gilberto-garbi-o-romance-das-equaoes-algebricas

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Ganhador da Caiegona Cheias Exatas. Tecnologia
O Romonce dos
›S
ax2	+ bx + c = 0
a 2	= b2	+c 2
-b o
ax + b = c
Copyright @ 2009 Editora Livraria da Física
3a. Ediçào
2a. Edição - 2fi07
Capa:	Arte Ativa Impressão:	Gráfica Paym
Texto cm conformidade com as novas regras ortogríificas do Acordo da Língua Portuguesa
dados Internacionais de Catalogaçào e Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
O rnn ance da.s equações algêhricas	/	Gilhcrtu G. Garbi. —
.1. ed res: e ampl. — São Paulo: Editora I.ivraria da física, 2009.
llibliografia
1.	Álgebra	2.	Equações	3. matemática — história
L	’É It USO,
CI3D-510.9
Indice para catálogo sistemático:
1.	hlatcinática : Hésiória 3l t1.9
ISBb1.	85-88325-76-4
ISBN:	978-85—88325-76-0
Todos os direitt›s reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a permissão da Editora. Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigo.e 102, 104, l0ó e 107 da Lei ri° 9.610, de 19 de fevereiro de 1998.
impresso no Brasil
liditora Livraria da Fisica
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4
mdeclment
III
As Pdmerias Nanlfestaçóes &	Natemádca	...	........... . ...	.......
Neso	oQmlos e Eaí0¢I A Natem3tlca Gm
XI
Fançols ltte Recom à Trlgonome@a	............................
28
33
42
t	*UI	”u	W-Z
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”
xiv	SUMÁRIO
XVI
’
xv	Gauss Demonstra o Teorema Fundamental da Algebra	.	.	.	1 1 1
Raízes Estranhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . , . . . , . . . . . . . 128
XVII	De Volta às Equações do 3º Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
NIII	Nodificando as Raíza de uma Equação ........................... 139
XIX	Ãs Tragédias de Niels Abel e E• variste Galo.is ....................... 145
Soluçoes de Equações Especiai
Construçóes Geoméhicas om Régua e Compasa .................. 180
Números AlaébriCos e Números Transcendente
&nsar .......
Tales mede a Grande Pirámide, 204
Euclides e os números primos, 205
Eratdstenes calcula a circunferencia da Terr, 206
ArquimeJei calcula o número n,	208
Leibniz inventa o Sistema Bindrio ile Mumera	ào, 22O
Ù’t’ll’ft1/l t’ Il 3 it'f ft’i ff f $ftl f tt i i,	2 É
£ufer decifra uni mistério, 228
Conologla	.
200
235
Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Reonhecimento	...	241
Equaçóes
equações — algébricas, exponenciais, diferenciais, trigonométricas ou de
qualquer outra natureza — constituem, pelo menos do ponto de vista
prático, a parte mais importante da Matemática.
Qualquer problema que possa ser solucionado através dos números certa-
mente será tratado, direta ou indiretamente, por meio de equações.
Este fato tornou-se de tal maneira conhecido que a própria linguagem cotidi- ana já incorporou o verbo “equacionar” e expressões como “o xis do problema”. Exemplo disto é que até os políticos, cuja intimidade com a Matemática costuma ser tão pequena quanto com os outros ramos do saber, não raro aparecem na televisão para dizer que *o problema da miséria somente estarã equacionado quando a saúde e a educação receberem a devida prioridade”.
“@uacionar um problema”, mesmo entre os leigos, é generalizadamente entendido como colocã-lo dentro de um mecanismo do qual ele sairá inapela- velmente resolvido.
Por que motivos teriam as equações assumido papel assim tão importante?
Não é difícil entender. Inicialmente, é preciso não esquecer que a palavra equação vem da mesma raiz latina que produziu as palavras igual e iguofdadr. Ora, a Ciéncia, cuja essência é o estabelecimento de correlações entre fatos,
O leitor não precisa saber o que são estes estranhos animais para compreender o texto.
2	CAPITULO I. EQUAÇÕES
conceitos e ideias, está sempre descobrindo equivaléncias entre	de entes e utiliza as equações como linguagem, forma ou veículo para expressar tais correlações.
Alguns exemplos mostram isto de maneira clara e simples.
Todos sabem que Oxigênio mais Hidrogênio (sob certas condições) produ- zem água ou, em linguagem simplista, que Hidrogênio mais Oxigénio são igxnis a água.
Esta correlação, esta igualdade, costuma ser expressa pela equnçéo química:
2H21
Oz	2Hz
Quando se decide fazer uma viagem de 300 km em uma estrada cuja veloci- dade máxima é 100 km/h, sabe-se de antemão que serão gastas, no mínimo, 3 horas. Isto porque distância, s•e1ocidade e tempo estào relacionados entre si e sua correlação, no caso do movimento uniforme, pode ser express pela igualdade:
d — v	t
onde: d = disiància
v = velocidade
t = tempo
Um motorista de ônibus, mesmo sem estar consciente disto, conhece implici- tamente tal equação pois está sempre avaliando tempos, distâncias e velocidades durante seu trabalho.
O vendedor de tecidos sabe que o preço de um corte é igual ao preço por metro multiplicado pelo comprimento da peça. Esta, aliás, poderia receber o pomposo nome de Equação Fundamental dos Vendedores de Tecidos, mas eles provavelmente ficariam assustados se soubessem que sua profissão requer o conhecimento de uma coisa tão complexa.
Enfim, as equações estão por toda a parte e, alguns mais, alguns menos, quase todos gastamos certo tempo de nossas vidas a resolvê-las.
Resolver uma equação é, através da correlação que ela expressa, encontrar alguma coisa que desconhecemos e que costumamos denominar incógnita.
A letra x é a mais habitual representação das incógnitas, embora outras letras
também sejam usadas para tal finalidade.
A solução de uma equação pode ser um ou mais números mas pode, também, ser a medida de uma grandeza física, como uma distância, um peso, um intervalo de tempo, etc. Resolver uma equação pode significar o encontro não de um
tst.C>ag«geuüt:mtcoJ«i4*!*=<”^ -<*‹--
0 ROMANCE DAS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS	3
número mas de uma forma. Igor exemplo, foi através da solução de certo tipo de equação quem Newton provou que as órbitas dos planetas são elipse5, das cjuais o Sol ocupa um dos focos.
Este livro aborda somente uma categoria particular de equaçF›es, as chamadas Equações Algébricas, e restringe-se apenas a seus aspectos elementares. Apesar disto, como será visto, trata-se de um rico e belíssimo campo, em que se
envolveratn os maiores cérebros que a Matemática conseguiu arregimentar ao
longo dos séculos.
oUAÇÓES ALGOBRIcxs	são aquelas em que a incógnita	aparece	apenas	sub-
o	metida	às chamadas	operações	algébricas:	soznu	(ou	adição),	subtração,
multiplicação, divisão, potenciaçdo inteira (embora a potenciaçào inteira seja
icular de	iplicação de	fato	'¿	el	deixa
em destaque por questões de clareza) e rodiciaçóo.
ox2 +	bx —F c =	0
x7 +	‘’		+	20x =	%	+	3x2 +	16 x	2 =	4 +		x	"
são todas equações algébricas.
De outro lado,
x’	+	2x'	+	2 =	e
COS K -f- ¥‘	COS MX =	S
4
não são equações algébricas.
”	.	z»«ztiisza@e*	•x	”-=	"“	“
0 RONA/tCE DAS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS	5
Quando uma equação algélirica é colocada sob a forma
x“	+	ri	x“	' +	ng	2x’ +	ng	x +	n„	= 0	(ri inteiro positivo)
diz-se que ela está em sua Como Condnicn e passa-se a chamá-la de £q• °f°°
Polinomial. O respectivo polinómio é também conhecido como /^^f°°	^°^'•••
O	maior	expoente	da	incógnita	em	uma	equação	algébrica	em	sua	forma
canónica é denominado o grou da referida equação.
Assim, a equação 3x’ + 2x' +	x +	4 =	0 é uma equação do 5* grau.
1 uma pena que tenha sido necessário dar, neste ponto do livro, uma defini-
ção tão abstrata porque não foi assim que as equaçoes apareceram no mundo. Ao contrário, as formas mais siiiiples de equações algébricas apresentaram-se quase
que naturalmente	aos antigos	matemáticos,	à medida	que o homem começou
a calcular, contando rebanhos, trocando produtos, contabilizando impostos ou
construindo os primeiros monumentos e obras de engenharia.
Isto será visto adiante.
e
QUANDO TERIA O HOMEM COMEÇADO AFAZER MxTEMÁTlCa? Esta é uma	per-
gunta	interessantíssima	para	a	qual	somente	se	pode	levantar	algumas
conjecturas.
As descobertas científicas realizadas nas últimas décadas demonstram que a presença do homem na Terra é muito mais antiga do que se imaginava. Os primeiros hominldios a adotar a postura bipede, a andar apenas com duas pernas, característica que nos distingue de todos os demais primatas, surgiram na África hã pelo menos 4.000.000 de anos. As primeiras ferramentas (somente as de pedra chegaram até nós) foram construídas pelo chamado Homo hnbifiJ, que apareceu na África por volta de 2.000.000 de anos atrás. Seu descendente Homo ereefus, também africano e surgido há cerca de 1.600.000 anos, aprendeu a utilizar o fogo e deixou a África há cerca de 1.200.000 anos, chegando a vãrias regiões da Ásia e da Europa. O homem moderno, o auto-denominado
••P'••	••e'•••,	que	fala,	pensa,	inventa	e	interfere	na	Natureza,	parece	ter
surgido entre 300.000 e 200.000 anos atrás, novamente na África, e dali emigrou
hã cerca de 100.000 anos para ocupar todos os demais continentes.
Primeiras
Manifestações da
Matemátim
Os registros arqueológicos indicani que há cerca de 50.000 anos houve uma grande rcvolução, digamos “intelectual”, cm nossa espécie, talvez consequćncia de um salto evolutivo na linguagem. As ferramentas tornaram-se muito mais soh"sticadas e produzidas em tnaior quantidade e o homem passou a dispor de tecnologia que lhe permitiu realizar longas viageris pelo mar. Foi por esta época que se chegou à Austrália, através de pelo menos 90 km de oceano, coisa que exigia a construção de barcos razoavelmente especializados, alćm de algum r lanejamento.
