FENOMENOS DE TRANSPORTE UNIDADE 01

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FENÔMENOS DE TRANSPORTEFENÔMENOS DE TRANSPORTE
CONCEITOS BÁSICOSCONCEITOS BÁSICOS
Autor: Me. Rafaela Guimarães
R e v i s o r : M a r i o H e n r i q u e B u e n o
I N I C I A R
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introdução
Introdução
Nesta unidade, será feito um estudo inicial das características e propriedades dos
�uidos, para que possamos compreender as principais diferenças entre o
comportamento de líquidos e gases, e de�niremos importantes conceitos como
massa especí�ca e densidade, por exemplo. Após isso, iniciaremos o estudo da
estática dos �uidos, também chamada de hidrostática, o ramo dos fenômenos de
transporte que estuda os �uidos em repouso. Esse campo da engenharia é muito
utilizado no transporte de grandes cargas, como no caso dos elevadores hidráulicos,
em que precisamos mover um peso do ponto A para o ponto B. Depois serão
estudados os conceitos de tensão super�cial e tangencial e do comportamento de
�uidos submetidos a essas forças. Também iniciaremos o estudo da pressão que nos
acompanhará em todo o estudo de fenômenos de transporte, porque �uidos
produzem pressão na tubulação ou sofrem uma pressão para produzir o resultado
que queremos. Finalmente, introduziremos o conceito de pressão nos �uidos
homogêneos e heterogêneos e abordaremos a equação fundamental da estática dos
�uidos. Essa equação, como o próprio nome nos diz, será muito utilizada nesta
disciplina. Portanto, ao término desta unidade, o aluno será capaz de entender os
conceitos introdutórios de fenômenos de transporte de maneira clara e precisa.
Bons estudos.
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Os gregos já acreditavam que tudo �ui na natureza, ou seja, tudo se movimenta. Essa
teoria, chamada de panta rei, que pode ser traduzida por “tudo �ui”, equivale ao que
hoje chamamos de fenômenos de transporte ou o estudo dos �uidos em movimento.
Atualmente, uma das de�nições mais comuns sobre fenômenos de transporte é “o
estudo de fatos da natureza que podem ser explicados cienti�camente, nos quais um
�uido é transportado”, e �uido é “uma substância que não tem forma própria,
assume o formato do recipiente”, sendo caracterizado por um líquido ou um gás
(BRUNETTI, 2008, p. 1). Sendo assim, um �uido tende a escoar quando manipulado
ou a vazar quando não contido, como no caso dos gases.
Diante disso, essa área da engenharia está presente em uma ampla gama de
aplicações que variam, desde o corpo humano, no qual as veias e artérias
transportam nosso sangue com os nutrientes que necessitamos; no projeto de
carros e espaçonaves, desde o transporte do combustível para o motor até como
podemos vencer o atrito do ar; e até no mais básico dos itens que utilizamos para
viver – a água, que é levada até nossa casa, por meio de um intrincado sistema de
bombas e tubulações.
Conceitos BásicosConceitos Básicos
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Os problemas causados devido aos fenômenos de transporte também serão nosso
objeto de estudo. Dentre eles, destacamos a cavitação e o golpe de aríete ou até
mesmo uma explosão em uma área classi�cada devido à presença de gás natural, por
exemplo, em um projeto fora das normas técnicas.
Atualmente, temos áreas inovadoras em que as pesquisas se desenvolvem muito
rapidamente, como a biomecânica (corações e válvulas arti�ciais e outros órgãos
como o fígado) e o estudo de equipamentos para esportes amadores e de alto
rendimento, além do estudo de �uidos inteligentes, como alguns que são utilizados
na suspensão dos carros ou para ministrar doses precisas de remédios dentro do
nosso corpo.
Dimensões e Sistemas de Unidades
Em fenômenos de transporte, temos muitas características que devem ser utilizadas
na compreensão de como um �uido se comporta em um escoamento. Essas
características possuem uma simbologia especí�ca que as representa e várias
unidades que podem ser usadas para descrever sua medida. Isso já era feito na física,
por exemplo, com o comprimento, cuja representação L podia ser feita em m, cm,
mm e até mesmo polegadas. Agora, temos de fazer o mesmo para os conceitos
relacionados a �uidos, como pressão, viscosidade etc.
Essas unidades se dividem em primárias, como o comprimento, tempo, massa e
temperatura, e secundárias, como a velocidade, vazão, aceleração, área etc.
Podemos escrever as unidades utilizando alguns sistemas de unidades diferentes.
Os mais utilizados são o:
SI: Sistema Internacional de Unidades, ele é utilizado no nosso país, no qual
comprimento é dado em m, o tempo em s, a massa é em kg, a temperatura é
em Kelvin e as unidades de força são 1 N = (1 kg) . .
SBG: Sistema Britânico Gravitacional, em que o comprimento é dado em
pés (ft), a unidade de tempo é o segundo (s), a unidade de força é a libra
força (lbf) e a unidade de temperatura é o Fahrenheit (ºF).
