Aula 1 - DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL e POISSON

Prévia do material em texto

Professor Raul Messias Neto
ESTATÍSTICA APLICADA
Revisando Distribuição Binomial e Poisson 
 Distribuição de Probabilidade: é um modelo matemático que relaciona um certo valor da variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência.
 Variável aleatória: é aquela cujos valores são determinados por processos acidentais, ao acaso, que não estão sob o controle do observador.
Tipos de Distribuição de Probabilidade:
 Discreta – se houver um número finito ou contável de resultados possíveis que possam ser enumerados.
 Modelos: Binomial, Poisson
 Contínua - se houver um número incontável de resultados possíveis, representado por um intervalo.
 Modelos: Normal 
Distribuição de Probabilidade
Distribuição Binomial
 A Distribuição Binomial é uma distribuição discreta de probabilidade, aplicável sempre que o processo de amostragem é do tipo de Bernoulli
Processo de Bernoulli
 O experimento é repetido por um número fixo de tentativas, sendo uma independente de todas as outras.
 Só existem dois resultados possíveis: sucesso (p) ou fracasso (q)
 p e q = 1 - p
c) A probabilidade de sucesso é constante em cada tentativa.
d) A variável aleatória x conta o número de tentativas com sucesso.
Notação: 
n = número de vezes que uma tentativa é repetida
p = P(p) : probabilidade de sucesso em uma única tentativa
q = P(q) : probabilidade de fracasso em uma única tentativa
x = contagem do número de sucessos em n tentativas : 0, 1, 2, 3....n
Distribuição Binomial
EXEMPLO: Determine se o experimento a seguir é Binomial ou não. Se for, especifique os valore de n, p e q e enumere os valores possíveis da variável aleatória x. Se não for, justifique sua resposta.
a) Um determinado procedimento cirúrgico tem 85% de chance de sucesso. Um médico realiza o procedimento em oito pacientes. A variável aleatória representa o número de cirurgias bem-sucedidas
Resposta: p(S) = 85% 
 p(q) = 15% 
 n = 8 pacientes
 x = número de cirurgias bem sucedidas (0,1,2,3,4,5,6,7,8).
	 
Distribuição Binomial
Distribuição Binomial
b) Você responde a um teste de múltipla escolha que consiste em 10 questões. Cada uma tem quatro respostas possíveis, mas somente uma é correta. Para completar o teste, você escolhe aleatoriamente a resposta de cada questão. A variável aleatória representa o número de respostas corretas.
Resposta: p(S) = 0,25 1/4
 p(q) = 0,75 3/4
 n = 10
 x = número de respostas corretas (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10).
 
Distribuição Binomial
Distribuição Binomial
c) Uma caixa contém 20 bolas de gude, sendo cinco vermelhas, nove azuis e seis verdes. Você seleciona ao acaso três bolas da caixa, sem reposição. A variável aleatória representa o número de bolas vermelhas.
Resposta: O experimento não é repetido por um número fixo de vezes.
Distribuição Binomial
NÃO É Distribuição Binomial
EXEMPLO: Calcule 
 
 
 OU
Relembrando Análise Combinatória - Fatorial
n = 8
k = 3
Calculadoras
HP – 12C
EX.: 8!
8
Calculadora científica 
 
