585Z ATIVIDADES PRATICAS SUPERVIS

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UNIVERSIDADE PAULISTA 
 
 
Bruno Wilker de Lima Martinez RA:C36479-7 
 Carvilson Silva RA: B965983 
Matheus Santos Barros RA: C7509B-0 
 Reinaldo da Silva Rodrigues RA: T2186G-0 
 Wagner Marques dos Santos RA:C742EI-2 
 
 
 
 ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 
 
“FILOSOFIA, MATEMÁTICA, FÍSICA E O 
PENSAMENTO CIENTÍFICO” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 SANTOS / 2020 
“FILOSOFIA, MATEMÁTICA, FÍSICA E O 
PENSAMENTO CIENTÍFICO” 
 
 
Trabalho considerado como Atividade 
Prática Supervisionada na graduação 
em (Engenharia Civil 10° Semestre – 
EC0P41) à Universidade Paulista – 
UNIP. Campos – Rangel Pestana. 
 
Aprovado em: 
 
BANCA EXAMINADORA 
 
_____________________________________________/___/__ 
Prof. 
Universidade Paulista- UNIP 
____________________________________________/___/___ 
Profa. 
Universidade Paulista- UNIP 
 
____________________________________________/___/___ 
Prof. Universidade Paulista- UNIP 
 
 
 
 SANTOS /2020 
 
 
RESUMO 
O trabalho fala a respeito de três pessoas que tiveram sua devida importância na 
humanidade que são o filósofo Karl Marx, o matemático Leonhard Euler e o físico 
Werner Karl Heisenberg que acabaram se tornando pessoas relevantes por 
desenvolver pensamentos e estudos jamais vistos. Muitos pensamentos e pesquisas 
que vemos nos dias de hoje são frutos de estudos desenvolvidos no passado que 
foram aperfeiçoados ao longo dos anos. Muitos sociólogos, intelectuais, filósofos 
atuais colocam Marx como uma das pessoas mais influentes da humanidade seus 
pensamentos influenciaram e ainda influencia diversos governos pelo mundo. 
Leonhard Euler considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos, 
tendo desenvolvidos seu apreço pelos números desde muito jovem. Karl Heisenberg 
desde muito cedo disposto a desbancar a física clássica revelando os conceitos da 
física quântica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Palavras-chave: Marx, Euler, Heisenberg 
ABSTRACT 
The paper talks about three people who have had their due importance in mankind: 
the philosopher Karl Marx, the mathematician Leonhard Euler, and the physicist 
Werner Karl Heisenberg who have become relevant people for developing thoughts 
and studies never seen before. Many thoughts and researches we see these days 
are fruits of studies developed in the past that have been perfected over the years. 
Many sociologists, intellectuals, current philosophers place Marx as one of 
humanity's most influential people whose thoughts influenced and still influence 
various governments around the world. Leonhard Euler considered one of the 
greatest mathematicians of all time, having developed his appreciation for the 
numbers from very young. Karl Heisenberg from a very early disposition to displace 
classical physics revealing the concepts of quantum physics. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Keywords: Marx, Euler, Heisenberg 
 
SUMÁRIO 
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 6 
2. FILÓSOFO KARL MARX ..................................................................................................................... 7 
2.1 Biografia ........................................................................................................................................ 7 
2.1.1Influências ............................................................................................................................. 11 
2.1.2 Crítica ao Capitalismo ........................................................................................................... 11 
2.1.3 Socialismo Científico ............................................................................................................. 11 
2.1.4 Influência do Filósofo idealista ............................................................................................. 12 
2.1.5 Influência do Socialismo Utópico ......................................................................................... 13 
2.1.6 Influência na Economia Política Clássica .............................................................................. 14 
2.17 Marxismo ............................................................................................................................... 15 
2.2 Teorias e Obras ............................................................................................................................ 15 
2.2.1Frases do Karl Marx ............................................................................................................... 16 
3. MATEMÁTICO LEONHARD EULER ................................................................................................. 17 
3.1 Biografia ...................................................................................................................................... 17 
3.2 Ideias e Teorias de Leonhard Euler ............................................................................................. 20 
3.2.1 Teoria dos números .............................................................................................................. 21 
3.2.2 Teoria dos grafos .................................................................................................................. 22 
3.2.3 Matemática aplicada ............................................................................................................ 22 
3.2.4 Ângulos de Euler ................................................................................................................... 23 
3.3 Principais obras de Euler nesta área: .......................................................................................... 23 
3.3.1 Euler e d'Alembert ................................................................................................................ 24 
3.3.2 Euler e Fermat ...................................................................................................................... 25 
4. FÍSICO WERNER KARL HEISENBERG ............................................................................................... 25 
4.1 Biografia ...................................................................................................................................... 25 
4.2 Ideias e Teorias de Heisenberg .................................................................................................... 27 
4.2.1 O Princípio da Incerteza ....................................................................................................... 27 
5. IMPACTOS PRODUZIDOS, PELAS PROPOSTAS DOS PERSONAGENS ESCOLHIDAS NA SOCIEDADE 
DE SUA ÉPOCA E NOS TEMPOS ATUAIS. ............................................................................................... 30 
6. CONCLUSÃO .................................................................................................................................. 32 
7. REFERÊNCIAS ................................................................................................................................. 33 
8. ANEXO .............................................................................................................................................. 34 
8.1 Análise da função Princípio da Incerteza .................................................................................... 34 
6 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Analisando a história conseguimos perceber o quanto diversas pessoas foram 
importantes no decorrer dos anos, tudo que temos hoje parte do pressuposto da 
iniciação de alguém no passado, muitas vezes bem distante. Com isso o trabalho 
retrata a históriade três personagens que foram ícones na história da humanidade 
por desenvolver pensamentos, estudos e pesquisas que servem de base para nós 
até os dias de hoje. A filosofia sempre disposta a desenvolver seu pensamento 
crítico sobre determinadas situações que faz o ser humano pensar e refletir qual o 
melhor modelo de se viver em sociedade e consequentemente respeitando o direito 
do outro. 
Karl Marx desenvolveu sua teoria sobre a sociedade, a economia e a política 
muito famosa e conhecida como o marxismo que sustenta que as sociedades 
humanas progridem através da luta de classes e que o estado foi criado para 
proteger os interesses da classe dominante. 
Leonhard Euler foi um importante matemático tendo encontrado sua vocação 
desde muito jovem desenvolvendo diversos trabalhos que o possibilitou até a ganhar 
o prêmio Nobel duas vezes. Euler aprimorou os conhecimentos da época sobre 
cálculo integral, desenvolveu a teoria das funções trigonométrica e logarítmica e 
simplificou as operações relacionadas à análise matemática. Sua contribuição para a 
geometria analítica e para a trigonometria é comparável à de Euclides para a 
geometria plana. 
Werner Karl Heisenberg físico que desde o início da sua carreira seu principal 
objetivo era derrubar as teses colocadas pela física clássica apresentado as teorias 
da física quântica. Heisenberg se concentrou na pesquisa sobre a teoria das 
partículas elementares, fez descobertas sobre a estrutura do núcleo atômico, da 
hidrodinâmica das turbulências, dos raios cósmicos e do termomagnetismo. Sua 
principal obra é conhecida como o Princípio da Incerteza ou “Princípio de 
Heisenberg” o qual é impossível medir simultaneamente e com precisão absoluta a 
posição e a velocidade de uma partícula. 
 