( )1 m
s
2
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A Tabela 1.1, a seguir, apresenta alguns fatores de conversão do Sistema Britânico de
Unidade para o SI:
Tabela 1.1 - Fatores de conversão dos Sistemas Britânicos de Unidades para o SI
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 6-7).
Propriedade dos Fluidos
Utilizamos no estudo de fenômenos de transporte leis fundamentais que relacionam
as diversas grandezas da física com as propriedades dos �uidos. Os �uidos
apresentam características diferentes dos sólidos, e as características dos líquidos
podem diferir também das dos gases. Por exemplo, o petróleo cru vai escoar bem
mais lentamente em uma tubulação do que se essa tubulação transportasse água.
Agora, vamos começar a estudar essas características.
Massa Especí�ica (ρ)
A massa especí�ca de um �uido representada pelo símbolo ρ (lemos rô) é a massa do
�uido por unidade de volume, e a equação é dada por:
 
Para converter
de
Para Multiplique por
Aceleração ft/s m/s 3,048 x 10
Área ft m 9,290 x 10
Comprimento ft m 3,048 x 10
Força lbf N 4,448
Pressão lbf/ft (psf) N/m 47,88
2 2 -1
2 2 -2
-1
2 2
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ρ = (Equação 1.1)
Em que sua unidade no SI (Sistema Internacional) é kg/m³.
A massa especí�ca (ρ) dos líquidos é pouco sensível às variações de temperatura e
pressão, enquanto a massa especí�ca (ρ) dos gases é bastante in�uenciada tanto
pela pressão quanto pela temperatura.
Peso Especí�ico ( )
O peso especí�co de um �uido representado pelo símbolo (lemos gama) é o peso
do �uido contido em uma unidade de volume, e a equação é dada por:
 = (Equação 1.2)
Onde G é o peso.
Como G = m . g, a relação entre peso e massa especí�ca é deduzida de:
 = = = ρ. g (Equação 1.3)
Em que a unidade no SI (Sistema Internacional) é N/m³. Por exemplo, o peso
especí�co da água a 15,6 ºC, considerando g = 9,807 m/s² é igual a 9,8 kN/m³
(MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004, p. 11).
Muitas vezes, é dado o peso relativo para líquidos, simbolizado por e de�nido
por:
 = (Equação 1.4)
Densidade
A densidade de um �uido, representada por SG (do inglês speci�c gravity, ou
gravidade especí�ca), é de�nida como a razão entre a massa especí�ca do �uido e a
massa da água a 4 ºC, adotada porque nessa temperatura ρ = 1.000 kg/m³.
SG = . (Equação 1.5)
m
V
γ
γ
γ G
V
γ G
V
⇒ γ
m . g
V
γr
γr
γ
γ guaá
ρ
ρ guaá
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Muitos problemas fornecem o SG de um �uido e não sua massa especí�ca. Assim,
para um �uido com SG = 0,8, sua massa especí�ca será igual a ρ = ρ . SG = 1.000
x 0,8 = 800 kg/m³.
Tabela 1.2 - Tabelade propriedades dos �uidos
Fonte: Hibbeler (2016, p. 759).
Na Tabela 1.2, temos a massa especí�ca, o peso especí�co e o peso relativo para
diferentes tipos de �uidos.
água
Líquido
Massa
Especí�ca ( ρ -
kg/m )
Peso Especí�co
( γ - N/m )
Peso Relativo
( )
Água 1.000 10.000 1
Água do mar 1.025 10.250 1,025
Benzeno 879 8.790 0,879
Gasolina 720 7.200 0,720
Mercúrio 13.600 136.000 13,6
Óleo
lubri�cante
880 8.800 0,880
Petróleo bruto 850 8.500 0,850
Querosene 820 8.200 0,820
Etanol 789 7.890 0,789
Acetona 791 7.910 0,791
3
3
γr
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praticarVamos Praticar
Um reservatório está cheio de óleo para alimentar o sistema pneumático de uma indústria,
cuja densidade é ρ = 850 kg/m³. Se o volume do reservatório é V = 2 m³, podemos
determinar a quantidade de massa m nesse reservatório. A quantidade de massa m nesse
reservatório será um número entre:
ÇENGEL, Y.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos �uidos: fundamentos e aplicações.
Tradução de K. A. Roque e M. M. Fecchio. Revisão técnica F. Saltara, J. L. Baliño e
K. P. Burr. Consultoria Técnica H. M. Castro. São Paulo: McGraw-Hill, 2007. p.
18.
a) 0 e 500 kg.
b) 501 e 1.000 kg.
c) 1.001 e 1.500 kg.
d) 1.501 e 2.000 kg.
e) 2.001 e 2.500 kg.
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Já conhecemos as propriedades que indicam o peso do �uido, como a massa
especí�ca e a densidade. Essas propriedades não são su�cientes para
caracterizarmos o comportamento dos �uidos porque, por exemplo, a água e o óleo
podem apresentar massas especí�cas aproximadamente iguais e apresentarem
comportamento muito diferente quando escoam. Para isso, precisamos estudar as
características de �uidez dos �uidos.
