DISCIPLINA: TÓPICOS DE FÍSICA NUCLEAR UNIDADE 2: Propriedades Nucleares Globais e Modelos Nucleares

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DISCIPLINA: TÓPICOS DE FÍSICA NUCLEAR 
UNIDADE 2: Propriedades Nucleares Globais e Modelos Nucleares 
 OBJETIVOS: Ao final desta unidade você deverá: 
- conhecer as propriedades como a massa, densidade, spin nuclear e níveis de 
energia; 
- distinguir entre diferentes modelos usados para descrever o núcleo atômico. 
1. PROPRIEDADES NUCLEARES GLOBAIS 
 Nesta unidade estudaremos características especificas do núcleo atômico. Como já 
fizemos na unidade anterior, dependendo da “lente” com que estamos observando o 
núcleo, diferentes propriedades serão observadas. Usaremos como “lente” de prova, 
diferentes partículas (elétron, próton, píon,...) que vão bater com o núcleo com 
comprimentos de onda de Broglie =h/p (onde h é a constante de Planck e p é o 
momentum da partícula). Quando estes  forem da ordem de grandeza do tamanho 
nuclear, poderemos estudar aspectos globais do núcleo. Quando as partículas que 
interagem com o núcleo tiverem comprimentos de onda curto, vamos notar que o 
núcleo está composto de Z prótons e N nêutrons, ambos chamados também de 
núcleons. De modo tal que temos A=Z+N núcleons compondo o sistema núcleo. Se 
usarmos partículas com comprimentos de onda ainda mais curtos, vão aparecer os 
graus de liberdade mesônicos*, assim como as excitações dos núcleons. Quando as 
energias das partículas incidentes no núcleo forem muito grandes, a estrutura 
interna dos núcleons apresentará uma dinâmica de um sistema de quark-gluons 
[Hey99]. 
 Aqui estudaremos as características comuns do núcleo, tais como: a massa, 
energia de ligadura nuclear, o raio e extensão nuclear, o momento angular nuclear e 
os momentos nucleares, ilustrando os aspectos mais importantes destes. Resumindo, 
a parte central do átomo é o núcleo atômico com sua carga positiva. Esta é a fonte 
da força de Coulomb, que mantém o átomo estável. O próton tem carga positiva 
enquanto que os nêutrons são neutros. Aqueles elementos que possuem o mesmo 
número de prótons Z se chamam de isótopos, aqueles que possuem o mesmo 
número de massa A se chamam de isóbaros, e aqueles que possuem o mesmo 
numero de nêutrons N se chamam de isótonos. 
*Mesônicos: propriedade associada aos mésons, partículas que transportam a força nuclear. 
A massa nuclear se expressa em unidades de massa atômica, 
271066.1 u
kg que 
corresponde aproximadamente à massa de repouso do átomo de hidrogênio no 
estado fundamental. As massas do próton e do nêutron tem sido medida pelo 
espectrômetro de massa (BOXE 2.1) resultando nos seguintes valores: 
Massa do próton mp = 1.672621 x 10
-27 kg, 
com uma energia equivalente mpc
2= 938,271 MeV, 
Massa do nêutron mn = 1.674927 x 10
-27 kg, 
com uma energia equivalente mnc
2= 939,565 MeV. 
O fato de que a massa de nêutron é maior que a massa do próton, introduz a 
possibilidade de que este possa decair (sofrer uma transformação para uma outra 
partícula). Ambos núcleons são partículas com spin ½ (h/2), pertencendo a uma 
classe de partículas chamadas de férmions [Bet04]. 
 As espécies nucleares (nuclídeos) são identificadas mediante a notação: 
 
