Analise de sinais e sistemas

Prévia do material em texto

ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
2021
Prof.ª Julia Grasiela Busarello Wolff
GABARITO DAS 
AUTOATIVIDADES
2
ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
UNIDADE 1
TÓPICO 1
1	 Um	 sinal	 é	 formalmente	 definido	 como	 uma	 função	 de	 uma	
ou	 mais	 variáveis,	 a	 qual	 veicula	 informações	 da	 natureza	 de	
um	 fenômeno	 físico.	Quando	 a	 função	depende	de	uma	única	
variável,	 diz-se	 que	 o	 sinal	 é	 _________________________.	 Um	
sinal	de	fala	é	um	sinal	_______________________,	cuja	amplitude	
varia	com	o	tempo,	dependendo	da	palavra	falada	e	de	quem	a	
fala.	Quando	a	função	depende	de	duas	ou	mais	variáveis,	diz-
se	 que	 o	 sinal	 é	 ____________________________.	 Uma	 imagem	
é	 um	 exemplo	 de	 um	 sinal	 ________________________,	 com	 as	
coordenadas	horizontal	 e	 vertical	 da	 imagem	 representando	 as 
_______	 dimensões.	 Com	 base	 nesse	 contexto,	 assinale	 a	
alternativa	CORRETA:
a)	(X)	unidimensional,	unidimensional,	multidimensional,	
multidimensional,	duas.
b) ( ) bidimensional, bidimensional, multidimensional, 
multidimensional, duas.
c) ( ) tridimensional, tridimensional, multidimensional, 
multidimensional, duas.
d) ( ) multidimensional, multidimensional, bidimensional, 
tridimensional, duas.
2	 Um	 sinal	 pode	 ser	 entendido	 como	 uma	 função	 de	 uma	 ou	
mais	 variáveis	 independentes,	 cuja	 variação	 representa	 o	
comportamento	de	algum	fenômeno	físico.	Se	nos	restringirmos,	
mais	 especificamente,	 à	 Engenharia	 Elétrica,	 pode-se,	 em	 geral,	
entender	um	sinal	como	uma	grandeza,	cuja	variação	em	função	do	
tempo	é	usada	para	representar	o	comportamento	de	um	fenômeno	
de	interesse	para	alguma	das	suas	áreas	de	especialização.	Exemplos	
de	 sinais	podem	ser	 encontrados	nas	mais	diversas	 áreas,	 como	
telefonia,	automação	e	controle,	geração	e	transmissão	de	energia,	
processamento	de	áudio,	voz	e	imagens	etc.
FONTE: Adaptado de CARVALHO, J.; GURJÃO, E.; VELOSO, L. Introdução à 
análise de sinais e sistemas. São Paulo: Elsevier, 2017. 280p.
3
ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
Com	base	no	exposto	e	considerando	os	sinais	e	sistemas,	marque	V	
para	as	sentenças	verdadeiras	e	F	para	as	sentenças	falsas:
I- Um sinal par é invariante a um rebatimento em torno do eixo 
vertical. Contrariamente, um sinal é dito ímpar quando sofre uma 
inversão de sinal como resultado do rebatimento em torno do 
eixo vertical.
II-	 Um	 sinal	 é	 classificado	 como	 sinal	 de	 potência	 quando	 possui	
potência	média	infinita	e	energia	total	finita.
III-	O	sinal	degrau	unitário,	no	tempo	contínuo,	é	um	sinal	designado	
por u(t) e vale zero quando o tempo é superior a um e vale um 
negativo	quando	o	tempo	é	inferior	a	zero.
IV-	Os	 sinais	 seno	e	 cosseno,	muito	utilizados	na	análise	de	 sinais,	
constituem exemplos bem conhecidos de sinal par e sinal ímpar, 
respectivamente.
V- Um sistema é dito sem memória se a saída no tempo n = n0 
depender apenas da entrada nesse mesmo tempo n =n0. Ainda, um 
sistema é linear se, e apenas se, for considerado simultaneamente 
aditivo	e	homogêneo.
Agora,	assinale	a	alternativa	que	contém	a	sequência	CORRETA:
a)	(X)	V	–	F	–	F	–	V	–	V.
b) ( ) V – V – F – V – F.
c) ( ) F – F – F – V – F.
d) ( ) F – V – F – F – V.
3	 Os	 sinais,	 de	 uma	 forma	 ou	 de	 outra,	 constituem	 ingrediente	
básico	 da	 nossa	 vida	 diária.	 Por	 exemplo,	 uma	 forma	 comum	
de	comunicação	humana	se	desenvolve	com	o	uso	de	sinais	da	
fala,	 seja	 na	 conversação	 pessoal	 ou	 por	 um	 canal	 telefônico.	
