos de transporte é “o estudo de fatos da natureza que
podem ser explicados cienti�camente, nos quais um �uido é transportado”, e �uido é “uma
substância que não tem forma própria, assume o formato do recipiente”, sendo caracterizado
por um líquido ou um gás (BRUNETTI, 2008, p. 1). Sendo assim, um �uido tende a escoar
quando manipulado ou a vazar quando não contido, como no caso dos gases.
Diante disso, essa área da engenharia está presente em uma ampla gama de aplicações que
variam, desde o corpo humano, no qual as veias e artérias transportam nosso sangue com os
nutrientes que necessitamos; no projeto de carros e espaçonaves, desde o transporte do
combustível para o motor até como podemos vencer o atrito do ar; e até no mais básico dos
itens que utilizamos para viver – a água, que é levada até nossa casa, por meio de um
intrincado sistema de bombas e tubulações.
Os problemas causados devido aos fenômenos de transporte também serão nosso objeto de
estudo. Dentre eles, destacamos a cavitação e o golpe de aríete ou até mesmo uma explosão
em uma área classi�cada devido à presença de gás natural, por exemplo, em um projeto fora
das normas técnicas.
Atualmente, temos áreas inovadoras em que as pesquisas se desenvolvem muito
rapidamente, como a biomecânica (corações e válvulas arti�ciais e outros órgãos como o
Conceitos BásicosConceitos Básicos
/
fígado) e o estudo de equipamentos para esportes amadores e de alto rendimento, além do
estudo de �uidos inteligentes, como alguns que são utilizados na suspensão dos carros ou
para ministrar doses precisas de remédios dentro do nosso corpo.
Dimensões e Sistemas de Unidades
Em fenômenos de transporte, temos muitas características que devem ser utilizadas na
compreensão de como um �uido se comporta em um escoamento. Essas características
possuem uma simbologia especí�ca que as representa e várias unidades que podem ser
usadas para descrever sua medida. Isso já era feito na física, por exemplo, com o
comprimento, cuja representação L podia ser feita em m, cm, mm e até mesmo polegadas.
Agora, temos de fazer o mesmo para os conceitos relacionados a �uidos, como pressão,
viscosidade etc.
Essas unidades se dividem em primárias, como o comprimento, tempo, massa e temperatura,
e secundárias, como a velocidade, vazão, aceleração, área etc. Podemos escrever as unidades
utilizando alguns sistemas de unidades diferentes. Os mais utilizados são o:
SI: Sistema Internacional de Unidades, ele é utilizado no nosso país, no qual
comprimento é dado em m, o tempo em s, a massa é em kg, a temperatura é em
Kelvin e as unidades de força são 1 N = (1 kg) . .
SBG: Sistema Britânico Gravitacional, em que o comprimento é dado em pés (ft), a
unidade de tempo é o segundo (s), a unidade de força é a libra força (lbf) e a unidade
de temperatura é o Fahrenheit (ºF).
A Tabela 1.1, a seguir, apresenta alguns fatores de conversão do Sistema Britânico de
Unidade para o SI:
( )1 m
s
2
/
Tabela 1.1 - Fatores de conversão dos Sistemas Britânicos de Unidades para o SI
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 6-7).
Propriedade dos Fluidos
Utilizamos no estudo de fenômenos de transporte leis fundamentais que relacionam as
diversas grandezas da física com as propriedades dos �uidos. Os �uidos apresentam
características diferentes dos sólidos, e as características dos líquidos podem diferir também
das dos gases. Por exemplo, o petróleo cru vai escoar bem mais lentamente em uma
tubulação do que se essa tubulação transportasse água. Agora, vamos começar a estudar
essas características.
Massa Especí�ica (ρ)
A massa especí�ca de um �uido representada pelo símbolo ρ (lemos rô) é a massa do �uido
por unidade de volume, e a equação é dada por:
ρ = (Equação 1.1)
Em que sua unidade no SI (Sistema Internacional) é kg/m³.
A massa especí�ca (ρ) dos líquidos é pouco sensível às variações de temperatura e pressão,
enquanto a massa especí�ca (ρ) dos gases é bastante in�uenciada tanto pela pressão quanto
pela temperatura.
Peso Especí�ico ( )
  Para converter de Para Multiplique por
Aceleração ft/s m/s 3,048 x 10
Área ft m 9,290 x 10
Comprimento ft m 3,048 x 10
Força lbf N 4,448
Pressão lbf/ft (psf) N/m 47,88
2 2 -1
2 2 -2
-1
2 2
m
V
γ
/
O peso especí�co de um �uido representado pelo símbolo (lemos gama) é o peso do �uido
contido em uma unidade de volume, e a equação é dada por:
 = (Equação 1.2)
Onde G é o peso.
Como G = m . g, a relação entre peso e massa especí�ca é deduzida de:
 = = = ρ. g (Equação 1.3)
Em que a unidade no SI (Sistema Internacional) é N/m³. Por exemplo, o peso especí�co da
água a 15,6 ºC, considerando g = 9,807 m/s² é igual a 9,8 kN/m³ (MUNSON; YOUNG;
OKIISHI, 2004, p. 11).