 
onde é o símbolo químico das espécies. Por exemplo, o isótopo de carbono de 
massa é denotado por 
 onde o número atômico do carbono . 
 Como os núcleos são compostos de prótons e nêutrons temos por explicado algumas 
propriedades características dos isótopos associada a carga que eles aprestam. Por 
exemplo, todos os isótopos de um mesmo elemento possuem um idêntico 
comportamento químico e diferem, fisicamente, apenas na massa [Bei69]. 
___________________________________________________________________ 
BOXE 2.1 SAIBA MAIS: Espectrômetro de massa 
O espectrômetro de massa é um instrumento usado na medida de massas atômicas. Na Figura 
1 mostramos um dos vários modelos inventados para este instrumento. A primeira tarefa 
deste aparelho é de criar um jato de íons da substância em estudo. Estes íons emergem da 
fonte por uma fenda com uma carga +e, e logo são acelerados por um campo elétrico. 
Quando entram no espectrômetro, os íons seguem caminhos diferentes com velocidades 
distintas. Antes dos íons atravessarem o seletor de velocidade eles são colimados por par de 
fendas. O seletor de velocidade consiste de um campo elétrico e magnético uniformes, 
perpendiculares entre si e ao feixe respectivamente. O campo elétrico E exerce a força 
 
sobre os íons, enquanto que o campo magnético B exerce a força 
 
sobre eles num sentido oposto. Para que um íon alcance a fenda localizada na extremidade do 
 
Figura 1. Espectrômetro de massa. Fonte: 
http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/fisica-nuclear/fisica-nuclear-3.php 
seletor de velocidade, o mesmo não deve sofrer desvio dentro do seletor, significando que 
apenas escapam aquelas partículas onde 
 
 
 . 
Agora todos os íons do feixe vão com a mesma velocidade e direção. Depois de atravessar o 
seletor de velocidade, penetram num campo magnético uniforme e seguem trajetórias 
circulares de raio que pode ser obtido igualando a força magnética com a força centrípeta 
 , ou seja, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
como e são conhecidos, medida de proporciona um valor para a massa do íon. 
 
1.1 Tamanho do núcleo. 
 A carga nuclear está concentrada num pequeno volume. Esta pequena região onde 
se encontra o núcleo tem uma ordem de grandeza cinco vezes menor que o 
comprimento característico dos átomos (de aproximadamente 1Å) sendo 
fm 1m 10cm 10 1513  
, 
onde 1 fm=1 “fermi” (esta é a unidade preferida pelos físicos nucleares)[Fanca]. 
Assim, o raio dos prótons e nêutrons que compõem os núcleos é da ordem de 1 fm. 
Se pode pensar que os A núcleons estejam distribuídos dentro de uma esfera de raio 
R, sendo eles como pequenas esferas duras de raio r, assim podemos escrever 
 
 
 
 
 
 
ou simplificando esta expressão podemos colocar 
 
 
onde esta no lugar de para representar o modelo de esferas empacotadas e 
levar em conta os espaços vazios que existem entre elas e o fato de que o volume 
nuclear deve ser maior que a simples soma dos volumes de cada esfera. Assim 
esperamos que seja um tanto maior que 1 fm [Bertu]. 
 Também podemos estimar o raio do núcleo de forma experimental. Os resultados 
mais precisos são aqueles que utilizam espalhamento de elétrons. Os elétrons são 
acelerados e atingem o núcleo alvo, interagindo eletromagneticamente com os 
prótons. Ao saírem, eles trazem informação de como os prótons estão distribuídos 
dentro do núcleo, ou seja, informação da distribuição de carga no núcleo. Supondo 
que a densidade de prótons e a densidade de nêutrons são muito similares, assim 
também podemos dizer que a distribuição de cargas nos núcleos se corresponde com 
a densidade de massa. O método experimental de se medir a distribuição de cargas 
dentro do núcleo foi desenvolvido por R. Hofstadter e colaboradores [Bertu]. A forma 
funcional que podemos expressar o número de cargas (ou massa) por unidade de 
volume, a densidade de carga (ou massa), resulta 
 
 
 
 
onde 
 
 e são constantes. Esta função é conhecida como função de 
Fermi. 
 