Viscosidade ( )
Quando aplicamos uma tensão de cisalhamento a um �uido, representado pela força
P, na Figura 1.1, esse �uido irá se movimentar de maneira contínua com uma
velocidade U, ou seja, o líquido irá se mover com uma velocidade que será função
somente de u representada pelo gradiente de velocidade na Figura 1.1:
Propriedades dos FluidosPropriedades dos Fluidos
μ
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Em um pequeno intervalo de tempo, t, uma linha vertical AB no �uido rotaciona um
ângulo que será calculado pela equação:
tan = = (Equação 1.6)
Como a = U t, temos que
 = (Equação 1.7)
Podemos observar que, como é função da força P e do tempo, essa taxa de
variação com o tempo é de�nida como deformação de cisalhamento e representada
pelo símbolo .
Na maioria dos �uidos, a tensão de cisalhamento é proporcional ao coe�ciente de
velocidade, representada por U na Figura 1.1, de onde temos a lei de Newton da
viscosidade dada por
 (Equação 1.8)
Em que é um símbolo de proporcionalidade. Os �uidos que apresentam a tensão
de cisalhamento proporcional ao coe�ciente de velocidade são chamados de �uidos
newtonianos, por obedecerem à lei descoberta por Newton. Esses �uidos
Figura 1.1 - Comportamento de um �uido localizado entre duas placas
Fonte: Munson; Young e Okiishi (2004. p. 13).
δ
δβ
δβ δβ δa
b
δ δ
δβ U δt
b
δβ
τ
τ α du
dy
α
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apresentam uma relação linear, ou seja, a relação entre a tensão de cisalhamento e o
coe�ciente de velocidade é representada por uma reta. Esse coe�ciente de
proporcionalidade �cou conhecido como viscosidade, representado pelo símbolo 
(lemos mi). A unidade da viscosidade no SI é N.s/m².
A viscosidade, representada pelo símbolo (lemos mi), é a propriedade que indica
se o �uido tem uma maior ou menor di�culdade de escoar, e ela varia, por exemplo,
com a pressão e a temperatura.
Alguns exemplos de �uidos newtonianos são a água, o ar, os óleos etc. Já o sangue, as
pastas de dentes, as tintas etc. não são classi�cados como �uidos newtonianos por
apresentarem uma relação não linear, por exemplo, nos polímeros a viscosidade
diminui enquanto a tensão de cisalhamento aumenta.
Ainda temos que, nos líquidos, a viscosidade diminui com o aumento da
temperatura, enquanto, nos gases, a viscosidade aumenta com o aumento da
temperatura.
Nesse contexto, a viscosidade dinâmica pode ser considerada como uma medida da
resistência do �uido de se movimentar, correspondendo ao atrito interno gerado
nos �uidos – devido às interações moleculares –, que, em geral, é uma função da
temperatura.
Viscosidade Cinemática ( )
A viscosidade cinemática representada pelo símbolo (upsilon) é o quociente entre
a viscosidade dinâmica e a massa especí�ca, e pode ser expressa por:
 = (Equação 1.9)
A unidade da viscosidade no SI é dada por m²/s. Além disso, destacamos que o nome
cinemática vem das unidades comprimento e tempo, duas das grandezas
fundamentais da cinemática.
Tensões Sofridas por um Fluido
μ 
μ 
υ
υ
υ
μ
ρ
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Durante o escoamento, um �uido pode sofrer uma pressão de vapor e uma tensão
super�cial. Essas tensões são importantes para explicarmos os diferentes
comportamentos de um líquido e um gás quando estão submetidos a um
deslocamento.
Pressão de Vapor
A água e a gasolina evaporam quando colocados em um ambiente ao ar livre. Essa
evaporação ocorre porque algumas moléculas do líquido, localizadas perto da
superfície livre do �uido, apresentam quantidade de movimento su�ciente para
superar as forças intermoleculares coesivas (forças que fazem com que essas
moléculas se mantenham unidas) e escapem para a atmosfera.
Para projetarmos tubulações de uma maneira técnica e economicamente e�caz,
temos de conhecer a pressão de vapor de um líquido, ou seja, qual o valor da mínima
pressão que podemos ter na nossa tubulação antes que um líquido comece a
evaporar. É claro que nunca impediremos essa evaporação totalmente, mas
precisamos reduzi-la para evitar desperdícios.
Durante essa evaporação, aparecem bolhas de ar que se rompem quando entram em
contato com uma tubulação metálica onde a pressão é maior. Esse efeito malé�co ao
sistema pode atingir também bombas e turbinas hidráulicas. Ele é chamado de
cavitação e pode causar grandes transtornos no funcionamento de um sistema
hidráulico. A pá de uma turbina submetida à cavitação pode perder e�ciência devido
à redução da sua superfície de contato com o �uido, porque esse fenômeno vai
desgastando o metal, sendo que o material dani�cado deve ser reposto por meio de
uma manutenção.
Tensão Super�icial
Entre um líquido e um gás, conforme está mostrado na Figura 1.2, ou entre líquidos
que não se misturam, aparece como que uma membrana na superfície de contato,
chamada tensão super�cial.