Outra	forma	comum	de	comunicação	é	visual	por	natureza,	com	
os	sinais	assumindo	a	forma	de	imagens	de	pessoas	ou	objetos	
que	nos	cercam.	Há,	também,	o	correio	eletrônico	pela	internet.	A	
internet	constitui	um	poderoso	meio	para	pesquisar	informações	
de	interesse	geral,	publicidade,	educação	e	jogos.	Em	um	sistema	
de	 comunicação,	 o	 sinal	 de	 entrada	 poderia	 ser	 um	 sinal	 de	
fala	ou	dados	de	computador.	O	sistema	em	si	é	composto	pela	
4
ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
combinação	de	um	transmissor,	canal	e	receptor,	e	o	sinal	de	saída	
é	uma	estimativa	do	sinal	da	mensagem	original.	Um	sistema	é	
um	dispositivo	que	produz	transformações	nos	sinais.
FONTE: Adaptado de HAYKIN, S.; VEEN, B. V. Sinais e sistemas. São Paulo: 
Bookman, 2001. p. 21-22.
Com	base	nessa	contextualização,	analise	as	assertivas	a	seguir:
I- Os batimentos cardíacos de um paciente permitem, ao médico, 
monitorar	a	sua	pressão	sanguínea	e	a	temperatura,	diagnosticar	
a presença ou não de doenças. Essas quantidades representam 
sinais que transmitem informações ao médico acerca do estado 
de saúde do paciente.
II-	 Ao	ouvirmos	a	previsão	do	tempo	no	rádio,	ouvimos	referências	
às	 variações	 diárias	 de	 temperatura	 e	 umidade,	 velocidade	 e	
direção dos ventos prevalecentes. Os sinais representados por 
essas quantidades nos ajudam a formar uma opinião acerca da 
conveniência	de	permanecermos	em	casa	ou	não.
III-	 As	 flutuações	 diárias	 dos	 preços	 e	 commodities nos mercados 
internacionais representam sinais que transmitem informações de 
como as ações de uma companhia ou corporação, em particular, 
estão se comportando. Baseando-se nessas informações, 
decisões	são	tomadas	a	respeito	da	conveniência	de	fazer	novos	
investimentos	ou	vender	as	ações	antigas.
IV- Uma sonda que explora o espaço exterior envia valiosas informações 
de um planeta distante a uma estação na Terra. A informação pode 
assumir	a	forma	de	imagens	de	radar,	estas	que	representam	perfis	
da	superfície	do	planeta;	imagens	em	infravermelho,	que	transmitem	
informações	de	quão	quente	é	o	planeta;	ou	imagens	ópticas,	que	
mostram a presença de nuvens.
Agora,	assinale	a	alternativa	CORRETA:
a)	(X)	 I,	II,	III	e	IV.
b) ( ) II, III e IV.
c) ( ) III e IV.
d)	(			)	Somente	a	assertiva	II	está	correta.
5
ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
4	 Segundo	Haykin	e	Van	Veen	(2001,	p.	30):
A	meta	do	processamento	de	sinais	biomédicos	
é	extrair	 informações	de	um	sinal	biológico	que	nos	
ajude	a	melhorar	ainda	mais	nossa	compreensão	dos	
mecanismos	básicos	da	função	biológica	e	nos	auxilie	
no	diagnóstico	ou	tratamento	de	uma	condição	médica.	
A	geração	de	muitos	sinais	biológicos	encontrados	no	
corpo	 humano	 vem	da	 atividade	 elétrica	 de	 grandes	
grupos	 de	 células	 nervosas	 ou	 células	 musculares.	
As	 células	 nervosas	 do	 cérebro	 são	 chamadas	
neurônios.	A	Figura	1.7	mostra	os	tipos	morfológicos	
de	neurônios	 identificáveis	do	córtex	cerebral	de	um	
macaco,	baseados	em	estudo	do	córtex	sensorial	e	do	
motor	somático	primário.	Essa	figura	ilustra	as	muitas	
formas	 e	 tamanhos	 diferentes	 de	 neurônios	 que	
existem.	 Independentemente	 da	 origem	 do	 sinal,	 o	
processamento	de	sinais	biomédicos	se	inicia	com	um	
registro	temporal	do	evento	biológico	de	interesse.	Por	
exemplo,	a	atividade	elétrica	do	coração	é	representada	
por	um	registro	denominado	eletrocardiograma	(ECG).	
O	ECG	representa	as	mudanças	no	potencial	(tensão)	
devido	 aos	 processos	 eletroquímicos	 envolvidos	
na	 formação	 e	 na	 dispersão	 espacial	 das	 excitações	
elétricas	nas	células	do	coração.	