7 
 
2. FILÓSOFO KARL MARX 
2.1 Biografia 
Karl Marx (Tréveris, 5 de maio de 1818 — Londres, 14 de março de 1883) foi 
um filósofo, sociólogo, historiador, economista, jornalista e revolucionário socialista. 
Nascido na Prússia, mais tarde se tornou apátrida e passou grande parte de sua 
vida em Londres, no Reino Unido. A obra de Marx em economia estabeleceu a base 
para muito do entendimento atual sobre o trabalho. Publicou vários livros durante 
sua vida, sendo O Manifesto Comunista (1848) e O Capital (1867-1894) os mais 
proeminentes. 
Marx nasceu numa família de classe média em Tréveris, na Renânia 
prussiana, e estudou nas universidades de Bonn e Berlim, onde se interessou pelas 
ideias filosóficas dos jovens hegelianos. Depois dos estudos, escreveu para o 
Rheinische Zeitung, um jornal radical publicado em Colônia, e começou a trabalhar 
na teoria da concepção materialista da história. Em 1843, mudou-se para Paris, 
onde começou a escrever para outros jornais radicais e conheceu Friedrich Engels, 
que se tornaria seu amigo de longa data e colaborador. Em 1849, foi exilado e se 
mudou para Londres juntamente a sua esposa e filhos, onde continuou a escrever e 
formular suas teorias sobre a atividade econômica e social. Também fez campanha 
para o socialismo e tornou-se uma figura significativa na Associação Internacional 
dos Trabalhadores. 
As teorias de Marx sobre a sociedade, a economia e a política — a 
compreensão coletiva do que é conhecido como o marxismo — sustentam que as 
sociedades humanas progridem através da luta de classes (um conflito entre uma 
classe social que controla os meios de produção e a classe trabalhadora, que 
fornece a mão de obra para a produção) e que o Estado foi criado para proteger os 
interesses da classe dominante, embora seja apresentado como um instrumento que 
representa o interesse comum de todos. Além disso, ele previu que, assim como os 
sistemas socioeconômicos anteriores, o capitalismo produziria tensões internas que 
conduziriam à sua autodestruição e substituição por um novo sistema: o socialismo. 
Ele argumentava que os antagonismos no sistema capitalista, entre a burguesia e o 
proletariado, seriam consequências de uma guerra perpétua entre a primeira e as 
demais classes ao longo da história. Isto, associado à sociedade industrial e ao 
acúmulo de capital, geraria a sua classe antagônica, que resultaria na "conquista do 
8 
 
poder político pela classe operária e, eventualmente, no estabelecimento de uma 
sociedade sem classes e apátrida — o comunismo — regida por uma livre 
associação de produtores. Marx ativamente argumentava que a classe trabalhadora 
deveria realizar uma ação revolucionária organizada para derrubar o capitalismo e 
provocar mudanças socioeconômicas. 
Elogiado e criticado, Marx tem sido descrito como uma das figuras mais 
influentes na história da humanidade. Muitos intelectuais, sindicatos e partidos 
políticos em nível mundial foram influenciados por suas ideias, com muitas variações 
sobre o seu trabalho base. Marx é normalmente citado, ao lado de Émile Durkheim e 
Max Weber, como um dos três principais arquitetos da ciência social moderna. 
Marx foi o terceiro de nove filhos, de uma família de origem judaica de classe 
média da cidade de Tréveris, na época no Reino da Prússia. Sua mãe, Henriette 
Pressburg (1788–1863), era judia holandesa e seu pai, Herschel Marx (1777–1838), 
um advogado e conselheiro de Justiça. Herschel descende de uma família de 
rabinos, mas se converteu ao cristianismo luterano em função das restrições 
impostas à presença de membros de etnia judaica no serviço público, quando Marx 
ainda tinha 6 anos de idade. Seus irmãos eram Sophie (1816–1886), Hermann 
(1819–1842), Henriette (1820–1845), Louise (1821–1893), Emilie (1824–1888 — 
adotada por seus pais), Caroline (1824–1847) e Eduard (1826–1837). 
Em 1830, Marx iniciou seus estudos no Liceu Friedrich Wilhelm, em Tréveris, 
ano em que eclodiram revoluções em diversos países europeus. Ingressou mais 
tarde na Universidade de Bonn para estudar Direito, transferindo-se no ano seguinte 
para a Universidade de Berlim, onde o filósofo alemão Georg Wilhelm Friedrich 
Hegel, cuja obra exerceu grande influência sobre Marx, foi professor e reitor. Em 
Berlim, Marx ingressou no Clube dos Doutores, que era liderado pelo hegeliano de 
esquerda Bruno Bauer. Ali perdeu interesse pelo Direito e se voltou para a Filosofia, 
tendo participado ativamente do movimento dos hegelianos de esquerda ou Jovens 
Hegelianos. Seu pai faleceu naquele mesmo ano. Em 1841, obteve o título de doutor 
em Filosofia com uma tese sobre as Diferenças da filosofia da natureza em 
Demócrito e Epicuro. Impedido de seguir uma carreira acadêmica, tornou-se, em 
1842, redator-chefe da Gazeta Renana (Rheinische Zeitung), um jornal da província 
de Colônia. Conheceu Friedrich Engels naquele mesmo ano, durante visitação deste 
à redação do jornal. 
9 
 
Em 1843, a Gazeta Renana foi fechada após publicar uma série de ataques 
ao governo prussiano. Tendo perdido o seu emprego de redator-chefe, Marx mudou-
se para Paris. Lá assumiu a direção da publicação Deutsch-Französische 
Jahrbücher ('Anais Franco-Alemães') e foi apresentado a diversas sociedades 
secretas de socialistas. Antes ainda da sua mudança para Paris, Marx casou-se, no 
dia 19 de junho de 1843, com Jenny von Westphalen, a filha de um barão da Prússia 
com a qual mantinha noivado desde o início dos seus estudos universitários. 
(Noivado que foi mantido em sigilo durante anos, pois as famílias Marx e 
Westphalen não concordavam com a união.) 
Do casamento de Marx com Jenny von Westphalen, nasceram sete filhos, 
mas devido às más condições de vida que foram forçados a viver em Londres, 
apenas três sobreviveram à idade adulta. As crianças eram: Jenny Caroline (1844-
1883), Jenny Laura (1845-1911), Edgar (1847-1855), Henry Edward Guy ("Guido"; 
1849-1850), Jenny Eveline Frances ("Franziska"; 1851-52), Jenny Julia Eleanor 
(1855-1898) e mais um que morreu antes de ser nomeado (Julho, 1857). Ao que 
consta, Franziska, Edgar e Guido morreram na infância, provavelmente pelas 
péssimascondições material a que a família estava submetida, duas das filhas de 
Marx cometeram suicídio: Eleanor, 15 anos após a morte de Marx, aos 43 anos, 
após descobrir que seu companheiro havia se casado secretamente com uma atriz 
bem mais jovem, mas há quem suspeite que ele, na verdade, assassinou-a; e Laura, 
28 anos após a morte de Marx, aos 66 anos, junto com o seu marido, Paul Lafargue, 
por não querer viver na velhice. Marx também teve um filho, Frederick Demuth 
(1851-1929), nascido de sua relação amorosa com a militante socialista e 
empregado da família Marx, Helena Demuth. Solicitado por Marx, Engels assumiu a 
paternidade da criança, e pagando uma pensão, entregou-o a uma família de um 
bairro proletário de Londres. 
No tratamento pessoal — Leandro Konder ressalta — Marx foi produto de seu 
tempo: "Antes de poder contestar a sociedade capitalista Marx pertencia a ela, 
estava espiritualmente mais enraizado no solo da sua cultura do que admitiria, e que 
diante dos padrões da Inglaterra vitoriana mostrou: traços típicos das limitações de 
seu tempo". Como moças aristocráticas, suas filhas tinham aulas de piano, canto e 
desenho, mesmo que não tivessem desenvoltura para tais atividades artísticas. 
Também em 1843, Marx conheceu a Liga dos Justos (que mais tarde tornar-
se-ia Liga dos Comunistas). Em 1844, Friedrich Engels visitou Marx em Paris por 
10 
 