EX.: 8!
8
Ex.: 
SHIFT
X!
ENTER
G
n!
Distribuição Binomial
Um dado de seis faces é jogado três vezes. Obtenha a probabilidade de sair exatamente um 6
Distribuição Binomial – Exemplo 1
n = 3 p = 1/6 q = 5/6 k = 1 (sair só um seis)
Notação: 
n = número de vezes que uma tentativa é repetida
p = P(p) : probabilidade de sucesso em uma única tentativa
q = P(q) : probabilidade de fracasso em uma única tentativa
X = contagem do número de sucessos em n tentativas. (k) = 0, 1, 2, 3....n
Em uma cidade, 10% das pessoas possuem carro de marca A. Se 30 pessoas são selecionadas ao acaso, com reposição, qual a probabilidade de exatamente 5 pessoas possuírem carro de marca A? 
Distribuição Binomial – Exemplo 2
n = 30 p = 0,1 q = 0,9 P(x = 5)=?
Calculadora Científica
Calculadora HP 12 C
Calculadora HP-12C
G
30
n!
ENT
5
G
n!
.
25
G
n!
÷
0,1
ENT
5
yx
0,9
ENT
25
yx
.
.
Sabe-se que a probabilidade de um estudante que entra na Universidade em se formar é 0,30. Determine a P(X) de que dentre seis estudantes escolhidos aleatoriamente:
Três se formem
b) Nenhum se forme
Distribuição Binomial – Exemplo 3
n = 6 p = 0,3 q = 0,7 P (X) = ?
RESPOSTA: Sabe-se que a probabilidade de um estudante que entra na Universidade em se formar é 0,30. Determine a P(X) de que dentre seis estudantes escolhidos aleatoriamente:
Três se formem 
Distribuição Binomial
n = 6 p = 0,3 q = 0,7 P (X) = ?
Distribuição Binomial
Calculadora científica 
(0,3
.
^
3)
(0,7
.
^
3)
=
X!
6
=
SHIFT
÷
(3
SHIFT
X!
.
3
SHIFT
X!
)
=
Distribuição Binomial
Calculadora HP-12C
G
6
n!
ENT
3
G
n!
.
3
G
n!
÷
0,3
ENT
3
yx
0,7
ENT
3
yx
.
.
RESPOSTA: Sabe-se que a probabilidade de um estudante que entra na Universidade em se formar é 0,30. Determine a P(X) de que dentre seis estudantes escolhidos aleatoriamente:
b) Nenhum se forme
Distribuição Binomial
n = 6 p = 0,3 q = 0,7 P (X) = ?
176
Vamos praticar com a ferramenta!
http://vassarstats.net/textbook/ch5apx.html
 Exact Binomial Probability Calculator:
 http://vassarstats.net/textbook/ch5apx.html
 
Distribuição Binomial
Resolver os exemplos 1, 2 e 3 utilizando a Calculadora Web
http://vassarstats.net/textbook/ch5apx.html
 
EXEMPLO 1: Um dado de seis faces é jogado três vezes. Obtenha a probabilidade de sair exatamente um 6.
EXEMPLO 2: Em uma cidade, 10% das pessoas possuem carro de marca A. Se 30 pessoas são selecionadas ao acaso, com reposição, qual a probabilidade de exatamente 5 pessoas possuírem carro de marca A?
EXEMPLO 3: Sabe-se que a probabilidade de um estudante que entra na Universidade em se formar é 0,30. Determine a P(X) de que dentre seis estudantes escolhidos aleatoriamente:
Três se formem
Nenhum se forme
Treinando com a Calculadora Web
Resposta http://vassarstats.net/textbook/ch5apx.html
 EXEMPLO 1: Um dado de seis faces é jogado três vezes. Obtenha a probabilidade de sair exatamente um 6.
n = 3 
p = 1/6 
q = 5/6 
k = 1 (sair só um seis)
P(x=1) =34,72% 
Treinando com o software
Resposta http://vassarstats.net/textbook/ch5apx.html
 
EXEMPLO 2: Em uma cidade, 10% das pessoas possuem carro de marca A. Se 30 pessoas são selecionadas ao acaso, com reposição, qual a probabilidade de exatamente 5 pessoas possuírem carro de marca A?
n = 30 
p = 0,1 
q = 0,9 
k = 5
P(x=5) = 10,23% 
Treinando com o software
Resposta http://vassarstats.net/textbook/ch5apx.html
 