Consequentemente,	inferências	detalhadas	a	respeito	do	
coração	podem	ser	feitas	a	partir	do	ECG.	Outro	exemplo	
importante	 de	 sinal	 biológico	 é	 o	 eletroencefalograma	
(EEG).	O	EEG	é	um	registro	das	flutuações	na	atividade	
elétrica	 de	 grandes	 grupos	 de	 neurônios	 no	 cérebro.	
Especificamente,	o	EEG	mede	o	campo	elétrico	associado	
com	a	corrente	que	flui	através	de	um	grupo	de	neurônios.	
Para	 registrar	 o	 EEG	 (ou	 o	 ECG),	 no	 mínimo,	 dois	
eletrodos	são	necessários.	Um	eletrodo	ativo	é	colocado	
sobre	 o	 local	 particular	 da	 atividade	 neuronial	 no	
que	 se	 tem	 interesse,	 e	 um	 eletrodo	 de	 referência	 é	
colocado	 a	 alguma	 distância	 remota	 desse	 local.	 O	
EEG	é	medido	como	a	tensão	ou	diferença	de	potencial	
entre	os	eletrodos	ativo	e	de	 referência.	A	Figura	1.8	
mostra	três	exemplos	de	sinais	de	EEG	registrados	do	
hipocampo	de	um	rato.
6
ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
7
ANÁLISEDE SINAIS E SISTEMAS
Com	base	no	exposto,	analise	as	sentenças	a	seguir:
I- Um artefato se refere à parte do sinal biomédico produzida por 
eventos	que	são	estranhos	ao	evento	biológico	de	interesse.	Assim,	
a detecção e a supressão de artefatos são quesitos importantes no 
processamento de sinais biomédicos.
II-	 Os	artefatos	surgem	em	um	sinal	biológico	em	diferentes	etapas	
do	 processamento,	 e	 podem	 ser	 classificados	 como:	 artefatos	
instrumentais,	biológicos	ou	de	análise.
III-	Um	método	comum	e	eficaz	de	reduzir	os	artefatos	instrumentais	
e	biológicos	no	processamento	digital	de	sinais	é	a	filtragem.
Agora,	assinale	a	alternativa	CORRETA:
a)	(X)	As	sentenças	I,	II	e	III	estão	corretas.
b) ( ) Apenas as sentenças I e II estão corretas.
c) ( ) Apenas as sentenças II e III estão corretas.
d)	(			)	Apenas	a	sentença	I	está	correta.
5	 Sobre	 os	 analisadores	 de	 espectro,	 assinale	 a	 alternativa	
INCORRETA:
a)	(			)	A	análise	espectral	de	um	sinal	fornece	informação	adicional	
difícil	de	ser	obtida	em	uma	análise	temporal	(osciloscópio).
b)	(			)	As	 escalas	 vertical	 (amplitude)	 e	 horizontal	 (frequência)	 de	
um	analisador	de	espectros	são,	em	geral,	logarítmicas,	o	que	
facilita a leitura de sinais de baixa amplitude.
c) ( ) Ao analisarmos um sinal senoidal levemente distorcido em 
função	do	tempo,	dificilmente,	percebemos	essa	 imperfeição.	
Na	 análise	 no	 domínio	 da	 frequência,	 pequenas	 distorções	
e	 imperfeições	 (que	 geram	 componentes	 de	 frequência	
diferentes)	são	facilmente	identificadas,	pois	cada	componente	
de	frequência	é	visualizado	separadamente.
d)	(X)	A	 análise	 espectral	 de	 um	 sinal	 não	 fornece	 informações	
adicionais	ao	engenheiro	eletricista.
8
ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
TÓPICO 2
1	 Classifique	os	sinais	a	seguir:
a)
R.: Sinal de tempo contínuo.
b)
R.: Sinal de tempo discreto.
c)
R.: Sinal par.
d)
R.: Sinal ímpar.
9
ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
e)
R.: Sinal periódico. Função quadrada.
f)
R.: Sinal aperiódico.
g)
R.:	Sinal	periódico.	Função	triangular.
2	 Determine	se	os	sinais	são	periódicos	ou	não.	Se	forem	periódicos,	
determinar	o	período	fundamental:
a) 
R.:	 Para	 saber	 se	um	 sinal	 é	 periódico,	 é	 preciso	 fazer	 a	 seguinte	
comparação:
Com isso, t = ω0 t,	que	é	 igual	a	1t = ω0t, portanto, 1 = ω0. Então, a 
frequência	angular	fundamental	é			 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 .	Como	já	sabemos,	a 
unidade	da	 frequência	angular	 é	o	 radiano	por	 segundo.	Portanto,	
como o	sinal	tem	frequência	angular	fundamental,	o	sinal	é	periódico,	
com	período	fundamental	dado	pela	expressão	matemática															.	 