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Por isso, são formadas gotas em uma superfície gordurosa, como ocorre quando a
nossa pele é oleosa, por exemplo. Esse fenômeno ocorre porque um líquido é
submetido a uma força diferente na superfície e no fundo do recipiente que o
contém. Essa tensão é importante quando formos calcular como a água vai escoar no
interior do solo em períodos chuvosos, por exemplo.
praticarVamos Praticar
A viscosidade cinemática de um óleo é 0,028 m²/s, e a massa especí�ca é 850 kg/m³. A
viscosidade dinâmica no Sistema Internacional de Unidades (SI) será um número
compreendido entre:
BRUNETTI, F. Mecânica dos �uidos. 2. ed. rev. São Paulo, Pearson Prentice Hall,
2008. p. 11.
Figura 1.2 - Forças que atuam na metade de uma gota de um líquido
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004. p. 21).
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a) 0 e 10 m²/s.
b) 11 e 20 m²/s.
c) 21 e 30 m²/s.
d) 31 e 40m²/s.
e) Entre 41 e 50 m²/s.
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O ramo da mecânica dos �uidos que trata dos corpos em repouso é denominado
estática, sendo que a dinâmica estuda os corpos em movimento. Na estática, a
tensão, representada pela letra 𝜎 (lemos sigma), é de�nida como força por unidade
de área, e pode ser dividida em dois tipos de tensão (normal e tangencial), conforme
apresentado na Figura 1.3:
Estática dos FluidosEstática dos Fluidos
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Tensão Normal
A tensão normal pode ser expressa por:
𝜎 = (N/m2 = Pa) (Equação 1.10)
Em que a unidade é dada em N/m2, que equivale à unidade Pascal. Quando essa
tensão é aplicada em um �uido em repouso, a tensão normal também pode ser
denominada  por pressão.
F = P (unidade Pascal) (Equação 1.11)
Tensão Tangencial
A força tangencial é também chamada tensão de cisalhamento 𝜏(lemos tau), e é dada
por
τ = (N/m2 = Pa) (Equação 1.12)
Figura 1.3 - Decomposição de uma força em suas componentes
Fonte: Fox et al. (2010, p. 27).
Fn
A
n
Ft
A
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Os princípios da estática dos �uidos são utilizados no cálculo de forças sobre objetos
submersos, como na análise da estabilidade de embarcações, no projeto de
submarinos, na medição de pressão etc.
Com a de�nição da tensão de cisalhamento, podemos rede�nir o �uido “como uma
substância que não pode sustentar uma tensão de cisalhamento quando em
repouso” (FOX et al., 2010, p. 27).
Para estudarmos os fenômenos de transportes, precisamos, na maioria das vezes,
de�nir um volume no espaço por meio do qual o �uido escoa, e para fazer isso
utilizamos o conceito de volume de controle. Desse modo, podemos estudar as
turbinas, os compressores, as tubulações, os bocais etc. que constituem um sistema
de transporte do �uido. Um volume de controle é um volume arbitrário no espaço
através do qual o �uido escoa, e sua fronteira geométrica é denominada de
superfície de controle, podendo ser real (no caso de tubulações) ou imaginária (como
em rios). Já um sistema de controle pode ser aberto ou fechado.
Na Figura 1.4, temos um exemplo de um sistema de tubulação que apresenta
exemplos físicos (como as tubulações e derivações) e exemplos imaginários (as
entradas e saídas do �uido).
Figura 1.4 - Exemplo de um sistema de tubulação para transporte de um �uido
Fonte: visivasnc / 123RF.
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As cores das tubulações nos processos industriais nos indicam o �uido que estão
 transportando. As mais comuns são:
Vermelho – sistema de combate a incêndio.
Amarelo – gases não liquefeitos (como o gás natural).
Azul segurança – sistema de ar comprimido.
Branco – tubulação de vapor (normalmente com temperaturas na faixa de
200 ºC).
Laranja – ácido (como a soda cáustica, usada para limpeza química).
Além disso, é importante destacar que, nos edifícios, as tubulações em azul
representam o sistema de água, e as em amarelo, o sistema de gás.
Fluido Ideal
Um �uido ideal é utilizado para simular um escoamento sem perdas por atrito, um
escoamento com viscosidade zero. Esse �uido é utilizado para entendermos a
equação de Bernoulli, que trata da conservação de energia em um escoamento
�uido.
Fluido ou Escoamento Incompressível
Dizemos que um �uido é incompressível quando “seu volume não varia ao
modi�carmos a pressão sobre ele”, ou seja, sua massa especí�ca não varia com a
pressão” (BRUNETTI, 2008, p. 10).
Sendo assim, esse comportamento pode ser aplicado para líquidos e gases no estudo
da ventilação.
ti
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praticarVamos Praticar
Uma pressão de 88 Pa deve ser aplicada à válvula de uma comporta, conforme a �gura a
seguir, para que ela permaneça na posição fechada. A tensão normal exercida por essa
pressão está situada no intervalo entre:
Assinale a alternativa correta:
a) 0 e 10 kN.
b) 11 e 20 kN.
c) 21 e 30 kN.
d) 31 e 40 kN.
e) 41 e 50 kN.
