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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
________________________________________________________________________________________________________ 
Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4
a
 Ed. - LTC - 1996. Cap. 33 – Circuitos de Corrente Contínua 
1 
 
 
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. 
 
 
FÍSICA 3 
 
 
CAPÍTULO 33 – CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA 
 
02. (a) Qual o trabalho realizado por uma fonte de fem de 12 V sobre um elétron que vai do seu 
terminal positivo até o negativo? (b) Se 3,40 10
18
 elétrons passam através da fonte, por 
segundo, qual a potência de saída da fonte? 
 (Pág. 128) 
Solução. 
(a) A fem de uma fonte de potencial é definida como sendo o trabalho, por unidade de carga, 
gasto para transportar cargas de um pólo ao outro da fonte. Ou seja: 
 
dW
dq
 
O trabalho médio W para transportar uma carga q será dado por: 
 
1912 V 1,60 CW q
 (1) 
 
181,92 JW
 
É bom lembrar que, por definição, a energia gasta para transportar um elétron contra um potencial V 
é numericamente igual a V, expresso em elétrons-volt (eV). No presente caso, W = 12 eV (1 eV = 
1,60 10
19
 J). 
(b) Vamos dividir a Eq. (1) por um intervalo de tempo t para obter a potência média da fonte: 
 
W q
t t
 
O termo q/ t corresponde à corrente elétrica média i que atravessa a fonte. 
 
18 19elétrons C12 V 3,40 1,60 6,528 W
s elétron
P i
 
 
6,53 WP
 
 
07. Qual deve ser o valor de R, no circuito da Fig. 18, para que a corrente seja igual a 50 mA? 
Considere 1 = 2,0 V, 2 = 3,0 V e r1 = r2 = 3,0 . (b) Qual será, então, a potência dissipada sob 
a forma de calor na resistência R? 
 
 (Pág. 126) 
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Solução. 
(a) Vamos aplicar a lei das malhas de Kirchhoff ao circuito, arbitrando o sentido da corrente como 
anti-horário e percorrendo-o nesse sentido a partir da extremidade superior direita. 
 
1 1 2 2 0ir iR ir
 
 
2 1
1 2 3
3,0 V 2,0 V
3,0 3,0 
50 10 A
R r r
i
 
 
14 R
 
(b) A potência dissipada por R será: 
 
22 14 50 mA 0,035 WP Ri
 
 
35 mWP
 
 
[Início] 
 
08. A corrente num circuito de malha única é 5,0 A. Quando uma resistência adicional de 2,0 é 
colocada em série, a corrente cai para 4,0 A. Qual era a resistência no circuito original? 
 (Pág. 127) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema da situação: 
 
Como a fem da fonte de potencial do circuito não variou, temos: 
 
 
1 1 1 2 2R i R R i
 
 
1 1 2 2 2R i i R i
 
 
2
1 2
1 2
4,0 A
2,0 
5,0 A 4,0 A
i
R R
i i
 
 
1 8,0 R
 
 
08. A corrente num circuito de malha única é 5,0 A. Quando uma resistência adicional de 2,0 é 
colocada em série, a corrente cai para 4,0 A. Qual era a resistência no circuito original? 
 (Pág. 127) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema da situação: 
R1
i1
R1
i2
R2
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Como a fem da fonte de potencial do circuito não variou, temos: 
 
 
1 1 1 2 2R i R R i
 
 
1 1 2 2 2R i i R i
 
 
2
1 2
1 2
4,0 A
2,0 
5,0 A 4,0 A
i
R R
i i
 
 
1 8,0 R
 
 
11. O motor de arranque de um automóvel gira muito devagar, e o mecânico tem de decidir entre 
substituir o motor, o cabo ou a bateria. O manual do fabricante diz que a bateria de 12 V não 
pode ter mais de 0,020 de resistência interna, o motor não pode ter mais de 0,200 de 
resistência e o cabo não pode ter mais de 0,040 de resistência. O mecânico liga o motor e 
mede 11,4 V na bateria, 3,0 V entre os extremos do cabo e uma corrente de 50 A. Qual parte 
está com defeito? 
 (Pág. 127) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema: 
 
Em primeiro lugar vamos verificar o valor da resistência interna, r, da bateria. Para isso vamos 
computar a diferença de potencial nos terminais da bateria, VBat. 
 
a bV ir V
 
 
a bV V ir
 
 
BatV ir
 
 
Bat
12 V 11,4 V
0,012 
50 A
V
r
i
 
Como a bateria pode ter resistência interna de até 0,020 , ela está em bom estado. Agora vamos 
verificar a resistência do cabo, RCabo. 
 