Há cerca de 20.000 anos a arte já atingira grande qualidade, como demons-
tram as belíssimas pinturas de animais em cavernas na França e Espanha, numa prova de que formas e distribuiçùes espaciais haviam se tornado familiares ao homem. A prática da contagem, em especial de pessoas e de animais, é muito antiga: um osso cont cerca de 10.000 anos de idade, encontrado na Ăfrica, exibe marcas de contagem semelhantes às que os cow-boys faziam em seus Colt-45
cada vez que dcspachavalzi fziais UiTl.
A Agriculture foi inventada há cerca de l 1.000 anos, no Oriente Médio, pro- vavelmente na região hoje ocupada pelo Iraque, entre os rios Tigris e Eufrates. A źtevoluçãu AgHcola foi um marco importantíssimo na História da lJumanidade, somente superado pela Revoluçào Industrial, ocorrida nos últimos séculos. Ao invés de apenas caçar, pescar e recolher, o homem passou a cultivar seu próprio alimento. Islo demandou urna nova organizaçăo do tralialho, o desenvolvimento de técnicas de estocagem e a criaçăo de métodos para a divisäo da terra e de sua produçño. As prirneiras cidades surgiram nesta época, assim conio os governos e a inescapúvel coleta de impostos.
Em torno de 4.000 a.C. apareceram formas primitivas de escrita que evoluí- ram e consolidaram-se definitivamente na Mesopotâniia, com os Sumérios, e,
poucos séculos depois, no Egito dos Faraós. Os mais antigos documentos escritos que se conhece tratam de dois temas básicos: a glorificação dos reis e a contabllİ- dade de impostos, estopues c transaçñes c‹imerciais. Alguns especialistas chegam a conjecturar que a escrita foi inventada para fazer registros numéricos.
Diante destes dados históricos, onde poderia ser localizado o início da Matemáticaí Preliminarmente, seria útil tentar definir o que é Matemática°. Para poupar tempo ao leitor, é born dizer que esta questào tern inquietado os sábios
A palavra îVlatenzáti	a vcm üe uma raiy grcga que signified “s«her” e era empregada urigirialmcnte
‹• Œl• “•q• !• ‹i*•* * eFl Si nldo”. hu temyci de Fitágcras ela j4 tinha seu sentido restritn a 4 úreas do
sober: Aritnlćtica, Geometric, Música c A tronoinia.
CAPÍTULO III. AS PRIMEIRAS NAftIFESTAÇOES DA NATENÁTICA
há muito tempo e que jamais se chegou a uma resposta aceita por todos. À íalta de um consenso, algumas pessoas dizem que “úfareindtico # aqxifo que os matemáticos fazem”. Outras preferem dizer, com certa do< de ironia mas com bastante razão: ’Eu não sei definir o que é Matemática mas, quando ri vejo, reconheça-a imedíatnrienfe”.
De	qualquer	maneira,	todos	concordam	que	o	estudo	das /omes	e	dos
uiinieros	faz	parte	da	Matemática	e	podemos	tentar	imaginar	quando	isto
começou a ser feito, ainda que rudimentarmente.
Teria	o	Homo	babifis,	ao	quebrar	pedras	para	dar-lhes /armas	úteis	há
2.000.000 de anos, feito Matemática?	Mesmo com boa vontade,	é difícil dizer
que sim.
Existiria Matemática há 50.000 anos, quando o homem dava forma aos barcos que o levaram à Austrália e planejava as quunfidnd#x de recursos a serem transportados durante a viagem? Muito provavelmente.
Existiriam rudimentos matemáticos embasando o comércio de làminas de sílex que, sabemos hoje, já se fazia há 20.000 anos entre tribos europeias? 1 difícil negar.
Estaria o homem da Revolução Agrícola fazendo Matemática quando dividia a terra e sua produção entre os lavradores, pagava impostos aos reis e comercia- lizava suas safras? Sem dúvida.
Portanto, fica a critério dos leitores localizar o início das atividades matemá- ticas em algum ponto da História situado entre l 1.000 e 50.000 anos atrás.
Como se vé, a história é muito antiga e nos dã uma importantíssima lição:
ninguém deve sentir-se frustrado ou desanimar se não conseguir aprender alguma coisa de Matemática na prímeira tentativa. Afinal, demoramos muitos milênios para chegar até aqui.
"
Heoțot$nloše Egípcios
vaax		e uvi		os sácucos a»ós svx i		vexç1o, o uso áas cscritas mcsopo- tåmica	e eglpcia	ainda	permaneceu	restÚto	a		um		pequeno	número		de pessoas› os chamados en:riäas.	A eles competia	rcgistru a históòa dos reis, a contabilidade dos impostos, os estoques e as transaçöes comerciais.	Ao fazè-lo, precisavam redizar pequenos cálculos aritmćticos e gæmétricos de modo que seus conhecimentos	não mais poderiam	limitaÕr-se				técnicns das letras e dos slinbolos	mas	deveriam	incluir	rudimentos		matemźticos,	que	eles	próprios dexnvolviam e paxavam a seus sucessores. TambJm os primeiros “engenheiros” e *u quitetos" cram forpdos a resolver as questöes aritmćšcas e geomćtricas que sc levantavam sempre que alguma obra precisasse ser constmlda. Evidentemente, as soluçöc		dadu por escribas e construtorc		cram	usenciÕmente		prãêcas e, mesmo		para aquelas engenhosamente concebidas,	näo havia quåquer funda-
mentn@o	teóÚcn.	Por ixo	cosNma-se	dizer que os primeiros conhecimentos
matemźticos foram sendo acumulados de maneira indutivo (ou empkica) e nao
dedutiva
0s mais antigos documentos contendo reğstros numéôcos são tabletes de barro suméôos, de meados do N müénio a.C. Se quixrmos xr rigorosos, podemos dizer que tais registros ainda n3o eram matemźûcos porque näo apa- recem neles operaçòes feitas com números. Elas começam a ser encontradas em tabletes sumérios de 2.200 a.C., dentro de um sistema de numera@o posicionÕ com base 60 e grafia cuneiforme. É importante mencionar que os sumtrîos
Dn_JYR UJ r^.l^e?	6-
t	-	'l4lI
1õ	CAPÍTULO IV.	NESOPOTÂNIOS E EGÍPCIOS
foram conquistados pelos acáÂos no final do III müênio a.C. mas mantive- ram sua identidade até cerca de 1.900 a.C., quando os elamitas invadiram a região e destruéam a Suméria. Um século depois, entretanto, os elamitas foram derrotados pelos amoritas› que estabeleceram o chamado Império Babilónico, com capital em Babilônia. Os sucessores dos sumérios adotaram sua escrita e deram continuidade aos estudos matemáticos que vinham sendo feitos deÕe longa data.
Um tablete babilónico de barro cozido, de cerca de 1700 a.C e encontrado no século mX, era indubitavelmente um "livro de exercícios" de Matemática. Nele ao mostradas figuras geométricas como clrculos, triãngulos e quadrados inscritos em quadrados maiores. Um dos problemas propostos dizia: “O lado do quadrado equivale a 1. Desenhei quatro triângulos nele. Qual a área da superfí- cie?”.Colocado de maneira assim tão obscura e imprecisa, até um matemático moderno teria dificuldade em entendi-lo, numa demonstração de que a falta de didática em alguns livros é questão que maltrata os leitores há pelo menos
4.000 anos.. .
Ilustração 4.1	"Livro de Exercícios" Babilónico -	circa 1700 a.C. (Briiish Museum )
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Mg1itÆÆs«D°^^+•=*-fi= “--*°- ’-
0 RONAãCE DAS EQUAÇúES ALGÉBRICAS	11
0s matemáticos e astrónomos babilònicos do lI milênio a.C. realizaram feitos surpreendentes: eles conhaciam o propriedade geral dos tri ångolos retd›sgzzfos (a hoja chamado teor#ma da Pźtdgoroç tombs já conheŃdp pelos chineses no
século Xłž mC.) resotviam equoçdes do primeiro e do segondo grazzs, calcuła- vam drcns e volumes ó# certas ßgsras geométńcas› deternainaram a raiz de 2 com grnndr precisão› etc. Certamente, a essas alturas, as descobertas matemåti- cas não mais se faziam de maneira puramente indutiva e contavam com o apoio de algum raciocínio dedutivo não formalizado, que desconhecemos.
Dentre todos os antigos documentos matemźticos que chegaram aos dias de hoje, talvez os mais famosos sejam os chamados Papiro de Ahmes (ou de Rhind) e Pnpiro de Moscou. O de Ahmes (on Amose) é um longo papiro egípcio, de cerca de 1650 a.C., onde um escriba com aquele nome ensina as soluções de 85 problemas de Aritmética e Geometría. Este papiro foi encontrado pelo egiptó- logo inglès Rhind no final do século 19 e hoje está exposto no Museu Britànico, em Londres. O de Moscou, com 25 problemas de Aritmética e Geometria, é de cerca de 1850 a.C. e contém uma descriçäo verbal (desconhecia-xe o conceito de “fórmulas” gerais) de como fazer-se o cálculo correto do volume de um tronco de piråmide, o que demonstra um conhecimento notável para a época. Muito
IJustraçăo 4.2	Trecha do Papiro de AIimes, onde aparecem cdlculos sobrefi¿uras geomćtricas.
cirrn — l650 a.C. (British Museum)
i	ikz»i SI*\w3/¥
12	CAPÍTULO IY.	NESOPOTGNIOS E EGÍPCIOS
í?“¥¿
provavelmente existiram papiros anlogos anteriores mas estes foram os mais
velhos que se salvaram. Além disto, o de Ahmes notabiliza-se por ter sido seu
autor o mais antigo matemático cujo nome a História registrou. Em ambos os papiros aparecem problemas que contém, tímida e disfarçadamente, equaçóes do l° grau.
Ilustração 4.3	Trecho do Papim de Moscou,	1850 a.C.	"Rwrit	v#rbnJ‘ pam cdkiifo do volume do tronco de pirdmide r/dritiiila moderna.	Mweu de Moscou de Finas Artes}
E oportuno ressaltar, neste ponto, que os documentos matemáticos daquela época não empregavam a alta dose de simbologia ã qual estamos atuÕmente acostumados. De um modo geral, somente os números eram representados por símbolos: os dexnvolvimentos eram, em sua quase totalidade, expressos por palawas, uma forma de expressão que hoje é conhecida por "dlgebro re›drice . Dentre os raros símbolos matemáticos criados pelos egípcios, destacam-se o da soma e o da subtra@o, respectivamente um par de perninhas caminhando na direção da escrita ou contrariamente a ela.