alguns dias. A amizade e o trabalho conjunto entre ambos, que se iniciou nesse 
período, só seriam interrompidos com a morte de Marx. Na mesma época, Marx 
também se encontrou com Proudhon, com quem teve discussões polêmicas e 
muitas divergências. E conheceu rapidamente Bakunin, então refugiado do czarismo 
russo e militante socialista. No seu período em Paris, Marx intensificou os seus 
estudos sobre economia política, os socialistas utópicos franceses e a história da 
França, produzindo reflexões que resultaram nos Manuscritos de Paris, mais 
conhecidos como Manuscritos Econômico-Filosóficos. De acordo com Engels, foi 
nesse período que Marx aderiu às ideias socialistas. 
De Paris, Marx ajudou a editar uma publicação de pequena circulação 
chamada Vorwärts!, que contestava o regime político alemão da época. Por conta 
disto, Marx foi expulso da França em 1845 a pedido do governo prussiano. Migrou 
então para Bruxelas, para onde Engels também viajou. Entre outros escritos, a dupla 
redigiu na Bélgica o Manifesto comunista. Em 1848, Marx foi expulso de Bruxelas 
pelo governo belga. Junto com Engels, mudou-se para Colônia, onde fundam o 
jornal Nova Gazeta Renana. Após ataques às autoridades locais publicados no 
jornal, Marx foi expulso de Colônia em 1849. Até 1848, Marx viveu confortavelmente 
com a renda oriunda de seus trabalhos, seu salário e presentes de amigos e aliados, 
além da herança legada por seu pai. Entretanto, em 1849 Marx e sua família 
enfrentaram grave crise financeira; após superarem dificuldades conseguiram 
chegar a Paris, mas o governo francês proibiu-os de fixar residência em seu 
território. Graças, então, a uma campanha de arrecadação de donativos promovida 
por Ferdinand Lassalle na Alemanha, Marx e família conseguem migrar para 
Londres, onde fixaram residência definitiva. Trabalhou como correspondente em 
Londres para o New York Tribune onde declarou seu apoio público o governo de 
Abraham Lincoln durante a Guerra da Secessão. 
Deprimido pela morte de sua esposa em dezembro de 1881, Marx 
desenvolveu, em consequência dos problemas de saúde que suportou ao longo de 
toda a vida, bronquite e pleurisia, que causaram seu falecimento em 1883. Foi 
enterrado na condição de apátrida, no Cemitério de Highgate, em Londres. 
Em 1954, o Partido Comunista Britânico construiu uma lápide com o busto de 
Marx sobre sua tumba, até então de decoração muito simples. Na lápide, estão 
inscritos o parágrafo final do Manifesto Comunista ("Proletários de todos os países, 
11 
 
uni-vos!") e um trecho extraído das Teses sobre Feuerbach: "Os filósofos apenas 
interpretaram o mundo de várias maneiras, enquanto que o objetivo é mudá-lo." 
2.1.1Influências 
 
Algumas das principais leituras e estudos feitos por Marx são: 
 
 A filosofia alemã de Kant, Hegel e dos neo-hegelianos (como Ludwig 
Feuerbach e Moses Hess); 
 O socialismo utópico (representado por Saint-Simon, Robert Owen, Louis 
Blanc e Proudhon); 
 A economia política clássica britânica (representada por Adam Smith, David 
Ricardo e outros). 
 
Ele estudou profundamente todas essas concepções ao mesmo tempo em 
que as questionou e desenvolveu novos temas, de modo a produzir uma profunda 
reorientação no debate intelectual europeu. 
2.1.2 Crítica ao Capitalismo 
 
Para Marx, as condições econômicas e a luta de classes são agentes 
transformadores da sociedade. 
A classe dominante nunca deseja que a situação mude, pois se encontra em 
uma situação muito confortável. Já os desfavorecidos têm que lutar pelos seus 
direitos e esta luta é que moveria a História, segundo Marx. 
Marx pensava que o triunfo do proletariado faria surgir uma sociedade sem 
classes. Isto seria alcançado pela união da classe trabalhadora organizada em torno 
de um partido revolucionário. 
Também defende a “mais valia” quando explica que o lucro do patrão é obtido 
a partir da exploração da mão de obra do trabalhador. 
2.1.3 Socialismo Científico 
Ao elaborar uma teoria sobre as desigualdades sociais e propor uma forma 
para superá-las, Marx criou o que se denominou: "socialismo científico". 
12 
 
Contra a ordem capitalista e a sociedade burguesa, Marx considerava 
inevitável a ação política do operariado, a revolução socialista, que faria surgir uma 
nova sociedade. 
De início, seria instalado o controle do Estado pela ditadura do proletariado e 
a socialização dos meios de produção, eliminando a propriedade privada. 
Na etapa seguinte, a meta seria o comunismo, que representaria o fim de 
todas as desigualdades sociais e econômicas, incluindo a dissolução do próprio 
Estado. 
Em 1864, a fim de conjugar esforços, funda-se a "Associação Internacional 
dos Trabalhadores", em Londres, que ficou conhecida posteriormente como a 
Primeira Internacional. 
A entidade expandiu-se por toda a Europa, cresceu muito e acabou dividida, 
depois de um longo processo de dissidências internas. Em 1876, ele foi oficialmente 
dissolvida. 
2.1.4 Influência do Filósofo idealista 
 
Hegel foi professor da Universidade de Jena, a mesma instituição onde Marx 
cursou o doutorado. E, em Berlim, Marx teve contato prolongado com as ideias dos 
Jovens Hegelianos (também chamados de "hegelianos de esquerda"). Os dois 
principais aspectos do sistema de Hegel que influenciaram Marx foram sua filosofia 
da história e sua concepção dialética. 
Para Hegel, nada no mundo é estático, tudo está em constante processo 
(vira-se); tudo é histórico, portanto. O sujeito desse mundo em movimento é o 
Espírito do Mundo (também chamado de Super alma ou Consciência Absoluta), que 
representa a consciência humana geral, comum a todos indivíduos e manifesta na 
ideia de Deus. A historicidade é concebida enquanto história do progresso da 
consciência da liberdade. As formas concretas de organização social correspondem 
a imperativos ditados pela consciência humana, ou seja, a realidade é determinada 
pelas ideias dos homens, que concebem novas ideias de como deve ser a vida 
social em função do conflito entre as ideias de liberdade e as ideias de coerção 
ligadas a condição natural ("selvagem") do homem. O homem se liberta 
progressivamente de sua condição de existência natural através de um processo de 
13 
 
"espiritualização" – reflexão filosófica (ao nível do pensamento, portanto) que conduz 
o homem a perceber quem é o real sujeito da história. 
Marx considerou-se um "hegeliano de esquerda" durante certo tempo, mas 
rompeu com o grupo e efetuou uma revisão bastante crítica dos conceitos de Hegel 
após tomarcontato com as concepções de Ludwig Feuerbach. Manteve o 
entendimento da história enquanto progressão dialética (ou seja, o mundo está em 
processo graças ao choque permanente entre os opostos; não é estático), mas 
eliminou o Espírito do Mundo enquanto sujeito ou essência, porque passou a 
compreender que a origem da realidade social não reside nas ideias, na consciência 
que os homens têm dela, mas sim na ação concreta (material, portanto) dos 
homens, portanto no trabalho humano. A existência material precede qualquer 
pensamento; inexiste possibilidade de pensamento sem existência concreta. Marx 
inverte, então, a dialética hegeliana, porque coloca a materialidade – e não as ideias 
– na gênese do movimento histórico que constitui o mundo. Elabora assim a e um 
conceito não desenvolvido por Marx que também costuma ser chamado de 
materialismo dialético). 
A mistificação por que passa a dialética nas mãos de Hegel não o impede de 
ser o primeiro a apresentar suas formas gerais de movimento, de maneira ampla e 
consciente. Em Hegel, a dialética está de cabeça para baixo. É necessária pô-la de 
cabeça para cima, a fim de descobrir a substância racional dentro do invólucro 
místico. 
— Karl Marx, em O Capital 
A respeito da influência de Hegel sobre Marx, escreveu Lenin que "é 
completamente impossível entender O Capital de Marx, e, em especial, seu primeiro 
capítulo, sem haver estudado e compreendido a fundo toda a lógica de Hegel." 
2.1.5 Influência do Socialismo Utópico 
 
À época de Marx, "socialismo utópico" designava um conjunto de doutrinas 
diversas (e até antagônicas entre si) que tinham em comum, entretanto, duas 
características básicas: (1) a base determinante do comportamento humano residia 
na esfera moral/ideologia e (2) o desenvolvimento das civilizações ocidentais estava 
a permitir uma nova era onde iria imperar a harmonia social. 
14 
 
Marx criticou sagazmente as ideias dos socialistas utópicos (principalmente 
dos franceses, com os quais mais polemizou), acusando-os de muito romantismo 
ingênuo e pouca ou nenhuma dedicação ao estudo rigoroso da conjuntura social, 
pois os socialistas utópicos muito diziam sobre como deveria ser a sociedade 
harmônica ideal, mas nada indicavam sobre como seria possível alcançá-la 
plenamente. Além de criticar o socialismo utópico, ele também criticou o socialismo 
pequeno burguês, o "socialismo feudal" reacionário e o "socialismo conservador". 
Por outro lado, pode-se dizer que, de certa forma, Marx adotou – explícita ou 
implicitamente – algumas noções contidas nas ideias de alguns dos socialistas 
utópicos, como a noção de que o aumento da capacidade de produção decorrente 
da revolução industrial permite condições materiais mais confortáveis à vida humana 
ou ainda a noção de que as crenças ideológicas do sujeito lhe determinam o 
comportamento. É importante destacar uma diferença primordial: para os socialistas 
utópicos em geral, todo o comportamento humano é absolutamente determinado 
pela moral/ideologia, já para Marx, essa afirmação é parcialmente verdadeira, pois a 
moral/ideologia encontra-se submetida a uma outra condição anterior que lhe 
determina – a dimensão material da reprodução da existência. 
2.1.6 Influência na Economia Política Clássica 
 
