ESCOAMENTO PERMANENTE DE UM FLUIDO INCOMPRESSÍVEL EM CONDUTO FECHADO

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UNIDADE 2 | EQUAÇÃO DA ENERGIA E ESCOAMENTO INTERNO 
 
SEÇÃO 2.2 - ESCOAMENTO PERMANENTE DE UM FLUIDO INCOMPRESSÍVEL EM 
CONDUTO FECHADO 
 
01- Equação de Bernoulli: 
 Apresenta a forma mais simplificada da equação de conservação de energia; 
 Apresenta um grande número de hipóteses simplificadoras; 
 Essa equação dificilmente conduzirá a resultados compatíveis com os problemas reais de 
escoamentos fluidos devido as hipóteses; 
 É a mais utilizadas na mecânica dos fluidos; 
 É a base conceitual para qualquer estudo mais elaborado; 
 Representa com maior exatidão um problema real depois de eliminadas as hipóteses 
simplificadoras impostas nessa equação; 
 
02- Hipóteses Simplificadoras: 
 Escoamento em regime permanente, ou seja, as propriedades são constantes em relação 
ao tempo. 
 Propriedades uniformes na seção, ou seja, não variam ponto a ponto na área da seção. 
 Fluido ideal, ou seja, o escoamento ocorre sem perdas por atrito com a parede da tubulação. 
 Fluido incompressível, ou seja, não há variação de massa específica. 
 Energia térmica desprezível, ou seja, não há trocas de calor. 
 Não há máquinas hidráulicas instaladas no trecho em estudo. 
 A equação de Bernoulli nos mostra que a energia mecânica das seções (1) e (2) se conserva, 
ou seja: 
 
𝐸𝑚𝑒𝑐,1 = 𝐸𝑚𝑒𝑐,2 
 Utilizando todas as energias mecânicas associadas ao fluido, tem-se a forma mais utilizada 
da equação de Bernoulli: 
𝐸𝑚𝑒𝑐,1 = 𝐸𝑚𝑒𝑐,2 
𝑔𝑧1 +
𝑣1
2
2
+
𝑝1
𝜌
= 𝑔𝑧2 +
𝑣2
2
2
+
𝑝2
𝜌
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
Exemplo de aplicação: Uma aplicação clássica da equação da conservação da energia mecânica 
é o cálculo da velocidade do jato que sai de um orifício em um tanque de grandes dimensões, 
ilustrado abaixo. 
 
Considerando que o fluido é ideal; que a altura h do nível do reservatório seja constante e que 
a pressão nos pontos (1) e (2) é a pressão atmosférica. 
 
03- Reescrevendo a equação: 
 
Dividindo a equação por “g” teremos: 
𝑔𝑧1 +
𝑣1
2
2
+
𝑝1
𝜌
= 𝑔𝑧2 +
𝑣2
2
2
+
𝑝2
𝜌
 
𝑧1 +
𝑣1
2
2𝑔
+
𝑝1
𝛾
= 𝑧2 +
𝑣2
2
2𝑔
+
𝑝2
𝛾
 
 
A nova expressão expressa energia por unidade de peso. 
Essa definição dá origem ao termo “carga”, portanto, temos: 
 Uma carga potencial; 
 Uma carga cinética; 
 Uma carga de pressão; 
Utilizando H como sendo a energia total por unidade de peso, podemos reescrever a equação 
de Bernoulli como: 
𝑧1 +
𝑣1
2
2𝑔
+
𝑝1
𝛾
= 𝑧2 +
𝑣2
2
2𝑔
+
𝑝2
𝛾
 
𝐻1 = 𝐻2 
04- Equação da energia com a presença de uma máquina; potência de máquina e rendimento 
 
 Primeiro retiramos a hipótese simplificadora: “não há máquinas hidráulicas instaladas no 
trecho em estudo”. 
 Definimos máquina como um equipamento que fornece ou retira energia do fluido, na forma 
de trabalho. 
 Não há variação de massa específica do fluido. 
(a) Bomba Hidráulica: Máquina que fornece energia ao fluido. 
𝐻1 + 𝐻𝐵 = 𝐻2 
O termo 𝐻𝐵 é chamado de altura manométrica da bomba hidráulica, ou, simplesmente, carga da 
bomba. 
(b) Turbina: Máquina que retira energia do fluido. 
𝐻1 − 𝐻𝑇 = 𝐻2 
O termo 𝐻𝑇 é chamado de altura manométrica da turbina hidráulica, ou, simplesmente, carga da 
turbina. 
(c) Máquina Genérica: Temos a máquina genérica, utilizando o termo 𝐻𝑀 como sendo a altura 
manométrica da máquina: 
𝐻1 + 𝐻𝑀 = 𝐻2 
Utilizando todas as energias mecânicas associadas ao fluido, podemos reescrever a equação da 
energia com a presença de uma máquina na forma: 
𝑧1 +
𝑣1
2
2𝑔
+
𝑝1
𝛾
+ 𝐻𝑀 = 𝑧2 +
𝑣2
2
2𝑔
+
𝑝2
𝛾
 