Então, o período fundamental do sinal é = T0 = 2π [s]. 
Como	já	sabemos,	a	unidade	do	período	é	o	segundo.
10
ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
b)	
R.: . Por comparação: . Então: . 
Ou	seja,	a	frequência	angular	fundamental	é																								.	
Para calcular o período fundamental: . Invertendo 
a fração do denominador e multiplicando pelo numerador, tem-se 
que T0 = 3	[s].	Como	o	sinal	possui	período	fundamental,	logo,	ele	é	
periódico.
Obs.: Primeiramente, sempre se testa se o sinal x(t)	é	de	energia,	se	não	
for, testar se x(t)	é	um	sinal	de	potência,	se	não	for,	x(t) não é nem de 
energia	nem	de	potência.	Se	a	energia	e	a	potência	derem	infinitas,	o	
sinal	não	é	nem	de	energia	nem	de	potência.	Lembre-se:	Para	ser	um	
sinal	de	energia,	a	potência	tem	que	ser	infinita	e	a	energia	deve	ter	
um	valor	diferente	do	infinito.	Para	ser	um	sinal	de	potência,	a	energia	
tem	que	ser	infinita	e	a	potência	deve	ter	um	valor	diferente	do	infinito.
3	 Determine	se	os	 sinais	a	 seguir	 são	de	energia,	de	potência	ou	
nenhum	deles:
a) x(t) = e–at, com a > 0.
R.: Vamos testar se x(t)	é	um	sinal	de	energia:	
Como , o sinal x(t)	é	de	energia.
11
ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
b)	x(t) = A.cos(ω0t + θ).
R.: O sinal senoidal x(t) é periódico com período fundamental 
																						.	A	potência	média	de	x(t) é:
Como , então, o sinal x(t)	é	um	sinal	de	potência.
c)	Verifique	se	x(t) = e–2t	é	um	sinal	de	energia	ou	de	potência.
R.:	A	energia	do	sinal	x(t) é dada por:
Para T →	∞,	temos	que	E	→	∞.
Já	a	potência	média	do	sinal	é:
Portanto, o sinal x(t)	não	é	um	sinal	de	energia	nem	de	potência.
12
ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
4	 Desenvolva	 a	 decomposição	 par/ímpar	 de	 um	 sinal	 x(t) = ejt,	
aplicando	as	definições	estudadas	neste	tópico.
R.: As componentes par e ímpar de x(t) são xe(t) e x0(t), respectivamente. 
Então: x(t) = xe(t) + x0(t) ∴ ejt = xe(t) + x0(t). Aplicando as expressões 
matemáticas	para	decompor	um	sinal	em	suas	partes	par	e	ímpar,	temos:
Utilizando a fórmula de Euler:
TÓPICO 3
1	 O	que	é	um	sistema?
R.:	Um	sistema	é	uma	entidade	que	manipula	os	sinais,	a	fim	de	gerar,	
como saída, outros sinais.
2	 Quais	são	os	tipos	de	sistemas?
R.:	Os	sistemas	são	classificados	em	lineares,	não	 lineares,	estáveis,	
instáveis,	causais,	não	causais,	com	e	sem	memória,	invertíveis,	não	
invertíveis, invariantes e variantes no tempo.
3	 Explique	o	que	são	os	sistemas	a	seguir.
a) MIMO
R.: Multiple Input, Multiple Output: Da mesma forma, é possível 
decompor qualquer sistema MIMO em sistemas MISO individuais.
13
ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
b)	BIBO
R.: Bound Input Bound Output.
c)	SISO
R.: Single Input, Single Output: O sistema possui uma única entrada e 
uma única saída.
4	 Qual	a	importância	de	se	estudar	os	sistemas	lineares	e	invariantes	
no	tempo	(SLIT’s)	na	engenharia?
R.:	 Os	 sistemas	 lineares	 e	 invariantes	 no	 tempo	 (SLIT’s)	 são	 de	
importância	 central	 no	 estudo	 da	 engenharia	 elétrica,	 nas	 áreas	
de processamento de sinais e sistemas de controle. A linearidade dos 
sistemas menciona que todas operações utilizadas no processamento 
dos sinais de entrada são lineares. A invariância no tempo cita, 
simplesmente,	 que	 a	 definição	 das	 operações	 dos	 blocos	 não	 pode	
mudar	ao	longo	do	tempo.	As	expressões	das	funções	equivalentes	dos	
blocos	só	podem	depender	das	variáveis	de	entrada,	e	nunca	do	tempo.
