AULA 2 - ESTATÍSTICA - Distribuição Binomial

Prévia do material em texto

Professor Raul Messias Neto
Tema: DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição binomial é a distribuição de probabilidade discreta do número de sucessos numa sequência de tentativas tais que:
Cada tentativa tem exclusivamente como resultado duas possibilidades, sucesso ou insucesso (fracasso) -	binomial, a que se chama de tentativa de Bernoulli, e;
Cada tentativa é independente das demais, e;
A probabilidade de sucesso a cada tentativa permanece constante independente das demais, e;
A variável de interesse, ou pretendida, é o número de sucessos nas tentativas.
Distribuição Binomial
Distribuição Binomial
Um experimento que consiste em uma sequência de ensaios ou tentativas independentes, isto é, ensaios nos quais a probabilidade de um resultado em cada ensaio não depende dos resultados ocorridos nos ensaios anteriores, nem dos resultados nos ensaios posteriores. Em cada ensaio, podem ocorrer apenas dois resultados, um deles que chamaremos de sucesso (S) e outro que chamaremos de fracasso (F). À probabilidade de ocorrer sucesso em cada ensaio chamaremos de p; a probabilidade de fracasso chamaremos de q, de tal modo que q=1–p. Tal tipo de experimento recebe o nome de ensaio de Bernoulli.
Distribuição Binomial
Relembrando o conceito de Fatorial
O fatorial é uma forma de decompor um número natural. Para calcular o fatorial de um número, basta multiplicá-lo por todos os seus antecessores até
“!”.
o número 1. O fatorial é representado pelo sinal de exclamação Veja o exemplo de como se calcular o fatorial do número 4.
4! (lê-se: quatro fatorial)
Para o cálculo, basta multiplicarmos o número que acompanha o fatorial por todos seus antecessores até o número 1, assim:
4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24
Distribuição Binomial
Formalmente podemos escrever o fatorial da seguinte maneira:
Considere um número natural n > 2. O fatorial de n é indicado por n! e é dado pela multiplicação de n por todos seus antecessores inteiros positivos.
n! = n (n – 1) · (n – 2) · (n – 3) · … · 1 Observe os fatoriais a seguir:
4! e 5!
Realizando o desenvolvimento de ambos:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 ·1
Observe que no desenvolvimento do 5! aparece o desenvolvimento do 4!.
Portanto, podemos escrever o 5! desta forma: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
5! = 5 · 4!
Distribuição Binomial
C (n,k) =	𝐶(8,3)
Distribuição Binomial - Fatorial
Distribuição Binomial - Exemplo
Uma prova consta de 10 testes com 5 alternativas cada um, sendo apenas uma delas correta. Um aluno que nada sabe a respeito da matéria avaliada, “chuta” uma resposta para cada teste. Qual é a probabilidade de ele acertar exatamente 6 testes?
Resolução
A probabilidade de acertar um teste aleatoriamente é 1/5 = 0,2 (20%). Logo, a de errar esse teste é de = 0,8 (80%).
n = 10 testes
k = acertar 6 testes
p = 0,2
q = 0,8
Distribuição Binomial – Resolução do Exemplo na Científica
n = 10 testes k = acertar 6 testes p = 0,2 q = 0,8 (1 – p)
=	210 maneiras.
C (n,k) =	𝐶(10,6) =	10!
6!.(10−6)!
210 . (0,2)^6 . (0,8)^4 ≅ 0,0055 ou 0,55%. 
Na calculadora científica 10 nCr 6 (para calcular o fatorial = (210)
Distribuição Binomial – Resolução do Exemplo na HP 12 C
n = 10 testes k = acertar 6 testes p = 0,2 q = 0,8 (1 – p)
10g3enter6g3:4g3: = 210enter 0,2enter6^ vezes 0,8enter4^ vezes 
≅ 0,0055 ou 0,55%.
Distribuição Binomial – Resolução do Exemplo na Calculadora Web
n = 10 testes k = acertar 6 testes p = 0,2 q = 0,8 (1 – p)
http://vassarstats.net/textbook/ch5apx.html
Distribuição Binomial – Interatividade 1
Uma urna tem 4 bolas vermelhas (V) e 6 brancas (B). Uma bola é extraída, observada sua cor e reposta na urna. O experimento é repetido 5 vezes. Qual a probabilidade de observarmos exatamente 3 vezes bola vermelha?
n = 5 retiradas	 k = 3 bolas vermelhas
p = 4/10 
(0,4) q = 6/10 (0,6)
Distribuição Binomial – Resolução 1 (Científica)
n = 5 retiradas	k = 3 bolas vermelhas
p = 4/10
(0,4) q = 6/10
(0,6)
𝐶(5,3) = 5! = 10 maneiras
3!.(5−3)! 
10 . (0,4)^3 . (0,6)^2 ≅ 0,2304 ou 23,04%.
Distribuição Binomial – Resolução 1 (HP 12 C)
n = 5 retiradas	k = 3 bolas vermelhas
p = 4/10
(0,4) q = 6/10
(0,6)
≅ 0,2304 ou 23,04%.