Fonte: Braga Filho (2012,  p. 47).
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A pressão é uma força exercida sobre uma unidade de área que pode realizar um
trabalho no transporte de cargas pesadas, como no caso dos elevadores hidráulicos.
Pressão
A pressão nada mais é do que a tensão normal dividida pela área de aplicação dessa
força. Matematicamente, temos:
p = (N/cm2) (Equação 1.13)
Devemos ter em mente que pressão e força são conceitos diferentes. Por exemplo,
podemos ter uma força de 1 N aplicada em uma área de 10 ou 5 cm². A força será a
mesma, mas a pressão, não. As pressões serão iguais a 0,1 e 0,2 N/cm²,
respectivamente, ou seja, quanto maior a área em que a força é exercida, menor é a
pressão.
Equação Fundamental daEquação Fundamental da
Estática dos FluidosEstática dos Fluidos
Fn
A
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Teorema de Stevin ou Equação
Fundamental da Estática dos Fluidos
A diferença de pressão entre dois pontos de um �uido em repouso é igual ao
produto do peso especí�co do �uido pela diferença de cotas dos dois pontos. Esse
teorema é a explicação para o aumento de pressão conforme mergulhamos. A
pressão na superfície, ao nível do mar, é menor do que a uma profundidade de 20 m,
por exemplo. Matematicamente, essa lei pode ser escrita como:
 = - ρ g (Equação 1.14)
Essa equação também é conhecida como a equação fundamental da estática dos
�uidos.
Podemos realizar um experimento simples para demonstrar o teorema de Stevin.
Para isso, basta fazermos perfurações perto da tampa e embaixo, perto do fundo, em
uma garrafa de refrigerante cheia de água, que está ilustrada na Figura 1.5, para
constatarmos que os furos inferiores escoam a água com jatos mais potentes do que
os furos superiores.
dP
dz
Figura 1.5 - Demonstração da diferença de pressão entre dois pontos em uma garrafa
de refrigerante cheia de água
Fonte: Kirill Cherezov / 123RF.
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Devemos ressaltar que a diferença de pressão entre dois pontos quaisquer é igual ao
produto do peso especí�co do �uido, multiplicado pela diferença de cotas entre
esses pontos, não importando:
a distância entre esses pontos;
o formato do recipiente.
Lei de Pascal
A pressão aplicada em um ponto de um �uido em repouso é transmitida
integralmente a todos os pontos do �uido. Se a pressão aplicada é distribuída
integralmente em todos os pontos do �uido, podemos ampli�car ou reduzir a força
aplicada, diminuindo ou aumentando a área de aplicação dessa força,
respectivamente. Portanto, esse é o princípio do elevador hidráulico, que está
ilustrado na Figura 1.6:
Pressão em um Ponto
Figura 1.6 - Ilustração da lei de Pascal
Fonte: udaix / 123RF.
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Utilizamos a pressão para indicar a força normal atuando sobre um ponto por
unidade de área atuando sobre um �uido em um dado plano. Considerando o
diagrama de corpo livre mostrado na Figura 1.7, construímos essa �gura removendo
um pequeno elemento do �uido, com a forma de uma cunha triangular. Para facilitar
a visualização, não mostramos as forças na direção x e o eixo z foi referenciado como
vertical (por causa da atuação do peso). Analisaremos primeiro o �uido em
movimento acelerado para chegarmos à sua análise em repouso.
As equações do movimento (2a Lei de Newton) nas direções y e z serão dadas por:
=py z - ps s sen = ay (Equação 1.15)
= pz z - ps s cos - = az (Equação 1.16)
onde:
a pressão ps, py e pz são as pressões médias nas superfícies da cunha;
 e ρsão o peso especí�co e a massa especí�ca do �uido;
ay e az representam as acelerações.
Figura 1.7 - Forças em um elemento de �uido arbitrário
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004. p. 35).
∑Fy δxδ δxδ θ ρ 
δx δy δz
2
∑Fz δxδ δxδ θ γ 
δx δy δz
2
ρ 
δx δy δz
2
γ
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A pressão necessita ser multiplicada por uma área para obtermos a força gerada por
ela. Ao analisarmos a geometria da cunha, constatamos que:
 = cos e = sen (Equação 1.17)
Então, podemos escrever as equações do movimento como sendo:
py - ps = ρ ay (Equação 1.18)
pz - ps = (ρaz +  ) (Equação 1.19)
Para um ponto, vamos analisar o limite onde x, y e z tendem a zero e vamos
manter constante. Logo,
py = ps e pz = ps (Equação 1.20)
Então, ps = py = pz. Podemos concluir que a pressão em um ponto de um �uido em
repouso, ou em um movimento no qual as tensões de cisalhamento não existem, é
independente da direção, ou seja, essa é a demonstração do teorema de Pascal.