Figura 2.1: Densidade de núcleons em função da distância ao centro do núcleo, 
obedecendo a uma distribuição de Fermi típica [Bertu]. 
Analisemos um pouco o comportamento desta função:(i) notamos que a mesma cai à metade no centro 
 
 (Figura 2.1); 
(ii) a equação (2.3) diz que a distribuição de núcleons em um núcleo não é como o 
de uma esfera homogeneamente ocupada com raio bem definido; 
(iii) a densidade de carga no interior do núcleo é praticamente constante no seu 
interior e cai rapidamente à zero na superfície nuclear; 
(iv) o valor de , que é a densidade de carga no interior do núcleo diminui 
lentamente à medida que aumenta; 
(v) supondo que a distribuição de prótons no núcleo é a mesma que a dos nêutrons, 
então a densidade de massa que representa a densidade de todos os núcleons 
no núcleo é proporcional à densidade de carga, a menos de um fator proporcional a 
 , ou seja 
 
 
 
 
As densidades dos núcleos ( ) são aproximadamente ordens 
de grandeza superiores às densidades usuais do mundo macroscópico (por exemplo, 
para o Fe a densidade é de ). A Figura 2.2 mostra a distribuição de 
cargas de vários núcleos usando os resultados experimentais de Hofstadter e 
colaboradores [Bertu] para nós dar uma idéia do comportamento desta quantidade 
para várias 
massas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2 Energia de ligação 
 A força nuclear é atrativa e de curto alcance (de aproximadamente 10-13 cm), e 
mantém os núcleons unidos no núcleo. Por isso, precisamos realizar trabalho para 
separar o núcleo nos seus componentes livres. De outro ponto de vista, quando 
formamos um núcleo estável*, a partir de seus componentes livres, vai se libertar 
uma determinada quantidade de energia. Assim, a energia de ligação de um núcleo, 
teoricamente, é a energia necessária para separar o núcleo em todos os seus 
núcleons. Ela pode ser calculada se lembrarmos que ela deve ser igual à massa que 
se perde quando o núcleo é formado. Para um núcleo 
 , com número de prótons 
e número de nêutrons , ela é dada por [Bertu] 
 
 
onde é a massa do próton, é a massa do nêutron e é a massa do 
núcleo Essas massas podem ser medidas por meio do espectrógrafo de massa. 
Figura 2.2 Densidade de carga de alguns núcleos [Fanca]. 
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Núcleo estável: Um núcleo é estável quando ele não se transforma num outro núcleo através de algum 
processo de decaimento. O núcleo instável é aquele que se „„quebra‟‟ espontaneamente (na verdade tem 
um tempo finito que pode ser muito pequeno), por processos de decaimento radiativo, resultando na 
emissão de radiação, sob a forma de partículas e/ou energia. Estes processos podem ser: decaimento-, 
decaimento-, entre outros. Estudaremos estes processos no Capítulo 3. 
_________________________________________________________________ 
A energia de ligação definida por (2.4) é sempre positiva. Na Figura 2.3 mostramos a 
energia de ligadura por núcleon , em função de para todos os nuclídeos 
conhecidos [Bertu]. 
 
Figura 2.3 – Energia de ligação por núcleon em função do número de massa 
[Bertu]. 
 Da Figura 2.3 notamos que o valor médio de cresce rapidamente com para 
núcleos leves, enquanto que decresce suavemente de 8,5 MeV a 7,5 MeV a partir de 
 , ponto onde se encontra o máximo. Podemos dizer que o crescimento inicial 
da curva indica que a fusão de dois núcleos leves produz um núcleo com uma 
maior energia de ligação por núcleon, liberando energia. Essa é a origem da energia 
no interior das estrelas [Bertu]. Finalmente, vemos que a energia de ligação por 
núcleon é aproximadamente constante para . Esta característica deve-se ao 
fenômeno chamado de saturação das forças nucleares*. Analisando as ligações entre 
os núcleons poderíamos estimar que a energia de ligação deveria ser proporcional 
a . Como esta situação não acontece, temos que as forças núcleon-núcleon 
possuem alcance bem menor que o raio nuclear [Bertu]. 
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SAIBA MAIS: SATURAÇÃO DAS FORÇAS NUCLEARES 
Este fenômeno que se manifesta na energia de ligação pode-se entender analisando as ligações existentes 
entre os núcleons. Como se menciona na Ref. [Bertu], cada núcleon está ligado a (A-1) outros, de modo 
que no total existem A(A-1)/2 ligações entre os núcleons em um núcleo com número de massa A. Assim, 
se o alcance das forças núcleon-núcleon fosse maior que as dimensões dos núcleos, a energia de ligação B 
deveria ser proporcional ao número de ligações entre eles, ou seja, B deveria ser proporcional a A2, ou 
seja, B  A(A-1)/2= (A2-A)/2~ A2 . 
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1.3 Momento angular total do núcleo 
 O núcleo é um sistema quântico composto de núcleons. Como o núcleon é um 
férmion, uma partícula de spin semi-inteiro (partículas de spin inteiro chamam-se de 
bósons), e de acordo as leis da Mecânica Quântica de adição de momentos 
angulares, (ver mais na frente na seção do modelo de camadas) o momento angular 
total, usualmente denominado o spin do núcleo, é um número inteiro vezes se é 
par, e um inteiro mais meio vezes se é ímpar [Bertu]. O valor do spin do núcleo 
pode ser determinado experimentalmente, e o esquema acima citado não se cumpre 
exatamente. Dos resultados experimentais podemos ter o seguinte esquema: 
 para núcleos ímpar-ímpar, 
 para núcleos ímpares (par-ímpar ou ímpar-par), 
 para núcleos par-par, 
sendo o número quântico do momento angular total e um número inteiro maior 
ou igual a zero. 
 