5	 Dê	 exemplos	 de	 aplicações	 práticas	 de	 sistemas	 na	 área	 da	
engenharia	elétrica.
R.:	 Em	 telecomunicações,	 em	 processadores	 digitais,	 em	 filtros	
eletrônicos, em dispositivos mecânicos etc.
UNIDADE 2
TÓPICO 1
1	 O	que	é	e	para	que	serve	a	transformada	de	Laplace?
R.:	 A	 transformada	 de	 Laplace	 converte	 uma	 equação	 diferencial	
em	equação	algébrica	e	uma	convolução	em	multiplicação.	A	atual	
aplicação	 da	 transformada,	 principalmente,	 em	 engenharia,	 foi,	
inicialmente,	 descoberta	 durante	 a	 Segunda	 Guerra	 Mundial.	 Ela	
contribui	para	a	simplificação	dos	cálculos	em	sinais	e	sistemas.
14
ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
2	 O	que	é	a	região	de	convergência?
R.:	A	 região	de	 convergência	 é	 a	parte	do	plano	complexo	na	qual	
a	 transformada	 converge.	 Essa	 região	 é	 denominada	 de	 região	 de	
convergência	(RDC).
3	 O	que	são	os	polos	e	zeros	de	X(s)?
R.:	Os	zeros	são	os	valores	de	s	para	os	quais	a	função	de	transferência	é	
zero. Os polos são os valores de s para os quais a função de 
transferência	é	infinita,	isto	é,	fazem	o	denominador	se	tornar	zero.	Os	
polos e os zeros podem assumir quantidades complexas ou reais.
4	 Quais	são	as	propriedades	da	transformada	de	Laplace	e	para	que	
servem?
R.:	 Aditividade,	 homogeneidade,	 linearidade,	 escalonamento,	
deslocamento	no	tempo,	deslocamento	na	frequência,	diferenciação	
no	tempo,	integração	no	tempo	e	diferenciação	na	frequência.	Elas	
servem	 para	 descomplicar	 os	 cálculos	 e	 auxiliar	 na	 compreensão	
dos sinais.
5	 Encontre	a	transformada	de	Laplace	X(s),	faça	o	gráfico	dos	polos	
e	zeros	e	esboce	o	RDC	para	os	seguintes	sinais:
a) x(t) = e–3tu(t) + e+2tu(–t)
R.: , com Re(s) > – 3 e , com Re(s) < 2.
Vemos	que	as	RDC’sse	sobrepõem,	portanto,	faremos:
 , calculando o m.m.c.:
 , então, –3 < Re(s) < 2.
Note	que,	neste	exercício,	não	há	zeros.	Os	polos	são	s = –3 e s = 2. A 
seguir,	mostraremos	a	RDC,	os	polos	e	os	zeros.
15
ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
RDC DO SINAL x(t) = e–3tu(t) + e+2tu(–t)
FONTE: Hsu (2004, p. 128)
b)	x(t) = e+2tu(t) + e–3tu(–t)
R.: , com Re(s) > 2 e , com Re(s) < –3.
No	caso,	vemos	que	as	RDC’s	não	se	sobrepõem	e	que	não	há	nenhuma	
RDC em comum, assim, o sinal x(t) não	tem	transformada	de	Laplace	
X(s).
6	 Encontre	X(s)	dos	sinais	a	seguir:
16
ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
17
ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
TÓPICO 2
1	 Qual	a	aplicação	da	transformada	inversa	de	Laplace	em	sinais?
R.:	A	transformada	de	Laplace	em	sinais	é	utilizada	para	simplificar	
e	representar	os	sinais	de	tempo	contínuo	e	a	sua	respectiva	região	
de	 convergência.	 Já	 a	 transformada	 inversa	 de	 Laplace	 tem	 várias	
aplicações em sinais, a mais importante é a convolução de sinais. Além 
disso,	a	transformada	inversa	de	Laplace,	com	a	expansão	de	frações	
e com a técnica de completar quadrado, é utilizada para resolver 
funções no domínio complexo “s”, possuindo polos complexos 
conjugados,	pois	esse	caso	particular	não	está	representado	na	tabela	
de	Laplace.	Também	é	usada	para	representar	os	polos	simples	e	os	
polos repetidos das F(s).
2	 O	que	é	expansão	em	frações	parciais?
R.: É um método que permite decompor expressões racionais, isto 
é, quocientes de dois polinômios em uma soma de frações mais 
simples,	chamadas	de	frações	parciais.	O	objetivo	é	facilitar	o	cálculo	
da	transformada	inversa	de	Laplace.
