Função Exponencial em Diferentes Bases

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Disciplina: Bases matemáticas aplicadas à
saúde
Aula 7: Função exponencial em diferentes bases
Apresentação
Nesta aula, continuaremos o nosso estudo sobre funções e do conceito de função, isto é, toda relação de dependência em
que uma incógnita depende do valor da outra.
A função exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada
por x se encontra no expoente: f(x) = a , daí sua denominação exponencial. Também é importante ressaltar que a base a é
um valor real constante, isto é, um número real.
Prosseguiremos no caminho da apresentação e breve discussão a respeito das aplicações e interdisciplinaridades,
relacionando as funções exponenciais às diversas áreas do conhecimento.
Antes de apresentarmos uma de�nição formal para a função exponencial, suas características e propriedades, faremos uma
breve revisão das potências com expoente natural, que servirá de referência para as potências com expoente real,
caracterizando o uso de uma função desse tipo.
x
Objetivos
Reconhecer a função exponencial;
Construir grá�cos de funções exponenciais;
Desenvolver problemas com o conceito de função exponencial.
Potência
Antes de iniciarmos o estudo da função exponencial, faremos uma revisão sobre potenciação.
a
Potência com expoente natural
n
Antes de iniciarmos o estudo da função exponencial, faremos uma revisão sobre potenciação.
Dado um número real a e um número natural n diferente de zero, chama-se potência de base a e expoente n o número a que é
igual ao produto de n fatores iguais a a.
n
Exemplo
4 = 4 . 4 . 4 . 4 = 256
(-4) = (-4) . (-4) . (-4) = -64
Para n = 1, temos: a1 = a
6 = 6
4
3
1
a -n
Potência com expoente inteiro negativo
a - n =
1
an
 com a ≠ 0
Veja exemplos de potências com expoente inteiro negativo:
a) 7 - 1 =
1
7
b) 3 - 2 =
1
32
=
1
9
a
x
y
Potência com expoente racional fracionário
Veja exemplos de potência com expoente racional fracionário:
a) 3
3
5 =
5
√33
b) 4 -
1
2 =
1
4
1
2
=
1
√4
=
1
2
Propriedades
Dados a e b reais e m e n naturais, as seguintes propriedades são válidas:
am · an = am+ n
am
an
= am - n
ab)m = ambm
a
b
m
=
am
bm
am
n
= am · n
(
( )
( )
Atenção
Para expoentes iguais a zero, convencionou-se que a a = 1, com a diferente de zero.0
Equações exponenciais
Uma equação é exponencial quando a incógnita aparece no expoente. Para resolver esse tipo de equação, você deve reduzir
ambos os membros da igualdade à mesma base. Basta igualar os expoentes para recair numa equação comum.
Há equações exponenciais em que não é possível reduzir de imediato os dois membros à mesma base. Para resolvê-las, devemos
recorrer às propriedades da potenciação para reduzir ambos os membros da igualdade a uma mesma base.
Veja a seguir três tipos de equações exponenciais cuja resolução é feita através das propriedades da potenciação.
Clique nos botões para ver as informações.
Equações exponenciais em que se igualam potências de mesma base.
Exemplo:
5 = 125
Solução:
5 = 125
5 = 5
Logo x = 3
9 = 1
Solução:
9 = 1
9 = 9
Logo x = 0
Tipo 1 
x
x
x 3
x
x
x 0
Equações exponenciais que recaem em equações do 2º grau.
Exemplo:
3 - 4.3 + 3 = 0.
Solução:
A expressão dada pode ser escrita na seguinte forma:
(3 ) - 4.3 + 3 = 0
Fazendo 3 = y, temos:
y – 4y + 3 = 0
Resolvendo esta equação, teremos que:
y = 1 ou y = 3
Como 3 = y, veri�caremos quais das raízes podem satisfazer essa igualdade:
y = 1
3 = 1 → 3 = 3
x = 0
y = 3
3 = 3 → 3 = 3
x = 1
Logo, a equação 3 - 4.3 + 3 = 0 tem duas soluções:
x = 0 e x = 1
Tipo 2 
2x x
x 2 x
x
2
1
2
x
1
x x 0
2
x x 1
2x x
Equações exponenciais que possuem soma ou subtração no expoente.