 
 
 
 
 
2. MODELOS NUCLEARES 
2.1 Introdução 
 Uma grande diferença existe entre o estudo teórico dos átomos e o estudo teórico 
dos núcleos. As forças eletromagnéticas que agem sobre os elétrons nos átomos 
foram conhecidas detalhadamente antes de uma teoria que descrevesse as 
propriedades dos átomos tivesse sido desenvolvida. Não aconteceu nada similar 
quando as propriedades dos núcleos começaram a ser estudadas e compreendidas. 
Muito pouco se sabia sobre as forças nucleares, que atuam sobre os núcleons no 
núcleo. Atualmente, dispormos de um conjunto de informações mais completa sobre 
as forças nucleares (realmente complicadas), mas ainda não é possível construir 
uma teoria ampla dos núcleos a partir de primeiros princípios, ou seja, do estudo das 
forças nucleares [Fanca]. 
 Os sistemas nucleares são muito mais complexos do que os sistemas atômicos. No 
caso mais simples, o sistema de dois núcleons, tem seu tratamento teórico 
dificultado pelo fato de não ser completamente conhecida a forma da força que atua 
entre eles. Apesar disso, a teoria quântica (ver o BOXE 2.2) tem sido utilizada com 
sucesso nas diversas áreas da física nuclear. O sistema mais simples de dois 
núcleons, o dêuteron, composto de um próton e um nêutron possui um grande 
conjunto de dados experimentais. Ainda mais, este sistema possui um estado ligado, 
o estado fundamental. Assim, as teorias da interação nêutron-próton no dêuteron só 
podem ser testadas comparando suas previsões com os valores experimentais da 
energia, momento angular, paridade, momento de dipolo magnético e momento de 
quadrupolo elétrico do estado fundamental do dêuteron. Um estudo detalhado do 
dêuteron não é nosso objetivo, senão simplesmente entender que o estudo do núcleo 
atômico, um sistema de muitos núcleons,é muito mais complicado. Nesta situação, 
a equação de Schrödinger não é mais exatamente solúvel nem para um sistema de 
três núcleons. Ainda mais, estabelecer as propriedades de um núcleo pesado a partir 
das interações de todos os seus constituintes é uma tarefa impraticável. O uso de 
modelos idealizados que incorporam apenas parte da física envolvida é a maneira de 
atacar o problema. Cada um destes modelos explica um conjunto limitado de dados 
experimentais. 
 Esses modelos são de duas naturezas: modelos coletivos, que estudam fenômenos 
que envolvem o núcleo como um todo, onde os núcleons interagem fortemente no 
interior do núcleo e seu livre caminho médio é pequeno; e modelos de partícula 
independente, que sustentam que o Princípio de Pauli restringe as colisões dos 
núcleons na matéria nuclear, tendo assim um livre caminho médio grande [Bertu]. 
 