Equação Básica do Campo de Pressão
Consideremos um elemento do �uido como o mostrado na Figura 1.8. Nesse
elemento, atuam dois tipos de forças: as super�ciais devidas à pressão, e as de
campo que, nesse caso, é igual ao peso do elemento. Se chamarmos a pressão no
centro geométrico por p, as pressões médias nas várias faces do elemento podem
ser expressas em função de p e de suas derivadas (conforme está retratado na Figura
1.8). A força resultante na direção y é dada por:
Fy = x z - x z (Equação 1.21)
δy δs θ δz δs θ$
δy
2
δz
2
δ δ δ
θ
δ (p  −     ) δdp
dy
δy
2
δ (p  +     ) δdp
dy
δy
2
δ
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Reescrevendo a Equação 1.21, temos que:
δFy = - x δy δz (Equação 1.22)
Da mesma forma, as forças resultantes nas direções x e z serão obtidas das
equações:
δFx = - x δy δz e δFz = - x δy δz (Equação 1.23)
A força vetorial da força super�cial resultante que atua no elemento é:
δFs = δFx + δFy + δFz (Equação 1.24)
Reescrevendo novamente, temos que:
δFs = - x δy δz (Equação 1.25)
onde , e são vetores unitários do sistema de coordenadas da Figura 1.89.
O grupo entre parênteses da Equação 1.25 representa a forma vetorial do gradiente
de pressão e pode ser reescrito como:
Figura 1.8 - Forças super�ciais e de campo atuando num elemento de �uido
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 36).
δ
dp
dy
δ
dp
dx
δ
dp
dz
î ĵ k̂
(     +       +     ) δdp
dx
i ̂
dp
dy
ĵ
dp
dz
k̂
i ̂ j ̂ k ̂
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 = ᐁp (Equação 1.26)
sendo que:
ᐁ(  ) = (Equação 1.27)
e o símbolo ᐁ representa o operador gradiente. Assim, a força super�cial por
unidade de volume pode ser expressa por
= - ᐁp (Equação 1.28)
Como o eixo z é vertical, o peso do elemento de �uido que estamos analisando é
dado por
- δW = - x δy δz (Equação 1.29)
O sinal negativo indica que a força devida ao peso aponta para baixo (sentido
negativo do eixo z).
Agora, vamos aplicar a 2ª Lei de Newton no �uido:
= δm a (Equação 1.30)
onde representa a força resultante que atua no elemento, a é a aceleração do
elemento e δm é a massa do elemento (que pode ser escrita como x δy δz).
Desse modo, a Equação 1.30 resulta em:
= δFs - δW = δm a (Equação 1.31)
ou
- ᐁp δx δy δz - δx δy δz = ρ δx δy δz  a (Equação 1.32)
Dividindo a Equação 1.21 por δx δy δz, obtemos:
- ᐁp - = ρa (Equação 1.33)
    +       +    
dp
dx
i ̂
dp
dy
ĵ
dp
dz
k̂
    +       +    
d(  )
dx
i ̂
d(  )
dy
ĵ
d(  )
dz
k̂
δFs
δx δy δz
k̂ γδ k̂
δF∑
δF∑
ργδ
δF∑ k̂
γ k̂
γk̂
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A Equação 1.33 é chamada equação geral do movimento. Ela é válida para os casos
em que as tensões de cisalhamento no �uido são nulas. Ela será muito utilizada para
calcularmos a pressão nos �uidos em movimento.
Variação da Pressão em um Fluido em
Repouso
Quando um �uido está em repouso, a aceleração é nula (a = 0 m/s²). O gradiente de
pressão se reduz a
- ᐁp - = 0 (Equação 1.34)
Os componentes da Equação 1.34 são:
Sistema
típico de
abastecimento
de água de
uma cidade
Geralmente o sistema de abastecimento de
uma cidade capta a água de um rio, riacho ou
córrego
perto da cidade onde é realizado o tratamento
desta água dentro dos padrões estabelecidos
por normas,
como o valor do �úor que deve ser injetado na
água para que a mesma possa ser então
distribuída.
γk̂
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= 0 = 0 = - (Equação 1.35)
Essas equações mostram que a pressão não é função de x ou de y. Assim, não
detectamos qualquer variação no valor da pressão quando mudamos de um ponto
para outro situado no mesmo plano horizontal. Logo, a equação de p se torna:
= - γ (Equação 1.36)
A Equação 1.36 é de fundamental importância para o cálculo da distribuição de
pressão nos casos em que o �uido está em repouso e pode ser utilizada para
determinar como a pressão varia com a elevação. Essa equação indica que o
gradiente de pressão na direção vertical é negativo, ou seja, a pressão decresce
quando nos movemos para cima em um �uido em repouso. Essa equação é uma
comprovação do teorema de Stevin.