5g3enter3g3:2g3: = 10enter 0,4enter3^ vezes 0,6enter2^ vezes 
Distribuição Binomial – Resolução 1 (Calculadora Web)
n = 5 retiradas	k = 3 bolas vermelhas
p = 4/10
(0,4) q = 6/10
(0,6)
http://vassarstats.net/textbook/ch5apx.html
Distribuição Binomial – Interatividade 2
Em uma cidade, 10% das pessoas possuem carro de marca A. Se 30 pessoas são selecionadas ao acaso, com reposição, qual a probabilidade de exatamente 5 pessoas possuírem carro de marca A?
n = 30 pessoas
k = 5 pessoas	p = (0,1)	q = (0,9)
Distribuição Binomial – Resolução 2
n = 30 pessoas
k = 5 pessoas	p = (0,1)	q = (0,9)
𝐶(30,5) 
30!
5!.(30−5)! = 142.506 maneiras.
142506 . (0,1)^5 . (0,9)^25 ≅ 0,1023 ou 10,23%. (Científica)
30g3enter5g3:25g3: = 142506enter 0,1enter5^ vezes 0,9enter25^ vezes (HP 12C)
Distribuição Binomial – Resolução 2
Distribuição Binomial – Resolução 1 (Calculadora Web)
n = 30 pessoas
k = 5 pessoas	p = (0,1)	q = (0,9)
Distribuição Binomial - Interatividade 3
Admite–se que uma válvula eletrônica, instalada em determinado circuito, tenha probabilidade 0,3 de funcionar mais de 600 horas. Analisando–se 10 válvulas, qual será a probabilidade de que, entre elas, pelo menos 3 continuem funcionando após 600 horas?
n = 10 válvulas	k = P(X≥3) 
p = (0,3)	q = (0,7)
Distribuição Binomial – Resolução 3
n = 10 válvulas	k = P(X≥3) = 1 – P(X<3)
𝐶(10,2) =
10!
2!.(10−2)! = 45(0,3)^2(0,7)^8 = 23,35%
p = (0,3)	q = (0,7)
10g3enter2g3:8g3: = 45enter
0,3enter2^ vezes 0,7enter8^ vezes
𝐶(10,1) =
10!
1!.(10−1)! = 10(0,3)^1(0,7)^9 = 12,11%
𝐶(10,0) =
10!
0!.(10−0)! = 1(0,3)^0(0,7)^10 = 2,83%
TOTAL = 38,29%
PORTANTO, 100% - 38,29% =	61,71%
Distribuição Binomial – Resolução 3 (Calculadora Web)
n = 10 válvulas	k = P(X≥3) = 1 – P(X<3)
p = (0,3)	q = (0,7)
Distribuição Binomial – Interatividade 4
Em uma UTI, em média 5% dos bebês que nascem prematuros não sobrevivem. Se, atualmente, há 40 bebês prematuros, qual a probabilidade de que no máximo 5% dos bebês não sobrevivam?
n = 40 bebês 
p = (0,05)
q = (0,95)
k = no máximo 2 (5% de 40 bebês)
Distribuição Binomial – Resolução 4
p = (0,05)
q = (0,95)
k = no máximo 2 (5% de 40 bebês)
n = 40 bebês 
𝐶(40,0) =
40!
0!.(40-0)! = 1(0,05)^0(0,95)^40 = 12,85%
𝐶(40,1) =
40!
1!.(40-1)! = 40(0,05)^1(0,95)^39 = 27,06%
𝐶(40,2) =
40!
2!.(40-2)! = 780(0,05)^2(0,95)^38 = 27,77%
TOTAL = 67,68%
Distribuição Binomial – Resolução 4 (Calculadora Web)
n = 40 bebês 
p = (0,05)
q = (0,95)
k = no máximo 2 (5% de 40 bebês)
Distribuição Binomial – Calculadora Web
Vamos praticar. Entre no link abaixo para os exercícios.