 
BOXE 2.2 SAIBA MAIS: A teoria quântica [Bethe 2004] 
Todos aqueles fenômenos das físicas molecular, atômica e nuclear são descritos teoricamente 
pela mecânica quântica. Esta teoria foi desenvolvida nos meados do ano vinte do século XX, 
pelos físicos: Bohr, Heisenberg, Schrödinger, Jordan, Pauli e muitos outros colaboradores. Foi 
em 1900 quando Planck postulou que a energia é uma quantidade física quantizada. Assim, a 
correta descrição teórica deveria determinar os estados de energia nesses sistemas. Para este 
propósito, Erwin Schrödinger propõe a seguinte equação 
 
 
 
 
 
 
 
onde , é o operador laplaciano em coordenadas cartesianas ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação de Schrödinger é uma equação de movimento que associa a energia cinética 
 (termo 
 
 
 ) e a energia potencial com a energia total do sistema. O termo 
é a constante de Planck dividida por . O caráter específico desta equação é que ela 
somente admite soluções para valores discretos da energia total Esta equação é chamada 
de uma equação de autovalores, onde os autovalores são as energias e as autofunções são 
as soluções . Devido à estrutura matemática da equação ser similar à equação de 
ondas, as soluções são chamadas de funções de onda. Estas funções de onda ou 
autofunções são funções da posição e do tempo . Do ponto de vista matemático, 
estas funções são “funções de probabilidade”, significando que todas aquelas quantidades dos 
sistemas atômicos e subatômicos que são descritas por esta função, são probabilísticas. Este 
conceito aplica-se a distribuição espacial, a distribuição de momentos e as energias. Em outras 
palavras, todas estas quantidades são determinadas como valores médios probabilísticos 
usando como densidade de probabilidade o produto . Os estados de 
energia são classificados por números, chamados de números quânticos, como uma 
conseqüência do modo de resolver a equação. Por exemplo, para resolver esta equação nos 
átomos a energia potencial pode se separar no potencial de Coulomb e um 
potencial centrifugo , o qual é, supondo o movimento eletrônico em orbitas fechadas, 
associado ao momento angular dos elétrons num estado específico do autovalor energia. A 
descrição teórica de um sistema atômico consiste em calcular os valores das energias, que 
tem valores discretos se o sistema é ligado, ou seja, que pode trabalhar como um todo: o 
núcleo mais os elétrons em conjunto. Estes estados são ordenados pelos números quânticos 
de acordo a energia, o momento angular do sistema e o spin. O spin dos elétrons não está 
contido explicitamente na equação de Schrödinger. Contudo, o spin do elétron aparece 
naturalmente quando se considera a teoria especial da relatividade numa nova equação que se 
chama equação de Dirac. Como mencionamos, os estados dos elétrons atômicos estão 
ordenados pelos: o número quântico principal , começando de ; o número quântico do 
momento angular , que pode adotar valores inteiros até o número quântico 
magnético que esta entre os valores , ou seja 
 valores possíveis, e o numero quântico de spin que tem simplesmente dois valores . 
O símbolo refere-se à orientação do spin num campo magnético. Por exemplo, para 
temos somente e com e . São assim 8 possíveis estados de 
energia. Como o spin tem as mesmas propriedades do momento angular, ele pode ser somado 
ao momento angular orbital. Esta combinação é chamada de interação spin-órbita. Esta 
interação de spin-órbita é muito importante no ordenamento dos níveis de energia no átomo. 
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2.2 O modelo da Gota Líquida 
 O modelo da Gota Líquida foi historicamente (Weiszäcker no 1930) o primeiro 
modelo criado para descrever as propriedades nucleares. A propriedade de saturação 
das forças nucleares permite criar uma analogia com a mesma propriedade existente 
entre os constituintes num líquido. Com essa idéia foi possível desenvolver uma 
expressão teórica, ou seja, uma equação para a energia de ligação do núcleo 
definida anteriormente pela Eq. (2.4). Temos assim que na sua forma mais simples 
essa equação contém a contribuição de cinco termos [Bertu]: 
(1) Energia de volume: Constitui a parte principal da energia de ligação. Pensemos 
que temos uma gota líquida sem gravidade e sem rotação, assim ela vai tentar 
atingir uma forma esférica para minimizar a energia (por ação da tensão superficial). 
Ainda mais, se consideramos um líquido incompressível, ou seja, de densidade 
constante, o raio da gota vai ser proporcional a , e em consequência, o volume 
vai ser proporcional a De outro lado, partindo do fato experimental de que a 
energia por núcleon é aproximadamente constante (ver Figura 2.3), temos que a 
energia de ligação total é proporcional a 
 