Um dos problemas de Ahmes dizia: “Lfnia qunnfidede,	somnda o <us 2/3,
mais sua metade r moú sua sétinn parte peÇaz 35. Qiuil d csfn qunnsidedcf‘
No	simbolismo atual, escreveríamos rapidamente:	x +
—t-	2 x -F	$x	=	33 ou
seja, $x = 33› o que é uma equa@o do 1° grau. Evidentemente, os egípcios não adotavam a simbologia algébrica moderna, coisa inventada há poucos séculos e que serã comentada adiante. Não sabiam, também, resolver por nossos métodos nem mesmo as equaçóes do l O grau. Entretanto, usavam um artiÚcio muito engenhoso que lhes permitia encontrar a resposta correta e que veio a ser chamado de ‘fl#gro da Pofíe Pos@o“.
Por exemplo: qual o número que somado à sua terça parte dá 8i Pela Regra
da Falsa Posição, fazia-se uma hipótese inicial qualquer° a respeito do número e
A rigor, procurava-se fazer uma hipdtese inicial "conveniente" e o sentido desta palavra dependia da intuição e da sensibilidade do calculista.
țg\,œe4¥fczszyüęyç-ța@p++= •«=+•-=	"'" •
0 R0NAfiCE DAS E§UAÇÕES ALGÉBRICAS	13
verificava-se o que ocorria. Suponhamos, em nosso caso, que tal número fosse 3. Ora, 3 somado com sua terça parte d5 3 1 4, exatamente a metade dos 8 que deveria dar. Portanto, o número procurado é o dubro de 3, ou seja, 6.
Convenhamos, era uma forma legítima mas sofrida de resolver uma questäo hoje banal porém misteriosa no passado.
Os Babilònios, na mesma época, já conseguiam trabalhar com equações do
2* grau e resolviam-nas por um método baseado no mesmo raciocínio empre- gado pelos hindus quase 3 milénios mais tarde, o chamado "completamento do quadrado". Embora os resultados fossem corretos, os tabletes que contém soluçöes de equaçöes do 2º grau apresentam, como todos os demais, apenas sequências do tipo "faça is#o", "faça aquìło", "este ê o resuttado", sem qualquer justificativa lógica sobre o caminho seguido.
De qualquer forma, foram admiráveis os feitos dos valentes escribas, astrôno- mos e "engenheiros" que viveram há milênios pois, mesmo na ignoråncia, nào tiveram medo dos números e enfrentaram-nos com as armas de que poderiam dispor: a prrsislêncio, n confiança e a vontede de pensar.
.*	%+
I.1,aä„t
''¡° '_
ITO fl A BSOrOTAxin foram as fontes onde a Ruropa começou a obter
sew conhecimentos matemźńcos. Neite processo de assimila@o, os gre- gos dexmpenhuam um importantlssimo pa@ pois foram eles os primeiros ewopeus que, em contato com o OÚente Mćdio, intercssaram-x pclas tŁnicas e reconheceram a utüdade da Gæmetfiz Esta pabwa, diás, £ de oôgem gnga e significa medide de ıørm porque naquele tempo era cte um dos principÃs usos que dela sc fazia.
Quem foram os gregos? Chegando em sucessivas ondas ä penŁsula dos Búlcäs, durante o II milènio zC., os povos de fala grega ali construíram uma noYvel civilização que, por volta do sécĞo VU a.C., jã estabelecem colönias na Magna Grécia (como eram chamados o Sul da Itdûa e a ilha da CicüÒ), no Norte da Africa, nas ilhæ do mar Egeu, nas costas do Mar Negro e nas costas da Anatólia (onde hoje siNa-sc a Türquia). Õaûcando no Mediteriänæ orientå um intenso comćrcio de produtoÕs nåo do mundo grego mas, tambćm› eglpcios, fenlcios, strios e mesopotämios, os jònios (como eram chamados os grfgos das ilhas do Qn e da AnatólÒ) obtiveram do governo do Egito pemiuäo pan instalu um enReposto comercial na cidade de Náucratis, no dela doNśo, em meados do sëculo VII a.C. Foi ali que os gregos tiveram contato com os csplendorm da civiliza@o egípcia, encantamm-se com seus tcmplos, monumentos e púámides e começaram a aprender sua Matemáêca.
«ætÆbU$¥	4ss:œæci. f***'^”^+•=^-= -	‘“-“-	'-
a xoxxxcc a‹s Equxç0rs›ccżBnius	as
O primeiro grande matemãtico grego foi Tales, da cidade jónia de Mileto, colònia grega em território que hoje faz parte da Turquia. Tales não era um matemático profissional, ate porque esta profissäo simplesmente não existia å época. Ele era um rico comerciante que podia dar-se ao luxo de estudar Astronomia, Filosofia e Matemática por puro prazer. Conta a História que Tales notabilúou-se por haver previsto a ocorréncia de um eclipse e isto permitiu, muito mais tarde, situar sua obra por volta de 600 a.C. Outro episódio da vida de Tales foi sua esperteza comercial em um ano em que previu uma grande saíìa de azeitonas. Antecipando-se a ela, alugou para si todas as prensas existentes para a fabricação de azeite e, quando a colheita chegou, realugou-as com grandes lucros. Embora hoje este procedimento pudesse vir a ser considerado crime contra a economia popular, o grande Tales não merece que façamos dele um mau juízo pois a ele devemos a pńmeira profinda tramțormaçño pelø quał passou o pensomento mare=tdt1co desde que o fiomem aprmdera a contar.
Tales visitou o Egito e a Babilónia e de lå trouxe para a Grécia o estudo da Geometria. Entretanto, ao invés de apenas transmitir o que aprendera, introduziu um conceito revolucionãrio: at verdaAes matemdticas precisam ser demonstradas. Foi a primeira vez que urn homemhavia explicitado este
Ilustraçño 5.1	Tales de Miłeto (circa 640 n.C-564 a.C. ) (Miiseu Capitołino de Ronan )
t«	CAPITULO V.	A xATEx1TICA GREGA
princípio	fundamental	de	toda	a	atividade	cientlfica.	Merecidamente, ele	foi considerado um dos Sete Sábios da Grécia.
A partir daf começaram as demonstraçóes dos teoremas. Tales deu o pontapé inicial, provando que os ângulos da base de um triângulo isdscefes edo igual que qxalquer didmcfro divide o rfrrufo em dxei purfci igueú, que um 8agu/o inscrito em um seini-ctrcufo d sempre reto, que/eixes de poralefoi cortador po froxrvrrsnis produzem	segmentos proporcionais, etc.	Poucas décadas	depois, Pifdgoras,	que		nascera		na	ilha	de Samos, a 50 quilômetros	de	Mileto,		e que provavelmente	estudara		com Tales ou com seus discípulos	na chamada	Exola de Mileto, demonstrou o teorema dos triãngulos rtt8ngulo» sem dúvida o ma‘u
/omoso e popuÂr de toda a Aforcmdficx
Ilustração 5.2	Piidgornr, de Samos e, depois, Crotona (586 a.C.?-500 a.C .?) (David Smith Collection }
Muitos séculos antes de Pitágoras, os babil8nios e chineses já sabiam daquela propriedade geral, enquanto os egípcios conheciam-na para o caso particular do triàngulo de lados 3, 4 e 5, mas foi o célebre grego quem primeiro apresentou uma prova para tal relação entre hipotenusas e catetos.
Embora nascido em Samos, Pitágoras passou a maior parte sua vida adulta na cidade de Proferiu, no Sul da Itália, onde criou (circa 540 a.C.) uma escola voltada ao estudo da Filosoha, das Ciências Naturais e da Matemãtica. £m pou- cas décadas os pitagbricos espalharam por todo o mundo grego umn verdadâra
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0 R0NAŁIC£ DAS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS	I?
/ebre pelo estudo da ßfareindtice, cołocando a cİ*' '^°f<° •• **** ^°<'^ ° ß*# nos trouxe à era cienHȚco-łecnoIdgirn de hoj e. ES ta, certamente, Koi a maior contribuição histórica de Pitágoras e a razão pela qual o filósofo-matemático inglès Bertrand Russell ( 1.872—1.970) considerava-o “Pitt dos maíores homens quejd exislirnm”. A natureza místìca da irmaodade dos pitagóricos e sua grande influéncia na cidade provocaram uma revolta na populaçào e Pitágoras precisou refugiar-se na cidade de Vetaponto, também no Sul da Itãlia, onde diz-se que morreu assassinado em uma rebelião popular.
Quando Pitágoras demonstrou que em um triángulo retângulo vale a relação
— b'	+	c 2
produziu-se, pela primeira vez na Europa, uma equaçăo do 2º grau, com um atraso de pelo menos 1.200 anos em relação ao que já havia acontecido na Babil8nia. fi importante mencionar que os pitagóricos não se restringiram ã Geometria e fìzeram importances incursões também na Aritmética, por exem- plo encontrando métodos gerais para se calcular a soma dos termos de uma progressão aritmética e a soma dos quadrados dos números naturais.
Após Tales e Pitágoras, as descobertas geométricas (e, em menor grau, as aritméticas) avançaram rapidamente, principalmente depois que os gregos tive- ram sua auto-estima engrandecida pelas vitórias de 490 a.C. e 480 a.C. sobre o poderoso Império Persa. Tenders de Cirene (circa 470 a.C.), HfpinJ, de
£łiJ (circa 460 a.C.) e Zendo, de fiíein (circa 450 a.C.), deram importantes
contribuições, sendo que Hlpôcrates, de 9uius (460-380 a.C.), mudou-se para Atenas e ali ensinou Geometria, utilizando um livro-texto por ele escrito e que continha, de forma organizada e sistemática, tudo o que se conhecia à época.
Atenas atravessou um período de grandes diôculdades durante a guerra do Peloponeso (432 a.C.—404 a.C.) mas retomou seu glorioso caminho cultural quando, por volta de 386 a.C., Platào (427 a.C.-347 a.C.) criou sua Academia e iicla fomentou, entre outras ciéncias, o estudo da Matemãtica. Na Academia, geómetras como Têudio, Ãmicłas, Menecmo, Dìnostrato, Ateneu e Hermdflmo descobriram muitos novos teoremas. Também da fase inicial da Academia participou o grande udbxio, de Chides (408 a.C.—355 a.C.), um menino pobre que foi estudar com Platäo e que veio a solucionar o impasse em que se encontrava a Teoria das Proporçöes depois da descoberta da existéncia dos irracionais.
