2 2 - Distribuições Discretas de Probabilidade - Binomial e Poisson

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Distribuições Discretas de Probabilidade: 
Binomial e Poisson
APRESENTAÇÃO
Na estatística, as distribuições de probabilidade são descritas por uma variável aleatória X, que é 
uma função onde cada valor do espaço amostral é associado a um número real. Ou seja, uma 
distribuição de probabilidade é um modelo que mostra como uma variável se distribui no espaço 
amostral. Se essa variável aleatória X puder assumir apenas valores inteiros ao longo de uma 
escala, ela é chamada discreta.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai estudar duas distribuições discretas de 
probabilidades: Binomial e de Poisson, destacando as suas aplicações e a distinção entre elas.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir as distribuições de probabilidade.•
Reconhecer as distribuições discretas de probabilidade.•
Calcular probabilidades utilizando os métodos Binomial e de Poisson.•
DESAFIO
Na estatística, assim como as variáveis podem ser discretas (relacionadas a contagem) ou 
contínuas (relacionadas a medição), as distribuições também podem. A distribuição binomial é 
um exemplo de distribuição de probabilidade discreta, que é utilizada quando temos um número 
de repetições de um experimento, uma probabilidade de sucesso associada ao acontecimento 
positivo do que estamos estudando e uma probabilidade de fracasso sobre esse mesmo evento.
A distribuição de Poisson é outro exemplo de distribuição de probabilidade discreta, que pode 
ser utilizada quando em vez do sucesso ser observado em um número de repetições, é feito em 
um intervalo contínuo de tempo ou espaço. Ou seja, o sucesso da distribuição Poisson é 
observado em um intervalo contínuo, e o da binomial é em um número de repetições.
Imagine que você é o estatístico de uma grande empresa sendo responsável tanto por monitorar 
a qualidade dos produtos fabricados lá, quanto por auxiliar o setor de recursos humanos com 
demandas que envolvem estatística. Neste contexto:
a) Qual a probabilidade de que não mais do que 1 entre 10 produtos escolhidos aleatoriamente 
apresente defeito em um teste de qualidade? Considere uma população grande, com 
probabilidade de defeitos de 20%.
b) Sabendo que as contratações da empresa têm distribuição de Poisson e ocorrem em uma 
média de 6 por dia, qual a probabilidade de, em determinado dia, acontecerem exatamente 3 
contratações?
INFOGRÁFICO
Em estatística, podemos ter distribuições discretas ou contínuas. As distribuições discretas são 
utilizadas quando temos variáveis discretas – aquelas obtidas por meio de contagem. As 
distribuições contínuas utilizam variáveis contínuas – aquelas obtidas por meio de medidas.
As distribuições Binomial e de Poisson são exemplos de distribuições discretas, ou seja, 
distribuições onde a variável aleatória X assume valores discretos (inteiros).
Neste Infográfico, vamos comparar as duas distribuições discretas vistas nesta unidade, 
ressaltando a sua representação.
Maycon Carbone
Caixa de texto
a) É a soma das probabilidades de não ter nenhuma peça com defeito e ter apenas uma com defeito, que é: 0,1074 + 0,2684 = 0,3758 ou 37,58%.
b) 8,93% - vide cálculo a seguir.
Maycon Carbone
Carimbo
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CONTEÚDO DO LIVRO
Acompanhe o Capítulo Distribuições Discretas de Probabilidade: Binomial e Poisson do livro 
Estatística, que é a base teórica para esta Unidade de Aprendizagem.
Boa leitura.
ESTATÍSTICA
Juliane Silveira 
Freire da Silva
Distribuições discretas 
de probabilidade: 
binomial e de Poisson
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir as distribuições de probabilidade.
 � Reconhecer as distribuições discretas de probabilidade.
 � Calcular probabilidades utilizando os métodos binomial e de Poisson.
Introdução
Neste capítulo, você entenderá o que são distribuições de probabilida-
des, conhecerá as distribuições discretas de probabilidade e aprenderá 
a calcular probabilidades utilizando os métodos binomial e de Poisson. 
Distribuições de probabilidade 
Assim como as variáveis quantitativas discretas e quantitativas contínuas, 
também existem as distribuições de probabilidade discretas e distribuições 
de probabilidade contínuas.
A lógica de entendimento é a mesma: assim como a variável quantitativa 
discreta resulta de uma contagem, a distribuição de probabilidade discreta tem 
seu espaço amostral com resultados possíveis que resultam de uma contagem.
A variável quantitativa contínua resulta de uma medição, e a distribuição 
de probabilidade contínua tem, em seu espaço amostral, medidas que resultam 
de alguma medição em um espaço contínuo.