Muitas vezes, é dado o peso relativo para líquidos, simbolizado por e de�nido por:
 = (Equação 1.4)
Densidade
A densidade de um �uido, representada por SG (do inglês speci�c gravity, ou gravidade
especí�ca), é de�nida como a razão entre a massa especí�ca do �uido e a massa da água a 4
ºC, adotada porque nessa temperatura ρ = 1.000 kg/m³.
SG = . (Equação 1.5)
Muitos problemas fornecem o SG de um �uido e não sua massa especí�ca. Assim, para um
�uido com SG = 0,8, sua massa especí�ca será igual a ρ = ρ . SG = 1.000 x 0,8 = 800 kg/m³.
γ
γ G
V
γ G
V
⇒ γ
m . g
V
γr
γr
γ
γ guaá
ρ
ρ guaá
água
/
Tabela 1.2 - Tabela de propriedades dos �uidos
Fonte: Hibbeler (2016, p. 759).
Na Tabela 1.2, temos a massa especí�ca, o peso especí�co e o peso relativo para diferentes
tipos de �uidos.
praticarVamos Praticar
Líquido
Massa Especí�ca
( ρ - kg/m )
Peso Especí�co ( γ
- N/m )
Peso Relativo ( )
Água 1.000 10.000 1
Água do mar 1.025 10.250 1,025
Benzeno 879 8.790 0,879
Gasolina 720 7.200 0,720
Mercúrio 13.600 136.000 13,6
Óleo lubri�cante 880 8.800 0,880
Petróleo bruto 850 8.500 0,850
Querosene 820 8.200 0,820
Etanol 789 7.890 0,789
Acetona 791 7.910 0,791
3 3 γr
/
Um reservatório está cheio de óleo para alimentar o sistema pneumático de uma indústria, cuja
densidade é ρ = 850 kg/m³. Se o volume do reservatório é V = 2 m³, podemos determinar a
quantidade de massa m nesse reservatório.A quantidade de massa m nesse reservatório será um
número entre:
ÇENGEL, Y.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos �uidos: fundamentos e aplicações. Tradução
de K. A. Roque e M. M. Fecchio. Revisão técnica F. Saltara, J. L. Baliño e K. P. Burr.
Consultoria Técnica H. M. Castro. São Paulo: McGraw-Hill, 2007. p. 18.
a) 0 e 500 kg.
Feedback: alternativa incorreta, pois a relação entre massa, densidade e volume é dada
por m = ρ V. Logo, a m = 850 .2 m³ = 1.700 kg. A quantidade de massa que o
reservatório pode armazenar será 1.700 kg.
b) 501 e 1.000 kg.
Feedback: alternativa incorreta, pois a relação entre massa, densidade e volume é dada
por m = ρ V. Logo, a m = 850 .2 m³ = 1.700 kg. A quantidade de massa que o
reservatório pode armazenar será 1.700 kg.
c) 1.001 e 1.500 kg.
d) 1.501 e 2.000 kg.
Feedback: alternativa correta, pois a relação entre massa, densidade e volume é dada por
m = ρ V. Logo, a m = 850 .2 m³ = 1.700 kg. A quantidade de massa que o
reservatório pode armazenar será 1.700 kg.
e) 2.001 e 2.500 kg.
( )kg
m3
( )kg
m3
( )kg
m3
/
Já conhecemos as propriedades que indicam o peso do �uido, como a massa especí�ca e a
densidade. Essas propriedades não são su�cientes para caracterizarmos o comportamento
dos �uidos porque, por exemplo, a água e o óleo podem apresentar massas especí�cas
aproximadamente iguais e apresentarem comportamento muito diferente quando escoam.
Para isso, precisamos estudar as características de �uidez dos �uidos.
Viscosidade ( )
Quando aplicamos uma tensão de cisalhamento a um �uido, representado pela força P, na
Figura 1.1, esse �uido irá se movimentar de maneira contínua com uma velocidade U, ou seja,
o líquido irá se mover com uma velocidade que será função somente de u representada pelo
gradiente de velocidade na Figura 1.1:
Propriedades dos FluidosPropriedades dos Fluidos
μ
/
Em um pequeno intervalo de tempo, t, uma linha vertical AB no �uido rotaciona um ângulo 
que será calculado pela equação:
tan = = (Equação 1.6)
Como a = U t, temos que
 = (Equação 1.7)
Podemos observar que, como é função da força P e do tempo, essa taxa de variação com o
tempo é de�nida como deformação de cisalhamento e representada pelo símbolo .
Na maioria dos �uidos, a tensão de cisalhamento é proporcional ao coe�ciente de
velocidade, representada por U na Figura 1.1, de onde temos a lei de Newton da viscosidade
dada por
 (Equação 1.8)
Em que é um símbolo de proporcionalidade. Os �uidos que apresentam a tensão de
cisalhamento proporcional ao coe�ciente de velocidade são chamados de �uidos
newtonianos, por obedecerem à lei descoberta por Newton. Esses �uidos apresentam uma
relação linear, ou seja, a relação entre a tensão de cisalhamento e o coe�ciente de velocidade
é representada por uma reta. Esse coe�ciente de proporcionalidade �cou conhecido como
viscosidade, representado pelo símbolo (lemos mi). A unidade da viscosidade no SI é
N.s/m².