Em 338 a.C., Filipe Il,	da Macedónia,	passou a controlar a maior parte do
mundo grego.	Após ser assassinado	em 336 a.C., o poder	passou	às mãos de
i ,J,-‹	‹I›t U«/+isw€r'* =¿;-’*«•^P«&
19	€APlTtILO Y.	A NATENMTICA GREGA
seu filho, Alexandre, de apenas 20 anos, que veio a ser considerado o maior general da Antiguidade. Em 334 a.C., Alexandre deu início à conquista do Império Persa e em sete anos alcançou seu objetivo, tendo chegado até o Norte da India. O Egito foi conquistado em 332 a.C. e ali, no delta do Nilo, ele fundou uma cidade portuária chamada Alexandria. Após sua morte, em 323 a.C., o império foi dividido entre os trés maiores generais macedónios, cabendo o Egito a seu amigo de infància, o general Ptolomeu. Ele governou aquele país sob o nome de Prolomeu í, Soter, e deu início a uma dinastia de reis macedónios no Egito cuja última representante foi a célebre rainha Cleópatra. Estimulado pelo filósofo Deméfrio, de Pnlero, que se mudara de Atenas para Alexandria, Ptolomeu 1 criou a chamada Universidade de Alexandria, formada por um museu e uma gigantesca biblioteca, concebida para abrigar todas as obras científicas e filosóficas produzidas no mundo grego.
Foi naquela universidade que, por volta de 300 a.C., surgiu um génio que se encarregou de sintetizar e sistematizar o conhecimento matemático que se reunira até então. £ste homem foi Euclides, autor dos Elementos, considerado por muitos o mais inpumte Sivro-rexto de34afenidtico de todos os tempos. Não se sabe onde Euclides nasceu, nem mesmo se isto ocorreu em território grego. Parece provável que tenha estudado em Atenas por algum tempo, mas o fato é que revelou seu talento em Alexandria, onde dirigiu a área de Matemática do Museu e escreveu vários livros, entre eles os célebres Elementos.
Ilustração 5.3	Euclides (circa 300 a.C.), retrato conjectural.
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0 RONABCE DAS E9UAÇÕES ALGÊBR)CAS	IS
JS foi dito que Tales revolucionou	o pensamento matemático ao estabelecer que	as	verdades	precisam	scr	demonstradas,			o	que	criou		a	Matemática dedutiva.	Euclides	manteve		este concc•ito,	mas	fez nele	uma	ressalva	que,	por si só, bastaria	para imortalizá-lo: nem todas as verdades podem ser provadai; aJgumœ dales, us mais ełementarez devem ser admitidas sem d#mnnsfrnçëo. ' Os Elementos,		escrìtos	em		13		livros,		realizaram	o		prodigioso	trabalho	de sistematizar	os										da Geometria elementar, de forma rigorosa e dedutiva, partindo de um número mínimo de definições e de verdades aceitas sent provas. A ideia bńsica dos Elementos influenciou toda a produção científica posterior are nossos dias e eIe é o main antigo livro-texto que ainda continua em vigor atualmente. Albert Einstein disse que quem, na juventude, não teve seu
entusiasino despertado por Euclides, certamente não nasceu para ser cientista.
A quase total dedicação dos matemźticos gregos à Geometria custou-lhes o sacrifício dos conhecimentos aritméticos. A Grécia não foi forte em Aritmé- tica e uma das razões pode ter sido o fato de que ela näo dispunha de um adequado sistema de numeraçào.* Apesar disto, Euclides demonstrou alguns importantíssimos teoremas da Teoria dos Números e introdtiziu conceitos que se tornaram fundamentais na solução de cquações. Logo no início dos Elementos ele explicitou alguma5 verdades evidentes por si mesmas, agrupando-as em postułados de nafureze geométrica (cinco I e em noçòes romuns (também cinco), válidas genericamente. As noçöes comuns de Euclides (oram:
Coisas iguais a uma terceira são iguais entre si.
Se iguais forem somados a iguais, os resultados seräo iguais.
Se iguais forem subiraídos de iguais, os resultados serão iguais.
Coisas coincidences são iguais entre si.
O	todo ć maior do que a parte.
Embora năo tenha sido diretamente enunciada por Euclides, é fácil aceitaroutra verdade:
' A rigor, Aristóteles (3ô4 a.C.—322 a.C.), o maior dos acadćmícos, jú havia enxergado isso de uma forma geral. Euclides ftii o primeiro autor que conhecemos a explicita-lo em 84ateniåtica, embora deva ter tido precursores.
* Quem quiser avaliar a influćncia de um loom sistema dc nuineração not desenvoNimentu da Aritmética, basta imaginar dois grandes números escriios em algarismos romanos e tentar dividir uni pelo outro.
f)	Iguais multiplicados ou divididos por iguais continuam iguais.
Aqui estava a chave para a solução das equações do 1° grau.
Suponha-se, por exemplo, a seguinte equação
3x +	2 =	8
Pela noçào comum c), se subtrairmos dos dois lados o número 2, a igualdade se preserva. Então:
3x +	2 — 2 =	8 — 2	ou	3x — 6
Pela	verdade	f),	se dividirmos	os dois lados pelo número 3, a igualdade se
preserva. Então
3x	6
3	3
2
Finalmente! Depois de tanto tempo, estava encontrado um método geral de resolução das equaçóes do 1 O grau, sem os sofrimentos da Regra da Falsa Posição. E tudo com base em verdades evidentes por si mesmas, válidas tanto para a Geometria quanto para a Aritmética.
É	muito	importante	fazer	aqui	uma	observação.	Qualquer	estudante	que
tenha rudimentos de Matemática sabe que, ao se passu um número de um lado
para outro de uma equação, ele muda de sinal. Por exemplo:
é a mesma coisa que
3x	=	5 — 2	(o 2 passou para a direita e mudou de sinal)
Na realidade, não é que o 2 tenha passado para o outro lado e mudado de sinal. Isto é apenas aparente. O que houve foi que se subtraiu 2 dos dois lados, conforme permite a noção comum, e tudo se passou como se tivesse ocorrido a troca de sinal. Ê preciso nunca se esquecer dos raciocínios que existem por trás dos procedimentos que se tornam mecânicos...
O domínio que os gregos tiveram sobre a Geometria permitiu-lhes resolver alguns tipos de equações de 2°grau apenas com régua e compasso, mas os métodos usados, além de restritos, não pertencem ao escopo deste livro.
Depois de Euclides, ainda no período ptolemaico, passaram pela universidade
de Alexandria outros grandes matemáticos, como: Arlstarco (310 a.C.—230 a.C.);
,	=Ș‹;,"	ut	x
o xon«xcE axs Equaç0cs AtctenicAs	at
Arguimedes (287 a.C.-212 a.C), o maior g8nio da AniiguiÅdc r un dos três maÂres Æ todos os tempou £rofdstexes (274 a.C.-194 a.C.); ApoBnio (262 a.G-190 aC.), autor de magistrd obra sobre as secçöes cönicas e Hiperco (180 a.C.-125 a.C.), o criador da Tńgoaometrie. A conquista do Egito por Roma em 31 a.C. afYou bastante o desempenho da Universidade e somente um século depois voltaram a aparectr ouüos gmndc nomes, como: Herdø (circa 70 d.C.), úfmrleu (circa 100 d.C.), CRudio Ptobmeu (85 d.C.—165 d.C.)i DioĄaio (cúca 250 d.C.), o maior teórico dos números da Anüguidade; &piu (circa 300 d.C.); T'8on (circa 390 d.C.) e sua Mha ÜipAie (370 d.C.). A morte de Hipácia, assassinada por uma turba de fanåticos cristãos em 415 d.C.› simbolizou o finn da matemźtici grega. A exola de Æexandria conãnuou a existir por mas dois sëculos mas nada de importante foi feito.
Com a tomada de Roma pelos bárbuos godos de Odoacro, em 476 d.C., a
Europa entrou na Idade das Trevas e somente começou a emergir dela muitos séculos depois. Neste peúodo, o fogo sagrado da Rainha das Cièncias passou a ser velado por dois outros povos: os ärabes e os hindus.
ßustreçäo 5.4	Principnù cenims e sdSiaJ de origrm grega dn Antiguídode C	m
O’
0s Árabes e os Hindus
PR IRI El ROS SÊ€iL I.OS ÙCÇt›is He Crìsto presenciar rna grandcs	turbu1c•ncias
no	mundo.	O	Império	Romano	atingiu	seu	äpice	no	final	do século	II
mas	logo	começou	a	cair,		abalado	pela	corrupção	interna	e	pelos		bårbaros que lhe rompiam	as fronteiras.	As guerras consumiam		as energias dos povos e pouco sobrava para ser dedicado ao progrexo das ciéncias. Em 395 o Império dividiu-se		em dois e sua	parte ocidental,		cuja	capital	era	a outrora	poderosa Roma,	caiu	nas	måos		dos	invasores		godos	em		475.		A	cultura		acumulada na Antiguidade Clássica sobreviveu apenas no Império Romano do Oriente, que ainda resistiu por séculos embora tenha perdido o Egito aos árabes no ano 641. Por volta do ano 570, na cidade de Meca, na Arábia, nasceu um menino chamado Maomé, destinado a criar um império que veio a sacudir o mundo desde a Europa até a India. Conta a tradiçäo que, aos 40 anos, Maomé foi tornado de profundo sentimento religioso, começando sua prega@o pública em 613. Os episódios seguintes sucederam-se com incńvel rapidez. Unidos pelos ensinamentos islåmicos de Maomé, mais tarde compilados no Corão, os muçulmanos completaram a conquista de toda a península aråbica e das regiöes fronteiriças da Síria e do atual Iraque em 632. A partir daí, outros países foram caindo em sequència e, em poucas décadas, o império muçulmano chegou ä
fronteira da Espanha com a França, no Ocidente, e à India no Oriente.