3	 Encontre	a	transformada	inversa	de	Laplace	das	seguintes	funções	
no	domínio	da	frequência	complexa	“s”:
18
ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
4	 Encontre	a	f(t)	das	seguintes	transformadas	de	Laplace:
19
ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
5	 O	que	é	convolução	de	sinais?
R.:	 A	 convolução	 é	 uma	 operação	 matemática	 de	 como	 um	
sistema linear opera sobre um sinal. O sinal de saída é o resultado 
da convolução do sinal de entrada x(t) com a resposta ao impulso do 
sistema h(t) no domínio do tempo.
TÓPICO 3
1		O	que	é	processamento	digital	de	sinais	(PDS)?
R.:	O	PDS	consiste	na	análise	e/ou	modificação	de	sinais	utilizando	teoria	
fundamental,	aplicações	e	algoritmos,	de	forma	a	extrair	informações	
e/ou	torná-los	mais	apropriados	para	alguma	aplicação	específica.	O	
processamento	de	sinais	pode	ser	feito	de	forma	analógica	ou	digital. 
2		O	que	é	convolução	de	dois	sinais?
R.:	A	convolução	é	a	representação	matemática	de	como	um	sistema	
linear opera sobre um sinal: o sinal de saída é o resultado da convolução 
do sinal de entrada x[n] com a resposta ao impulso do sistema h[n]. A 
convolução	toma	dois	sinais	para	gerar	um	terceiro:	y[n]	=	x[n]∗h[n].	
O símbolo da convolução é o *.
3		Quais	as	aplicações	do	PDS?
R.:	PDS	está	presente	nos	celulares,	câmeras	fotográficas,	televisores,	
automóveis, computadores, equipamentos médicos, sistemas de 
automação, de controle, de comunicação etc. 
4		O	que	é	amostragem	e	quantização?
R.:	Amostragem	é	a	transformação	de	um	sinal	contínuo	em	um	sinal	
discreto.	Já	a	quantização	é	o	processo	de	atribuição	de	valores	discretos	
para	um	sinal	cuja	amplitude	varia	entre	infinitos	valores.
20
ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
UNIDADE 3
5		O	que	é	e	para	que	serve	o	teorema	de	Nyquist?
R.:	Esse	 teorema	estabelece	uma	condição	suficiente	para	uma	taxa	
de	 amostragem,	 na	 qual	 permite	 que	 uma	 sequência	 discreta	
de amostras capture todas as informações de um sinal de tempo 
contínuo	de	largura	de	banda	finita.
TÓPICO 1
1	 O	que	é	a	transformada	de	Fourier	e	para	que	serve?
R.: A transformada de Fourier decompõe um sinal em somatórios de 
senos e cossenos. Ela é utilizada para solucionar sinais elétricos difíceis 
de	serem	analisados	por	Laplace	ou	transformada	z.	Em	alguns	casos,	
utiliza-se	a	transformada	de	Fourier	inversa,	pois	pode	ser	mais	fácil	
resolver	 o	 problema	 de	 sinais	 e	 sistemas.	 Algumas	 propriedades	
também	 podem	 ser	 utilizadas	 a	 fim	 de	 simplificar	 o	 problema.	
Lembrando	apenas	que	a	transformada	de	Fourier	pode	ser	aplicada	
em sinais periódicos (série de Fourier) e em sinais aperiódicos.
2	 O	que	é	a	série	de	Fourier,	quais	são	os	seus	tipos	e	para	que	serve?
R.: A série de Fourier é um caso particular da transformada de Fourier 
e é utilizada para analisar e representar sinais de funções periódicas. 
Pode	 ser	 classificada	 em	 série	 trigonométrica,	 série	 exponencial	 ou	
complexa (harmônica) e série compacta de Fourier.
3	 Quais	são	as	propriedades	da	transformada	de	Fourier?
R.: As propriedades da transformada de Fourier são adição, 
convolução	 no	 tempo,	 convolução	 na	 frequência,	 multiplicação	
por	 escalar,	 dualidade,	 conjugado,	 escalonamento,	 deslocamento	
no	 tempo,	 deslocamento	 na	 frequência,	 diferenciação	 no	 tempo	 e	
integração	no	tempo.