(2) Energia de superfície: Como os núcleons que estão na superfície contribuem 
menos para a energia de ligação por somente sentirem uma parte da força nuclear, o 
termo (2.5) deve se corrigir. Na superfície, o número de núcleons deve ser 
proporcional à área da superfície, ou seja, 
 , onde usamos a eq. 
(2.2) ( 
 ). A correção pode ser escrita como 
 
 
(3) Energia colombiana: Esta energia criada pela repulsão colombiana entre os 
prótons diminui a energia de ligação. Para uma esfera com distribuição homogênea 
de carga, a carga total , é dada por 
 . A 
contribuição pode-se escrever como 
 
 
(4) Energia de assimetria: Tem origem puramente quântica sem análogo clássico. Se 
o núcleo possui um número diferente de prótons e nêutrons, sua energia de ligação é 
menor que a de um núcleo simétrico. Assim, a contribuição deste termo decresce a 
energia de ligação total num termo: 
 
 
(5) Energia de emparelhamento: Experimentalmente mostrou-se que a energia de 
ligação é maior quando os números de prótons e nêutrons são pares (núcleos par-
par) e é menor quando algum dos números é ímpar (núcleos ímpares), ainda mais 
notável quando ambos são ímpares (núcleo ímpar-ímpar). Esse termo escreve-se(2.9) 
Experimentalmente temos que o valor 
 
Agrupando todos os termos obtemos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituído este valor de na equação (2.4), obtemos a expressão conhecida 
como fórmula semi-empírica de massa ou fórmula de Weiszäcker [Wei35]: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As constantes que aparecem em (2.11) são calculadas experimentalmente. Um bom 
ajuste é obtido com [Bertu,Wa58] 
 MeV 
 , 
 MeV 
 , 
 MeV 
 , 
 MeV 
 , 
 MeV 
 . 
A Figura 2.4 compara as contribuições para a energia de ligação média por núcleon 
dos termos de volume, superfície e colombiano. 
 
 
 