 EXEMPLO 3: Sabe-se que a probabilidade de um estudante que entra na Universidade em se formar é 0,30. Determine a P(X) de que dentre seis estudantes escolhidos aleatoriamente:
Três se formem
n = 6 
p = 0,30 
q = 0,70 
P (X =3) = ?
P(X = 3 ) = 18,52% 
Treinando com o software
Resposta http://vassarstats.net/textbook/ch5apx.html
 
 EXEMPLO 3: Sabe-se que a probabilidade de um estudante que entra na Universidade em se formar é 0,30. Determine a P(X) de que dentre seis estudantes escolhidos aleatoriamente:
b) Nenhum se forme
n = 6 
p = 0,30 
q = 0,70 
P (X =0) = ?
P(X = 0 ) = 11,76% 
Treinando com o software
Distribuição de Poisson 
Definição: 
É uma distribuição discreta de probabilidade de uma variável aleatória x que satisfaz às seguintes condições:
1- O experimento consiste na contagem do número de vezes, x, que um evento ocorre em um determinado intervalo (tempo, área, volume).
2- A probabilidade de que o evento ocorra é a mesma para cada intervalo.
3- O número de ocorrência de um intervalo é independente do número de ocorrênciasem outro intervalo.
Distribuição de Poisson
FÓRMULA:
A probabilidade de que haja x ocorrências em um intervalo é:
Onde = 0,1,2,3.... (assume valores em todo o conjunto dos números naturais)
 e = 2,71828 (nº de Euler)
 µ = número médio de ocorrências por intervalo unitário 
 p = probabilidade de sucesso
 n = número de repetições 
Distribuição de Poisson
 
Exemplo 1: A média de pessoas que adquirem um seguro em um certo banco é 3 por hora. Determine as seguintes probabilidades:
 Em uma determinada hora serem vendidas exatamente 4 seguros.
 P(x=4)
b) Nessa mesma hora venderem menos de 2 seguros?
 P(x = 0) + P(x = 1)
Distribuição de Poisson
µ = 3 P (X) = ?
 
Resposta: A média de pessoas que adquirem um seguro em um certo banco é 3 por hora. Determine as seguintes probabilidade
 Em uma determinada hora serem vendidas exatamente 4 seguros
Distribuição de Poisson
µ = 3 P (X) = ?
☺INTERPRETAÇÃO
Exatamente quatro: X = 4
 
P(x = 4) = 81 . (2,71828)-3
 
 24
P(x = 4) = 81 . 0,049787
 24
P(x= 4) = 0,168003 ( 16,80%)
Distribuição de Poisson
Calculadora científica 
	(3	^	4	.		SHIFT		ex	-3)	÷	4	SHIFT		X!
Ex.: 
 
Distribuição de Poisson
HP – 12C
	3	CHS		g		eX		.
	4	g		n!		÷
	3	ENT	4	YX
Ex.: 
 
Resposta: A média de pessoas que adquirem um seguro em um certo banco é 3 por hora. Determine as seguintes probabilidade
b) Nessa mesma hora venderem menos de 2 seguros?
Distribuição de Poisson
µ = 3 P (X) = ?
☺INTERPRETAÇÃO
Menos de Dois: X < 2
 
RESPOSTA FINAL: A média de pessoas que adquirem um seguro em um certo banco é 3 por hora. Determine as seguintes probabilidade
Em uma determinada hora serem vendidas exatamente 4 seguros.
R. P(X = 4) =16,80%
b) Nessa mesma hora venderem menos de 2?
R. P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)
 P(X < 2) = 19,91%
Distribuição de Poisson
µ = 3 P (X) = ?
 
Exemplo 2: Um departamento recebe 8 chamadas por hora. Qual a probabilidade de que:
Em uma hora, ocorram 3 chamadas?
b) Em 15 minutos não ocorra nenhuma chamada.
Distribuição de Poisson
µ = 8 P (X) = ?
 