Figura 1.1 - Comportamento de um �uido localizado entre duas placas
Fonte: Munson; Young e Okiishi (2004. p. 13).
δ
δβ
δβ δβ δa
b
δ δ
δβ U δt
b
δβ
τ
τ α du
dy
α
μ 
/
A viscosidade, representada pelo símbolo (lemos mi), é a propriedade que indica se o �uido
tem uma maior ou menor di�culdade de escoar, e ela varia, por exemplo, com a pressão e a
temperatura.
Alguns exemplos de �uidos newtonianos são a água, o ar, os óleos etc. Já o sangue, as pastas
de dentes, as tintas etc. não são classi�cados como �uidos newtonianos por apresentarem
uma relação não linear, por exemplo, nos polímeros a viscosidade diminui enquanto a tensão
de cisalhamento aumenta.
Ainda temos que, nos líquidos, a viscosidade diminui com o aumento da temperatura,
enquanto, nos gases, a viscosidade aumenta com o aumento da temperatura.
Nesse contexto, a viscosidade dinâmica pode ser considerada como uma medida da
resistência do �uido de se movimentar, correspondendo ao atrito interno gerado nos �uidos
– devido às interações moleculares –, que, em geral, é uma função da temperatura.
Viscosidade Cinemática ( )
A viscosidade cinemática representada pelo símbolo (upsilon) é o quociente entre a
viscosidade dinâmica e a massa especí�ca, e pode ser expressa por:
 = (Equação 1.9)
A unidade da viscosidade no SI é dada por m²/s. Além disso, destacamos que o nome
cinemática vem das unidades comprimento e tempo, duas das grandezas fundamentais da
cinemática.
Tensões Sofridas por um Fluido
Durante o escoamento, um �uido pode sofrer uma pressão de vapor e uma tensão
super�cial. Essas tensões são importantes para explicarmos os diferentes comportamentos
de um líquido e um gás quando estão submetidos a um deslocamento.
Pressão de Vapor
A água e a gasolina evaporam quando colocados em um ambiente ao ar livre. Essa
evaporação ocorre porque algumas moléculas do líquido, localizadas perto da superfície livre
do �uido, apresentam quantidade de movimento su�ciente para superar as forças
intermoleculares coesivas (forças que fazem com que essas moléculas se mantenham unidas)
e escapem para a atmosfera.
μ 
υ
υ
υ
μ
ρ
/
Para projetarmos tubulações de uma maneira técnica e economicamente e�caz, temos de
conhecer a pressão de vapor de um líquido, ou seja, qual o valor da mínima pressão que
podemos ter na nossa tubulação antes que um líquido comece a evaporar. É claro que nunca
impediremos essa evaporação totalmente, mas precisamos reduzi-la para evitar
desperdícios.
Durante essa evaporação, aparecem bolhas de ar que se rompem quando entram em contato
com uma tubulação metálica onde a pressão é maior. Esse efeito malé�co ao sistema pode
atingir também bombas e turbinas hidráulicas. Ele é chamado de cavitação e pode causar
grandes transtornos no funcionamento de um sistema hidráulico. A pá de uma turbina
submetida à cavitação pode perder e�ciência devido à redução da sua superfície de contato
com o �uido, porque esse fenômeno vai desgastando o metal, sendo que o material
dani�cado deve ser reposto por meio de uma manutenção.
Tensão Super�icial
Entre um líquido e um gás, conforme está mostrado na Figura 1.2, ou entre líquidos que não
se misturam, aparece como que uma membrana na superfície de contato, chamada tensão
super�cial.
Por isso, são formadas gotas em uma superfície gordurosa, como ocorre quando a nossa pele
é oleosa, por exemplo. Esse fenômeno ocorre porque um líquido é submetido a uma força
diferente na superfície e no fundo do recipiente que o contém. Essa tensão é importante
Figura 1.2 - Forças que atuam na metade de uma gota de um líquido
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004. p. 21).
/
quando formos calcular como a água vai escoar no interior do solo em períodos chuvosos,
por exemplo.
praticarVamos Praticar
A viscosidade cinemática de um óleo é 0,028 m²/s, e a massa especí�ca é 850 kg/m³. A viscosidade
dinâmica no Sistema Internacional de Unidades (SI) será um número compreendido entre:
BRUNETTI, F. Mecânica dos �uidos. 2. ed. rev. São Paulo, Pearson Prentice Hall, 2008. p.
11.
a) 0 e 10 m²/s.
Feedback: alternativa incorreta, pois a relação entre essas grandezas é dada por = .
Então, = . ρ = 0,028 x 850   = 23,8 m²/s.
b) 11 e 20 m²/s.
Feedback: alternativa incorreta, pois a relação entre essas grandezas é dada por = .
Então, = . ρ = 0,028 x 850   = 23,8 m²/s.
c) 21 e 30 m²/s.
Feedback: alternativa correta, pois a relação entre essas grandezas é dada por = .
Então, = . ρ . Substituindo os valores, teremos = 0,028 x 850   = 23,8
m²/s.
d) 31 e 40 m²/s.
e) Entre 41 e 50 m²/s.