Fluido Incompressível
A variação do peso especí�co de um �uido é provocada pelas variações de sua massa
especí�ca e da aceleração da gravidade. Isso ocorre porque é igual ao produto da
massa especí�ca do �uido pela aceleração da gravidade ( = ρ g, peso especí�co
N/m³). Como a variação de g não será considerada neste estudo, vamos analisar
somente as variações de ρ (massa especí�ca, kg/m³). A variação de massa especí�ca
dos líquidos normalmente pode ser desprezada. Nos casos em que a hipótese de
peso especí�co é constante, a Equação 1.36 pode ser integrada diretamente,
resultando em:
 = - (Equação 1.37)
onde p1 e p2 são as pressões nos planos com cota z1 e z2, conforme é mostrado na
Figura 1.9:
dp
dx
dp
dy
dp
dz
γ
dp
dz
γ
γ
dp∫ p2
p1
γ dz∫ z2
z1
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A Equação 1.37 pode ser reescrita como:
p1- p2 = h = p1 = h + p2 (Equação 1.38)
onde h é igual a distância z2 - z1 (profundidade medida a partir do plano que
apresenta p2). A Equação 1.38 mostra que a pressão em um �uido incompressível
em repouso varia linearmente com a profundidade. Essa distribuição de pressão é
chamada de pressão hidrostática. Essa equação também comprova o teorema de
Stevin.
Da Equação 1.38 temos que a diferença de pressão entre dois pontos pode ser
especi�cada pela distância h, ou seja:
h = (Equação 1.39)
Sendo que h é chamada de carga e é interpretada como a altura da coluna de �uido
com peso especí�co necessário para provocar uma diferença de pressão p1 -  p2. A
pressão p0 é utilizada para nos referirmos à pressão atmosférica e, muitas vezes, é
representada por uma superfície livre.
A distribuição de pressão em um �uido homogêneo, incompressível e em repouso é
função apenas da profundidade (em relação a um plano de referência), e ela não é
Figura 1.9 - Variação de pressão em um �uido em repouso e superfície livre
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 38).
γ γ
 − p1 p2
γ
γ
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in�uenciada pelo tamanho ou forma do tanque ou recipiente que contém o �uido.
Pela aplicação da Equação 1.39, temos que a pressão será a mesma em todos os
pontos da linha AB da Figura 1.10. O valor real da pressão aolongo da linha AB
depende apenas da profundidade, h, da pressão na superfície livre, p0 e do peso
especí�co do �uido contido no reservatório.
O fato de a pressão ser constante em um plano com mesma elevação é fundamental
para a operação de dispositivos hidráulicos, como macacos, prensas, controles de
aviões e de máquinas pesadas.
Figura 1.10 - Variação de pressão em um �uido em repouso e superfície livre
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 39)
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Fluido Compressível
Os gases, como o oxigênio e o nitrogênio, são modelados como �uidos compressíveis
porque suas massas especí�cas variam de modo signi�cativo com as alterações de
temperatura e pressão. Por isso, temos de considerar a possibilidade da variação do
peso especí�co do �uido antes de integrarmos a Equação 1.31. Na maioria das vezes,
essa aproximação não precisa ser feita porque o gradiente de pressão do ar é muito
pequeno quando comparado com o dos líquidos. Só a título de ilustração, o peso
especí�co do ar ao nível do mar a 15 ºC é 1,2 x 10¹ N/m³, enquanto que o da água, nas
mesmas condições, é de 9,8 x 10³ N/m³.
Se tivermos de considerar a variação do peso especí�co devido a uma grande
diferença de altura, da ordem de milhares de metros, devemos considerar a variação
do peso especí�co do �uido nos cálculos das variações de pressão por meio da
fórmula:
p = ρ R T (Equação 1.40)
reflita
Re�ita
Os fenômenos de transporte são fundamentais no nosso dia a dia.
Graças a eles, temos água nas nossas casas. Com as mudanças
climáticas, está �cando cada vez mais difícil o abastecimento de
água nas grandes cidades. Com o aquecimento global, esse
fenômeno pode se agravar, demandando projetos cada vez com
menores perdas e mais e�cientes. Será que no futuro um país
poderá desperdiçar água com vazamentos em suas tubulações
como ocorre com 30% da água tratada no Brasil?
Fonte: Cirilo (2015).
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onde R é a constante do gás e T é a temperatura absoluta (em Kelvin).
Combinando as Equações 1.40 com a Equação 1.37, temos que
 = - (Equação 1.41)
Separando as variáveis, �camos com
 = ln = - (Equação 1.42)
onde g e R foram admitidos constantes no intervalo de integração.
Também podemos utilizar a expressão
p2 = p1 exp (Equação 1.43)
A Equação 1.43 fornece a relação entre a pressão e a altura numa camada isotérmica
de um gás perfeito. Para tubulações de gases, como a de gás natural, esse efeito não
dp
dz
g p
R T
dp∫ p2
p1
p1
p2
g 
R
∫ z2
z1
dz
T
saiba mais
Saiba mais
O artigo sobre “Abordagem didática e prática da
ação do vento em edi�cações”, apresentado na
ConstruMetal de 2016, trata de uma forma
simples e precisa sobre os cuidados que devemos
tomar nos projetos de grandes edifícios, devido à
pressão que a força do vento exerce nos andares
superiores.