Resposta: Um departamento recebe 8 chamadas por hora. Qual a probabilidade de que:
Em uma hora, ocorram 3 chamadas?
Distribuição de Poisson
µ = 8 P (X) = ?
☺INTERPRETAÇÃO
Três chamadas: X = 3
 
Resposta: Um departamento recebe 8 chamadas por hora. Qual a probabilidade de que:
b) Em 15 minutos não ocorra nenhuma chamada.
Distribuição de Poisson
µ = 8 P (X) = ?
☺INTERPRETAÇÃO
Nenhuma chamada: X = 0
 
RESPOSTA FINAL: Um departamento recebe 8 chamadas por hora. Qual a probabilidade de que:
a) Em uma hora, ocorram 3 chamadas?	 R: P(X = 3)= 2,86%
b) Em 15 minutos não ocorra nenhuma chamada 		R: P(X = 0)= 13,53%
Distribuição de Poisson
µ = 8 P (X) = ?
µ = 8
µ = 2
 
	 Usando a tecnologia
 Acessar calculadora online:
 Poisson Distribution Calculator: 
 https://stattrek.com/online-calculator/poisson.aspx 
 
Distribuição de Poisson
 
Resolver os exemplos 1 e 2 utilizando a Calculadora Web
https://stattrek.com/online-calculator/poisson.aspx
 
EXEMPLO 1: Exemplo 1: A média de pessoas que adquirem um seguro em um certo banco é 3 por hora. Determine as seguintes probabilidades:
 Em uma determinada hora serem vendidas exatamente 4 seguros. 
b) Nessa mesma hora venderem menos de 2 seguros?
EXEMPLO 2: Um departamento recebe 8 chamadas por hora. Qual a probabilidade de que:
Em uma hora, ocorram 3 chamadas?
b) Em 15 minutos não ocorra nenhuma chamada.
Treinando com a Calculadora Web
Resolver os exemplos 1 e 2 utilizando a Calculadora Web
https://stattrek.com/online-calculator/poisson.aspx
 
EXEMPLO 1: Exemplo 1: A média de pessoas que adquirem um seguro em um certo banco é 3 por hora. Determine as seguintes probabilidades:
 Em uma determinada hora serem vendidas exatamente 4 seguros. 
Treinando com a Calculadora Web
Resolver os exemplos 1 e 2 utilizando a Calculadora Web
https://stattrek.com/online-calculator/poisson.aspx
 
EXEMPLO 1: Exemplo 1: A média de pessoas que adquirem um seguro em um certo banco é 3 por hora. Determine as seguintes probabilidades:
b) Nessa mesma hora venderem menos de 2 seguros?
Treinando com a Calculadora Web
Resolver os exemplos 1 e 2 utilizando a Calculadora Web
https://stattrek.com/online-calculator/poisson.aspx
 
EXEMPLO 1: Exemplo 2: Um departamento recebe 8 chamadas por hora. Qual a probabilidade de que:
Em uma hora, ocorram 3 chamadas?
Treinando com a Calculadora Web
Resolver os exemplos 1 e 2 utilizando a Calculadora Web
https://stattrek.com/online-calculator/poisson.aspx
 
EXEMPLO 1: Exemplo 2: Um departamento recebe 8 chamadas por hora. Qual a probabilidade de que:
b) Em 15 minutos não ocorra nenhuma chamada.
Treinando com a Calculadora Web
Bibliografia Digital
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 6ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2015.
MCCLAVE, J. T.; BENSON, P. G.; SINCICH, T. Estatística para administração e economia. 10. ed. São Paulo: Pearson Education, 2009.
BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P.A. Estatística Básica 9ª ed. São Paulo: Saraiva, 2017.
Material elaborado por:
Prof.ª Dra. Deiby Santos Gouveia 		Profª Maria Laura Brito 
Profº Júlia Petta 	 			Profº Raul Messias Neto
Referências
Até a próxima Aula!
47