Marx empreendeu um minucioso estudo de grande parte da teoria econômica 
ocidental, desde escritos da Grécia antiga até obras que lhe eram contemporâneas. 
As contribuições que julgou mais fecundas foram as elaboradas por dois 
economistas políticos britânicos: Adam Smith e David Ricardo (tendo predileção 
especial por Ricardo, a quem chamava de "o maior dos economistas clássicos"). Na 
obra deste último, Marx encontrou conceitos – então bastante utilizados no debate 
britânico – que, após fecunda revisão e reelaboração, adotou em definitivo, como os 
de valor, divisão social do trabalho, acumulação primitiva e mais-valia. A avaliação 
do grau de influência da obra de Ricardo sobre Marx é bastante desigual. Estudiosos 
pertencentes à tradição neo-ricardiana tendem a considerar que existem poucas 
diferenças cruciais entre o pensamento econômico de um e outro; já estudiosos 
ligados à tradição marxista tendem a delimitar diferenças fundamentais entre eles. 
Apesar de Marx ter sido influenciado pelo utilitarismo radical de Jeremy Bentham na 
área econômica, ele admite que a sociedade possa dedicar parte de seu tempo a 
15 
 
atividades não produtivas depois de que ela tenha atingido seus objetivos 
econômicos. 
2.17 Marxismo 
 
As reações dos operários aos efeitos da Revolução Industrial fez surgir 
críticos que propunham reformulações sociais. Eles sugeriam a criação de um 
mundo mais justo e foram chamados de teóricos socialistas. 
Entre os vários pensadores, o mais célebre teórico socialista foi o alemão Karl 
Marx, com passagem pela França e pela Inglaterra. Marx testemunhou as 
transformações sociais decorrentes da industrialização. 
2.2 Teorias e Obras 
 
A teoria marxista é, substancialmente, uma crítica radical das sociedades 
capitalistas, mas é uma crítica que não se limita a teoria em si: Marx se posiciona 
contra qualquer separação drástica entre teoria e prática, entre pensamento e 
realidade, porque essas dimensões são abstrações mentais (categorias analíticas) 
que, no plano concreto, real, integram uma mesma totalidade complexa. 
O marxismo constitui-se como a concepção materialista da História, longe de 
qualquer tipo de determinismo, mas compreendendo a predominância da 
materialidade sobre a ideia, sendo esta possível somente com o desenvolvimento 
daquela, e a compreensão das coisas em seu movimento, em sua inter-
determinação, que é a dialética. Portanto, não é possível entender os conceitos 
marxianos — como forças produtivas ou capital — sem levar em conta o processo 
histórico, pois não são conceitos abstratos e sim uma abstração do real, tendo como 
pressuposto que o real é movimento. 
Karl Marx compreende o trabalho como atividade fundante da humanidade. E 
o trabalho, sendo a centralidade da atividade humana, se desenvolve socialmente, 
sendo o homem um ser social. Sendo os homens seres sociais, a História, isto é, 
suas relações de produção e suas relações sociais fundam todo processo de 
formação da humanidade. Esta compreensão e concepção do homem é 
radicalmente revolucionária em todos os sentidos, pois é a partir dela que Marx irá 
identificar a alienação do trabalho como a alienação fundante das demais. E com 
16 
 
esta base filosófica é que Marx compreende todas as demais ciências, tendo sua 
compreensão do real influenciado cada dia mais a ciência por sua consistência. 
Segundo Marx, Hegel e seus seguidores criaram uma dialética mistificada, 
que buscava explicar a história mundial a partir da economia e como 
autodesenvolvimento da ideia absoluta. 
Em oposição aos filósofos idealistas e aos economistas clássicos, Marx 
propunha a investigação do desenvolvimento histórico das formas de produção e 
reprodução social, partindo do concreto para o abstrato e do abstrato para o 
concreto 
Em razão da divisão social do trabalho e dos meios, a sociedade se extrema 
entre possuidores e os não detentores dos meios de produção. Surgem, então, 
a classe dominante e a classe dominada, sendo a classe dominante aquela que 
mantém poder sobre os meios de produção e a classe dominada a que se sujeita a 
dominante para obter os bens produzidos. O Estado aparece para representar os 
interesses da classe dominante e cria, para isso, inúmeros aparatos para manter a 
estrutura da produção. Esses aparatos são nomeados por Marx de infraestrutura e 
condicionam o desenvolvimento de ideologias e normas reguladoras, sejam elas 
políticas, religiosas, culturais ou econômicas, para assegurar os interesses dos 
proprietários dos meios de produção. 
Para Marx a crítica da religião é o pressuposto de toda crítica social, pois crê 
que as concepções religiosastendem a desresponsabilizar os homens pelas 
consequências de seus atos. Marx tornou-se reconhecido como crítico sagaz da 
religião devido a sentença que profere em um escrito intitulado Crítica da filosofia do 
direito de Hegel: “A religião é o suspiro da criatura oprimida, o coração de um mundo 
sem coração, assim como é o espírito de uma situação carente de espírito. É o ópio 
do povo.” Em verdade, Marx se ocupou muito pouco em criticar sistematicamente a 
atividade religiosa. Nesse quesito ele basicamente seguiu as opiniões de Ludwig 
Feuerbach, para quem a religião não expressa a vontade de nenhum Deus ou outro 
ser metafísico: é criada pela fabulação dos homens. 
2.2.1Frases do Karl Marx 
 
 "Os filósofos limitaram-se a interpretar o mundo de diversas maneiras; o que 
importa é modificá-lo". 
17 
 
 "A produção econômica e a organização social que dela resulta, 
necessariamente para cada época da história, constituem a base da história 
política e intelectual dessa época". 
 "A história da sociedade até aos nossos dias é a história da luta de classes". 
 "Os homens fazem sua própria história, mas não a fazem sob circunstâncias 
de sua escolha e sim sob aquelas com que se defrontam diretamente, 
legadas e transmitidas pelo passado". 
 "Sem sombra de dúvida, a vontade do capitalista consiste em encher os 
bolsos, o mais que possa. E o que temos a fazer não é divagar acerca da sua 
vontade, mas investigar o seu poder, os limites desse poder e o caráter 
desses limites". 
3. MATEMÁTICO LEONHARD EULER 
3.1 Biografia 
Leonhard Euller, matemático e físico que nasceu em uma cidade suíça 
chamada Basileia, em 15 de abril de 1707 e faleceu em São Petersburgo em 1783. 
Leonhard Euler, o maior matemático de todos os tempos, filho de Paul Euler e 
Margaret Brucker, teve duas irmãs mais novas, Anna Maria e Maria Magdalena, uma 
família tradicionalmente dedicada a pesquisas científicas. 
Ao completar um ano de idade seus pais mudaram-se para Riehen, perto de 
Basileia, cidade na qual passou maior parte da sua infância. 
O fascínio pela matemática foi desenvolvido desde cedo por meio das aulas 
que seu pai lhe dava. Ao completar idade de ir para a escola foi levado para Basileia 
para ficar com a sua avó. Na escola pouco aprendeu sobre Matemática. Portanto, o 
fascínio não aconteceu na escola, o gosto que tinha ganho pela disciplina levou-o a 
estudar sozinho diversos livros de Matemática e a ter lições às escondidas. 
Paul Euler, seu pai, que almejava a carreira de teólogo para o seu filho, 
colocou o jovem Leonhard na Universidade de Basileia para que pudesse seguir 
estudos de Teologia. Leonhard ingressou para a universidade em 1720, com 14 
anos, para primeiro, adquirir instruções geral e só após obter estudos mais 
avançados. 
18 
 