Cabo
Cabo
3,0 V
0,060 
50 A
V
R
i
 
R1
i1
R1
i2
R2
V
V
VBat
VCabo
r
RMotor
RCabo
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Como a resistência do cabo não pode ser maior do que 0,040 , o cabo deverá ser trocado. Vamos 
ainda verificar a resistência do motor, RMotor. 
 
Cabo Motor 0iR iR ir
 
 
Motor Cabo
12 V
0,060 0,012 0,168 
50 A
R R r
i
 
 
Motor 0,17 R
 
Como a tolerância para a resistência interna do motor é de 0,200 , este está em bom estado. 
 
13. Uma célula solar gera uma diferença de potencial de 0,10 V quando ligada a um resistor de 500 
 e uma diferença de potencial de 0,16 V quando ligada a um resistor de 1.000 . Quais são (a) 
a resistência interna e (b) a fem da célula solar? (c) A área da célula é 5,0 cm
2
 e a intensidade da 
luz que a atinge é 2,0 mW/cm
2
. Qual a eficiência da célula em converter energia da luz em 
energia interna no resistor de 1.000 ? 
 (Pág. 127) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema da situação: 
 
(a) Aplicando-se a lei das malhas de Kirchhoff ao circuito da esquerda teremos: 
 
1 1 1 0i R i r
 
 
1 1i R r
 (1) 
Fazendo o mesmo para o circuito da direita: 
 
2 2i R r
 (2) 
Igualando-se (1) e (2) e resolvendo-se para r: 
 
1 1 2 2
2 1
i R i R
r
i i
 (3) 
Agora temos de calcular as correntes i1 e i2. Para isso basta se utilizar das diferenças de potencial 
nos terminais dos resistores R1 e R2. 
 
4
1
1
0,10 V
2,0 10 A
500 
abVi
R
 
 
4
2
2
0,16 V
1,6 10 A
1.000 
abVi
R
 
Substituindo-se esses valores em (3): 
r
R1
i1
r
R2
i2
a b a b
Célula solar
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5 
 4 4
2 2
4 4
2,0 10 A 500 1,6 10 A 1.000 
1.500 
1,6 10 A 2,0 10 A
i R
r
 
 
1,5 kr
 
(b) Da Eq. (1), temos: 
 
4
1 1 2,0 10 A 500 1.500 i R r
 
 
0,40 V
 
(c) A eficiência e da célula é a razão entre a potência dissipada pelo resistor R1 ou R2 (PR) e a 
potência recebida do Sol pela célula (PS). Esta é o produto da intensidade da luz solar que atinge a 
célula I e a área A da célula. 
 
2
43
32 2
3 2
2
1,6 10 A 1.000 
2,56 10
W
2,0 10 5,0 cm
cm
R
S
P i R
e
P IA
 
 
0,26 %e
 
 
19. Um circuito contendo cinco resistoresligados a uma bateria de 12 V é mostrado na Fig. 21. 
Ache a queda de potencial através do resistor de 5,0 . 
 
 (Pág. 127) 
Solução. 
Para resolver este problema, precisamos determinar a corrente elétrica que atravessa o resistor de 
5,0 e resolver a equação V = Ri. Para isso vamos aplicar a lei das malhas de Kirchhoff à malha 
inferior do circuito, cuja corrente circula no sentido horário, percorrendo-o nesse sentido a partir do 
nó da extrema direita. 
 
