AULA 1-CALCULO 3-FUNÇÃO COM VALORES VETORIAIS

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CÁLCULO III
AULA 1 – FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS
Conteúdo Programático
1. Introdução 
2. Aplicações
3. Definição
4. Operações com as funções vetoriais
5. Limite e Continuidade
6. Derivada
7. Curvas Parametrizadas
8. Reta Tangente
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
INTRODUÇÃO
Função vetorial → domínio é um conjunto de números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores
 
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS
funções vetoriais de uma variável
Função f(t), onde t é uma variável real
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
APLICAÇÃO
Movimento de uma partícula no Espaço
Podemos associar uma partícula no espaço como sendo um ponto no espaço.
Observe que o deslocamento deste ponto em cada instante de tempo t descreverá uma curva. 
x = x(t), y = y(t) e z = z(t)
σ(t) = (x(t), y(t), z(t)), definidos no intervalo I, I  , com valores em 3, t  I.
Exemplo:(t) = (t2 , cos t, t3) então x(t) = t2 , y(t) = cos t e z(t) = t3
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
APLICAÇÃO
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
 
DEFINIÇÃO
Função vetorial de uma variável real t é definida num intervalo I, onde para cada t  I associamos um vetor do espaço. 
Notação: 
Uma função cujo domínio é um conjunto de números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores é chamada função vetorial. 
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
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Se considerarmos um ponto P(x,y,z) qualquer no espaço, o vetor 
É chamado vetor posição do ponto P. 
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1. Movimento de uma partícula sobre uma circunferência
EXEMPLOS
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2. Função vetorial preço
Podemos considerar 3 produtos onde o primeiro tem preço t2 , o segundo tem preço t + 5 e o terceiro tem preço dado pela soma dos preços das duas primeiras. 
EXEMPLOS
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 OPERAÇÕES COM FUNÇÕES VETORIAIS
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 LIMITE E CONTINUIDADE
Definição: 
Ou seja, o limite de um vetor f(t) quando t se aproxima de t1 é definido por: 
Se os limites individuais existirem
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1. Considere a função vetorial 
EXEMPLOS
Veja que o limite da função será determinado do seguinte modo: 
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EXEMPLOS
2. Considere a função vetorial 
Vamos analisar o valor do limite da função quando t → 2.
Podemos usar a regra de L’Hospital para resolver esse limite
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CÁLCULO III
Usando a regra de L’Hospital 
Outro modo de resolver esse limite
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CONCLUSÃO
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EXEMPLOS
3. Vamos calcular o 
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CONTINUIDADE
Definição: 
A função vetorial é contínua em t  I se, e somente se x(t), y(t) e z(t) são contínuas em t.
Segundo o critério de continuidade de uma função, a função será contínua, caso o limite e a função no ponto em estudo existam e sejam iguais, isto é, 
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EXEMPLOS
1. Vamos analisar a continuidade da vetorial dada, no ponto indicado.
Veja:
Portanto a função é contínua no ponto t = 0.
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EXEMPLOS
2. Vamos analisar a continuidade da vetorial dada, no ponto t1 = 0.
Veja que o
 e 
Portanto a função dada não é contínua no ponto indicado.
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DERIVADA
Definição: 
A derivada da função vetorial , t  I, é a função vetorial denotada por e definida por:
Para todo t, tal que o limite existe. 
Se a derivada da função existe em todos os pontos do intervalo I, então podemos dizer que a função é derivável em I.
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Considere a função vetorial 
Ela é derivável em um ponto t se, e somente se, as três funções escalares 
São deriváveis em t. 
Logo podemos escrever
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CÁLCULO III
EXEMPLOS
Vamos determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:
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EXEMPLOS
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Observação: 
A interpretação geométrica de derivada continua valendo para função vetorial, portanto será o vetor tangente à curva no ponto P.
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Determinar o vetor tangente da seguinte função, no ponto indicado.
EXEMPLO
Inicialmente devemos identificar o valor do parâmetro t que satisfaz a curva.
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Agora calculamos a derivada.
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INTERPRETAÇÃO FÍSICA DA DERIVADA
Considere uma partícula em movimento no espaço. Vamos supor que no tempo t, representa o vetor posição da partícula. A medida que t varia, a extremidade livre do vetor descreve a trajetória C da partícula.
Quando 
é derivável, a velocidade instantânea da
partícula é dada por
Quando 
é derivável, a aceleração da partícula é
partícula é dada por
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CURVAS PARAMETRIZADAS
Foi visto anteriormente que um ponto P do vetor descreverá uma curva C em 3 quando for contínua para todo t no intervalo I. 
Portanto definimos a equação = (x(t),y(t),z(t)) como a parametrização da curva C e as componentes
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
são chamadas de equações paramétricas da curva C e t é chamado parâmetro.
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Observação:
Chamamos CURVA o conjunto de todos os pontos (x, y, z) determinados por estas equações. 
Exemplos
1. A equação vetorial 
Representa uma reta, cujas equações paramétricas são
x(t) = t
y(t) = t
z(t) = t
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2. As equações paramétricas 
x = 2cost
y = 2sent
z = 3t
Representam uma curva no espaço chamada hélice circular. A equação vetorial é representada por
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Parametrização para a hélice circular - curva descrita por um ponto P = (x,y,z) que se move em torno do eixo z mantendo uma distância constante a > 0 desse eixo.
Simultaneamente o ponto P se move paralelamente ao eixo z de modo que sua terceira componente é proporcional ao ângulo de rotação com constante de proporcionalidade b≠ 0. Consideramos o início do movimento em P = (0,0,0).
f(t) = (r cos , r sen , b) , 
onde   .
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REPRESENTAÇÃO PARAMÉTRICA DE ALGUMAS CURVAS
Parametrização Natural
Será a parametrização do tipo f(t) = (t , f( t)).
Exemplo
A equação da reta y = 6x + 9 pode ser parametrizada considerando a parametrização natural → f(t) = (t ,6t+9).
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Podemos também determinar a equação cartesiana correspondente a equação paramétrica de uma curva.
Exemplo
Seja x = 3t – 4 e y = 6 – 2t . Vamos determinar a equação da reta.
Procedimento → isolar em uma das equações o parâmetro t e depois substituir na outra, ou isolar o parâmetro t em ambas e igualar as equações.
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Veja:
Agora vamos substituir (1) em y = 6 – 2t
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Parametrização de uma reta
Equação vetorial da reta → , onde v é o vetor direção, t o parâmetro real e P é um ponto que pertence a reta.
 = (vx, vy,vz)t + (x0, y0,z0), t 
 =(vxt + x0, vyt + y0, vzt + z0)
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EXEMPLOS
Determinar uma representação paramétrica da reta
 que passa pelo ponto A(2,1,-1) na direção do vetor
 