Em 1723 recebeu o grau de Mestre em Filosofia. E neste mesmo ano dá 
início ao curso de Teologia, satisfazendo assim os desejos de seu pai. Porém, 
embora tendo sido um cristão devoto, nunca sentiu a mesma admiração pela 
Teologia como sentia pela Matemática. 
Neste sentido, ajudado por Jean Bernoulli, convenceu o seu pai a deixá-lo 
mudar para o curso de Matemática. Dessa, Euler recebeu uma instrução bastante 
sólida, pois, estudou, além de Matemática, Medicina, Astronomia, Física e Línguas 
Orientais. 
Em 1726 terminou os estudos na Universidade de Basileia. No ano seguinte 
foi indicado para o Grande Prêmio da Academia de Paris com uma produção sobre 
mastros de navios. Não garantiu o primeiro lugar, ficando com o segundo, posição 
esta que constituiu ao jovem matemático, um grande incentivo. 
Em 1735, por meio da resolução de um problema chamado “problema da 
Basileia”, Euler recebe fama mundial. Trata-se de somar a série infinita dos inversos 
dos quadrados. Johann Bernoulli tinha lutado com este problema durante décadas, 
tendo desafiado matemáticos de todo o mundo. Euler desenvolve assim um novo 
método analítico para lidar com o problema. Mas o seu método permite também 
somar todas as séries infinitas do mesmo tipo em que o expoente é um número par. 
Neste mesmo ano, Leonhard perdeu a visão de um olho, tendo como 
consequência um problema neurológico. 
A precocidade e a vivacidade de seus primeiros trabalhos despertaram o 
interesse dos principais matemáticos de sua época, como Jean Bernouilli e seus 
filhos, e converteram-no, aos vinte anos, em membro associado da Academia de 
Ciências de São Petersburgo, para onde se transferira. Por meio de livros e 
monografias que apresentou à Academia, Euler aprimorou os conhecimentos da 
época sobre cálculo integral, desenvolveu a teoria das funções trigonométrica e 
logarítmica e simplificou as operações relacionadas à análise matemática. Sua 
contribuição para a geometria analítica e para a trigonometria é comparável à de 
Euclides para a geometria plana. A tendência a expressar operações físicas e 
matemáticas em termos aritméticos incorporou-se desde então aos procedimentos 
das ciências exatas. 
Assim, durante os anos seguintes, Euler consegue transformar a Matemática 
e a Física. Em seis anos produz trabalhos fundamentais em teoria dos números, 
séries, cálculo de variações, mecânica, entre muitos outros. 
19 
 
Após ganhar, por duas vezes, o Grande Prêmio da Academia de Paris, Euler 
recebeu o convite de Frederico, o Grande para fazer parte da Academia de Ciências 
da Prússia, sediada em Berlim. Recusou o convite de início, mas, como a vida na 
Rússia para os estrangeiros não era fácil, Euler reconsiderou o pedido. 
Partiu de S. Petersburgo dia 19 de junho de 1741 e viveu 25 anos em Berlim, 
onde escreveu mais de 380 artigos. (A contribuição de Euler para a ciência 
matemática foi publicada em Berlim e teve como um de seus pilares a Introductio in 
analysim infinitorum (1748); Introdução à análise dos infinitos), obra que constitui um 
dos fundamentos da matemática moderna. 
Uma outra obra de suas maiores contribuições foi ao nível das *notações*: * 
(...) numa exposição manuscrita dos seus resultados, escrita provavelmente em 
1727 ou 1728, Euler usou a letra e mais de uma dúzia de vezes para representar a 
base do sistema de logaritmos naturais. 
A Euler também se atribui o uso definitivo da letra grega p como notação para 
a razão da circunferência e para o diâmetro do círculo. Não foi o primeiro 
matemático a utilizá-la, pois há registro de outra ocorrência em 1706, mas foi o 
primeiro a reconhecer a sua importância e utilidade. A adopção do símbolo p por 
Euler em 1737, e mais tarde em seus muitos e populares livros de texto, que o 
tornou largamente conhecido e usado (Boyer, 1974, p. 326) A introdução do símbolo 
i para Ö (-1) foi mais uma notação adotada em 1777, quase no fim da sua vida. 
Euler como qualquer ser humano, tinha caído em desgraça junto de Frederico 
II, que lhe chamava “ciclope”, referência esta devido ao seu defeito físico. Desde 
1735, Euler sofria de alguns problemas de saúde, como febres altas. Em 1738, veio 
a perdeu a visão do olho direito, devido ao excesso de trabalho. Mas tal infelicidade 
não diminuiu em nada a sua produção Matemática. 
Euler produzir trabalhos de diferentes gêneros, como por exemplo, material 
para livros-textos para as escolas russas. Geralmente escrevia em latim, mas 
também em francês, embora a sua língua de origem fosse o alemão. Tinha uma 
enorme facilidade para línguas, como bom suíço que era, o que lhe facilitava muito a 
vida nas diversas viagens que fazia, como era costume dos matemáticos do século 
XVIII. 
Em 1749, depois de 7 anos de trabalho e quase cem anos após a morte de 
Fermat, conseguiu provar a teoria de Fermat. 
20 
 
Em 1771, perdeu todos os seus manuscritos matemáticos, considerados seus 
verdadeiros bens, num incêndio na sua casa. No mesmo ano é operado às 
cataratas, o que lhe devolve a visão durante um breve período de tempo. Mas, por 
Euler não terá tomado os cuidados médicos necessários ficou completamente cego.Leonardo considerado um ser de auto superação, pois apesar dele ter tido 
uma doença visual, na qual veio a ficar cego nos seus últimos quatorze anos, de 
forma impressionante, continuou com seus projetos científicos, que contou com além 
da sua fabulosa memória, com a ajuda de várias pessoas, entre elas, filhos Albrecht 
Euler ajudou-o na publicação de um trabalho com 775 páginas sobre o movimento 
da Lua, em 1772 e Fuss ajudou-o a preparar mais de 250 artigos, durante 7 anos, 
tornando-se mais tarde seu assistente. 
Conseguiu produzir um número tão grande de artigos matemáticos, após a 
cegueira, que a Universidade onde trabalhava ficou quase 50 anos para publicar 
todo o material deixado por ele. Quando ele viu que estava ticando completamente 
cego 
Portanto, a sua cegueira não foi problema para as suas pesquisas e 
publicações que continuaram até 1783, quando, aos 76 anos faleceu subitamente 
enquanto tomava chá com um dos seus netos. 
Euler é considerado o matemático mais produtivo na história da Matemática. 
Seu legado é de um número assombroso de trabalhos sobre as mais diversas áreas, 
da Engenharia à Mecânica, da Óptica à Astronomia, da Música à Matemática 
(curvas, séries, cálculo de variações, cálculo infinitesimal, Geometria, Álgebra). 
Suas produções foram tantas que durante a sua vida que durante quase 50 
anos depois da sua morte, os seus artigos continuaram a ser publicadas na 
Academia de S. Petersburgo. A lista bibliográfica das suas obras, incluindo itens 
póstumos, contém 886 títulos. A sua pesquisa Matemática chegava a ser, em média, 
de 800 páginas por ano, durante toda a sua vida. Jamais algum matemático terá 
superado a produção deste homem. Como tal, iremos referir somente algumas das 
contribuições de Leonard Euler para a ciência. 
3.2 Ideias e Teorias de Leonhard Euler 
 
Euler trabalhou em quase todas as áreas da matemática: geometria, cálculo 
infinitesimal, trigonometria, álgebra e teoria dos números, bem como deu 
21 
 