ν
μ
ρ
μ ν ( )m2
s
( )kg
m3
ν
μ
ρ
μ ν ( )m2
s
( )kg
m3
ν
μ
ρ
μ ν μ ( )m2
s
( )kg
m3
/
O ramo da mecânica dos �uidos que trata dos corpos em repouso é denominado estática,
sendo que a dinâmica estuda os corpos em movimento. Na estática, a tensão, representada
pela letra 𝜎 (lemos sigma), é de�nida como força por unidade de área, e pode ser dividida em
dois tipos de tensão (normal e tangencial), conforme apresentado na Figura 1.3:
Estática dos FluidosEstática dos FluidosFigura 1.3 - Decomposição de uma força em suas componentes
Fonte: Fox et al. (2010, p. 27).
/
Tensão Normal
A tensão normal pode ser expressa por:
𝜎 = (N/m2 = Pa) (Equação 1.10)
Em que a unidade é dada em N/m2, que equivale à unidade Pascal. Quando essa tensão é
aplicada em um �uido em repouso, a tensão normal também pode ser denominada   por
pressão.
F = P (unidade Pascal) (Equação 1.11)
Tensão Tangencial
A força tangencial é também chamada tensão de cisalhamento 𝜏(lemos tau), e é dada por
τ = (N/m2 = Pa) (Equação 1.12)
Os princípios da estática dos �uidos são utilizados no cálculo de forças sobre objetos
submersos, como na análise da estabilidade de embarcações, no projeto de submarinos, na
medição de pressão etc.
Com a de�nição da tensão de cisalhamento, podemos rede�nir o �uido “como uma
substância que não pode sustentar uma tensão de cisalhamento quando em repouso” (FOX et
al., 2010, p. 27).
Para estudarmos os fenômenos de transportes, precisamos, na maioria das vezes, de�nir um
volume no espaço por meio do qual o �uido escoa, e para fazer isso utilizamos o conceito de
volume de controle. Desse modo, podemos estudar as turbinas, os compressores, as
tubulações, os bocais etc. que constituem um sistema de transporte do �uido. Um volume de
controle é um volume arbitrário no espaço através do qual o �uido escoa, e sua fronteira
geométrica é denominada de superfície de controle, podendo ser real (no caso de
tubulações) ou imaginária (como em rios). Já um sistema de controle pode ser aberto ou
fechado.
Na Figura 1.4, temos um exemplo de um sistema de tubulação que apresenta exemplos
físicos (como as tubulações e derivações) e exemplos imaginários (as entradas e saídas do
�uido).
Fn
A
n
Ft
A
/
As cores das tubulações nos processos industriais nos indicam o �uido que estão
 transportando. As mais comuns são:
Vermelho – sistema de combate a incêndio.
Amarelo – gases não liquefeitos (como o gás natural).
Azul segurança – sistema de ar comprimido.
Branco – tubulação de vapor (normalmente com temperaturas na faixa de 200 ºC).
Laranja – ácido (como a soda cáustica, usada para limpeza química).
Além disso, é importante destacar que, nos edifícios, as tubulações em azul representam o
sistema de água, e as em amarelo, o sistema de gás.
Fluido Ideal
Um �uido ideal é utilizado para simular um escoamento sem perdas por atrito, um
escoamento com viscosidade zero. Esse �uido é utilizado para entendermos a equação de
Bernoulli, que trata da conservação de energia em um escoamento �uido.
Fluido ou Escoamento Incompressível
Dizemos que um �uido é incompressível quando “seu volume não varia ao modi�carmos a
pressão sobre ele”, ou seja, sua massa especí�ca não varia com a pressão” (BRUNETTI, 2008,
p. 10).
Figura 1.4 - Exemplo de um sistema de tubulação para transporte de um �uido
Fonte: visivasnc / 123RF.
/
Sendo assim, esse comportamento pode ser aplicado para líquidos e gases no estudo da
ventilação.
praticarVamos Praticar
Uma pressão de 88 Pa deve ser aplicada à válvula de uma comporta, conforme a �gura a seguir, para
que ela permaneça na posição fechada. A tensão normal exercida por essa pressão está situada no
intervalo entre:
Assinale a alternativa correta:
a) 0 e 10 kN.
Feedback: alternativa correta, pois precisamos calcular a tensão normal que é dada pela
fórmula 𝜎 = = = . E, para realizar esse cálculo, temos de obter a área da válvula,
dada por: A = = = 0,503 m². Então, agora podemos substituir a área na
expressão 𝜎 = = = 174,95 N, que pode ser escrita como 0,175 kN.
Fonte: Braga Filho (2012,  p. 47).
Fn
A
P
A
88
A
π D
2
4
π
0,82
4
88
A
88
0,503
/
b) 11 e 20 kN.
Feedback: alternativa incorreta, pois precisamos calcular a tensão normal que é dada pela
fórmula 𝜎 = = = . E, para realizar esse cálculo, temos de obter a área da válvula,
dada por: A = = = 0,503 m². Então, agora podemos substituir a área na
expressão 𝜎 = = = 174,95 N, que pode ser escrita como 0,175 kN.
c) 21 e 30 kN.
d) 31 e 40 kN.
e) 41 e 50 kN.