12,0 V 3,0 5,0 0i i
 
 
12,0 V
1,5 A
8,0
i
 
Logo: 
 
5,0 1,5 AV Ri
 
 
7,5 VV
 
 
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20. Uma fonte de potência de 120 V é protegida por um fusível de 15 A. Qual o número máximo de 
lâmpadas de 500 W que podem ser simultaneamente alimentadas, em paralelo, por esta fonte? 
 (Pág. 127) 
Solução. 
Considere o esquema abaixo, onde F é um fusível e L é lâmpada: 
 
V
Fi0
P P P
LNL2L1
i i i
 
Como as lâmpadas L1, L2, ... , LN estão associadas em paralelo, todas estão sujeitas à mesma 
diferença de potencial V. Logo, a corrente elétrica em cada uma delas vale: 
 
P
i
V
 (1) 
A soma das correntes que abastecem as lâmpadas deve ser, no máximo, igual a i0: 
 
0 1 2 Ni i i i Ni
 (2) 
Substituindo-se (1) em (2): 
 
0
P
i N
V
 
 
0i VN
P
lâmpadas 
 
(15 A)(120 V)
3,6
(500 W)
N
 lâmpadas 
Como não pode haver número fracionário de lâmpadas: 
 N = 3 lâmpadas 
 
22. Dado um certo número de resistores de 10 , cada um capaz de dissipar somente 1,0 W, qual é 
o número mínimo desses resistores necessário para fazer uma associação em série ou em 
paralelo, equivalente a um resistor de 10 , capaz de dissipar pelo menos 5,0 W? 
 (Pág. 127) 
Solução. 
Seja uma associação em série de M resistores iguais. Agora tome N conjuntos desses resistores e 
construa uma associação em paralelo. O resultado é esquematizado a seguir: 
 
A resistência equivalente desse conjunto vale: 
M resistores 
em série
N resistores 
em paralelo
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1 1eq
1
1 1 1N N
M
i i
j
j
N
R MR MR
R
 
Se N = M, teremos Req = R. Portanto, os arranjos possíveis serão: 
 
A potência P1 dissipada por um resistor R atravessado por uma corrente i é: 
 
2
1P Ri
 
No caso da associação de quatro resistores, cuja corrente de entrada na associação também seja i, 
cada resistor será atravessado por uma corrente igual a i/2. Portanto, a potência P4 dissipada por 
cada resistor da associação será: 
 2 2
2
4 1
1 1
0,25 W
2 4 4 4
i i
P R R Ri P
 
Para que a associação de quatro resistores trabalhe a pleno, a corrente deverá ser dobrada, o que fará 
com que cada resistor dissipe 1 W. No total, haverá dissipação de 4 W para toda a associação. No 
caso da associação de nove resistores, a corrente deverá ser triplicada para que a associação trabalhe 
a pleno, dissipando 9 W. E assim por diante. Portanto, como o problema exige que a associação 
deve poder dissipar no mínimo 5 W, o menor número de resistores que a associação deverá ter é 
nove. 
 
26. No circuito da Fig. 23, , R1 e R2 têm valores constantes, mas R pode variar. Ache uma 
expressão para R que torne máximo o aquecimento deste resistor. 
 
 (Pág. 128) 
Solução. 
Considere o esquema abaixo, que representa a parte superior central do circuito, onde 1 e 2 
representam as malhas da esquerda e da direita, respectivamente, e in representam as correntes 
elétricas: 
 
Potência dissipada por R: 
 
2
( ) 2RP i R
 (1) 
1 resistor
=
10 
10 
=
10 
4 resistores
9 resistores
= etc...
i0 i2
i1
1 2
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Cálculo de i2 (leis de Kirchhoff): 
 
0 1 2i i i
 (2) 
 
1 0 2 1 0R i R i
 (3) 
 
2 2 1 0Ri R i
 (4) 
Resolvendo-se o sistema (2), (3) e (4): 
 
2
2
1 2 1 2
R
i
R R R R R
 (5) 
Substituindo-se (5) em (1): 
 2 2
2
( ) 2
1 2 1 2
R
R R
P
R R R R R
 
Valor de R que maximiza a dissipação de calor em R: 
 
( )
0
RdP
dR
 
 2 2
2 1 2 1 2
3
1 2 1 2
0
R R R R R R
R R R R R
 
Como todas as grandezas que aparecem no primeiro membro desta equação são positivas, ela só 
será verdadeira se: 
 
1 2 1 2 0R R R R R
 
Logo: 
 
1 2
1 2
R R
R
R R
 
 
30. Calcule o valor da corrente em cada um dos resistores e a diferença de potencial entre os pontos 
a e b para o circuito da Fig. 26. Considere 1 = 6,0 V, 2 = 5,0 V, 3 = 4,0 V, R1 = 100 e R2 = 
50 . 
 