 
Figura 2.4 Contribuições à energia de ligação média por núcleon 
devido aos termos de volume, superfície, colombiano e de 
assimetria. 
2.3 O modelo de Camadas Nuclear 
 Neste modelo vamos admitir que os núcleons se movem de forma mais ou menos 
independentes um dos outros dentro do núcleo. Uma idéia similar já foi usada com o 
modelo de gota líquida onde os constituintes do núcleo interagem unicamente com 
seus vizinhos mais próximos, como as moléculas num líquido. Esta hipótese foi 
baseada num forte suporte empírico, entretanto, há também uma vasta experiência 
experimental para a hipótese contrária de que os núcleons em um núcleo interagem 
com um campo de força geral, do tipo central, ao invés de interagirem diretamente 
um com outro. Isto seria semelhante à força colombiana (que vem de um potencial 
central) do núcleo que atua sobre os elétrons no átomo. A idéia pode resultar 
estranha, pois não se pode como no caso atômico identificar o agente criador de tal 
potencial [Bertu]. Essa dificuldade é contornada supondo que cada núcleon se move 
num potencial médio criado pelos demais núcleons. Ou seja, esta situação lembra a 
dos elétrons num átomo, onde apenas certos estados quânticos são permitidos e não 
mais de dois elétrons (partículas de Fermi=férmions) podem ocupar cada estado. 
As primeiras propostas sobre o modelo surgiram ao final da década de 20 motivadas 
pelas flutuações na abundância relativa e nas massas dos nuclídeos ao longo da 
tabela periódica. Com a falta de uma base teórica, a pouca aceitação da idéia de um 
movimento independente dos núcleons e fracos resultados iniciais fizeram com que o 
modelo levasse muito tempo em ser aceito. Com a introdução de um termo de 
acoplamento spin-órbita em 1949, o modelo de camadas se estabeleceu de forma 
definitiva como uma importante ferramenta na física nuclear [Bertu]. 
 Deixemos um pouco a história de lado e voltemos para essa rara analogia entre os 
elétrons no átomo e os núcleons no núcleo. Os elétrons dentro de um átomo podem 
se pensar como se ocupassem posições em „„camadas‟‟ (lembrando um sistema 
planetário) designadas pelos diversos números quânticos principais e o grau da 
ocupação da camada (ou orbital) mais externa, sendo estas as características que 
determinam importantes aspectos do comportamento dos átomos. Sendo mais 
especifico, lembrando da química no segundo grau, onde aprendemos que átomos 
com 2, 10, 18, 36, 54 e 86 possuem todas suas camadas eletrônicas completamente 
cheias. Tais estruturas eletrônicas gozam de estabilidade, o que explica a inércia 
química dos gases raros. Uma situação muito similar observa-se nos núcleos; 
aqueles núcleos com 2, 8, 20, 28, 50, 82 e 126 nêutrons ou prótons são mais 
abundantes que outros núcleos de números de massa similares, sugerindo que suas 
estruturas são mais estáveis [Bei69]. Estes números ficaram conhecidos como os 
números mágicos, na estrutura nuclear. Outra evidência experimental que ressalta a 
importância dos números mágicos é o padrão observado dos momentos 
quadripolares elétricos dos núcleos (ver verbete 2), que são uma medida de quanto 
à distribuição de carga no núcleo difere de uma distribuição esférica. Se o núcleo é 
esférico, ele não possui um momento quadrupolar elétrico (MQE), ou possui MQE 
igual a zero, enquanto que um núcleo com forma de ovo possui um MQE positivo e 
um núcleo com forma de abóbora tem MQE negativo. Os núcleos com e mágicos 
possuem MQE iguais a zero e por isso são esféricos, enquanto outros núcleos são 
distorcidos na forma [Bei69]. 
O modelo de camadas do núcleo é uma tentativa de explicar a presença dos números 
mágicos e outras propriedades nucleares usando a interação entre um núcleon 
individual e um campo de força produzido por todos os outros núcleons. Uma forma 
simples de tratar este problema é de usar uma função de energia potencial que 
corresponde a um poço quadrado com cantos arredondados e uma profundidade 
aproximada de 50 MeV. Agora devemos resolver a equação de Schrödinger para uma 
partícula neste potencial. Encontra-se que os estados estacionários* do sistema são 
caracterizados pelos números quânticos e , cujos significados são os mesmos 
que no caso análogo dos estados estacionários dos elétrons atômicos. Um ponto 
importante a considerar é o fato que nêutrons e prótons ocupam conjuntos 
separados de estados num núcleo, vale ressaltar que os últimos interagem 
eletricamente além da interação puramente nuclear. Em outras palavras, temos dois 
poços de potencial, um para prótons e outro para nêutrons e são duas equações de 
Schrödinger que serão resolvidas. 
 Como mencionamos antes, o modelo de camadas começa a se utilizar quando a 
interação spin-órbita foi adotada no potencial. A grandeza desta interação deve ser 
tal que o desdobramento dos níveis de energia em subníveis é grande para grande, 
ou seja, para momento angular orbital grande. Este acoplamento da interação spin-
órbita chama se de acoplamento LS. Temos também que o acoplamento LS falha 
para os núcleos mais leves, nos quais os valores são necessariamente pequenos 
(ver BOXE 2.3). 
____________________________________________________________ 
Estado estacionário: Na mecânica quântica (MQ), um estado que se denomina estacionário é aquele no 
qual a densidade de probabilidade não varia com o tempo. A densidade de probabilidade na MQ está 
associada ao módulo quadrado da função de onda, que representa a uma partícula, e se entende como a 
possibilidade de encontrar a partícula numa certa região entre x e x+dx, onde dx é um infinitésimo de x. 
____________________________________________________________ 
Assumindo uma energia adequada para a interação spin – órbita, os níveis de 
energia para cada classe de núcleon vão aparecer na seqüência determinada pela 
Figura 2.5. Aqui, os níveis são designados por um prefixo igual ao número quântico 
total , por uma letra que indica o valor de para cada partícula neste nível segundo 
o modelo eletrônico usual ( correspondendo respectivamente a 
 ) e por um índice inferior igual a (momento angular total da partícula ou 
spin nuclear). O efeito da interação spin-órbita é desdobrar cada estado de um dado 
 em , já que temos orientações possíveis de Ji. Da Figura 2.5 
notamos que aparecem lacunas e energias no espaçamento dos níveis em intervalos 
compatíveis com a noção de camadas separadas. O número de estados nucleares 
disponíveis em cada camada nuclearvale, na ordem crescente da energia 2, 6, 12, 8, 
22, 32 e 44; portanto as camadas são preenchidas quando há num núcleo 2, 8(2+6), 
20(2+6+12), 28(2+6+12+8), 50(2+6+12+8+22), 82(2+6+12+8+22+32) ou 
126(2+6+12+8+22 +32+44) nêutrons ou prótons. 
___________________________________________________________________ 
BOXE 2.3 SAIBA MAIS: Acoplamento de momentos angulares 
No esquema LS, os momentos angulares intrínsecos de spin Si das partículas, prótons por um 
lado e nêutrons por outro, se acoplam entre si para formar um spin total S, enquanto que os 
momentos angulares orbitais Li se acoplam ao momento angular total L, logo S e L são 
acoplados a um momento angular total J de grandeza . Após uma região de 
transição na qual se tem um acoplamento intermediário, os núcleos mais pesados apresentam 
um acoplamento jj. Neste tipo de acoplamento, o Si e Li de cada partícula se acopla a um Ji , 
e dali cada Ji vai se acoplar ao momento angular J de grandeza . O acoplamento jj 
vale para a maioria dos núcleos [Bei69]. 
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Temos outros fenômenos que o modelo de camadas descreve além de reproduzir a 
sequência dos números mágicos. Como cada subnível de energia pode conter duas 
partículas (spin para cima e spin para baixo), apenas estão presentes subníveis 
completos quando temos números pares de nêutrons ou prótons num núcleo (núcleo 
“par-par‟‟). Do outro lado, se temos um núcleo com um número ímpar de nêutrons e 
prótons (núcleo “ímpar-ímpar‟‟) contém subcamadas não completas de ambos tipos 
de partículas. Estas brincadeiras de subcamadas completas conferiram a estabilidade 
nos núcleos encontrando na natureza 160 nuclídeos estáveis “par-par‟‟, contra 
apenas 4 nuclídeos estáveis “impar-impar‟‟ (2H1, 
6Li3, 
10B5 e 
14N7). 
 