O	Egito caiu em 641 e os 600.000 manuscritos da Biblioteca de Alexandria,
penosamente	acumulados	ao	longo	de	séculos,	arderam	durante	meses	nas
z.swtÆqa4¥gøxssé•OL‘1ślæîO^°= *^=^‘7-	-	“ “
0	R0løANCE DA5 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS	Z3
caldeiras dos banhos públicos da cidade. O conquistador árabe que decretou tão doloroso £m ao repositfìrio da cultura clássica, o califa Omar, entendeu que os livros, ou repetiam os ensinamentos do Corâo e eram supérfluos, ou os contraríavam e eram nocivos. Em ambos os casos deveriam ser queimados. Mas é preciso dizer que, antes de Omar, a passagem da esquadra de Júlio Cesar por Alexandria e, séculos depois, a ação de fanáticos cristäos já haviam causado graves danos à Biblioteca.
Este triste episódio da História da Humanidade parecia prenunciar que o império źrabe viria a tornar-se sinònimo de obxurantismo nas cièncias e na cultura. O que ocorreu foi exatamente o contrário. Em poufo tempo os c‹ifi/es, palavra que significa sucessor (de Maomé), influenciados pelo legado deixado pelo helenismo em Damasco, reconheceram a importáncia do saber e das artes e passaram a patrocinå-los. Os califas de Damasco, os chamados omíadas, perderam o poder político para os abãssidas, da região onde hoje situa-se o Iraque, em 750. Bagdad foi fundada em 762, tornou-se a capital do império árabe em 772 e somente na Espanha, com capital em Córdoba, sobreviveram descendentes dos omíadas. Em ambas as parles do mundo islãmico o progresso científico e culturd foi grande e rápido.
O califa uf-ńfansur (reinou de 754 a 775), que construiu Bagdad às margens do rio Tigre, desejou fazer dela uma nova Alexandria e para lå ßtfãİu Sábios de várias regíões, inclusive judeus e cristãos. Em 773, uma delegação de astrónomos e matemáticos hindus visitou sua corte e explicou a ele e a seus eruditos como trabalhar com o ehciente sistema indiano de nxniernçôo, logo adotado pelos sábios de Bagdad. O califa Hymn af-Rasfiíd (reinou de 786 a 809), imortalizado nos Contos das 1001 Noites, cercou-se de sábios e artistas e, inclusive, ordenou que os Elementos fossem vertidos para o Árabe. Este fato foi de suma importància pois, muito mais tarde, esta foi a fonte a que a Europa recorreu para reencontrar os perdidos ensinamentos de Euclides. Seu filho, Ał-Mamun, que reinou entre 813 e 833, continuou a obra do pai e determinou a pesquisa e a traduçäo para a língua Árabe de todos os antigos manuscritos gregos que pudessem ser encontrados, criando em Bagdad uma escola científica cuja biblioteca foi a melhor do mundo desde a que existira em Alexandria. Assim foram salvas ímportantes obras de Euclides, Arquìmedes, Apolônio, Cláudio Ptolomeu e outros génios da Antíguidade Clássica.
Al-Mamun convidou para sua corte muitos dos melhores cientistas do mundo e entre eles estava o famoso astrónomo e matemático Abu-Abdułłah fuham- med ibn-Muse i f-Khwartzmi (783—850), nascido na província persa de Khwa- rezm, de quem herdamos as palavras algarismo e a/gorifino, corruptelas de
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24	CAPITULO VI. 0S ARABES E OS HINDUS
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seu nome, e d/gef›rn, conformesera explicado. Tendo-lhe sido solicitado por Al-Mamun que produzisse uma obra popular sobre as equações, ele escreveu o lìvro Ał-Kitab ał-jabr wa’f Muqabałah, título que pode ser aproximadamente traduzido por “O Lívro da Restauração e do Balanceamento”. A palavra Al-jabr era empregada por at-Khwarizmi para dexignar operaçòes em que, por exemplo, a equaçăo x — 3 — 6 passa a x = 9, significando uma “restauraçäo” de x — 3 de modo a tornar-se a incógnita complete x. Foi assim que nasceu a palavrad/Nehru, presente em todos os idiomas do planeta, tão empregada na Matemática e que está claramente relacionada as noções comuns de Euclides.
Al-Khwarizmi escrevia com grande preocupação em tornar-se compreendido por seus leitores. Procurando simplificar a simbologia, resolveu popularizar o uso do sistema hindu de numeraçăo decimal, utilizado hoje em todo o mundo,
cujos elementos fundamentais são os algarismos de xero a nove e seu valor em função da posição ocupada no número. Para tanto, escreveu um livro denominado Siru8 uJ-jørni wo’f toJ'iúq äi ńiśnb s/ fiíiidi “Livro sobre o método hindu de adiçăo e subtraçăo”. As escolas passaram a ensinó-lo e, em algumas décadas, o novo sistema de numeração estava sendo usado pelas pessoas do povo, em particular os comerciantes. E foi na extensa fronteira entre os miindos cristăo e muçulmano que os europeus, realizando transaçöes comerciais com árabes, tiveram seus primeiros contatos com um outro tipo de Aritmética. A obra de al-Khwarizmi exerceu grande influência na Matemática europeia durante os últimos séculos da Idade Media.
Muitos séculos antes do surgimento do Império Muçulmano, os hindus já haviam começado a desenvolver sua própria Nlatemática. Na mesma época em que flores<eram as antigas civilizaçöes egípcia e mesopotâmica, um mis- terioso povo viveu no Norte da India, em Mohenjo l9aro, e deixou
que atestam um elevado nível cultural, somente possível a quem tivesse o
dominio de algumas técnicas de Aritmética e Geometria. Tal povo desapareceu, provavelmente absorvido pelos arianos, que invadiram a India por volta de
2.000 a.C. e construíram uma civilização bastante sofisticada na Filosofìa, nas artes, na religiăo e nas ciéncias. Mais tarde, as invasöes persa e macedònica trouxeram novas contribuições culturais e científicas e a India tornou-se forte
em	Astronomia	e em	Matemática	prática.	Por	volta	de	250	a.C.,	durante	o reinado do célebre imperador	Açoka, patrocinador	do Budismo, começaram		a
ser usados símbolos numéricos dos quais descendem	nossos modernos algaris- mos. Por volta do século V d.C., o sistema de numeração hindu consolidou-se,
tornando-se	posicional	e	empregando	dez	símbolos,	um		dos	quais	o	zero, chamado	pelos hindus de “sxnyn”,	que quer dizer “vazio”,	“vácuo”.	Foi este	o
igț«,sagśgeUș›șęy§yDs+°.<pçw«*x=+.-==t	*'-.’-
0 RONAFICE DAS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS	25
sistema que os visitantes hindus apresentaram em 773 a al-Mansur e sua corte e
que Al-Khwarizmi difundiu pelo mundo årabe.
No primeiro milénio da era cristà a India produziu célebres matemãticos e astrônomos, como Yarníinmihira (circa 505) e Brahmagupta (circa 630) mas o nome de Bfinskera (l.l 14-1.185) é o que mais facilmente vem a nossa memória, por estar ligado à fórmula geral da soluçäo das equações do segundo grau. A este respeito há um fato curioso: a rórmula de Bhaskara näo foi descoberta por Bhaskara. Conforme e1e mesmo relatou no século 12, a mencionada fórmula fora encontrada um século antes pelo matemãtico hindu Sridhara (991—?) e publicada em uma obra que näo chegou ate nós.
A fórmula geral para a solução das equações do 2* grau é amplamente co- nhecida mas merece aqui alguns comentários. Em primeiro lugar, seu encontro fundamentou-se na ideia de buscar uma forma de reduzír o grau da equação do 2º para o 1*, através da extração de raízes quadradas. Este toi o engenhoso inxtrumento que os hindus utilizaram com sucesso para chegar à Fórmula de Bhaskara. Seja a equação geral do 2º grau
cx’	+	bx + c	=	0	com	n	0
Portanto:
ou
, 2 + _,	+ C	= o
,	b	c
Como extrair a raiz quadrada de x' -F (b/n)x, se este binômio năo é um quadrado perfeito? O ovo de Colombo foi somar aos dois lados da igualdade alguma coisa que tornasse o lado esquerdo um quadrado perfeito, exatamente o mesmo raciocínio seguido pelos Babilónios 3.000 anos antes. Ora, a quantidade a ser somada é b'/ąp: pois x' + (b/o)x + *'/«- é um quadrado perfeito. Assim, tern-se:
,	b
b2
c	 b'	
—— + 4o*
4o 2	‘
U
o que é permitido pela mencíonada	noção comum de Euclides.
Como x'	+	(b/nyJ	+	b' /4«	é o quadrado perfeito ( g +	bJz « ) ',	tern-se:
b'	— 4oc
4o
Agora	prontos para extrair raízes quadradas, mas ainda há uma pequena armadilha em que nao podemos cair e da qual não se deram conta os Babilónios: números positivos ou negativos elevados ao quadrado são sempre positivos. Portanto, extrações de raízes quadradas geram sempre duas alternati-
OU
Logo
b
x +	—	—
2o
”
b	“
2n	'
b* — 4nc
4n
b'		— 4poc 40'
v b42
c
2o
—b A	b'	4	c
2o
E aqui estú a famosa Fórmula de Bhaskara, que não foi deduzida por ele mas que imortalizou seu nome. É importantíssimo chamar a atenção do leitor para o fato de que a simbologia que acabamos de empregar nesta dedução nào existia à época de Bhaskara e que a utilizada por ele não seria compreendida por um leitor moderno. A ideia de reduzir o grau de uma equação para facilitar o encontro de suas raixes nem sempre pode ser aplicada, mas hã casos em que se demonstra muito útil. Os babilônios foram os primeiros a descobrir este fato, redescoberto mais tarde pelos hindus. As equações do 2º grau são a chave para a solução de um problema clássico. encontrar dois números, x e y, conhecendo-se sua soma 5 e ser produto P. Este enunciado corresponde ao sistema:
x +	y =	S	y	S — x
p	ou	p
Logo, x(S — x)
P ou x'	— Sx +	P =	0 e, portanto,
S 2
S x-	4P
2
Estes resultados terão várias aplicações em capítulos posteriores.
0 ROMANCE DAS E¢ł8AÇÔES ALGÉ8RICAS	27
Pelo	menos	duas	conslataçöes	importantíssimas	decorreram	da	Fórinula
de Bhaskara:
at	equaçües acima do 1º grau	poderiam	ter mais do que uma soluçào:
b)	em alguns casos, a aplicação da fórmula conduzia a uma coisa misterio5a:
a raiz quadrada de um número negative.