Temos
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CÁLCULO III
EXEMPLOS
2. Determinar umarepresentação paramétrica da reta
 que passa pelo ponto A(2,0,1) e B(-1, 3,0).
O vetor v será dado por: v = (-1, 3,0) - (2,0,1) = (-3, 3, -1)
Portanto, o vetor r(t) = (2,0,1) + t(-3, 3,-1)
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EXEMPLOS
3. Determinar o vetor direção da reta para a curva
Nesse caso verificamos que o ponto P = (0,0,0) e a direção v = (1,1,1).
A reta r será representada por r(t) = (1,1,1) t + (0, 0,0) 
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Parametrização da circunferência
Seja C a circunferência no plano xy de centro (a, b) e raio r, definimos a parametrização de C como:
Circunferência com centro na origem (0,0):
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EXEMPLO
Vamos obter as equações paramétricas da circunferência x2 + y2 – 6x – 4y + 4 = 0 no plano z = 3.
Completando os quadrados da equação 
x2 + y2 – 6x + 9 – 4y + 4 = 9
x2 – 6x + 9 + y2 – 4y + 4 = 9
(x – 3)2 + (y – 2)2 = 9
x(t) = 3 + 3cost
y(t) = 2 + 3sent
z(t) = 3 0 ≤ t ≤ 2π
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Parametrização da ciclóide
curva plana descrita por um ponto P sobre uma circunferência quando esta gira ao longo de uma reta.
r (t) = (r ( – sen ), r (1 – cos )) , 
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Reta Tangente a trajetória de f(t) no ponto f(t0 )
Exemplo
Calcular a reta tangente para a curva
Identificando o valor do parâmetro t que satisfaz a curva observamos que o único valor é t = 1. 
Derivamos a função vetorial dada. 
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Esta função nos leva ao vetor diretor (vetor tangente a curva), ou seja, o vetor v = (3,2,1).
A reta tangente será:
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RESUMINDO
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CÁLCULO III
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
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