A potência pode ser dada por uma energia mecânica por unidade de tempo: 
𝑃𝑜𝑡𝑀 = 𝛾𝑄𝐻𝑀 
Para uma bomba hidráulica, nem toda a potência da máquina é transferida para o fluido. 
Rendimento de uma bomba hidráulica η: 
η
𝐵
=
𝑃𝑜𝑡
𝑃𝑜𝑡𝐵
 
Analogamente, para turbinas hidráulicas, tem-se que: 
η
𝐵
=
𝑃𝑜𝑡𝑇
𝑃𝑜𝑡
 
Exemplo de aplicação: 
Um tanque de grandes dimensões que abastece o tanque menor a uma vazão volumétrica de 10 
L/s. Supondo que o fluido é ideal, tem-se que a máquina instalada no sistema entre os pontos (1) 
e (2) é uma bomba hidráulica ou uma turbina hidráulica? Qual é a potência dessa máquina, se o 
seu rendimento for de 75%? Considerar regime permanente e 𝛾á𝑔𝑢𝑎 = 10
4 𝑁/𝑚³;𝐴𝑡𝑢𝑏 =
10 𝑐𝑚2𝑒 𝑔 = 9,81
𝑚
𝑠2
. 
 
05- Equação da energia para diversas entradas e saídas para escoamento em regime permanente 
 
Da mesma maneira que fizemos para a equação da conservação da massa, podemos considerar 
mais de uma entrada e mais de uma saída de energia para o sistema em estudo, ou seja: 
∑ 𝐸𝑚𝑒𝑐â𝑛𝑖𝑐𝑎 = ∑ 𝐸𝑠𝑎í𝑑𝑎
𝑠𝑎í𝑑𝑎𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
 
Em que todas as hipóteses simplificadoras utilizadas na conceituação da equação de Bernoulli 
permanecem mantidas. Reescrevendo a equação da energia para diversas entradas e saídas 
para escoamento em regime permanente, utilizando todas as energias mecânicas associadas 
ao fluido, temos: 
∑ 𝑍+
𝑣2
2𝑔
+
𝑃
𝛾
= ∑ 𝑍+
𝑣2
2𝑔
+
𝑃
𝛾
𝑠𝑎í𝑑𝑎𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
 
Finalizando, a potência fornecida ou retirada do fluido por uma máquina instalada no sistema 
pode ser calculada por: 
∑ 𝑃𝑜𝑡 = ∑ 𝑃𝑜𝑡
𝑠𝑎í𝑑𝑎𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
 
Ou seja: 
∑ 𝛾𝑄𝐻 = ∑ 𝛾𝑄𝐻
𝑠𝑎í𝑑𝑎𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
 
 
DESCRIÇÃO DA SITUAÇÃO-PROBLEMA 
CÁLCULO DA POTÊNCIA DE UM JATO 
 
Calcular a potência do jato de um fluido que é descarregado no ambiente por um bocal. A partir 
da imagem abaixo, temos que 𝑣𝑗 é a velocidade do jato; 𝐴𝑗 é a área de seção transversa na saída 
do bocal e γ é o peso específico do fluido. 
 
06- Perda de carga: Tem-se que a perda de carga é uma dissipação de energia, devida 
principalmente ao atrito que ocorre entre o fluido e a parede interna do conduto. Para calculá-la, 
devemos conhecer os parâmetros dimensionais e físicos do problema proposto. 
 
07- Classificação do Conduto: 
Os condutos, também chamados de tubos ou dutos, são estruturas utilizadas para realizar o 
transporte de fluidos. Basicamente, os condutos são classificados em relação ao tipo de 
escoamento que ocorre em seu interior. O escoamento pode ser forçado ou livre. 
(a) Escoamento livre ocorre quando o fluido escoa em um canal aberto, ou quando apresenta 
uma superfície livre, para o caso de um escoamento em um canal fechado, chamado de 
conduto fechado. 
 
(b) Escoamento forçado: ocorre quando o fluido escoa em um conduto fechado, sendo que ele 
não apresenta nenhuma superfície livre, ou seja, o fluido está em contato com toda a parede 
interna do conduto, preenchendo-o completamente.