21
ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
4	 Determine	 a	 representação	 em	 série	 de	 Fourier	 exponencial	
complexa	dos	seguintes	sinais:
a) x(t) = cos(ω0.t)
R.: Vamos utilizar as fórmulas de Euler: 
 
Assim, os coeficientes de Fourier complexos para esse sinal x(t) 
específico	são:																																																								.
b)	x(t) = sen(ω0.t) 
R.:	De	modo	semelhante,	vamos	utilizar	as	fórmulas	de	Euler,	agora,	
para a função seno:
Assim, os coeficientes de Fourier complexos para esse sinal x(t) 
específico	são:																																																													.
c)
R.:	A	frequência	angular	complexa	ω0 de x(t) é 2 [rad/s], pois
 
Assim, 
Aplicando a fórmula de Euler:
22
ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
Resolvendo	a	expressão	matemática	anterior,	obtemos:
Assim, os coeficientes de Fourier complexos para esse sinal x(t) 
específico	são:
d) x(t) = cos(4t) + sen(6t)
R.: O período fundamental de x(t) é T0 = π [s] e 
Assim:
Novamente, usando as fórmulas de Euler, obtemos:
Assim,	os	coeficientes	de	Fourier	complexos	para	esse	sinal	específico	
x(t) são: e .
e) x(t) = sen2(t)
O período fundamental de x(t) é T0 = π [s] e . 
Assim:
 
23
ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
A
x(t)
–T0 T0 0 T0 T0 2T0 t
2 2
Utilizando, novamente, as fórmulas de Euler, obtemos:
Assim,	os	coeficientes	de	Fourier	complexos	para	o	sinal	x(t)	específico	
são: .
Todos os demais são: ck = 0.
5	 Considere	a	onda	quadrada	periódica	x(t) a	seguir:
FUNÇÃO QUADRADA PERIÓDICA
a)	Determine	a	série	de	Fourier	exponencial	complexa	de	x(t).
R.: Sejam , faremos:
 , 
pois ω0.T0 = 2.π e e–jk.π = (–1)k. Assim:
24
ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
Com isso, obtemos:
b)	Determine	a	série	de	Fourier	trigonométrica	de	x(t).
R.:
Substituindo esses valores, temos que:
TÓPICO 2
1	 O	que	é	a	Transformada	de	Fourier	e	para	que	ela	serve?
R.: A Transformada de Fourier decompõe um sinal em suas 
componentes elementares seno e cosseno. Ela serve para resolver 
problemas mais complexos de forma mais simples, através do uso da 
tabela de pares de Transformadas de Fourier do domínio do tempo 
para	o	domínio	da	 frequência	 e	vice-versa	 (Transformada	 inversa	
de Fourier). As séries de Fourier trabalham com sinais de funções 
25
ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
periódicas e de tempo contínuo e as Transformadas de Fourier 
trabalham com sinais de funções aperiódicas e de tempo discreto. 
O	uso	das	transformadas,das	séries	de	Fourier	e	de	Laplace	evita	
calcular equações diferenciais de difícil resolução.
2	 Qual	 a	 diferença	 entre	 a	 série	 de	 Fourier	 e	 a	 transformada	 de	
Fourier?
R.: As séries de Fourier trabalham com sinais de funções periódicas 
e de tempo contínuo e as Transformadas de Fourier trabalham com 
sinais de funções aperiódicas e de tempo discreto.
3	 Quais	são	as	propriedades	das	Transformadas	de	Fourier?
R.: As propriedades das Transformadas de Fourier são: linearidade, 
escalonamento no tempo, deslocamento no tempo, deslocamento na 
frequência	 (ou	modulação	 em	amplitude),	 diferenciação	no	 tempo,	
integração	no	tempo,	espelhamento,	dualidade	e	convolução.
4	 Considere	um	sinal	real	x(t)	e	que	seja	X(ω) = ℱ [x(t)] = A(ω) + jB(ω) 
com	x(t) = xe(t) + x0(t),	sendo	xe(t) e x0(t)	os	componentes	par	e	ímpar	
de x(t),	respectivamente.	Mostre	que	xe(t) ↔ A(ω) e x0(t) ↔ jB(ω),	ou	
seja,	a	Transformada	de	Fourier	de	um	sinal	real	par	é	uma	função	
real de ω,	e	a	de	um	sinal	real	ímpar	é	uma	função	imaginária	de	ω,	
respectivamente.
R.: Das equações para as funções pares e ímpares, temos que:
Agora,	se x(t) for real, então:
26
ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
Assim, conclui-se que:
5	 Encontre	 as	 transformadas	 de	 Fourier	 dos	 seguintes	 sinais,	
utilizando	 a	 tabela	 de	 propriedades	 das	 Transformadas	 de	
Fourier:
a) x(t) = 1
R.: δ(t) ↔ 1. Utilizando a propriedade da dualidade, temos que 
1 ↔ 2.π.δ(–ω)	=	2.π.δ.(ω).
b)	x(t) = ejω0t
R.:	Aplicando	a	propriedade	do	deslocamento	de	frequência,	obtemos	
ejω0t ↔ 2.π.δ(ω – ω0).
c)	x(t) = e–jω0t
R.:	Aplicando	a	propriedade	do	deslocamento	de	frequência,	obtemos	
e–jω0t ↔ 2.π.δ(ω + ω0).
d) x(t) = cos(w0t)
R.: Da fórmula de Euler, temos . Usando 
a propriedade da linearidade, obtemos cos(ω0t) ↔ π.[δ(ω – ω0) + δ(ω + ω0)].
e) x(t) = sen(w0t)
R.: De modo semelhante, temos e, 
novamente, usando a propriedade da linearidade, sen(ω0t) ↔ jπ.[δ(ω 
– ω0) + δ(ω + ω0)].