As distribuições de probabilidade são descritas por uma variável aleatória X, 
que é uma função que, a cada valor do espaço amostral, associa um número real.
Experimento é tudo que possa ser reproduzido n vezes sob as mesmas condições e 
será aleatório quando não pudermos prever o resultado, apenas saber de antemão 
todos os resultados possíveis. Espaço amostral são todos os resultados possíveis de 
um experimento.
Variável aleatória discreta
Uma variável aleatória X é dita discreta quando puder assumir apenas valores 
inteiros ao longo de uma escala. Se, para cada um dos valores da variável 
aleatória discreta, teremos a sua probabilidade definida por:
f(x) = P(X = x)
onde:
f(x) função matemática de x;
P(X = x) probabilidade da variável aleatória X em determinado ponto da 
escala x.
Como estamos lidando com um valor discreto do espaço amostral da 
variável em estudo, para , teremos apenas valores inteiros. 
A função de probabilidade da variável aleatória discreta também é chamada 
função massa de probabilidade (fmp) e satisfaz os seguintes pressupostos:
 � 0 ≤ f(x) ≤ 1
 � ∑ f(xi) = 1
Por exemplo, uma moeda equilibrada é lançada duas vezes. A variável X 
é o número de caras nesses lançamentos. O espaço amostral é descrito por:
C = coroa
K = cara
Ω = (CC, CK, KC, KK)
X = 0 → f(0) = P(CC) = 14
Distribuições discretas de probabilidade: binomial e de Poisson2
X = 1 → f(1) = P(CK ∙ KC) = 2
4
X = 2 → f(2) = P(KK) = 14
x 0 1 2
f(x) ¼ 2/4 ¼
Variável aleatória contínua
Uma variável aleatória é dita contínua quando X puder assumir qualquer valor 
do intervalo do espaço amostral. Diferentemente das funções discretas de 
probabilidade, em que podemos calcular os valores no ponto em que a variável 
X assume nas distribuições continuas. Como a função f(x) será contínua, nesse 
caso, calculamos a probabilidade de intervalos para a variável X, pois, mate-
maticamente, quando temos uma função contínua, precisamos calcular áreas 
abaixo da curva para chegarmos às probabilidades associadas à variável X.
Vamos a um exemplo de variável contínua: seja X o tempo médio de vida 
útil de uma lâmpada. O espaço amostral pode ir de um tempo 0 até um tempo 
que pode tender ao infinito. Para calcularmos a probabilidade, precisaríamos 
de intervalos, como a duração de uma lâmpada em um tempo superior a 3000 
horas. Esse espaço amostral e a probabilidade seriam representados por:
Ω = (t∈R, 0, +∞)
f(x > 3000) = P(X > 3000)
Um exemplo de distribuição contínua de probabilidade é a distribuição 
normal, a mais importante dentro da estatística.
Distribuições discretas de probabilidade
Muitas vezes, ficar pensando em espaço amostral e todas as possibilidades 
de funções pode ser complicado e desnecessário. Por esse motivo, algumas 
distribuições foram criadas por sua frequência de uso e seu uso ser útil em 
variáveis com comportamentos similares e predefinidos. Essas distribuições 
têm funções matemáticas predefinidas.
3Distribuições discretas de probabilidade: binomial e de Poisson
Existem várias distribuições discretas de probabilidade: a uniforme, a 
geométrica, a binomial, a de Poisson, entre outras.
Aqui, trataremos das duas distribuições mais usuais, devido à sua aplicação 
com dados de variáveis aleatórias discretas: a distribuição binomial e a dePoisson.
Distribuição binomial
A distribuição binomial é utilizada quando temos um número de repetições de 
um experimento, uma probabilidade de sucesso associada ao acontecimento 
positivo do que estamos estudando e uma probabilidade de fracasso sobre 
esse mesmo evento.
São situações em que pode haver sucesso ou não, e nenhuma outra hipótese 
é permitida como o número de caras em 50 lançamentos de uma moeda.
Então, temos um experimento com espaço amostral associado , além de 
repetições desse experimento. Temos, também, p probabilidade de um evento 
desse espaço amostral ocorrer em cada uma das repetições do experimento. 
Na distribuição binomial, o evento ocorre ou não — temos somente essas 
duas opções. Então, se temos uma probabilidade p desse evento ocorrer, temos 
uma probabilidade q = 1 – p desse evento não ocorrer.