Fn
A
P
A
88
A
π
D
2
4
π
0,82
4
88
A
88
0,503
/
A pressão é uma força exercida sobre uma unidade de área que pode realizar um trabalho no
transporte de cargas pesadas, como no caso dos elevadores hidráulicos.
Pressão
A pressão nada mais é do que a tensão normal dividida pela área de aplicação dessa força.
Matematicamente, temos:
p = (N/cm2) (Equação 1.13)
Devemos ter em mente que pressão e força são conceitos diferentes. Por exemplo, podemos
ter uma força de 1 N aplicada em uma área de 10 ou 5 cm². A força será a mesma, mas a
pressão, não. As pressões serão iguais a 0,1 e 0,2 N/cm², respectivamente, ou seja, quanto
maior a área em que a força é exercida, menor é a pressão.
Teorema de Stevin ou Equação Fundamental da
Estática dos Fluidos
A diferença de pressão entre dois pontos de um �uido em repouso é igual ao produto do peso
especí�co do �uido pela diferença de cotas dos dois pontos. Esse teorema é a explicação para
o aumento de pressão conforme mergulhamos. A pressão na superfície, ao nível do mar, é
Equação Fundamental daEquação Fundamental da
Estática dos FluidosEstática dos Fluidos
Fn
A
/
menor do que a uma profundidade de 20 m, por exemplo. Matematicamente, essa lei pode
ser escrita como:
 = - ρ g (Equação 1.14)
Essa equação também é conhecida como a equação fundamental da estática dos �uidos.
Podemos realizar um experimento simples para demonstrar o teorema de Stevin. Para isso,
basta fazermos perfurações perto da tampa e embaixo, perto do fundo, em uma garrafa de
refrigerante cheia de água, que está ilustrada na Figura 1.5, para constatarmos que os furos
inferiores escoam a água com jatos mais potentes do que os furos superiores.
Devemos ressaltar que a diferença de pressão entre dois pontos quaisquer é igual ao
produto do peso especí�co do �uido, multiplicado pela diferença de cotas entre esses
pontos, não importando:
a distância entre esses pontos;
o formato do recipiente.
Lei de Pascal
dP
dz
Figura 1.5 - Demonstração da diferença de pressão entre dois pontos em uma garrafa de
refrigerante cheia de água
Fonte: Kirill Cherezov / 123RF.
/
A pressão aplicada em um ponto de um �uido em repouso é transmitida integralmente a
todos os pontos do �uido. Se a pressão aplicada é distribuída integralmente em todos os
pontos do �uido, podemos ampli�car ou reduzir a força aplicada, diminuindo ou aumentando
a área de aplicação dessa força, respectivamente. Portanto, esse é o princípio do elevador
hidráulico, que está ilustrado na Figura 1.6:
Pressão em um Ponto
Utilizamos a pressão para indicar a força normal atuando sobre um ponto por unidade de
área atuando sobre um �uido em um dado plano. Considerando o diagrama de corpo livre
mostrado na Figura 1.7, construímos essa �gura removendo um pequeno elemento do �uido,
com a forma de uma cunha triangular. Para facilitar a visualização, não mostramos as forças
na direção x e o eixo z foi referenciado como vertical (por causa da atuação do peso).
Analisaremos primeiro o �uido em movimento acelerado para chegarmos à sua análise em
repouso.
Figura 1.6 - Ilustração da lei de Pascal
Fonte: udaix / 123RF.
/
As equações do movimento (2a Lei de Newton) nas direções y e z serão dadas por:
= py z - ps s sen = ay (Equação 1.15)
= pz z - ps s cos - = az (Equação 1.16)
onde:
a pressão ps, py e pz são as pressões médias nas superfícies da cunha;
 e ρsão o peso especí�co e a massa especí�ca do �uido;
ay e az representam as acelerações.
A pressão necessita ser multiplicada por uma área para obtermos a força gerada por ela. Ao
analisarmos a geometria da cunha, constatamos que:
 = cos e = sen (Equação 1.17)
Então, podemos escrever as equações do movimento como sendo:
py - ps = ρ ay (Equação 1.18)
pz - ps = (ρaz +  ) (Equação 1.19)
Para um ponto, vamos analisar o limite onde x, y e z tendem a zero e vamos manter 
constante. Logo,
Figura 1.7 - Forças em um elemento de �uido arbitrárioFonte: Munson, Young e Okiishi (2004. p. 35).
∑Fy δxδ δxδ θ ρ 
δx δy δz
2
∑Fz δxδ δxδ θ γ 
δx δy δz
2
ρ 
δx δy δz
2
γ
δy δs θ δz δs θ$
δy
2
δz
2
δ δ δ
θ
/
py = ps e pz = ps (Equação 1.20)
Então, ps = py = pz. Podemos concluir que a pressão em um ponto de um �uido em repouso,
ou em um movimento no qual as tensões de cisalhamento não existem, é independente da
direção, ou seja, essa é a demonstração do teorema de Pascal.