Seja, por exemplo, a equaçäo x + 2x + ß — 0 Aplicando-se a fórmula de Bhaskara tern-se x = — 1 v
Ora, quanto é	? Ninguém sabia e o fato foi ínterpretado, à ép‹ica, como sinal de que algumas equaçúes do 2‘ grau eram impossíveis, simplesmente näo ti- nham soluçäo. Alguns séculos transcorreram atć que se cntendesse o significado das raízes quadradas de números negativos mas foi a fùrmula de Bhaskara que, no século 12, exibiu pela primeira vez ao mundo aquelas misteriosas entidades.
Vencidas as equaçöes do 2" grau, a inesgotável curiosidade dos matemáticos levou-os a conjecturar sobre as formas de resolver as do 3“. Aqui, também, os arabes tiveram um importante papel, embora não tenham encontrado a soluçăo. O famoso poeta Oniur Khuyynm ( 1.944—1.123), conhecido pi)r sua obra literária Rubaiyaf, era também um grande matemafico e trabalhou bastante no intuito de revolver as equaçöes do 3* grau. Eni alguns casos particulares ele obteve certo èxito tendo, inclusive, encontrado formas geométricas aproximadas de solucioná-las. Entretanto, nenhuma fúrmula algébrica geral foi encontrada e as equaçües do 3* grau permaneceram ainda por alguns séculos como um desaho aberto aos matemáticos.
As luzes do Renascimento começavam, entào, a surgir palidamente no hori- zonte da Europa e coube aos it alianos levar avante os trabalhos que os árabes e hindus hair am realizado no camțio da Algebra.
Rmurge na”IãIia
O COhtEÇO DO SEGUIDO MILÊNIO, dguØS fatos prenunciaram a chegada de
N uma nova era pua as cièncias do Ocidente. Por wltn de 970, um Łanc&
conhecido por Gerbert dŹuriIfer (9501.H3) enudou na Espanha muçulmana
e di	familiarizou-se com a Astronomia e a Matemáticados ùrabes, em especial
com o sütema de numera@o por elc trazido da India. De volta ä Europæ Gerbert foi bispo de Rheims, na França, arcbispo de Ravena, na Ítälia, e, sob o nome de Silvestrc II, Papa da Igreja Catóûcn em Rome Dessa importante posi@o, Gerbert, o único matemääco atł hoje a ocupu o trono de Sfio Pedro, estimulou o ensino da MatemäŃca e tentou promoter a subsütui@o dos inade- quados algarismos romanos pelos tudo-ardbicos mas os cardeaÚ opuscram-x a isso porque considcravam‘feitiçariasatänica‘ Ndocoque originava no mundo üßmico. EnFetanto, a inińativa de Gerbert teve o grande mJrito de chamu a atençäo dos dernés matemlticos pua o assunto e coÍocá-lo em discussäo. Nfio muito depois, um notávelerudito inØÛ, conliæido por4dckrddc&f£ (1.075- 1.160), viajou por vário pafses do mundo muçulmano - Espanhq ÁsÒ Menor e Egito - e conscguiu conuabazidmr pan a InØatena uma cópia dos Mementos de Eucüdes em Arabe, abelas astronßmicas compiladas por d-Khwarizmi e informaçòes dualhadas sobre o sistema indo-aidbico dc numeraçâo. Traduzindo para o Latim tudo o que trouxera, Adelud colœou a Inglatena em contato com
0 It0NA8CE DAS E1UAÇóES ALGÉBRICAS	29
a esquecida Matemática grega e com as facilidades do pouco conhecido sistema
de numeração dos árabes.
Os séculos 12 e 13 foram um período de marcantes acontecimentos na Europa. As Cruzadas haviam mobilizado milhóes de pessoas em praticamente todos os países, os conquistadores bárbaros foram finalmente absorvidos pelo que restou da cultura greco-romana, o comércio liderado por Veneza e outras cidades italianas floresceu, começaram as construções das grandes catedrais, Marco Polo chegou ao Enremo Oriente e surgiram as primeiras universidades: a de Bolonha em 1.088, a de Paris em 1200, a de Oxford em 1214, a de Pádua em 1222, a de Nápoles em 1224, a de Cambridge em 1231.
Foi nesta época de ebulição que viveu o maior matemático europeu da Idade Média: Leonardo de Pisa 1 117W1250) que não deve ser confundido com Ro-
naldo da Vinci, nascido cerca de 3 séculos mais tarde. Leonardo de Pisa, também conhecido como Leonardo fibonacci (filho de Bonacci) ou LeonaHo Pisano, hlho de um próspero encarregado de negócios das cidades de Veneza, Pisa e Génova, nasceu em Pisa no ano de 1.175 e passou parte da juventude no norte da África, onde teve intenso contacto com a cultura Árabe. Em	viajou pelo Mediterràneo, visitando o Egito, a Síria, a Grécia, a Sicília, o Sul da França e
Ilustração 7.1	Leonardo Fibonacci (I 175-1250) -	(David Smith Collection)
Constantinopla, o que lhe permitiu estudar varios dos sistemas aritméticos então existentes. Convencido de que o método indo-arábico era o melhor de todos, passou a dedicar seus esforços a transmiti-lo a seus compatriotas italianos, o que o afastou totalmente das atividades comerciais de sua família.
De volta à ltália, publicou em 1202 sua primeira obra, o Liber Abaci, onde descreveu o sistema numérico dos árabes, deu profundo tratamento às questões aritméticas e onde, pela primeira vez um cristão discorreu sobre Álgebra. Ax palavras iniciais do Liber Abaci sào históricas:
“£2tes são os nome símbolos dos hindus: 9, 8, 7› 6, J,	4, J,	2	l.	Com elefi› mois o símbolo 0› que em árabe á chamado de ZÊFÍRO› qualquer número pode x#r escrito.”
Esta terceira tentativa de introdução do novo sistema na Europa foi bem sucedida, porque a obra de Leonardo foi muito lida e suas ideias tiveram ampla aceitação na Itália. Foi desta forma que os algarismos arábicos começaram a expulsar da Aritmética, em 1202, os desconfortáveis algarismos romanos.
Leonardo deu algumas contribuições à entào incipiente simbologia algébrica. As equaçóes eram então escritas utilizando muitas palavras, uma vez que inexis- tiam símbolos mesmo para coisas elementares como a incógnita e suas potências. Leonardo introduziu as palavras “rei” (“coisa”, em Latim) e “radix” (raiz) para representar a incógnita, enquanto os termos “census” e “cubus” representavam, respectivamente, seu quadrado e seu cubo. À falta de um símbolo, ele utilizava a
palavra aequafis, para representar a igualdade. Ele empregou também a letra R
maiúscula para indicar a raiz quadrada e foi dos primeiros matemáticos a utilizar
o traço horizontal para grafar as hações ordinárias.
Em 1220 Leonardo escreveu a Pratica Geometriee e em 1228 uma edição enriquecida e ampliada do Liber Abaci. A estas alturas, sua reputação de grande matemático já era conhecida e, em 1225, quando de passagem por Pisa, O Imperador Frederico ll decidiu promover urna espécie de competição para testar a habilidade de Leonardo. Uma das questóes propostas por um conselheiro do Imperador foi encontrar, pelos métodos euclidianos, um segmento x que satisfizesse a equação
x 1 2x' + l0x — 20 = 0
Leonardo provou que o problema não poderia ser resolvido com régua e compasso (únicos instrumentos permitidos por Euclides) mas deu uma solução numérica aproximada, correta até a 9' casa decimal: 1,3688081075.
Æ enava, mais uma vez, o desaßo das equaçdes do 3º, grau, näo resolvidas e, por iuo mesmo, provocadoras dos Õrebros destemidos, daqueles que jamăs sc
conformam com problemas sem solu@o. A obm de Leonardo Õi importands- sima pois inspirou inúmeros xguidores, principalmente na Itźlia, e representou um grande mvco na histórin da ci$ncia ocidental. Sobre Leonudo, ainda ć Âgno de nota o kto de que ele vinu na mcma reğão e na mcma ćpoca em
que outro gtnio, de natureza dÙtinta, conquiuou imortaü&de pua scu nome: S5o Francisco de Assis, Il Poverello, o sønto das aves, das águas e de Ndo o que ć bdo na naæreu.
Coincid8ncia ou näo, o kto ć que o próximo grande matemdûco itdiano depoü de Łeonudo foi o francixano Fm (kei) Luca Paciolo (tambèm conhecido por Pacioû), homem que sc interessou proŁndamente pela AritmÕica e que J considendo o på da contabilidade moderna, baseada nos chamados lança- mentos duplos. Lca Pacioli nasceu em 1445, no mesmo peñodo em que, na Æemanha, Gutenberg Òventan a imprcm (1456), t£cnica que tomou posslvel a Õpida mulûpûca@o e dimQa@o dos ûwos. A primeira ediçåo impressa
üustraç4o 7J
Łuca Pacioli /J15%JS/4ÿ
w
:L'. *;•q°|*.It=== 0?•swi?-Z	+,	**«t4GG-txg$IQ$Q@s<
3Z	CAPÍTULO VII.	A NATENÁTICA RESSURGE fiA ITÁLIA
R$,\	,
dos Elementos de Euclides, em Latim, foi publicada em Veneza em 1482, trés séculos depois de haver Adelard de Bath obtido, em arriscada incursão à Espanha dominada pelos árabes, uma cópia daquela obra vertida para o Arabe por ordem de Harun al Rashid. Era, portanto, o momento histórico de ser feita uma síntese do conhecimento matemático acumulado na Europa até então e coube a Luca Pacioli realizar este trabalho.
Sua obra foí publicada em Veneza em 1494, sob o título Suniitin de Arifíinie-
tica, Geometria,	Proportioni et Proportionelite, e motivou	inúmeros talentos
a somarem suas forças no desenvolvimento da Matemática. Se- guindo o caminho de Fibonaccí, Pacioli introduziu mais alguns símbolos na Álgebra: a incógnita foi chamada de “cosn” (“coisa”, em Italiano) e abreviada como co. Seu quadrado e seu cubo foram chamados de “censo” e “cubo”, cujas abreviaturas eram ce. e c., respectivamente.
Infelizmente, Luca Pacioli cometeu vários erros em seus trabalhos e um deles
foi declarar que a solução das equações do 3º grau era tão impossível quanto a
quadratura	do círculo. Esta infundada	ah”rmaçào foi demolida	poucas décadas
depois, na mesma ltália, por dois grandes	que, ao darem curso a suas enormes rivalidades, temperaram a história das equações algébricas com o envenenado e mundano sabor da intriga: 'Tartaglia e Cardano.