Costuma-se denominar como p sendo a probabilidade de sucesso e q como 
sendo a probabilidade de fracasso. Vale ressaltar que, dependendo do evento 
que estejamos estudando, o sucesso não necessariamente seja uma afirmativa 
positiva. Quando utilizamos o termo sucesso, estamos dizendo que é a probabi-
lidade de sucesso de ocorrer o evento em particular que estamos investigando, 
independentemente de ele ter um resultado considerado positivo ou não. 
A forma da distribuição binomial é demonstrada no gráfico da Figura 1, a 
seguir, considerando 60 repetições de um experimento e uma probabilidade 
de sucesso de 15%. Anotamos uma distribuição binomial por B(n,p), no caso 
do gráfico B(20;0,15).
Distribuições discretas de probabilidade: binomial e de Poisson4
Figura 1. Comportamento distribuição B(60;0,15).
A fórmula da função matemática para cálculo de uma distribuição binomial 
é dada por:
onde: 
x é o valor do espaço amostral que se quer calcular a probabilidade;
n é o número de repetições;
p é a probabilidade de sucesso;
q = 1 – p é a probabilidade de fracasso.
Observe que, na fórmula, temos o termo 
n
x( ) Isso é resolvido por análise combinatória 
e significa n combinação x, ou seja: n
x( ) =
n!
x!. (n – x)!
 em que o ponto de exclamação 
significa fatorial.
Em algumas calculadoras científicas, a tecla para a resolução desse termo da função 
é nCr.
5Distribuições discretas de probabilidade: binomial e de Poisson
Por exemplo, atualmente, sabemos que as redes sociais são utilizadas para 
comercialização de produtos. Sabe-se, por uma pesquisa realizada, que cerca 
de 15% dos itens postados são efetivamente vendidos. Primeiramente, quere-
mos saber a probabilidade de, pelo menos, 2 itens serem vendidos em um dia 
que 10 itens foram postados para venda. Os valores que pode assumir são x = 
(2,3,4,5,6,7,8,9,10). Para não precisarmos calcular todas essas probabilidades, 
podemos fazer uso da propriedade do complementar e tirar do espaço amostral 
os valores que não fazem parte dessa sentença e têm probabilidade 1.
P(X ≥ 2) = 1 – P(X < 2) = 1 – (P(X = 0) + P(X = 1) =
1 – ∙ 0,150 ∙ 0,8510–0 + ∙ 0,151 ∙ 0,8510–1 = 0,4557 = 45,57%100( ) 101( )( (
A segunda questão é a probabilidade de vender um produto. Para isso, 
calculamos apenas x = 1.
P(X = 1) = ∙ 0,151 ∙ 0,8510–1 = 0,3474 = 34,74%10
1( )
Por fim, calcularemos a probabilidade de que sejam vendidos menos de 3 
produtos. Aqui, o x pode assumir os seguintes valores: x = 0,1,2.
P(X < 3) = ∙ 0,150 ∙ 0,8510–0 + ∙ 0,151 ∙ 0,8510–1 + ∙ 0,152 ∙ 0,8510–2 = 0,8202 = 82,02%( )100 ( )101 ( ) )102(
P(X < 3) = ∙ 0,150 ∙ 0,8510–0 + ∙ 0,151 ∙ 0,8510–1 + ∙ 0,152 ∙ 0,8510–2 = 0,8202 = 82,02%( )100 ( )100 ( ) )100(
Distribuição de Poisson
Assim como a distribuição binomial, a de Poisson também conta sucessos. 
Porém, ao invés de eles serem observados em um número de repetições, são 
feitos em um intervalo contínuo de tempo ou espaço. O sucesso da distribui-
ção Poisson é observado em um intervalo contínuo, e o da binomial é em um 
número de repetições.
Segundo Doane e Seward (2014), a distribuição de Poisson foi assim de-
nominada em homenagem ao matemático francês Simèon-Denis Poisson 
(1781-1840) e descreve o número de ocorrências de um evento dentro de uma 
unidade de tempo (por exemplo, minuto ou hora), escolhida aleatoriamente, 
ou de espaço (por exemplo, metro quadrados ou quilômetros lineares). Para se 
Distribuições discretas de probabilidade: binomial e de Poisson6
usar a distribuição, os eventos devem ocorrer aleatória e independentemente 
no espaço ou em tempo contínuo.
Por exemplo, se nossa variável X fosse número de chamadas não atendidas em 
uma central telefônica, caso observássemos essa variável em um dia que ocorreram 
300 ligações, teríamos a proporção de chamadas não atendidas (nossa probabilidade 
de sucesso) em 300 repetições do experimento, o que caracterizaria uma distribuição 
binomial. Porém, se observássemos a quantidade de chamadas não atendidas em um 
turno de 8 horas de trabalho, teríamos a taxa de ocorrência por 8 horas de trabalho, 
o que caracterizaria uma distribuição de Poisson.