Equação Básica do Campo de Pressão
Consideremos um elemento do �uido como o mostrado na Figura 1.8. Nesse elemento,
atuam dois tipos de forças: as super�ciais devidas à pressão, e as de campo que, nesse caso, é
igual ao peso do elemento. Se chamarmos a pressão no centro geométrico por p, as pressões
médias nas várias faces do elemento podem ser expressas em função de p e de suas
derivadas (conforme está retratado na Figura 1.8). A força resultante na direção y é dada por:
Fy = x z - x z (Equação 1.21)
Reescrevendo a Equação 1.21, temos que:
δFy = - x δy δz (Equação 1.22)
Da mesma forma, as forças resultantes nas direções x e z serão obtidas das equações:
δ (p  −     ) δdp
dy
δy
2
δ (p  +     ) δdp
dy
δy
2
δ
Figura 1.8 - Forças super�ciais e de campo atuando num elemento de �uido
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 36).
δ
dp
dy
/
δFx = - x δy δz e δFz = - x δy δz (Equação 1.23)
A força vetorial da força super�cial resultante que atua no elemento é:
δFs = δFx + δFy + δFz (Equação 1.24)
Reescrevendo novamente, temos que:
δFs = - x δy δz (Equação 1.25)
onde , e são vetores unitários do sistema de coordenadas da Figura 1.89.
O grupo entre parênteses da Equação 1.25 representa a forma vetorial do gradiente de
pressão e pode ser reescrito como:
 = ᐁp (Equação 1.26)
sendo que:
ᐁ(  ) = (Equação 1.27)
e o símbolo ᐁ representa o operador gradiente. Assim, a força super�cial por unidade de
volume pode ser expressa por
= - ᐁp (Equação 1.28)
Como o eixo z é vertical, o peso do elemento de �uido que estamos analisando é dado por
- δW = - x δy δz (Equação 1.29)
O sinal negativo indica que a força devida ao peso aponta para baixo (sentido negativo do
eixo z).
Agora, vamos aplicar a 2ª Lei de Newton no �uido:
= δm a (Equação 1.30)
onde representa a força resultante que atua no elemento, a é a aceleração do
elemento e δm é a massa do elemento (que pode ser escrita como x δy δz). Desse modo, a
Equação 1.30 resulta em:
= δFs - δW = δm a (Equação 1.31)
δ
dp
dx
δ
dp
dz
î ĵ k̂
(     +       +     ) δdp
dx
i ̂
dp
dy
ĵ
dp
dz
k̂
i ̂ j ̂ k ̂
    +       +    dp
dx
i ̂
dp
dy
ĵ
dp
dz
k̂
    +       +    
d(  )
dx
i ̂
d(  )
dy
ĵ
d(  )
dz
k̂
δFs
δx δy δz
k̂ γδ k̂
δF∑
δF∑
ργδ
δF∑ k̂
/
ou
- ᐁp δx δy δz - δx δy δz = ρ δx δy δz  a (Equação 1.32)
Dividindo a Equação 1.21 por δx δy δz, obtemos:
- ᐁp - = ρa (Equação 1.33)
A Equação 1.33 é chamada equação geral do movimento. Ela é válida para os casos em que
as tensões de cisalhamento no �uido são nulas. Ela será muito utilizada para calcularmos a
pressão nos �uidos em movimento.
Variação da Pressão em um Fluido em Repouso
Quando um �uido está em repouso, a aceleração é nula (a = 0 m/s²). O gradiente de pressão
se reduz a
- ᐁp - = 0 (Equação 1.34)
γ k̂
γk̂
Sistema
típico de
abastecimento
de água de
uma cidade
Geralmente o sistema de abastecimento de uma
cidade capta a água de um rio, riacho ou córrego
perto da cidade onde é realizado o tratamento
desta água dentro dos padrões estabelecidos por
normas,
como o valor do �úor que deve ser injetado na água
para que a mesma possa ser então distribuída.
γk̂
/
Os componentes da Equação 1.34 são:
= 0 = 0 = - (Equação 1.35)
Essas equações mostram que a pressão não é função de x ou de y. Assim, não detectamos
qualquer variação no valor da pressão quando mudamos de um ponto para outro situado no
mesmo plano horizontal. Logo, a equação de p se torna:
= - γ (Equação 1.36)
A Equação 1.36 é de fundamental importância para o cálculo da distribuição de pressão nos
casos em que o �uido está em repouso e pode ser utilizada para determinar como a pressão
varia com a elevação. Essa equação indica que o gradiente de pressão na direção vertical é
negativo, ou seja, a pressão decresce quando nos movemos para cima em um �uido em
repouso. Essa equação é uma comprovação do teorema de Stevin.
Fluido Incompressível
A variação do peso especí�co de um �uido é provocada pelas variações de sua massa
especí�ca e da aceleração da gravidade. Isso ocorre porque é igual ao produto da massa
especí�ca do �uido pela aceleração da gravidade ( = ρ g, peso especí�co N/m³). Como a
variação de g não será considerada neste estudo, vamos analisar somente as variações de ρ
(massa especí�ca, kg/m³). A variação de massa especí�ca dos líquidos normalmente pode ser
desprezada. Nos casos em que a hipótese de peso especí�co é constante, a Equação 1.36
pode ser integrada diretamente, resultando em:
 = - (Equação 1.37)
onde p1 e p2 são as pressões nos planos com cota z1 e z2, conforme é mostrado na Figura
1.9:
dp
dx
dp
dy
dp
dz
γ
dp
dz
γ
γ
dp∫ p2
p1
γ dz∫ z2
z1
/
A Equação 1.37 pode ser reescrita como:
p1- p2 = h = p1 = h + p2 (Equação 1.38)
onde h é igual a distância z2 - z1 (profundidade medida a partir do plano que apresenta p2). A
Equação 1.38 mostra que a pressão em um �uido incompressível em repouso varia
linearmente com a profundidade. Essa distribuição de pressão é chamada de pressão
hidrostática. Essa equação também comprova o teorema de Stevin.