https://forms.office.com/Pages/ResponsePage.aspx?id=jOaT0T_lEEambVb_MA_semLSZyaSqTFFtM_Shv_fpttUOTlHQ0NCMTBCMkZORUZNMzJHREQ0UzFMVy4u
Link da Calculadora Web
http://vassarstats.net/textbook/ch5apx.html
Link do onedrive (Material das aulas)
https://unipead-my.sharepoint.com/:f:/g/personal/raul_neto_docente_unip_br/EpNFG_X0nXBBp3SLVRgpFZUBHL_GJplJlRiHprJJj3zOxQ?e=yTKVgo 
Distribuição Binomial – Questões Complementares
Questões Complementares (Calculadora)	http://vassarstats.net/textbook/ch5apx.html
Um vendedor sabe que, ao sair para fazer um determinado tipo de venda, tem 30% de probabilidade de concretizá‑la. Num dia qualquer, ele sai para atender 20 clientes. Qual é a probabilidade de fazer exatamente 8 vendas? R: 0,1144 (11,44%)
Uma remessa de 800 estabilizadores de tensão é recebida pelo controle de qualidade de uma empresa. São inspecionados 20 aparelhos da remessa, que será aceita se ocorrer no máximo um defeituoso. Há 80 defeituosos no lote. Qual a probabilidade de o lote ser aceito? R: 0,3917 (39,17%)
Distribuição Binomial – Questões Complementares
Questões Complementares (Calculadora)	http://vassarstats.net/textbook/ch5apx.htmlAcredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma grande indústria 	siderúrgica têm alergia aos poluentes lançados ao ar. Admitindo que este percentual de 	alérgicos é real, calcule a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia 	entre 13 selecionados ao acaso. R: 0,2526 (25,26%)
4. A probabilidade de uma máquina produzir uma peça defeituosa é de 0,1. Qual a 	probabilidade de que em 20 peças produzidas pela máquina num dia, ocorram 3 	defeituosas? R: 0,1901 (19,01%)
Distribuição Binomial – Questões Complementares
5. Um levantamento efetuado na carteira de uma agência bancária indicou que 20% dos títulos eram pagos com atraso. Se em determinado dia foram pagos 20 títulos da carteira, determine a probabilidade que no máximo dois sejam pagos com atraso. R.: 20,60%
Uma confecção de roupa infantil suspeita que 30% de sua produção apresenta algum defeito. Se tal suspeita é correta, determine a probabilidade de que, numa amostra de quatro peças, sejam encontradas:
 No mínimo duas peças com defeitos; R.: 34,83%
Distribuição Binomial – Questões Complementares
7. Verifica-se, em uma fábrica, que, em média, 10% dos parafusos produzidos por uma determinada máquina não satisfazem a certas especificações. Se forem selecionados, ao acaso, oito parafusos da produção diária dessa máquina, determine a probabilidade de nenhum deles ser defeituoso. R.: 43,05%
8. Em determinada turma de uma universidade, em 2019, 20% dos alunos foram reprovados em Estatística Aplicada. Se escolhermos, aleatoriamente, oito alunos dessa turma, qual a probabilidade de exatamente três desses alunos terem sido reprovados. R.: 14,68%
Distribuição Binomial – Questões Complementares
9. Sabe-se que a probabilidade de um estudante que entra na Universidade se formar é 0,30. Determine a P(X) de que dentre 6 estudantes escolhidos aleatoriamente:
Três se formem R: 0,1852 (18,52%)
b) Nenhum se forme R: 0,1176 (11,76%)
Distribuição Binomial – Questões Complementares
10. Devido às altas taxas de juros, uma firma informa que 30% de suas contas a receber de outras firmas comerciais se encontram vencida. Se um contador escolher, aletoriamente uma amostra de cinco contas, determinar a probabilidade de cada um dos seguintes eventos:
 a) Nenhum das contas estar vencida R: 0,1681 (16,81%)
b) Exatamente duas das contas estarem vencidas R: 0,3087 (30,87%)
c) A maioria das contas estarem vencidas R: 0,1631 (16,31%)
d) Exatamente 20% das contas estarem vencidas R: 0,3602 (36,02%)
Distribuição Binomial – Questões Complementares (Resolução)
1) N = 20 k = 8 p = 0,3 q = 0,7
Distribuição Binomial – Questões Complementares (Resolução)
2) N = 20 k = 1 p = 0,1 q = 0,9
Distribuição Binomial – Questões Complementares (Resolução)
3) N = 13 k = 4 p = 0,2 q = 0,8
Distribuição Binomial – Questões Complementares (Resolução)
4) N = 20 k = 3 p = 0,1 q = 0,9
Distribuição Binomial – Questões Complementares (Resolução)
5) N = 20 k = 2 p = 0,2 q = 0,8
Distribuição Binomial – Questões Complementares (Resolução)
6) N = 4 k = 2 p = 0,3 q = 0,7
Distribuição Binomial – Questões Complementares (Resolução)
7) N = 8 k = 0 p = 0,1 q = 0,9
Distribuição Binomial – Questões Complementares (Resolução)
8) N = 8 k = 0 p = 0,1 q = 0,9
Distribuição Binomial – Questões Complementares (Resolução)
9a) N = 6 k = 3 p = 0,3 q = 0,7
Distribuição Binomial – Questões Complementares (Resolução)
9b) N = 6 k = 0 p = 0,3 q = 0,7
Bibliografia Digital
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 6ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2015.
MCCLAVE, J. T.; BENSON, P. G.; SINCICH, T. Estatística para administração e economia. 10. ed. São Paulo: Pearson Education, 2009.
BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P.A. Estatística Básica 9ª ed. São Paulo: Saraiva, 2017.
Material elaborado por:
Prof.ª Dra. Deiby Santos Gouveia Prof.ª Julia H Sakuma Di Petta
Profª Maria Laura Brito
Profº Raul Messias Neto
Referências
Próxima aula
Tema: Distribuição de Poisson