 (Pág. 128) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema simplificado do circuito, onde os sentidos das correntes i1, i2 e i3 
foram arbitrados: 
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Na malha A, temos (sentido horário, partindo do ponto a): 
 
2 1 1 0R i
 
 
2
1
1
5,0 V
0,050 A
100 
i
R
 
 
1 50 mAi
 
Na malha B, temos (sentido horário, partindo do ponto a): 
 
1 2 2 3 2 0R i
 
 
2 3 1
2
2
5,0 V 4,0 V 6,0 V
0,060 A
50 
i
R
 
 
2 60 mAi
 
No ramo ab, temos: 
 
2 3a bV V
 
 
2 3 5,0 V 4,0 Vab a aV V V
 
 
9,0 VabV
 
 
31. Duas lâmpadas, uma de resistência R1 e outra de resistência R2 ( R1), são ligadas (a) em 
paralelo e (b) em série. Qual das lâmpadas é mais brilhante em cada caso? 
 (Pág. 128) 
Solução. 
Neste problema, é preciso reconhecer que o brilho de uma lâmpada que funciona à base do 
aquecimento (potência dissipada) de uma resistência apresenta brilho que, ao menos em princípio, é 
proporcional à sua temperatura. Portanto, brilhará mais a lâmpada que conseguir dissipar mais 
energia num determinado arranjo, que no presente caso é em série ou em paralelo. 
(a) Quando as lâmpadas estão ligadas em paralelo, ambas estarão sujeitas à mesma diferença de 
potencial, V. Como a potência dissipada por um resistor vale P = V
2
/R, a lâmpada com menor 
resistência (R2) irá dissipar mais energia e, consequentemente, brilhar mais. 
 
(b) Se as lâmpadas estão em série, ambas serão percorridas pela mesma corrente. Como a potência 
dissipada por um resistor vale P = i
2
R, a lâmpada com maior resistência (R1) irá dissipar mais 
energia e, consequentemente, brilhar mais. 
i1
i3
i2
A
B
a b
R1
i
R2
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33. Qual a leitura no amperímetro A, Fig. 27, e R? Suponha que A tenha resistência interna nula. 
 
 (Pág. 128) 
Solução. 
Considere o esquema simplificado da Fig. 27 abaixo: 
 
Equações de Kirchhoff para o circuito. 
Nó a: 
 1 2 3i i i 
Nó b: 
 6 3 4i i i 
Nó c: 
 2 4 5i i i 
Malha A: 
 3 62 0Ri Ri 
Malha B: 
 3 22 0Ri Ri 
Malha C: 
 6 5 0Ri Ri 
As equações acima formam um sistema com seis incógnitas. A solução é laboriosa e tem o seguinte 
resultado: 
 1
6
7
i
R , 2
4
7
i
R , 3
2
7
i
R , 4 7i R , 5
3
7
i
R , 6
3
7
i
R 
A corrente que passa pelo amperímetro é i4. Logo, a resposta do problema é: 
R1
i
R2
i1 i2
i3
i6
i4
i5
A
B
C
a
b c
d
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11 
 4 7i R 
 
34. Quando as luzes de um carro são ligadas, um amperímetro em série com elas marca 10,0 A e um 
voltímetro em paralelo marca 12,0 V. Veja a Fig. 28. Quando o motor de arranque elétrico é 
ligado, a leitura no amperímetro baixa para 8,00 V e as luzes diminuem um pouco seu brilho. Se 
a resistência interna da bateria for 50 m e a do amperímetro for desprezível, quais são (a) a 
fem da bateria e (b) a corrente que atravessa o motor de arranque quando as luzes estão acesas? 
 
 (Pág. 128) 
Solução. 
(a) Quando as luzes são ligadas, mas o motor de arranque ainda está desligado, o circuito pode ser 
representado pela figura abaixo, em que é a fem da bateria, r é a resistência interna da bateria, i0 é 
a corrente elétrica e L representa as luzes do carro: 
 
Aplicação da regra das malhas de Kirchhoff a este circuito, onde V é a diferença de potencial nos 
terminais das luzes: 
 
0 0V ri
 
 
0V ri
 
 
3(12,0 V) (50 10 )(10,0 A)
 
 
12,5 V
 
(b) Quando o motor de arranque é ligado, o circuito passa a ser representado pela figura abaixo, em 
que M representa o motor de arranque: 
 
Aplicação das regras de Kirchhoff a este circuito, em que RM é a resistência elétrica do motor e RL é 
a resistência das luzes: 
 