A distribuição de Poisson é representada por P(λ), sendo λ a taxa de ocor-
rência do evento em estudo da variável x. Para percebermos o comportamento 
da função da distribuição de Poisson, observaremos o gráfico resultante de 
uma Poisson com λ = 5. P(5), na Figura 2.
Figura 2. Comportamento distribuição P(5).
A função matemática para o cálculo dessa distribuição é dada por:
f(x) = P(X = x) = e
–λ · λx
x!
onde: 
x é o valor do espaço amostral em que se quer calcular a probabilidade;
λ é a taxa de ocorrência.
7Distribuições discretas de probabilidade: binomial e de Poisson
Observe que, na fórmula, temos o termo e, que representa a constante Euler. É um valor 
constante, assim como o conhecido π. Para calcular a expressão e-λ nas calculadoras 
científicas, utilizamos a tecla ex.
Relembrando: o ponto de exclamação representa o fatorial.
Imagine essa central telefônica e que a taxa de chamadas não atendidas em um turno 
de 8 horas é de 10 chamadas. Queremos investigar a probabilidade de não termos 
chamadas não atendidas em uma hora.
Observem que a taxa é dada por 8 horas, mas queremos calcular a probabilidade 
por hora. e então, a primeira coisa a se fazer é descobrir a taxa por hora de chamadas 
não atendidas. Isso se resolve com uma regra de três.
10 chamadas 8horas
 λ 1 hora
Então temos λ = 1,25.
Agora, calcularemos a probabilidade de não termos chamada não atendida. e então, 
queremos calcular a probabilidade de x = 0.
f(0) = P(X = 0) = = 0,2865 = 28,65%e
–1,25 ∙ 1,250
0!
Propriedades das distribuições binomial 
e de Poisson
Como temos modelos conhecidos, podemos verificar características de modo 
geral dessas variáveis. Podem ser calculados o valor esperado, a variância e 
o desvio-padrão dessas variáveis.
Distribuições discretas de probabilidade: binomial e de Poisson8
Quando temos uma variável aleatória discreta que se aproxima de uma 
distribuição binomial, podemos calcular o valor esperado da variável x, como 
sendo:
μ = E(X) = n ∙ p
A variância dessa variável aleatória discreta sendo:
𝜎² = VAR(X) = n ∙ p ∙ q
Consequentemente, o desvio-padrão dessa variável aleatória discreta como 
sendo:
σ = √n · p · q
O mesmo pode ser feito para uma variável aleatória discreta que siga 
aproximadamente uma distribuição de Poisson. A média, ou valor esperado 
da variável aleatória x, é dada por:
μ = E(X) = λ
A variância dessa variável aleatória discreta como:
𝜎² = VAR(X) = λ
Consequentemente, o desvio-padrão dessa variável aleatória discreta sendo:
σ = √λ
DOANE, D. P.; SEWARD, L. E. Estatística aplicada à administração e economia. 4. ed. Porto 
Alegre: Bookman, 2014.
Referência
9Distribuições discretas de probabilidade: binomial e de Poisson
Conteúdo:
DICA DO PROFESSOR
A distribuição binomial é uma das distribuições discretas de probabilidade mais conhecidas. Ela 
é utilizada quando temos um número de repetições de um experimento,uma probabilidade de 
sucesso e uma probabilidade de fracasso sobre esse mesmo evento. Para utilizá-la, precisamos 
garantir que pode haver sucesso ou não, e nenhuma outra hipótese é permitida.
Nesta Dica do Professor, acompanhe como diferenciar uma distribuição discreta de uma 
contínua, como reconhecer uma situação envolvendo a distribuição binomial e como utilizar 
adequadamente a sua fórmula.
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EXERCÍCIOS
1) Um grupo de alunos está muito interessado em realizar um experimento, mas, para 
isso, precisa identificar dois conjuntos: o primeiro necessariamente de variáveis 
discretas e o segundo obrigatoriamente somente de variáveis contínuas. 
Sabendo disso, qual opção atende ao que eles precisam? 
A) 1o grupo: 0; 1/2 e 3 e 2o grupo: 1,1; 1,2; 1,3 e 1,5.
B) 1o grupo: 0; 8/8; 2 e 3 e 2o grupo: 1,1; 1,2; 1,3; 1,5 e 2.
C) 1o grupo: 0; 3 e 5/8 e 2o grupo: 0,002 ; 0,02 e 0,2.