continuidade na física newtoniana, teoria lunar e outras áreas da física. É uma figura 
seminal na história da matemática, e suas obras, muitas das quais são de interesse 
fundamental, ocupam entre 60 e 80 volumes. O nome de Euler está associado a um 
grande número de temas. Euler é o único matemático que tem dois números em 
homenagem a ele: O número e, aproximadamente igual a 2,71828, e a constante de 
Euler-Mascheroni γ (gama) por vezes referida apenas como "constante de Euler", 
aproximadamente igual a 0,57721. Não se sabe se γ é racional ou irracional. 
Euler introduziu e popularizou várias convenções de notação matemática 
através de seus numerosos e amplamente divulgados livros didáticos. Mais 
notavelmente, introduziu o conceito de uma função, e foi o primeiro a escrever f(x) 
para denotar a função f aplicada ao argumento x. Também introduziu a notação 
moderna para as funções trigonométricas, a letra e para a base do logaritmo natural 
(agora também conhecido como número de Euler), a letra grega Σ (sigma 
maiúsculo) para somatórios e a letra i para representar a unidade imaginária. O uso 
da letra grega π (pi) para designar a razão entre a circunferência de um círculo e o 
seu diâmetro também foi popularizado por Euler, embora não tenha se originado 
com ele. 
3.2.1 Teoria dos números 
O interesse de Euler na teoria dos números pode ser atribuído à influência 
de Christian Goldbach, seu amigo na Academia de São Petersburgo. Muitos dos 
primeiros trabalhos de Euler na teoria dos números foram baseadas nas obras 
de Pierre de Fermat. Euler desenvolveu algumas das ideias de Fermat, e refutou 
algumas das suas conjeturas. 
Euler ligou a natureza da distribuição privilegiada, com ideias de análise. 
Conseguiu provar que a soma dos recíprocos dos primos divergem. Ao fazer isso, 
descobriu a conexão entre a função zeta de Riemann e os números primos, o que é 
conhecido como a fórmula do produto Euler para a função zeta de Riemann. 
Euler provou identidades de Newton, Pequeno teorema de Fermat, teorema 
de Fermat em somas de dois quadrados, e fez contribuições distintas ao Teorema 
de Fermat-Lagrange. Inventou também a função φ totiente (n). Usando as 
propriedades desta função, generalizou o teorema de Fermat ao que é hoje 
conhecido como o teorema de Euler. Contribuiu de forma significativa para a teoria 
dos números perfeitos, que havia fascinado os matemáticos desde Euclides. Euler 
22 
 
também conjeturou a lei da reciprocidade quadrática. O conceito é considerado 
como um teorema fundamental da teoria dos números, e suas ideias pavimentaram 
o caminho para o trabalho de Carl Friedrich Gauss. 
3.2.2 Teoria dos grafos 
 
O mapa de Königsberg na época de Euler mostrando a disposição atual das 
sete pontes, destacando o rio Pregel e suas pontes. 
Em 1736, Euler resolveu o problema conhecido como sete pontes de 
Königsberg. A cidade de Königsberg, Prússia, foi construída no rio Pregel, e incluiu 
duas grandes ilhas que estavam conectadas entre si e ao continente por sete 
pontes. O problema era o de decidir se é possível seguir um caminho que atravessa 
cada uma das pontes exatamente uma vez e retornar ao ponto de partida. Esta 
solução é considerada como sendo o primeira teorema da teoria dos grafos, 
especificamente da teoria gráfica planar. 
Euler também descobriu a fórmula V - E + F = 2 relacionando o número de 
vértices, arestas e faces de um poliedro convexo e, portanto, de um grafo planar. A 
constante nesta fórmula é agora conhecida como a característica de Euler para o 
gráfico (ou objeto de cálculo), e está relacionada ao gênero do objeto. O estudo e 
generalização desta fórmula foram, especificamente através de Augustin-Louis 
Cauchy, Simon Antoine Jean L'Huillier, estando na origem da topologia. 
3.2.3 Matemática aplicada 
Alguns dos maiores sucessos de Euler foram na resolução de problemas do 
mundo real analiticamente, e em descrever inúmeras aplicações do números de 
Bernoulli, série de Fourier, diagramas de Venn, os números de Euler, as 
23 
 
constantes e e pi, frações contínuas e integrais. Integrou cálculo 
diferencial de Leibniz com o de Newton, e as ferramentas que tornaram mais fácil de 
aplicar o cálculo de problemas físicos desenvolvidos. Fez grandes progressos na 
melhoria da aproximação numérica de integrais, inventando o que hoje é conhecido 
como aproximações de Euler. As mais notáveis dessas aproximações são o método 
de Euler e a fórmula de Euler. Também facilitou o uso de equações diferenciais, em 
particular, a introdução da constante de Euler-Mascheroni. 
Um dos interesses mais incomuns de Euler foi a aplicação de ideias 
matemáticas na música. Em 1739, escreveu o Tentamen novae theoriae musicae, 
na esperança de, eventualmente, incorporar a teoria musical como parte da 
matemática. Esta parte de seu trabalho, no entanto, não recebeu grande atenção e 
já foi descrita como muito matemática para músicos e demasiado musical para 
matemáticos. 
3.2.4 Ângulos de Euler 
Em 1765, em seu livro "A Teoria do movimento dos corpos sólidos", Euler 
matematicamente descreveu a cinemática de um corpo rígido de tamanho finito. 
Introduziu na matemática o teorema de Euler de ângulos de rotação. Seu nome 
também é usado na fórmula de cinemática da distribuição de velocidade em um 
sólido, conhecido como as equações (Euler - Poisson), dinâmica de corpo rígido, um 
dos três casos gerais integráveis no problema da dinâmica de um corpo rígido com 
um ponto fixo. 
Euler generalizou o princípio da mínima ação, um conjunto bastante confuso e 
apontou para a sua importância fundamental na mecânica. Infelizmente, não revelou 
a natureza do princípio variacional, mas, no entanto, atraiu a atenção de físicos, que 
mais tarde descobriram que o seu papel fundamental na natureza era válido. 
Euler trabalhou no campo da mecânica celeste. Lançou as bases da teoria de 
perturbações, mais tarde completadas por Pierre Simon Laplace,e desenvolveu 
uma teoria muito precisa do movimento da Lua. Esta teoria provou ser adequada 
para resolver o problema urgente de determinar a longitude no mar. 
3.3 Principais obras de Euler nesta área: 
"A teoria do movimento da Lua", 1753. 
24 
 
"A teoria do movimento dos planetas e cometas" (latim Theoria motus Planetarum et 
cometarum), 1774. 
"A nova teoria do movimento da Lua", 1772. 
Euler estudou o campo gravitacional não só esférico, mas os corpos elipsoidais, o 
que representa um significativo passo em frente. 
3.3.1 Euler e d'Alembert 
O trabalho entre Euler e d'Alembert sempre convergiu no mesmo sentido. Os 
seus interesses eram quase os mesmos, apesar de ter havido alguma controvérsia 
entre eles sobre o problema das membranas vibrantes, em 1757, cuja solução da 
equação de Bessel, Euler conseguiu obter, o que ocasionou um afastamento. Mas, 
com a teoria dos números houve um grande apoio por parte de d’Alembert a Euler. 
A contribuição de Euler para a teoria dos logaritmos não se restringiu à 
definição de expoentes, como usamos hoje. Trabalhou, também, no conceito de 
logaritmo de números negativos. 
Enquanto se mantinha ocupado a pesquisar matemática em Berlim, 
d’Alembert pesquisava em Paris. 
Em 1747, Euler escreveu a este matemático explicando corretamente a 
questão dos logaritmos dos números negativos. Mas ao contrário do que seria de se 
esperar, a fórmula formulada por Euler, válida para qualquer ângulo (em radianos), 
não foi compreendida por Bernoulli nem por d'Alembert pois, para estes, os 
logaritmos de números negativos eram reais, o que não é verdade já que se tratam 
de números imaginários puros. 
Através da sua identidade – mais tarde conhecida como Igualdade de Euler – 
é possível observar que os logaritmos de números complexos, reais ou imaginários, 
também são números complexos. Usando as identidades de Euler é também 
possível expressar quantidades como sen(1 + i) ou cos(i), na forma usual para 
números complexos. Desta maneira, vê-se que ao efetuar operações 
transcendentes elementares sobre os números complexos, os resultados são 
números complexos. 
Assim sendo, Euler foi capaz de demonstrar que o sistema de números 
complexos é fechado sob as operações transcendentes elementares, enquanto 
d’Alembert sugerira que o sistema de números complexos era algebricamente 
fechado. 
25 
 