2 1 0MR i ri
 (1) 
L
r
i0
L
r
i1
M
i2 i3
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12 
 
3 2 0L MR i R i
 (2) 
 
1 2 3i i i
 (3) 
(1) + (2): 
 
1 3 0Lri R i
 (4) 
Resistência das luzes, obtida do circuito analisado no item (a): 
 
0
L
V
R
i
 (5) 
Resolvendo-se (4) para i1 e substituindo-se (5) na expressão obtida para i1: 
 
1 3
0
1V
i i
i r
 
 
1 3
(12,0 V) 1
(12,5 V) (8,00 A) 58,0 A
(10,0 A) (50 10 )
i
 
Resolução de (3): 
 
2 1 3i i i
 
 
2 (58,0 A) (8,00 A)i
 
 
2 50,0 Ai
 
 
35. A Fig. 29 mostra uma bateria ligada a um resistor uniforme R0. Um contato deslizante pode 
mover-se sobre o resistor de x = 0 à esquerda, até x = 10 cm à direita. Ache uma expressão para 
a potência dissipada no resistor R como uma função de x. Trace o gráfico desta função para = 
50 V, R = 2.000 e R0 = 100 . 
 
 (Pág. 128) 
Solução. 
Considere o esquema simplificado da Fig. 29 abaixo: 
 
Potência dissipada no resistor R: 
 
2
3P Ri
 (1) 
i1
i2
i3
A
B
a
L
x
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13 
O cálculo da potência está na dependência de i3, que será calculado por meio da aplicação equações 
de Kirchhoff ao circuito. 
Nó a: 
 
1 2 3i i i
 (2) 
Malha A: 
 
2 0 1 0 0
x L x
i R i R
L L
 
 
1 2 0 1 0 0
x
i i R i R
L
 (3) 
Substituindo-se (2) em (3): 
 
3
0 1 0 0
i x
R i R
L
 (4) 
Malha B: 
 
3 1 0 0
L x
i R i R
L
 (5) 
Multiplicando-se ambos os membros de (5) por 
L
L x
 
 
3 1 0 0
L L
i R i R
L x L x
 (6) 
(4) + (6): 
 
3
0 3 1 0 1 0 0
i xL L
R i R i R i R
L x L L x
 
 
3 01 0
L x L
i R R
L x L L x
 
 
2
0
3
( ) ( )
( )
L x xR L R L L x
i
L L x L x
 
 
3 2
0 ( )
Lx
i
L R R L x x
 (7) 
Substituindo-se (7) em (1): 
 
2 2 2
2
2
0 ( )
L Rx
P
L R R L x x
 
(b) 
 
 
x
P(x)
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37. (a) Calcule a intensidade das três correntes que aparecem no circuito da Fig. 31. (b) Calcule o 
valor de Vb Va. Suponha que R1 = 1,20 , R1 = 2,30 , 1 = 2,00 V, 2 = 23,80 V e 3 = 5,00 
V. 
 
 (Pág. 129) 
Solução. 
(a) Considere o esquema simplificado da Fig. 31 abaixo: 
 
Equações de Kirchhoff. 
Malha A: 
 
1 1 1 2 2 2 1 1 0R i R i R i
 
 
1 2 1 1 2 22 0R i R i
 (1) 
Malha B: 
 
3 1 3 2 2 2 1 3 0R i R i R i
 
 
3 2 1 3 2 22 0R i R i
 (2) 
Nó a: 
 
1 2 3i i i
 (3) 
Substituindo-se (3) em (1): 
 
1 2 1 2 1 3 2 22 2 0R i R i R i
 (4) 
(2) + (4): 
 
1 2 3 1 2 22 2 0R R i
 
 
1 2 3
2
1 2
2
2
i
R R
 (5) 
 
2
(2,00 V) 2(3,80 V) (5,00 V)
0,085714 A
2 (1,20 ) (2,30 )
i
 
 
2 85,7 mAi
 
Logo, a corrente i2 tem o sentido para cima. 
Substituindo-se (5) em (2): 
i1
i2
i3
A B
a
b
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2 1 3 1 1 2 3 2
3
1 1 2
2 2
4
R R R R
i
R R R
 (6) 
 
3 0,582 Ai
 
Logo, a corrente i3 tem o sentido para cima. 
Substituindo-se (6) em (5): 
 