Exemplo:
2 + 2 = 9
Solução:
A expressão dada pode ser escrita na forma:
2x · 21 +
2x
22
= 9
Fazendo a substituição de 2x por y, teremos que:
2y +
y
4 = 9
8y+ y
4 = 9 → 9y = 36 → y = 4
2x = 4 → 2x = 22, logo: x=2
2 + 2 = 9
x = 2
Tipo 3 
x + 1 x – 2
x + 1 x – 2
Atividade
1. Agora é a sua vez de resolver duas equações. Tomando como referência as propriedades de potenciação, resolva:
a) 
3
4
x
=
81
256
b) 3x =
4
√27
( )
2. Após assistir ao vídeo com exemplos, resolva os exercícios a seguir:
a) 
1
4
4x
= 0, 25
b) 
3
5
2x
=
27
125
c) 4x =
3
√32
d) 103x =
1
10000
e) 3x + 3x - 1 - 3x - 2 = 11
f) 4x - 9 · 2x + 8 = 0
( )
( ) ( )
Saiba mais
Assista aos exemplos de equação exponencial <https://www.youtube.com/watch?v=ROhotGfM8ek> .
Função exponencial na base e
Vimos que funções exponenciais são aquelas nas quais a variável aparece como expoente.
Dado um número real a (a > 0 e a ≠ 1) denomina-se função exponencial de base a, toda função de�nida por f(x) = a .
O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que zero).
x
Domínio
Reais

Contradomínio
Reais positivos, maiores que zero
Exemplo
a) f x = 4x
b) y =
2
3
2x - 1
Nesses exemplos, a base é 4 e 2/3 respectivamente.
( )
( )
Uma função exponencial muito importante é a função com a base e, conhecida como função exponencial natural.
O número de Neper e. (e= 2,7182818284590452353602874...) é um número irracional e transcendente estreitamente aparentado
com o número pi.
Temos que f(x) = e .x
https://www.youtube.com/watch?v=ROhotGfM8ek
São válidas para f(x) = ex todas as propriedades das funções exponenciais descritas
anteriormente.
Dica
Sinta-se encorajado a adquirir uma calculadora cientí�ca. Você a utilizará várias vezes durante a graduação.
Atividade
3. Use uma calculadora cientí�ca ou o modo calculadora cienti�ca no seu smartphone e calcule os seguintes valores:
a) 10
b) 3
c) e
d) e2x10
- 5
1,7
-5,8
1,95
Grá�cos da função exponenciais
Quando a > 0 em f(x) = a
Usaremos como exemplo o grá�co da função exponencial f(x)=2 .
Vamos montar os pares ordenados para representar o grá�co. Veja os valores na tabela a seguir.
x
x
x y
-3 0,125
-2 0,25
-1 0,5
0 1
1 2
2 4
3 8
f(x) = 2 - 3 =
1
23
=
1
8 = 0, 125
O grá�co representa uma função exponencial crescente quando a > 1.
Observe que o grá�co desta função nunca toca o eixo x.
 Função exponencial crescente a > 1. | Fonte: Denise Candal - Fundamentos de Matemática
Quando a < 0 em f(x)=ax
Vamos montar os pares ordenados para representar o grá�co.
f x =
1
2
x( ) ( )
x y
-3 0,125
-2 0,25
-1 0,5
0 1
1 2
2 4
3 8
f x =
1
2
- 3
=
1 - 3
2 - 3
=
1
2 - 3
= 23 = 8( )
O grá�co representa uma função exponencial crescente quando: 0 < a < 1 . O grá�co desta função nunca toca o eixo x.