27
ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
6	 Encontre	a	transformada	de	Fourier	de x(t) = e–a|t|	com	(a > 0).
R.:
O componente par de e–at.u(t) é dado por:
Assim, temos que 
7	 Determine	a	transformada	inversa	de	Fourier:
a)
R.: h(t) = (2.e–t + 3.e–2t –5.e–4t).u(t).
b)
R.: y(t) = (1 + 2.e–t.cos(4t)).u(t).
8	 Determine	as	transformadas	de	Fourier	das	seguintes	funções:
a) g(t) = u(t) – u(t –1)
R.:
b) f(t) = t.e–2.t.u(t)
R.:
c)	pulso	de	dente	de	serra: h(t) = 10.t[u(t) – u(t – 2)
R.:
28
ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
TÓPICO 3
1		O	que	são	filtros	e	para	que	servem?
R.:	Há	dois	tipos	de	filtros:	os	ativos	e	os	passivos.	Os	filtros	ativos	
utilizam	os	amplificadores	operacionais	e	não	serão	objeto	de	estudo	
nesta	disciplina,	já	os	filtros	passivos	são	filtros	RL	ou	RC,	passa	alta,	
passa	baixa,	passa	 faixas	 etc.	Os	filtros	 são	projetados	de	modo	a	
selecionar a componente fundamental ou outro componente harmônico 
qualquer	do	 sinal	de	 entrada	 e	 rejeitar	 outras	harmônicas.	Vários	
avanços	 tecnológicos	na	 engenharia	 elétrica,	 em	 telecomunicações,	
em	eletrônica	e	em	ciência	da	computação	não	teriam	sido	possíveis	
sem	o	uso	dos	filtros.
2		O	que	são	filtros	ativos?	Cite	exemplos.
R.:	Os	filtros	ativos	são	aqueles	que	são	construídos	com	resistores,	
capacitores	e	amplificadores	operacionais:	filtros	Butterworth,	Bessel,	
Chebyshev	1	e	2,	elíptico,	Sallen	Key,	Cauer,	realomentação	múltipla,	
variáveis	de	estado	e	biquadrático.
3		O	que	são	filtros	passivos?	Cite	exemplos.
R.:	Os	filtros	passivos	 são	 construídos	 com	 capacitores,	 resistores	
e	 indutores.	 Servem	para	 permitir	 ou	 não	 a	 passagem	de	 uma	
determinada	 faixa	de	 frequência.	Os	 tipos	de	filtros	passivos	mais	
comuns são passa faixa, rejeita faixa, passa alta e passa baixa.
4		O	que	é	um	diagrama	de	Bode	e	para	que	serve?
R.:	Os	diagramas	de	Bode	são	gráficos	semilogarítmicos	de	amplitude	
e	de	fase	de	uma	função	de	transferência	em	função	da	frequência.	A	
resposta	em	frequência	é	a	variação	da	função	de	transferência	com	
a	frequência.	As	aproximações	de	linhas	retas	de	H	[dB]	e	φ	[º]	são	
construídas	utilizando	frequências	definidas	pelos	polos	e	zeros	da	
função	de	transferência.	A	função	de	transferência	H(ω)	é	a	razão	da	
resposta	da	Y(ω)	pela	excitação	de	entrada	X(ω).	O	decibel	é	a	unidade	
logarítmica	do	ganho.	Os	gráficos	de	Bode	servem	para	analisar	o	ganho	
de	um	dado	sistema	no	domínio	da	frequência	e	a	sua	variação	de	fase.
29
ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
5		Em	síntese,	como	se	projetam	filtros	passivos	para	sinais	elétricos?
R.: Filtros são componentes eletrônicos importantes em sistemas 
eletrônicos	e	de	comunicações.	Os	filtros	passivos	devem	ser	projetados	
para selecionar o componente fundamental do sinal de entrada e não 
permitir	a	passagem	de	outras	harmônicas.	O	processo	de	filtragem	
é realizado com a expansão da série de Fourier do sinal de entrada. 
Os	filtros	passivos	são	construídos	utilizando	resistores,	capacitores	
e	 indutores,	 sem	elementos	 ativos,	 ou	 seja,	 sem	os	 amplificadores	
operacionais.