ACESSAR
[−  ]g (  −  ) z2 z1
R T0
https://www.abcem.org.br/construmetal/downloads/apresentacao/2_ABORDAGEM-DIDATICA-E-PRATICA-DA-ACAO-DO-VENTO-EM-EDIFICACOES.pdf
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precisa ser considerado, porque as distâncias verticais envolvidas no projeto são
pequenas.
praticarVamos Praticar
A �gura a seguir apresenta esquematicamente uma prensa hidráulica, em que os dois
êmbolos têm, respectivamente, as áreas A1 = 10 cm² e A2 = 100 cm².
BRUNETTI, F. Mecânica dos �uidos. 2. ed. rev. São Paulo: Pearson Prentice Hall,
2008.
Considerando que uma força de 200 N seja aplicada no êmbolo (1), assinale a alternativa
que indica qual será a força transmitida ao (2).
Figura 1.11 - Esquema de uma prensa hidráulica
Fonte: Brunetti (2008, p. 22).
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a) Entre 0 e 500 N.
b) Entre 501 e 1.000 N.
c) Entre 1.001 e 1.500 N.
d) Entre 1.501 e 2.000 N.
e) Entre 2.001 e 2.500 N.
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indicações
Material
Complementar
F I L M E
Horizonte profundo (Deepwater horizon)
Ano: 2016
Comentário: essa é a história da plataforma de extração de
petróleo no Golfo do México que, por vários motivos,
explodiu e foi responsável pelo maior desastre ambiental
daquela região. A reconstrução da plataforma, a tubulação
de extração do petróleo e a pressão com que o acidente
ocorre são aspectos imperdíveis.
T R A I L E R
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L I V R O
Mecânica dos �uidos: fundamentos e
aplicações
Yunus A. Çengel e John M. Cimbala
Editora: McGraw-Hill
Comentário: o livro indicado traz muitas aplicações novas
para a área de mecânica dos �uidos. Cada capítulo
apresenta um estudo de caso relacionado a uma
preocupação ambiental como a geração de energia eólica, os
transplantes de órgãos e a aerodinâmica dos carros.
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conclusão
Conclusão
Chegamos ao �nal do estudo dos conceitos fundamentais para o entendimento dos
fenômenos de transporte. Nesta unidade, estudamos as propriedades dos �uidos,
como a massa especí�ca e, inclusive, os vários sistemas de unidades que podemos
utilizar.
Depois iniciamos o estudo da estática dos �uidos, em que aprendemos que �uidos
são líquidos e gases e que a estática é a parte da ciência que estuda os líquidos em
repouso.
Vimos, também, que a viscosidade é uma propriedade fundamental dos �uidos. Cada
�uido tem uma determinada viscosidade que apresenta importância fundamental no
projeto de tubulações e de equipamentos como os elevadores hidráulicos.
Também estudamos o conceito de pressão e a variação da pressão com a posição em
líquidos homogêneo e heterogêneo.
E, �nalmente, aprendemos a equação fundamental da estática dos �uidos, com um
exemplo ilustrativo.
referências
Referências
Bibliográ�cas
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BRAGA FILHO, W. Fenômenos de transporte para engenharia. 2. ed. São Paulo:
LTC, 2012.
BRUNETTI, F. Mecânica dos �uidos. 2. ed. rev. São Paulo: Pearson Prentice Hall,
2008.
CIRILO, J. A. Crise hídrica: desa�os e Superação. Revista USP, São Paulo, n. 106, p.
45-58, jul./ago./set. 2015. Disponível em:
https://www.revistas.usp.br/revusp/article/download/110102/108685/. Acesso em:
20 dez. 2019.
ÇENGEL, Y.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos �uidos: fundamentos e aplicações.
Tradução de K. A. Roque e M. M. Fecchio. Revisão técnica F. Saltara, J. L. Baliño e K. P.
Burr. Consultoria Técnica H. M. Castro. São Paulo: McGraw-Hill, 2007.
FOX. R. W. et al. Introdução à mecânica dos �uidos. 8. ed. Tradução e revisão técnica
R. N. Koury. São Paulo: LTC, 2010.
HIBBELER, R. C. Mecânica dos �uidos. Tradução de D. Vieira. São Paulo: Pearson
Education do Brasil, 2016.
MUNSON, B. R.; YOUNG, D. F.; OKIISHI, T. H. Fundamentos da mecânica dos
�uidos. Tradução da quarta edição americana de Euryale de Jesus Zerbini. São
Paulo: Edgard Blucher, 2004.
NASCIMENTO, B. M.; MORATTI, D. G.; OLIVEIRA JR., J. L.; SCOTÁ, N. M., BROETTO,
R. B.; SAGRILO, R. G.; FERREIRA, W. G. Abordagem didática e prática da ação do
vento em edi�cações. In: CONGRESSO LATINO-AMERICANO DA CONSTRUÇÃO
METÁLICA, 7., 2016, São Paulo. Anais [...]. São Paulo: ABCEM, 2016. Disponível em:
https://www.abcem.org.br/construmetal/downloads/Anais-do-7-
Construmetal2016-EBook.pdf. Acesso em: 23 dez. 2019.
https://www.revistas.usp.br/revusp/article/download/110102/108685/
https://www.abcem.org.br/construmetal/downloads/Anais-do-7-Construmetal2016-EBook.pdf
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