 Função exponencial crescente 0 < a < 1. | Fonte: Denise Candal - Fundamentos de Matemática
Áreas de aplicações das funções exponenciais
As funções exponenciais podem ser aplicadas em diferentes áreas da ciência, como:
Economia Crescimento Populacional
Absorção de drogas por organismos Decaimento Radioativo
Saiba mais
Veja exemplos de aplicações das funções exponenciais em diferentes áreas da ciência <galeria/aula7/anexo/a7_doc1.pdf> .
http://estacio.webaula.com.br/cursos/go0048/galeria/aula7/anexo/a7_doc1.pdf
Atividade
4. A população de uma colônia de bactéria dobra a cada 30 minutos. Em um experimento, foi colocada inicialmente em um tubo
de ensaio uma amostra com 1000 bactérias. Ao �nal do experimento, obteve-se um total de 4; 096 x 10 bactérias. Qual foi o
tempo do experimento?
6
a) 1 hora.
b) 2 horas.
c) 3 horas.
d) 3,5 horas.
e) 6 horas.
5. (Unicamp-SP - 2007) O decaimento radioativo do estrôncio 90 é descrito pela função P(t) = P . 2 , em que t é o instante de
tempo medido em anos, b é uma constante real e P é a concentração inicial de estrôncio 90, ou seja, a concentração inicial no
instante t = 0. Se a concentração de estrôncio 90 cai pela metade em 29 anos, isto é, se a meia-vida do estrôncio 90 é de 29 anos,
determine o valor da constante b e marque a opção correta.
0
-bt
0
a) b = 90.
b) b = 29.
c) b = -90.
d) b = -29.
e) b = -32.
6. Um capital de 1000,00 reais é aplicado a jurosmensais de 4% ao mês, gerando um montante de 1731,68 reais. Determine o
tempo em meses de aplicação desse capital. Utilize o dado: 1;733168 = (1; 04)14.
a) 10 meses.
b) 11 meses.
c) 1 ano e 1 mês.
d) 1 ano e 2 meses.
e) 1 ano e 3 meses.
7. (UNIFESP-SP) Quando se fala em isótopos radioativos, geralmente a opinião pública os associa a elementos perigosos,
liberados por reatores nucleares. No entanto, existem isótopos de elementos naturais que estão presentes no nosso dia-a-dia. O
grá�co mostra a cinética de desintegração do rádio-226, que pode estar presente em materiais de construção em concentrações
muito baixas para que se possa comprovar qualquer relação com danos à saúde. As coordenadas de um ponto do grá�co são
indicadas na �gura a seguir.
Em que:
m é a massa no tempo t.
m é a massa no tempo 0.
c é o tempo de meia-vida.
A meia-vida desse isótopo, em anos, é igual a
0
a) 1400.
b) 1500.
c) 1600.
d) 1700.
e) 1800.
NotasReferências
MARQUES, G. Funções exponenciais e logarítmicas. Disponível em:
https://midia.atp.usp.br/impressos/lic/modulo01/fund_matematica_PLC0001/FundMat_I_top06.pdf.
<https://midia.atp.usp.br/impressos/lic/modulo01/fund_matematica_PLC0001/FundMat_I_top06.pdf> Acesso em 15 nov. 2018.
GUIMARÃES, L.G.S., et al. Bases matemáticas para Engenharia. Rio de Janeiro:
CANDAL, Denise. Fundamentos de Matemática. Rio de Janeiro: SESES, 2015.
https://midia.atp.usp.br/impressos/lic/modulo01/fund_matematica_PLC0001/FundMat_I_top06.pdf
Próxima aula
Estudo de funções logarítmicas em diferentes bases;
Estudo das propriedades e dos grá�cos das funções logarítmicas.
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Assista ao vídeo Assista ao vídeo <https://www.youtube.com/watch?v=_Wy3q-n2jw8> .
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