D) 1o grupo: 3; 4 e π e 2o grupo: 1,3 ; 2,2 e 3,2.
E) 1o grupo: 1; 16/15 e 3 e 2o grupo: 40, 22 e 11.
Maycon Carbone
Realce
Maycon Carbone
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2) Huguinho, Zezinho e Luizinho estão discutindo sobre qual seria a probabilidade de 
tirar 4 vezes o número 6 ao se lançar um dado 7 vezes. Huguinho acha que é em torno 
de 20%, Zezinho acha que é cerca de 10% e Luizinho estima em torno de 2%. 
Qual deles está mais perto da resposta correta e qual é o número exato? 
A) Huguinho, pois a resposta é 15,60%.
B) Huguinho, pois a resposta é 1,56%.
C) Zezinho, pois a resposta é 10,56%
D) Luizinho, pois a resposta correta é 1,56%.
E) Luizinho, pois a resposta correta é 0,156%
3) Huguinho, Zezinho e Luizinho estão tentando adivinhar se, ao invés de tirar 4 vezes o 
número 6 ao se lançar um dado 7 vezes, conseguem acertar as mesmas 4 vezes, 
também em 7 lançamentos, o número 2. Huguinho acha que será seis vezes mais fácil, 
Zezinho acredita que será três vezes mais fácil e Luizinho acha que a probabilidade 
será a mesma. 
Qual deles está correto? 
A) Huguinho, pois é muito fácil tirar o número 2 do que o número 6.
B) Huguinho, pois é um pouco mais fácil tirar o número 2 do que o número 6.
C) Zezinho, pois 6 dividido por 2 é igual a 3.
D) Luizinho, pois tanto 6 como 2 são número pares.
Maycon Carbone
Realce
Maycon Carbone
Carimbo
E) Luizinho, pois o número que se deseja tirar não altera a probabilidade.
4) Lucas, Vitória e Pedro querem saber se, ao invés de tirar 4 vezes o número 6 ao se 
lançar um dado 7 vezes, conseguem acertar as mesmas 4 vezes, o número 6, em 6 
lançamentos. Lucas acha que a probabilidade diminuirá, Vitória acredita que a 
probabilidade aumentará e Pedro acha que a probabilidade será a mesma. 
Qual deles está correto? E qual é o número exato? 
A) Lucas. A probabilidade diminuirá em 1, já que o dado é lançado uma vez a menos.
B) Lucas. A nova probabilidade será 0,8%.
C) Vitória. A probabilidade aumentará em 1, já que o dado é lançando uma vez a menos.
D) Pedro, pois se a quantidade de vezes que se deseja tirar o número não alterar, então a 
probabilidade é a mesma.
E) Pedro, pois se o número que se deseja tirar não alterar, então a probabilidade é a mesma.
5) Um determinado jogador de futebol erra suas cobranças de pênaltis de acordo com a 
distribuição de Poisson. Em média, ele erra uma cobrança por dia. 
Em uma semana qualquer, qual a probabilidade desse jogador errar somente 3 
cobranças ao longo da semana inteira?
A) 100%
B) 0%
C) 50%
Maycon Carbone
Realce
Maycon Carbone
Carimbo
Maycon Carbone
Realce
Maycon Carbone
Carimbo
Maycon Carbone
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D) 52,1%
E) 5,21%
NA PRÁTICA
As distribuições discretas Binomial e Poisson aparecem com frequência em problemas 
aplicados. Embora o embasamento teórico dessas distribuições seja simples, os cálculos em 
geral são trabalhosos, uma vez que a binomial envolve o cálculo de combinações e a Poisson 
utiliza em sua fórmula uma potência cuja base é o número irracional e assim, o uso de 
tecnologias por auxiliar na resolução de problemas envolvendo essas distribuições. 
Veja como o uso de uma planilha eletrônica pode ajudar na aplicação prática do assunto desta 
unidade. 
Maycon Carbone
Realce
SAIBA +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Exemplos de distribuição de probabilidade discreta válida
Esse vídeo apresenta distribuições discretas e verifique se são exemplos de distribuição de 
probabilidade discreta válidos.
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Distribuição de Poisson
Esse vídeo aborda a distribuição de Poisson, explica sua fórmula, mostra como reconhecer que 
uma distribuição é de Poisson e apresenta um exemplo.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Probabilidade e Estatística para Ciências Exatas – Capítulo 4
O capítulo 4 deste livro aborda as “Distribuições normalmente utilizadas”. As distribuições de 
probabilidade binomial e Poisson são descritas nas seções 4.1 e 4.2 por meio da definição, 
seguida de vários exemplos para melhor compreensão de sua aplicação.