1 1 2 1 1 2 3 2
1
1 1 2
2 2
4
R R R R
i
R R R
 
 
1 0,668 Ai
 
Logo, a corrente i1 tem o sentido para baixo. 
(b) Contabilidade de ganhos e perdas de potencial elétrico no caminho ab, considerando-se o 
sentido correto da corrente i2 (para cima): 
 
2 2 2b aV R i V
 
 
2 2 2b aV V R i
 
 
(2,30 )(0,668 A) (3,80 V) 3,60285 Vb aV V
 
 
3,60 Vb aV V
 
 
46. A resistência variável da Fig. 36 pode ser ajustada de modo que os pontos a e b tenham 
exatamente o mesmo potencial. (Verificaremos essa situação ligando momentaneamente um 
medidor sensível entre os pontos a e b. Não havendo diferença de potencial, não haverá 
deslocamento no ponteiro do medidor.) Mostre que, após essa ajustagem, a seguinte relação 
torna-se verdadeira: 
 
 
2
1
X S
R
R R
R
, 
 
A resistência (Rx) de um resistor pode ser medidapor este processo (chamado de Ponte de 
Wheatstone), em função das resistências (R1, R2 e R3) de outros resistores calibrados 
anteriormente. 
 
 (Pág. 130) 
Solução. 
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Considere o esquema abaixo: 
 
Contabilidade de ganhos e perdas de potencial elétrico no caminho adb: 
 
1 1 2a S b aV R i R i V V
 
 
1 1 2SR i R i
 (1) 
Contabilidade de ganhos e perdas de potencial elétrico no caminho acb: 
 
2 1 2a X b aV R i R i V V
 
 
2 1 2XR i R i
 (2) 
Dividindo-se (1) por (2): 
 
1
2
S
X
RR
R R
 
 
2
1
X S
R
R R
R
 
 
47. Mostre que se os pontos a e b da Fig. 36 forem ligados por um fio de resistência r este será 
percorrido por uma corrente igual a 
 
2 2
s x
s x s x
R R
i
R r R R R R
, 
onde fizemos R1 = R2 = R,R0 = 0, e é o valor da fem da bateria. Esta fórmula é consistente com 
o resultado do problema 46? 
 
 (Pág. 130) 
i1
i0
i2
a
c d
b
R R
RxRs
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Solução. 
Considere o esquema abaixo: 
 
Equações de Kirchhoff. 
Nó a: 
 
2 3 6i i i
 
Nó b: 
 
5 4 6i i i
 
Nó c: 
 
1 2 4i i i
 
Malha A: 
 
5 4 52 0xR i R i
 
Malha B: 
 
2 6 5 4 0Ri ri R i
 
Malha C: 
 
3 5 6 0xRi R i ri
 
As equações acima formam um sistema com seis incógnitas. A solução é laboriosa e tem o seguinte 
resultado: 
 
1
2
2 2
s x s x
s x s x
R R R R r R R R
i
R R R r R R R
 
 
2
2 2
s x s x
s x s x
R R R r R R
i
R R R r R R R
 
 
3
2 2
s s x
s x s x
rR r R R R
i
R R R r R R R
 
 
4
2
2 2
x
s x s x
r R R
i
R R r R R R
 
 
5
2
2 2
s
s x s x
r R R
i
R R r R R R
 
 
6
2 2
s x
s x s x
R R
i
R R r R R R
 
i2
i1
i3
i5i4
i6
B C
A
a
c d
b
R R
RxRs
r
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A corrente que passa por r é i6. Logo, a demonstração está completa. 
 
48. Num circuito RC série, 1 = 11,0 V, R = 1,42 M e C = 1,80 F. (a) Calcule a constante de 
tempo. (b) Ache a carga máxima que se acumulará no capacitor. (c) Quanto tempo é necessário 
para a carga no capacitor atingir 15,5 C? 
 (Pág. 130) 
Solução. 
O circuito RC série está esquematizado a seguir: 
 
(a) A constante de tempo é dada por: 
 
6 61,42 10 1,80 10 F 2,556 sRC
 
 
2,56 s
 
(b) A carga que o capacitor recebe neste circuito é função do tempo e é dada por: 
 
1
t
RCq C e
 
A carga máxima qmáx é obtida quando o tempo é muito grande ou infinito. 
 