,	„.,	-	,
$	,., ty.t ”t;t,.,!-.,k	w•
&rd’an.o’e Tala;(lia.pelas
Equaçóes do 30	Crau
$'_$ xaoaz xzo ssFa ssva a ixacsx que deles fan o público leigo, os grandes
gtnios, felizmente, foram ou são seres humanos como os demais, com quaüdad#s, defeitos, paixdes, Õaquezas e Ndo aquüo que nos cancteriza como pessoas. Este fato elementar, mas tantas vezes esquecidq expÊcpor que, na históHa da Ciência, não foram mros os choques entre dois tÕentoq quase invariavelmente em torno de disputas cuja ess$ncÔ eram as védades ou outros xntimentos menos elendos. Altm disso, u luzes do intelecto não brilbam somente em homens considerados de bom cardter. O que houve entre Cudano e Tanaglia, no início do s£culo XVI, £ um exemplo do que foi dito.
De Girolamo Cardano, nascido em Pavia em 1501 e fdccido em Roma em 1576, o mínimo a ser dito é que levou uma vida marcada por conuasíes e enremos. Excepcional cientütn, dedicou-x também ã Astrologia. Protegido do Papa Gregóôo OH, acabou acusado de hertsia por haver divulgado o horóscopo de Jesus Cüsto. Astrólogo do VaÊcano, escreveu um livro louvando a Nero, o gnnde perseguidor de crüt5os do ImQôo Romano. Autor do ziaen ne LUDO nLnne, onde brihantemente introduziu a ideia de probabilidade que se usa mo&rnamente, aü também ensinou maneiras de x trapacear nos jogos.
34	€APÜ1IL0 VIII.	A DISRUTA EBTRE CARDA8O ETARTAGLIA PELAS EgMAÇÖES DO 3º GRAU
Filho üeJtimo de um advogado de Milão, professor em &lonha, Pavia e Milåo, consãtuiu uma famŹa absolutamente dcrcgrada. Sen filho mas velho foi condenado ä morte por haver auassinado a cposa. De seu m&s novo, Cardano, num acesso de fúria, arrancou as duas oreAx. Em um documento por de mumo redigido, definiu-se como desbocado, œpiäo, mekncólico, trÃdor, Òvejoso, soûtdrio, obxeno, desonesto, Òcomparavelmente vicioso e portador de totd desprezo pela reûgião.
a«æ«poan	ci‹»a«»mæ» li.soi-i.sza1 Iiss›;•z«»Pi‹w«:b«yj
Apesar destes traços peuoăs nada dignificantes, Cardano legou I posteridade um ßwo que› fi Cpoca, en cm dúvida o maior com@ndio dgćbrico existente: ă ARTIG MAGHAãì 8IVfí DR R£GUL1S ALGsaRAICIS, mais conhecida por 4rs mgøe, pubûcada em Nurenberg, na Æemanha, em 1545. O nome de Cardano também chegou atć nós na exprcssão ‘eixo cardan*, utilizado nos automóveis, embora a invençfio não tenha sido dele.
Nicolò Fontana, apeûdado Tartaglia, em comum com Cardano só tinha o talent matemătico e a nacionaüdade italiana.Nascido em Bréscia, em 1Hl, desde a infäncia teve a vida marcada pelo infortúĂo, pclas lutas, pelas asperezas e por toda a soøe de dificuldades. Aos onx anos, em 1512, Bréxia foi tomada
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36	CAPÍTULO ¥III.	A DISPUTA ENTRE CARDAFIO E TARTAGLIA PELAS E9UAÇõES D0 3º GRAU
que conseguia obter aqui e ali. Sem dinheiro para comprar papel, cena e tinta, dirigia-se à noite ao cemitério, onde escrevia com carvão sobre as lápides dos túmulos. Através deste caminho espinhoso, Tartaglia construiu sua cultura e, em 1335, encontramo-lo a ganhar o sustento comti professor de ciência em Verona, Vicenza, bréscia e 1eneza. Ao longo da vida publicou diversas tibras, utilizando o cognome Tartaglia, e foi o primeiro, cerca de 100 anos antes de Galileu, a realizar cãlculo5 na técnica da artilharia. Mas o que o colocou definitivamente nos anais da Matemática ftiram suas disputas com Cardano sobre as equaçíies do 3" grau.
Ilustração 8.3	Niroló	f-ortt‹iitri
Tnrtnglin) -	( 1499- l S57I (Diti•irl Sitiitlt C.ollection )
Consta que, por volta de l510, um professor de Matemática da Universidade de Bolonha, de nome Scipione del Ferro, encontrou uma forma geral de resolver as equaçóes do tipo x" + px + q 0. Embora tenha morrido sem publicar sua descoberta, ele a revelou a seu aluno, Antonio Maria Fior que, mais tarde, tentou adquirir notoriedade valendo-se da descoberta do mestre. Naquela época era frequente o lançamento de desafio5 entre os sábios (e, também, entre os que não o eram mas desejavam parecer sé-lo) e Fior elegeu Tartaglia, já bastante conhecido por seu talento, como alvo. O desafio consistia na solução de diversos problemas que um deveria propor ao outro e Fior, naturalmente, pretendia
apresentar questões que dependessem daquele tipo de equação de 3º grau, da
qual somente ele	a solução. Tartaglia aceitou o desafio, até porque
¿țgțÆbagyæsxsaăęyț;qgșțy*ç*°^^+•+'--* -	'•- '-	”
0 ROMANCE DAS EgUAÇÒES ALGÊBRICAS	37
não levava Fior em grande consideração mas, pouco antes da data marcada, veio a saber que seu oponentc cstava armado dc um método descoberto pelo falecido professor Scipione del Ferro. Sentindo-se ameaçado, conforme mais tarde relatou o próprio Tartaglia, “moÕfizei ›odo o encsienno, a apłicação e a ante de que fur caps objetivando enzontrar uma regra par• • ^° ^f°° daquefas equações, o que consegui a 10 de feverciro de 1535”. Mas foi niais longe: além de resolver as do tipo x’ 1 px + q 0, também achou a fórmula geral para as do tipo x" + px2 + q — 0, que Fior nào conhecia.
O resultado do desafio foi que, enquanto Tartaglia resoÎveu corretamente todos os problemas propostos por Fior, este nada conseguiu resolver dos apre- sentados pelo primeiro, já que implicavam a solução das equaçöes do tipo x’ + px* + q = 0. Fior saiu humilhado do episódio e hoje só é lembrado como alguém que recebeu o merecido castígo ao pretender adquirir fama às custas de outrem.
Por esta época, Cardano estava escrevendO It PRAT ICA AR ITHMF.TlCAh GE- NERaŁls, englobando Algebra, Aritmética e Geometria. Ainda acreditando no que dissera Luca Pacioli sobre a impossibilidade de uma soluçào geral para as equaçöes do 3º grau, Cardano nem pretendia tocar no assunto em seu livro. Entretanto, ńcou sabendo que Tartaglia achara a solução e resolveu pedir-lhe que a revelasse para que fosse publicada Hã PRATICA. Tartaglia não concordou, compreensivelmente, alegando que sua intençäo era publicá-la ele mesmo em um livro a ser escrito no futuro. Diante da negativa, Cardano ofendeu Tarta- glia, acusando-o de mesquinho, egoísta e não interessado em colaborar com o desenvolvimento da humanidade. Algum tempo após a troca de insultos, Tartaglia recebeu uma carta assinada por um nobre italiano, convidando-o a visitá-lo em Mílão. Lá chegando, ao invés do fictício nobre, esperava-o o próprio Cardano que lhe implorou, sob juramentos de segredo, a revelação das cobiçadas fórmulas. Nas próprias palavras de Tartaglia, ele decidiu confiar em Cardano pois, se näo acreditasse em um homem que fazia tais juramentos sobre o Evangelho, ele mesmo deveria ser considerado unia pessoa perversa e desumana. Aceita a promessa, Tartaglia mandou o segredo em um poema, de forma cifrada e misteriosa, que Cardano não conseguiu entender. Mais conversações, mais juras, mais promessas e, finalmente, Tartaglia revelou tudo.
Conforme qualquer um poderia prever, Cardano quebrou todas as promessas e juramentos e, em 1545, fez publicar na xRS xacxa› ã fórmula revelada por Tartaglia. Embora tenha feito rasgados elogios a ele, acrescentou que, inde- pendentemente e trinta anos antes, Scipione del Ferro chegara aos mesmos resultados. A reação de Tartaglia foi pronta e explosive: publicou sua versão
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Üz¥i.Ø¥a¥«s«4/odRt.æ*««R**'"-^*-^---
0 R0NAN4E DAS E1UAțÂES 4LGÉ8RICAS	41
Por simples verifìcaçăo, constata-se que 3, realmente, é solução da equação dada e a fórmula, como esperado, funcionou.
à primeira vista, iniaginou-sc que as equações do 5” grau estavam vencidas pela fórmula de Cardano (de "Tartaglia!), analogamente :io que a fórmula de Bhaskara fizera com as equações do 2* grau. Mas a ilusão duroii pouc‹i. 1.ogo
começaram a surgir dúvidas, pcrguntas e problemas na aplicașão do inétodo de
Tartaglia e os matemáticos viram-se enredados em questöes que demandariam cerca de 200 anos e os esforços dos melhores cérebros dos sćculos XVII, XVlll e inícios do XIX até que fossem dehnitivamente esclarecidas. Parecia quean invés de responder à siotpłes pergnnta “como revolver as equações do X grau*”› Tartaglia havia mexido em um verdadeiro vespeíro, do qual saiam estranhíssimas e insondäveis qfJesrñes.
A mais elementar dúvida que surge naturalmente em quem obser va a fór- mula de Cardano (de Tartaglia!), é a seguinte: se a fórmula de Bhaskara exibe, de maneira tão simpler, as dnas raízes das equações do 2* grau, por que é que a de Cardano só apresenta uma? fi muito fácìl achar exemplos de equaçöes do 3“ grau com 3 soluçöes, mas como flea isto diante de uma fórmula que só fornece uma? Onde estariam as outras duas?
Como ve matemáticos enfrentaram e resolveram estes e outros problemas suscitados pelo método de Tartaglia é assunto que ser5 gradat ivamente explicado em capítulos ț›osteriores. Afinal, este é, também, um livro de suspense.