Da Equação 1.38 temos que a diferença de pressão entre dois pontos pode ser especi�cada
pela distância h, ou seja:
h = (Equação 1.39)
Sendo que h é chamada de carga e é interpretada como a altura da coluna de �uido com peso
especí�co necessário para provocar uma diferença de pressão p1 -   p2. A pressão p0 é
utilizada para nos referirmos à pressão atmosférica e, muitas vezes, é representada por uma
superfície livre.
A distribuição de pressão em um �uido homogêneo, incompressível e em repouso é função
apenas da profundidade (em relação a um plano de referência), e ela não é in�uenciada pelo
tamanho ou forma do tanque ou recipiente que contém o �uido. Pela aplicação da Equação
1.39, temos que a pressão será a mesma em todos os pontos da linha AB da Figura 1.10. O
valor real da pressão ao longo da linha AB depende apenas da profundidade, h, da pressão na
superfície livre, p0 e do peso especí�co do �uido contido no reservatório.
Figura 1.9 - Variação de pressão em um �uido em repouso e superfície livre
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 38).
γ γ
 − p1 p2
γ
γ
/
O fato de a pressão ser constante em um plano com mesma elevação é fundamental para a
operação de dispositivos hidráulicos, como macacos, prensas, controles de aviões e de
máquinas pesadas.
Figura 1.10 - Variação de pressão em um �uido em repouso e superfície livre
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 39)
reflita
Re�ita
Os fenômenos de transporte são fundamentais no nosso dia a dia. Graças
a eles, temos água nas nossas casas. Com as mudanças climáticas, está
�cando cada vez mais difícil o abastecimento de água nas grandes cidades.
Com o aquecimento global, esse fenômeno pode se agravar, demandando
projetos cada vez com menores perdas e mais e�cientes. Será que no
futuro um país poderá desperdiçar água com vazamentos em suas
tubulações como ocorre com 30% da água tratada no Brasil?
Fonte: Cirilo (2015).
/
Fluido Compressível
Os gases, como o oxigênio e o nitrogênio, são modelados como �uidos compressíveis porque
suas massas especí�cas variam de modo signi�cativo com as alterações de temperatura e
pressão. Por isso, temos de considerar a possibilidade da variação do peso especí�co do
�uido antes de integrarmos a Equação 1.31. Na maioria das vezes, essa aproximação não
precisa ser feita porque o gradiente de pressão do ar é muito pequeno quando comparado
com o dos líquidos. Só a título de ilustração, o peso especí�co do ar ao nível domar a 15 ºC é
1,2 x 10¹ N/m³, enquanto que o da água, nas mesmas condições, é de 9,8 x 10³ N/m³.
Se tivermos de considerar a variação do peso especí�co devido a uma grande diferença de
altura, da ordem de milhares de metros, devemos considerar a variação do peso especí�co do
�uido nos cálculos das variações de pressão por meio da fórmula:
p = ρ R T (Equação 1.40)
onde R é a constante do gás e T é a temperatura absoluta (em Kelvin).
Combinando as Equações 1.40 com a Equação 1.37, temos que
 = - (Equação 1.41)
Separando as variáveis, �camos com
 = ln = - (Equação 1.42)
onde g e R foram admitidos constantes no intervalo de integração.
dp
dz
g p
R T
dp∫ p2
p1
p1
p2
g 
R
∫ z2
z1
dz
T
/
Também podemos utilizar a expressão
p2 = p1 exp (Equação 1.43)
A Equação 1.43 fornece a relação entre a pressão e a altura numa camada isotérmica de um
gás perfeito. Para tubulações de gases, como a de gás natural, esse efeito não precisa ser
considerado, porque as distâncias verticais envolvidas no projeto são pequenas.
praticarVamos Praticar
A �gura a seguir apresenta esquematicamente uma prensa hidráulica, em que os dois êmbolos têm,
respectivamente, as áreas A1 = 10 cm² e A2 = 100 cm².
BRUNETTI, F. Mecânica dos �uidos. 2. ed. rev. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.
saiba mais
Saiba mais
O artigo sobre “Abordagem didática e prática da ação
do vento em edi�cações”, apresentado na
ConstruMetal de 2016, trata de uma forma simples e
precisa sobre os cuidados que devemos tomar nos
projetos de grandes edifícios, devido à pressão que a
força do vento exerce nos andares superiores.
ACESSAR
[−  ]g (  −  ) z2 z1
R T0
https://www.abcem.org.br/construmetal/downloads/apresentacao/2_ABORDAGEM-DIDATICA-E-PRATICA-DA-ACAO-DO-VENTO-EM-EDIFICACOES.pdf
/
Considerando que uma força de 200 N seja aplicada no êmbolo (1), assinale a alternativa que indica
qual será a força transmitida ao (2).
a) Entre 0 e 500 N.