6 5
má x 1 1 0 1,80 10 F 11,0 V 1,98 10 C
RCq C e C C
 
 
má x 19,8 Cq
 
(c) 
 
1
t t
RC RCq C e C C e
 
 
1
t
RC
q
e
C
 
 
1
t
RC
q
e
C
 
 
ln 1
t q
RC C
 
 
ln 1
q
t RC
C
 
 6
6 6
6
15,5 10 C
1,42 10 1,80 10 F ln 1 1,9031 s
1,80 10 F 11,0 V
t
 
 
1,90 st
 
 
R
i C
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51. Um capacitor é descarregado, através de um circuito RC, fechando-se a chave no instante t = 0. 
A diferença de potencial inicial através do capacitor é igual a 100 V. Se a diferença de potencial 
baixou para 1,06 V após 10,0 s, (a) qual é a constante de tempo do circuito? (b) Qual será a 
diferença de potencial no instante t = 17 s? 
 (Pág. 130) 
Solução. 
Considere o esquema abaixo: 
 
(a) Equação de descarga do circuito RC, onde q(t) é a carga elétrica nas placas do capacitor em 
função do tempo e q0 é a carga inicial nas placas: 
 
/
( ) 0
t RC
tq q e
 (1) 
Diferença de potencial nas placas do capacitor em função do tempo: 
 
( )
( )
t
t
q
V
C
 (2) 
Substituindo-se (2) em (1): 
 
/0
( )
t RC
t
q
V e
C
 
 
/
( ) 0
t RC
tV V e
 (3) 
 
( ) /
0
t t RC
V
e
V
 
 
( )
0
ln
tV t
V RC
 
 
( )
0
ln
t
t
RC
V
V
 
 (10,0 s)
2,1993 s
1,06 V
ln
100 V
RC
 
 
2,20 RC s
 
(b) Partindo-se de (3): 
 
/
( ) 0
t RC
tV V e
 
 
(17 s) /(2,1993 s)
(17 s) 0(100 V) 0,043956 VV e
 
 
(17 s) 0,0440 VV
 
 
53. A Fig. 37 mostra o circuito de uma lâmpada de sinalização, como aquelas colocadas em obras 
nas estradas. A lâmpada fluorescente L é ligada em paralelo ao capacitor C de um circuito RC. 
A lâmpada é percorrida por uma corrente somente quando a diferença de potencial entre seus 
C R
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terminais atinge um valor mínimo VL, necessário para ionizar o elemento químico dentro da 
lâmpada, em geral mercúrio; quando isto acontece, o capacitor descarrega através da lâmpada e 
ela brilha durante um tempo muito pequeno. Suponha que desejamos que a lâmpada brilhe duas 
vezes por segundo. Usando uma lâmpada com voltagem mínima de partida VL = 72 V, uma 
bateria de 95 V e um capacitor de 0,15 F, qual deve ser a resistência R do resistor? 
 
 (Pág. 130) 
Solução. 
A lâmpada e o capacitor estão sujeitos à mesma diferença de potencial. Isto significa que o tempo 
que a lâmpada leva para atingir o potencial VL é igual ao tempo que o capacitor leva para atingir o 
mesmo potencial. Para que a lâmpada pisque duas vezes por segundo é necessário que o potencial 
VL seja alcançado duas vezes a cada segundo, ou seja, VL deve ser alcançado num tempo tL = 0,50 s. 
A dependência do potencial do capacitor em relação ao tempo é dada pela seguinte relação: 
 
/
( ) 1
t RC
tV e
 
 
/
1 L
t RC
LV e
 
 
/
1L
t RC LVe
 
 
ln 1L L
t V
RC
 
 
6
6
0,50 s
2,35009
72 V
ln 1 0,15 F ln 1
95 V
L
L
t
R
V
C
 
 
2,35 MR
 
 
54. Um capacitor de 1,0 F tem uma energia igual a 0,50 J armazenada. Ele então descarrega 
através de um resistor de 1,0 M . (a) Qual é a carga inicial do capacitor? (b) Qual a corrente 
que percorre o resistor no início da descarga? (c) Determine VC, a voltagem nos terminais do 
capacitor, e VR, a voltagem nos terminais do resistor, como funções do tempo. (d) Expresse a 
taxa de geração de energia interna (potência dissipada) no resistor como função do tempo. 
 (Pág. 131) 
Solução. 
(a) A energiapotencial elétrica U0 de um capacitor de capacitância C carregado com carga q0 é dada 
por: 
 2
0
0
2
q
U
C
 