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diferentes	podcm ser agrupadas as raízes <i. <›. x
cada? A resposta é 3:
e xJ em dois blocos de duas
l’ equação
?" equação
forma	l
x	x•
xixi
Portanto, cada valor de ri corresp‹)nde apenas a uma das 3 formas diferentes de se agrupar raízes duas a duas, mas estas sao sempre as mesmas, independen- temente da raiz ri adotada no método de Ferrari.
Um exemplo concreto ilustra cr›m clareza este fato. Seja a equaçã‹i:
x — 13x' — l0x + 24 0
Aplique-se o método de Ferrari, ou seja, encontre-se	e Ç tais que
x‘ — í 15 —- ‹x)	+(24+@)	n
3
com ambos os lados da igualdade quadrados perfeitos.
Para isto
í 15 — n)	2	— 4 ( 24 +	Q )	=	0
e
25
100 — 4nÇ = 0
o que leva ã equaçao ix	— 50n'	129a —	100 =	0
Esta equação, sendo de 3º grau, é resolúvel	a l gel	vicamente	c suas ral7'.es	súo
nJ	=	1, ‹x	=	4 e ni	=	25.
Para ri	1, §	=	25 e cts dois lados da igualdade ficam
x4
Í 15 — 11 x'	+	Í 24	25) — x'	l0x *	2*
x’	—	l4x' + 49 =	x	+
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a inexisténcia	de soluções.	Agora, entretanto,	estava-se diante de equações do
3	grau com soluções evidentes, mas cuja determinação passava pela extração de raízes quadradas de números negativos.
O que ocorria com a equação x'	— 15x — 4	0 pode ser generalizado.
Seja o produto
(x — a)(x — b)(x — c)
0
Ê evidente que seu desenvolvimento leva a um polinómio do 3º grau em x. Se ele for igualado a zero, ter-se-á uma equação do 3º grau, cujas raízes sào x ri,
x = b e x = c pois, para qualquer destes 3 valores, o produto se anula.
Pesquisemos que relação deve haver entre ri, b e c para que o desenvolvi- mento do produto conduu a uma equaçào do tipo x’ + px + q = 0, para a qual é válida a Fórmula de Cardano.
(x — a)(x — b)(x — c) =	x’	— (a + b + c)x' + (ab + bc +	«c)x — abc
Pam que inexista o termo do 2º grau é necessário e suficiente que o-I-b-l-c	0
ou c —— —(o +	b).
Portanto, a equação
(x — a)(x — b)(x + |a +	bj) = 0 tem por raízes o,	b e —(o +	b) e equivale ã equação
x’	+	nb — (o + b)2 J x +	ob(o +	b) =	0
Aplicando-se a ela a Fórmula de Cardano tem-se
ob ( o + b }
2
+
nb — (o ++	bb))2 )	+
expressão esta que deve levar a x	=	o,	b e — (ri +	b), soluções jã conhecidas de
antemão.
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Portanto:
x’ + 2xç + ç’	=	100
4xp	160
Sulitraindo uma da outra
(x — y )' =	—ô0
0 ROMANCE DAS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS	53
x' — 2xq
ç' — —60
+	x-¿¿
Consequentemente
i2S-15
2x	10	2
Ê fácil constatar que tais números somam 10 e que seu produto é 40. Embora, a seguir, Cardano tenha acrcscentado que aquele resultado era “tào sutil quanto inútil”, deveriios creditar a ele a honra de ter sido ta primeiro matemãtico a fazer algumas opcrações com ri úmeros complexos.
A segunda ohser vação e quanto a um equívoco frequentemente cometido por
alguns professores e livros-texto relativamente à origem dos inúmeros complexos: foram as equaçóes do 3" grau e não as do 2" que desencadearam todo o desenvolviineiitti teórico havido naquela área, trabalho tjtie durou mais de dois séculos a partir da ideia pioneira de Bombelli.
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ou
0 RONAIJCE DAS E¢IUAÇÕES ALGÉBRICAS	S7
Assim, 2/ri é o produto infinito
2
1
2
2
Esta forma interessantíssima de se calcular x demonstra a intimidade com
que Vinte era capaz de abordar as questões trigonométricas.
O uso esporádico de letras para representar números era prática muito antiga mas até o surgimento de Vinte não se costumava fazer manipulaçües algébricas de símbolos nem eram empregados coehcientes literais para represeniar classes genéricas de equaçóes. Viéte fez uma importante inovação no simbolismo algébrico: em seu livro In aHem anaIJticam isngoge Introdução à arte ana- lltical, de 1591, ele utilizou sistematicamente as letras para reR•••••••• •^• só as quantidades desconhecidas (incógnitas mas, também, os coeficientes das equações. As letras eram sempre maiúsculas, ficando reservadas as vogais para as quantidades desconhecidas e as consoantes para as conhecidas. lsso foi um progresso em relação à simbologia de Pacioli, Cardano e Tartaglia inas ainda estava longe daquilo que usamos modernameiite. Por exemplo, uma equação que hoje esereveríamos 3BA* — DA + A’ = Z era escrita por Viéte como
B3 in A quad — D	plano in A 4- A cubo aequator Z solido
No campo das equaçóes algébricas Vinte tinha especial predileção por fazer siil›stituiçóes de incógnitas de modo a cair em problemas mais fáceis de ser resolvidos. Ja vimos que, por exemplo, fazendo x = y — (b ’3ol consegue-se transformar a equação gera1l nx’ bx' + cx -F d = 0 em outra sem o termo do segundo grau, passível de resolução pelo método de Tartaglia. Este recurso de mudança de incógnita pode ser de grande valia e Viéte possuía excelente visào em fazer as substituições adequadas. Assim, através de um engenhoso artifício, conseguiu encontrar outro caminho algébrico para a solução das equaçóes do 3º grau, diferente daquele descoberto por Tartaglia.
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Asim, partindo de um contato com um livro de Astrologia em 1663 e após um mergulho de pouco mais de um ano nos melhores livros de Matemática que póde encontrar, Newton realizou em dois anos ( 1d65 e 1666) as maiores descobertas até então feitas na Matemática e na Física desde que o homem começara a pensar. Tinha, então, menos de 24 anos e, em suas próprias palavras, encontrava-se no auge de sua idnd# inventiva # ompava-se àquelas duas ciéncias mais do que o fez em qualquer outra êpoca f•osterior.
Como poder-se-ia esperar, sua personalidade era bastante distinta daquilo que se encontra normalmente e não devemos fazer qualquer avaliação de caráter pessoal sobre um homem necessariamente excéntrico e cuja vida transcorreu em uma época em que os valores sociais eram totalmente diferentes dos de hoje. Isto precisa ser dito porque, malgrado haver alcançado uma reputação verdadeiramente mítica, Newton acabou por receber alguns julgamentos que arranharam sua imagem sobrenatural. As razóes principais foram a obsessiva relutância em publicar o que descobria, confidenciando-o apenas a um pequeno círculo de amigos, uma triste polêmica que travou com Leibniz (l64W 1716) quanto à primazia na invenção dos Cálculos Diferencial e Integral e os longos esforços que dedicou à Alquimia e a questões de fundo místico-religioso.
fi fato que Newton produzia muito mas publicava pouco, procurando, de todas as formas, evitar as discussóes e contestaçóes que sempre surgem quando alguém descobre algo novo. Saa maior obrã, PH lLOSOPH IAE NATURALIS PRINCI- PIA MATH cMaTiCx, considerado por muitos o mais importante livro científico de todos os tempos, somente foi publicada, em 1687, por insistência de seu amigo Edmond Halley (o astrônomo do cometa), mais de 20 anos após as descobertas nela contidas terem sido feitas. Realmente, o desejo de ser deixado em pu em seus estudos e de guardar excessivo segredo de seus trabalhos era um traço eventualmente neurótico mas este é um detalhe ínfimo em alguém que foi tão grande e que tanto bem trouxe à Humanidade.
A polêmica com Leibniz foi um episódio lamentável ocorrido entre duas pessoas maravilhosas. É indiscutível que Newton inventara o Cálculo Diferencial (que ele chamava de Fluxões) em 1665 e o Integral (que ele chamava o MétCido Inverso das Fluxóes) em 1666. Entretanto, nada divulgou a respeito, apenas circulando seus papéis entre um pequeno grupo de íntimos. Em 1672, o jovem Gottfried Wilhelm Leibniz, entào trabalhando como diplomata, mudou-se para Paris e ali aprendeu Matemática muito rapidamente, sob a orientação do grande Christiaan Huygens. Seus progressos foram tão impressionantes que no final de 1675 ele já havia desenvolvido as ideias básicas dos cálculos Diferencial e Integral,
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”	"Números Compleños ”
PASSP.IO QU£ì T£ìMOs PEITO pelo pals das @ua@cs Ægtbńcas permiãu-nos, até	aqui,	conhecer	alguns	personagens	kscinantæ	do	romance dn	Ma- temática, cada um com		suas cuacteñsticas	pccuûares:		Ahmeq o	mais antigo dos autorts cujo nome a História registrou; Tåes, o rico comerciante que teve o	coração	conquistado	pela Geometria;		PiĞgoras, o	primeüo	a perceber	que
o mundo fala a finguagem dos númerog	Eucûdes, o	méor dos sintetizndorcg
Al-Khwarúmi, o pai dn Àlgebrai Leonardo Fibonacci, o primeiro cristäo a acrever sobre a Agebra, Cardano, o brilhante mau-cardter; Tartaglia, o pobc menino autodidata que venceu as equações do 3º grau; &mbclli, o dcstemido manipulador dos números complexos; Fermat, o advogndo dos números; Des- cartc, o unificidor dn Gæmetria ä Agebra; Newton, o dexobridor du Leß do Cosmos.
Agora, neste capltulo, seremos apresenudos a alguém que, alćm de ter sido indiscuûvelmente o matemäüco que mÃs obras produziu e pubûcou em todos os tempos, năo enconãa termo de compara@o quanto a suas caracteñsticas de encintadora pessoa humana: o sulço Leonhud Euler (pronuncia-se Oßer), de quem k›i Áto que ^calmłeva mm oJiu:iIidade com que oc outros iexpiixm“.
Leonhud Euler nasceu em Basûeia, Sulça, no ano de 1707, quando o CÕculo, inventado por Newton e Ribniz, expanÔa rapidamente suas Ùonteúas e propor- cionava aos estudiosos inúmeras e inesperadas aplicaçöes. He foi disclpulo de
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