Feedback: alternativa incorreta, pois a pressão transmitida pelo êmbolo (1) será P1 = .
A pressão P1 será transmitida totalmente ao êmbolo (2). Logo, P2 A2 = P1 A1 = F2. Então,
P1 = = 20 N/cm². Portanto, F2 = 20 x 100 = 2.000 N.
b) Entre 501 e 1.000 N.
c) Entre 1.001 e 1.500 N.
d) Entre 1.501 e 2.000 N.
Feedback: alternativa correta, pois a pressão transmitida pelo êmbolo (1) será P1 = . A
pressão P1 será transmitida totalmente ao êmbolo (2). Logo, P2 A2 = P1 A1 = F2. Então,
P1 = = 20 N/cm². Portanto, F2 = 20 x 100 = 2.000 N. Esse princípio também é utilizado
em servomecanismos, dispositivos de controle de freios etc.
e) Entre 2.001 e 2.500 N.
Figura 1.11 - Esquema de uma prensa hidráulica
Fonte: Brunetti (2008, p. 22).
P1
A1
200
10
P1
A1
200
10
/
indicações
Material
Complementar
F I L M E
Horizonte profundo (Deepwater horizon)
Ano: 2016
Comentário: essa é a história da plataforma de extração de
petróleo no Golfo do México que, por vários motivos, explodiu e
foi responsável pelo maior desastre ambiental daquela região. A
reconstrução da plataforma, a tubulação de extração do petróleo e
a pressão com que o acidente ocorre são aspectos imperdíveis.
T R A I L E R
/
L I V R O
Mecânica dos �uidos: fundamentos e aplicações
Yunus A. Çengel e John M. Cimbala
Editora: McGraw-Hill
Comentário: o livro indicado traz muitas aplicações novas para a
área de mecânica dos �uidos. Cada capítulo apresenta um estudo
de caso relacionado a uma preocupação ambiental como a geração
de energia eólica, os transplantes de órgãos e a aerodinâmica dos
carros.
/
conclusão
Conclusão
Chegamos ao �nal do estudo dos conceitos fundamentais para o entendimento dos
fenômenos de transporte. Nesta unidade, estudamos as propriedades dos �uidos, como a
massa especí�ca e, inclusive, os vários sistemas de unidades que podemos utilizar.
Depois iniciamos o estudo da estática dos �uidos, em que aprendemos que �uidos são
líquidos e gases e que a estática é a parte da ciência que estuda os líquidos em repouso.
Vimos, também, que a viscosidade é uma propriedade fundamental dos �uidos. Cada �uido
tem uma determinada viscosidade que apresenta importância fundamental no projeto de
tubulações e de equipamentos como os elevadores hidráulicos.
Também estudamos o conceito de pressão e a variação da pressão com a posição em líquidos
homogêneo e heterogêneo.
E, �nalmente, aprendemos a equação fundamental da estática dos �uidos, com um exemplo
ilustrativo.
referências
Referências
Bibliográ�cas
BRAGA FILHO, W. Fenômenos de transporte para engenharia. 2. ed. São Paulo: LTC, 2012.
BRUNETTI, F. Mecânica dos �uidos. 2. ed. rev. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.
/
CIRILO, J. A. Crise hídrica: desa�os e Superação. Revista USP, São Paulo, n. 106, p. 45-58,
jul./ago./set. 2015. Disponível em:
https://www.revistas.usp.br/revusp/article/download/110102/108685/. Acesso em: 20 dez.
2019.
ÇENGEL, Y.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos �uidos: fundamentos e aplicações. Tradução de
K. A. Roque e M. M. Fecchio. Revisão técnica F. Saltara, J. L. Baliño e K. P. Burr. Consultoria
Técnica H. M. Castro. São Paulo: McGraw-Hill, 2007.
FOX. R. W. et al. Introdução à mecânica dos �uidos. 8. ed. Tradução e revisão técnica R. N.
Koury. São Paulo: LTC, 2010.
HIBBELER, R. C. Mecânica dos �uidos. Tradução de D. Vieira. São Paulo: Pearson Education
do Brasil, 2016.
MUNSON, B. R.; YOUNG, D. F.; OKIISHI, T. H. Fundamentos da mecânica dos �uidos.
Tradução da quarta edição americana de Euryale de Jesus Zerbini. São Paulo: Edgard
Blucher, 2004.
NASCIMENTO, B. M.; MORATTI, D. G.; OLIVEIRA JR., J. L.; SCOTÁ, N. M., BROETTO, R. B.;
SAGRILO, R. G.; FERREIRA, W. G. Abordagem didática e prática da ação do vento em
edi�cações. In: CONGRESSO LATINO-AMERICANO DA CONSTRUÇÃO METÁLICA, 7.,
2016, São Paulo. Anais [...]. São Paulo: ABCEM, 2016. Disponível em:
https://www.abcem.org.br/construmetal/downloads/Anais-do-7-Construmetal2016-
EBook.pdf. Acesso em: 23 dez. 2019.
https://www.revistas.usp.br/revusp/article/download/110102/108685/
https://www.abcem.org.br/construmetal/downloads/Anais-do-7-Construmetal2016-EBook.pdf
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