Logo: 
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6 3
0 02 2 0,50 J 1,0 10 F 1,0 10 Cq U C
 
 
0 1,0 mCq
 
(b) Embora a corrente gerada na descarga de um capacitor através de um resistor dependa do tempo, 
de acordo com a relação: 
 
( )
t
RC
ti e
R
, (1) 
no instante t0 = 0, a corrente não depende do tempo, uma vez que o termo exponencial resulta em 1. 
Logo: 
 
0i
R
 (2) 
A fem pode ser obtida a partir da energia potencial inicial U0. 
 
2
0
1
2
U C
 
 
02U
C
 (3) 
Substituindo-se (3) em (2): 
 
30
0 6 6
2 0,50 J21 1
1,0 10 A
1,0 10 1,0 10 F
U
i
R C
 
 
0 1,0 mAi
 
(c) A carga nas placas de um capacitor C que descarrega através de um resistor R, em função do 
tempo é dada por: 
 
( ) 0
t
RC
tq q e
 
A diferença de potencial no capacitor vale: 
 
( )
( )
t
t
q
V
C
 
Logo: 
 6 63 1,0 10 1,0 10 F
0
( ) 6
1,0 10 C
1,0 10 F
t
t
RC
t
q
V e e
C
 
 
30
( ) 1,0 10 V
t
tRC
t
q
V e e
C
 
 
310 tCV e
 
A diferença de potencial do capacitor e do resistor está relacionada por: 
 
C RV V
 
Isto se deve ao fato de os terminais do capacitor estarem ligados diretamente aos terminais do 
capacitor e, seguindo o sentido da corrente, enquanto o potencial aumenta no capacitor ele diminui 
no resistor (veja esquema a seguir). 
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22 
 
Logo: 
 
310 tRV e
 (4) 
(d) A potência PR dissipada no resistor também é função do tempo, pois depende da corrente i que 
atravessa o resistor e da diferença de potencial V nos terminais do resistor; tanto i como V 
dependem do tempo. 
 
( )R t RP i V
 (5) 
A corrente no resistor é dada pela Eq. (1), lembrando que, neste problema, RC = 1: 
 
30 0
( ) 0 1,0 10 A
t t t
tRC RC RC
t
V q
i i e e e e
R RC
 (6) 
Substituindo-se (4) e (6) em (5): 
 
3 310 10t tRP e e
 
 
2t
RP e
 
 
58. Um capacitor inicialmente descarregado C é completamente carregado por uma fem constante 
em série com um resistor R. (a) Mostre que a energia final armazenada no capacitor é metade da 
energia fornecida pela fonte de fem. (b) Mostre, por integração direta de i
2
R de 0 a t, onde t é o 
tempo necessário para o capacitor ficar totalmente carregado, que a energia dissipada pelo 
resistor é, também, metade da energia fornecida pela fonte de fem. 
 (Pág. 131) 
Solução. 
(a) A energia total fornecida pela fonte de fem é definida em termos do trabalho realizado pela fonte 
sobre os portadores de carga: 
 
dW
dq
 
 
dW dq CdV
 
 
0 0
W CdV C dV
 
 
2W C
 
A energia acumulada no capacitor, na forma de energia potencial elétrica, é dada por: 
 2 2
2 2
q C
U
C
 
Como U é igual à metade de W, está demonstrado que a energia acumulada no capacitor equivale à 
metade da energia gasta pela fonte de fem. 
(b) No processo de carga de um capacitor temos: 
R
i C
Potencial diminue
no sentido da corrente
Potencial aumenta
no sentido da corrente
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23 
 t
RC
dq
i e
dt R
 (1) 
A potência dissipada pelo resistor vale: 
 
2dUP i R
dt
 (2) 
Substituindo-se (1) em (2): 
 2 22 2
2
t t
RC RC
dU
e R e
dt R R
 
 22 t
RCdU e dt
R
 
 22
0 0
t
U
RCdU e dt
R
 
A integração no tempo deve ser até um tempo infinito, pois somente após um tempo muito longo o 
capacitor ficará plenamente carregado. 
 22 2
0
0 1
2 2
t
RC
RC C
U e
R
 
 2
2
C
U