3.3.2 Euler e Fermat 
Tanto Fermat como Euler sentiram-se bastante interessados pela teoria dos 
números. Embora não haja qualquer livro sobre este assunto, Euler escreveu cartas 
e artigos sobre vários aspetos desta teoria. Entre elas encontram-se as conjeturas 
apresentadas por Fermat, que foram derrubadas por Euler. Duas dessas conjeturas 
foram: 
Os números da forma 22n + 1 são sempre primos; 
Se p é primo e a um inteiro, então ap – a é divisível por a. 
A primeira foi derrubada em 1732 com o auxílio do seu domínio em 
computação, evidenciando que 225 + 1 = 4294967297 é fatorizável em 6700417 * 
641. No entanto, no recurso a um contra-exemplo para deitar por terra a segunda 
conjetura, Euler também errou, apesar do erro só ter sido descoberto em 1966, dois 
séculos depois e com o auxílio de um computador. 
Euler também realizou a demonstração de uma conjetura bastante conhecida, 
denominada como Pequeno teorema de Fermat. Tal demonstração foi apresentada 
numa publicação em 1736, denominada Commentarii. 
Posteriormente, demonstrou uma afirmação mais geral do Pequeno teorema 
de Fermat, que veio a chamar-se Função de Euler. Mas, contrariando o que seria 
esperado, Euler não foi capaz de demonstrar o Último Teorema de Fermat, embora 
provasse a impossibilidade de soluções inteiras de xn + yn = zn para n = 3. 
Em 1747, definiu mais 27 números amigáveis, que se juntaram aos três já 
conhecidos por Fermat. Mais tarde aumentou o número para 60. Euler também 
provou que todos os números perfeitos pares são da forma dada por Euclides, 2n-
1(2n – 1), onde 2n – 1 é primo. Se existe ou não um número ímpar perfeito foi uma 
questão levantada por Euler e Goldbach, através de correspondência, ainda hoje 
sem resposta. 
4. FÍSICO WERNER KARL HEISENBERG 
4.1 Biografia 
Werner Karl Heisenberg nasceu em 05 de dezembro de 1901, na cidade de 
Würzburg, na Alemanha. Foi um famoso físico ganhador de Prêmio Nobel. 
26 
 
Heisenberg iniciou o curso de física em 1920, em Munique. Um de seus 
professores, Arnold Sommerfeld, levou-o a Copenhague em 1922, para assistir a 
uma série de conferências de Niels Bohr. Durante uma palestra, Heisenberg pediu a 
palavra e expôs algumas de suas ideias, que o físico experiente não conseguiu 
rebater. Após a conferência, Bohr e Heisenberg tornaram-se amigos. Heisenberg 
estava disposto a derrubar as bases da física clássica e erguer os fundamentos da 
física quântica. Após se formar, Heisenberg foi realizar seus estudos de pós-
graduação em Göttingen e tornou-se assistente de Max Born, que anunciara a 
necessidade de se formula a mecânica quântica para a explicação dos fenômenos 
atômicos. Em 1925, Heisenberg desenvolveu a mecânica matricial, o que constituiu 
o primeiro desenvolvimento da mecânica quântica. Dois anos depois passou a 
ensinar física na Universidade de Leipzig, onde enunciou o Princípio da Incerteza ou 
Princípio de Heisenberg, segundo o qual é impossível medir simultaneamente e com 
precisão absoluta a posição e a velocidade de uma partícula. 
Em 1932, Heisenberg recebeu o prêmio Nobel de Física pela "criação da 
mecânica quântica, cuja aplicação possibilitou, entre outras, a descoberta das 
formas alotrópicas do hidrogênio". De 1942 a 1945, dirigiu o Instituto Max Planck em 
Berlim. Durante a Segunda Guerra Mundial trabalhou com Otto Hahn, um dos 
descobridores da fissão nuclear, no projeto de um reator nuclear. Durante toda sua 
vida Heisenberg lutou para que a energia nuclear não fosse utilizada com finalidades 
bélicas. Werner Heisenberg organizou e dirigiu o Instituto de Física e Astrofísica de 
Göttingen. Em 1958, o Instituto de Física e Astrofísica foi mudado para Munique, 
onde o cientista se concentrou na pesquisa sobre a teoria das partículas 
elementares, fez descobertas sobre a estrutura do núcleo atômico, da hidrodinâmica 
das turbulências, dos raios cósmicos e do ferromagnetismo. Alguns cientistas, como 
Einstein, rejeitaram as ideias do físico, que romperam em grande parte os princípios 
da física newtoniana. O princípio da incerteza ou, "princípio de Heisenberg", 
utilizando fartamente o cálculo estatístico, além de mecanismos desenvolvidos para 
a comprovação de suas teorias, abriu um novo campo não só para a física, mas 
para a teoria do conhecimento. 
 
27 
 
4.2 Ideias e Teorias de Heisenberg 
4.2.1 O Princípio da Incerteza 
O Princípio da Incerteza de Heisenberg é uma das ideias mais famosas (e 
provavelmente uma das mais incompreendidas) na física. Diz esse princípio físico 
que há um limite fundamental para o que podemos saber sobre o comportamento 
das partículas quânticas e, portanto, as menores escalas da natureza. Dessas 
escalas, o máximo que podemos esperar é calcular probabilidades de onde as 
coisas estão e como elas se comportarão. Ao contrário do universo de relógios de 
Isaac Newton, onde tudo segue leis claras sobre como se mover (e fazer previsão é 
fácil se você conhece as condições iniciais), o princípio da incerteza consagra um 
nível de confusão na teoria quântica. A ideia simples de Werner Heisenberg nos diz 
por que os átomos não implodem, como o sol consegue brilhar e, estranhamente, 
que o vácuo do espaço realmente não está vazio. 
Heisenberg estava trabalhando com as implicações da teoria quântica, uma 
estranha nova maneira de explicar como os átomos comportaram-se, que tinha sido 
desenvolvida por alguns físicos, incluindo Niels Bohr, Paul Dirac e Erwin 
Schrodinger, durante a década anterior. Entre suas muitas ideias contra intuitivas, a 
teoria quântica propôs que a energianão era contínua, mas em vez disso vem em 
pacotes discretos (quanta) e que a luz poderia ser descrita como uma onda e um 
fluxo desses quanta. Ao desenvolver essa cosmovisão radical, Heisenberg 
descobriu um problema no modo como as propriedades físicas básicas de uma 
partícula em um sistema quântico podiam ser medidas. Em uma de suas cartas 
regulares a um colega, Wolfgang Pauli, ele apresentou os indícios de uma ideia que 
desde então se tornou uma parte fundamental da descrição quântica do mundo. 
O princípio da incerteza diz que não podemos medir a posição (x) e o 
momentum (p) de uma partícula com precisão absoluta. Quanto mais precisamente 
conhecemos um desses valores, menos sabemos exatamente o outro. Multiplicando 
os erros nas medições destes valores (os erros são representados pelo símbolo do 
triângulo na frente de cada propriedade, a letra grega delta) tem que dar um número 
maior ou igual à metade de uma constante chamada “h-barra”. Isto é, igual à 
constante de Planck (normalmente escrito como h) dividido por 2π. A constante de 
Planck é um número importante na teoria quântica, uma forma de medir a 
granularidade do mundo em suas menores escalas e tem o valor 6.626 x 10-34 joule 
28 
 
segundos. Uma maneira de pensar sobre o princípio da incerteza é como uma 
extensão de como vemos e medimos as coisas no mundo cotidiano. Você pode ler 
essas palavras porque partículas de luz, os fótons, ressaltaram da tela ou papel e 
atingiram seus olhos. Cada fóton nesse caminho traz consigo algumas informações 
sobre a superfície da qual ele saltou, à velocidade da luz. Ver uma partícula 
subatômica, como um elétron, não é tão simples. Você pode similarmente fazer um 
fóton saltar para fora dele e esperar, então, detectar esse fóton com um instrumento. 
Mas as chances são que o fóton vai transmitir algum momentum para o elétron 
quando ele bate nele e muda o caminho da partícula que você está tentando medir. 
Ou então, dado que as partículas quânticas muitas vezes se movem tão rápido, o 
elétron pode não estar mais no lugar onde estava quando o fóton originalmente 
saltou dele. De qualquer maneira, sua observação de posição ou momentum será 
imprecisa e, mais importante, o ato de observação afeta a partícula que está sendo 
observada. 
O princípio da incerteza está no cerne de muitas coisas que observamos, mas 
não podemos explicar usando a física clássica (não quântica). Tomemos átomos, 
por exemplo, onde elétrons negativamente carregados orbitam um núcleo 
positivamente carregado. Pela lógica clássica, poderíamos esperar que as duas 
cargas opostas se atraíssem, levando tudo a colapsar em uma bola de partículas. O 
princípio da incerteza explica por que isso não acontece: se um elétron se aproximar 
muito do núcleo, então sua posição no espaço seria precisamente conhecida e, 
portanto, o erro em medir sua posição seria minúsculo. Isso significa que o erro na 
medição de seu momentum (e, por inferência, sua velocidade) seria enorme. Nesse 
caso, o elétron poderia estar se movendo rápido o suficiente para sair 
completamente do átomo. 
A ideia de Heisenberg também pode explicar um tipo de radiação nuclear 
chamada decaimento alfa. As partículas alfas são dois prótons e dois nêutrons 
emitidos por alguns núcleos pesados, como o urânio-238. Normalmente, estes são 
ligados dentro do núcleo pesado e precisaria de muita energia para romper as 
ligações que os mantêm no lugar. Mas, como uma partícula alfa dentro de um 
núcleo tem uma velocidade muito bem definida, sua posição não é tão bem definida. 
Isso significa que há uma chance pequena, mas não zero, de que a partícula possa, 
em algum ponto, encontrar-se fora do núcleo, embora tecnicamente não tenha 
energia suficiente para escapar. Quando isso acontece — um processo 
29 
 
metaforicamente conhecido como “tunelamento quântico”, porque a partícula que 
escapa tem que cavar seu caminho de alguma forma através de uma barreira de 
energia sobre a qual ela não pode saltar — a partícula alfa escapa e vemos a 
radioatividade. 
Um processo semelhante de tunelamento quântico acontece, no sentido 
inverso, no centro do nosso sol, onde os prótons se fundem e liberam a energia que 
permite que a nossa estrela brilhe. As temperaturas no núcleo do Sol não são altas o 
suficiente para que os prótons tenham energia suficiente para superar sua repulsão 
elétrica mútua. Mas, graças ao princípio da incerteza, eles podem abrir caminho 
através da barreira energética. Talvez o resultado mais estranho do princípio da 
incerteza seja aquele sobre os vácuos. Vácuos são muitas vezes definidos como a 
ausência de tudo. Mas não é assim na teoria quântica. Existe uma incerteza inerente 
na quantidade de energia envolvida nos processos quânticos e no tempo que leva 
para que esses processos aconteçam. Em vez de posição e momentum, a equação 
de Heisenberg também pode ser expressa em termos de energia e tempo. 
Novamente, quanto mais restrita for uma variável, menor será a restrição da outra. 
Portanto, é possível que, por períodos de tempo muito, muito curtos a energia de um 
sistema quântico possa ser altamente incerta, tanto que as partículas podem surgir 
no vácuo. Essas “partículas virtuais” aparecem em pares — um elétron e seu par de 
antimatéria, o pósitron, dizem — por um curto tempo e depois se aniquilam. Isso 
está mais que justificado pelas leis da física quântica, desde que as partículas só 
existam fugazmente e desapareçam quando seu tempo acabar. A incerteza, então, 
não é motivo de preocupação na física quântica e, de fato, não estaríamos aqui se 
esse princípio não existisse. 
Em 1970, pediu demissão do Instituto e morreu de câncer, no dia 01 de 
fevereiro de 1976. Apesar de ter provocado desavenças com grandes físicos ao 
longo de sua carreira, deixou bons amigos que organizaram uma procissão de velas 
acesas até a porta de sua casa no dia de seu falecimento. Seu biógrafo, David 
Cassidy, escreveu que Heisenberg se tornou um dos grandes físicos do século XX 
e, também, um dos mais controvertidos. Heisenberg continuou na Alemanha durante 
a ocupação nazista. Até hoje, paira a dúvida sobre sua real posição: contra ou a 
favor de Hitler. 
 
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Werner Heisenberg, extraordinário físico, excepcional pesquisador. Físico teórico alemão, recebeu o 
Nobel de Física de 1932 “pela criação da mecânica quântica, cujas aplicações levaram à descoberta, 
entre outras, das formas alotrópicas do hidrogênio”. 
5. IMPACTOS PRODUZIDOS, PELAS PROPOSTAS DOS PERSONAGENS 
ESCOLHIDAS NA SOCIEDADE DE SUA ÉPOCA E NOS TEMPOS ATUAIS. 
 
Por uma série de fatores estamos sendo influenciados no decorrer da história 
e moldando a forma de como vivemos. O que somos e temos hoje é fruto do 
trabalho e dedicação daqueles que vieram antes de nós, que se empenharam, 
ousaram realizar seus sonhos e deixar a sua marca na história, os personagens 
citados aqui nesse trabalho tiveram papel fundamental dentre outros tantos que 
existiram, mudando o mundo de forma significativa através de suas criações e 
atitudes que causaram impactos e até hoje nos tempos atuais vem contribuindo para 
a evolução e o avanço da sociedade em diversos setores de forma distinta. 
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As ideias de Marx tiveram um profundo impacto na política mundial e 
pensamento intelectual. Do ponto de vista acadêmico, a obra de Marx contribuiu 
para o nascimento da sociologia moderna e ele tem sido citado como um dos três 
mestres da escola cínica do século XIX, ao lado de Nietzsche e Freud e como um 
dos três principais arquitetos da ciência social moderna juntamente com Émile 
Durkheim e Max Weber. 
Euler trabalhou nas áreas da matemática como geometria, cálculo 
infinitesimal, trigonometria, álgebra e teoria dos números, bem como deu 
continuidade na física newtoniana, teoria lunar e outras áreas da física. O nome de 
Euller está associado a um grande número de temas, ele é o único matemático que 
tem doisnúmeros em sua homenagem, também é o matemático mais produtivo da 
história, publicou diversos artigos, criou funções, revolucionou á matemática de uma 
forma inigualável, suas obras ocupam entre 60 e 80 volumes. E através de seus 
conhecimentos que muitos físicos puderam desenvolver formulas que tiveram êxito 
em assuntos complicados de se resolverem. 
Heisenberg recebeu o Nobel de física pela criação da mecânica quântica, a 
suas descobertas a princípio foi contestada por grandes físicos na época, mas a 
cada dia que passa se tornando uma necessidade de toda sociedade, ele se 
concentrou na pesquisa sobre a teoria das partículas elementares fazendo 
descobertas sobre a estrutura do núcleo atômico, como os átomos interagem, dentre 
outros, foi através disso tudo que nos possibilitou nesse grande avanço tecnológico 
mundial em diversos setores da sociedade e que tem nos levado numa velocidade 
espantosa para um futuro que há algumas décadas parecia impossível, abrindo em 
si um leque de possibilidades no meio cientifico. 
 
 
 
 
 
 
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6. CONCLUSÃO 
 
Este trabalho vem corroborar para o enriquecimento de nossa formação 
acadêmica, através de diferentes ciências – A Filosofia, a Matemática, a Física e o 
Pensamento Científico – que convergem, gerando uma nova mentalidade para um 
agir, ponderado nas melhores soluções no âmbito da Engenharia Civil. 
Conhecendo alguns modelos de pensamento que influenciaram a nossa 
sociedade em vários aspectos, sejam eles positivos ou negativos, sempre nos fazem 
pensar, refletir e analisar quais aspectos é preciso ponderar. 
Estudantes da área de exatas tendem a uma maior racionalização. 
Precisamos compreender de certa forma a pessoa humana, e assim sermos 
capazes de estabelecer uma relação com o outro e com nós mesmos. 
Buscando administrar adequadamente as situações, necessidades e projetos 
entregues a nós, buscando adequá-las de maneira eficiente e justa. Lembrando 
sempre de analisar os hábitos da sociedade, sob as diversas expressões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7. REFERÊNCIAS 
 
Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Karl_Marx>. Acesso em 22 de abril de 
2019. 
Disponível em: <https://www.infoescola.com/biografias/karl-marx/>. Acesso em 22 
de abril de 2019. 
Disponível em: <https://www.todamateria.com.br/karl-marx/>. Acesso em 22 de abril 
de 2019. 
Disponível em: 
<https://www.ebiografia.com/karl_marx_quem_foi_ideologia_comunista/>. Acesso 
em 22 de abril de 2019. 
Disponível em: <https://www.ebiografia.com/leonhard_euler/>. Acesso em: 25 de 
abril de 2019. 
Disponível em: <http://www.fem.unicamp.br/~em313/paginas/person/euler.htm>. 
Acesso em: 25 de abril de 2019. 
Disponível em: <https://www.portalsaofrancisco.com.br/biografias/leonhard-euler>. 
Acesso em: 25 de abril de 2019. 
Disponível em: ,<https://socientifica.com.br/2017/02/o-que-e-o-principio-da-incerteza-
de-heisenberg/>. Acesso em: 28 de abril de 2019. 
Disponível em: <https://universoracionalista.org/heisenberg-filosofo-da-mecanica-
quantica/>. Acesso em: 28 de abril de 2019. 
Disponível em: <https://educacao.uol.com.br/biografias/werner-karl-heisenberg.htm>. 
Acesso em: 28 de abril de 2019.
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8. ANEXO 
8.1 Análise da função Princípio da Incerteza