 
Figura 2.5 Esquema de níveis do modelo de camadas mostrando a remoção da 
degenerescência em j causada pelo termo de interação spin-órbita e o aparecimento dos 
números mágicos no fechamento de camadas. Os valores entre parênteses indicam o número 
de núcleons de cada tipo que admite aquele nível e os valores entre colchetes o número total 
de núcleons de cada tipo até aquele nível. A ordenação dos níveis não é rígida, podendo haver 
inversões quando se muda a forma do potencial [Bertu]. 
 
Outro ponto a favor do modelo de camadas nuclear é a capacidade de prever o 
momento angular total. Nos núcleos par-par, todos os prótons e nêutrons se pareiam 
de modo que os momentos angulares de spin e momento angular se cancelam 
mutuamente. Assim, os núcleos par-par possuem momento angular nuclear igual a 
zero. Nos núcleos par-ímpar ( par, ímpar) ou ímpar-par ( ímpar, par), o spin 
semi-inteiro de um único núcleon extra é combinado com o momento angula inteiro 
do resto do núcleo para formar um momento angular total semi-inteiro. Os núcleos 
ímpar-ímpar possuem cada qual um próton e um nêutron extra, com spins semi-
inteiros que se acoplam a um momento angular inteiro, como foi confirmado 
experimentalmente. 
 
ATIVIDADES 
1. Um feixe de íons de 3Li
6 com uma única carga e com energias de 400 eV penetra 
em um campo magnético uniforme de densidade de fluxo igual a 0,08 weber/m2. Os 
íons se movem perpendicularmente à direção do campo. Determine o raio de sua 
trajetória no campo magnético [Bei69]. 
2. Que energia é necessária para remover um próton de 8O
16? [Bei69] 
3. Em uma escala na qual uma gota d'água (raio = 1mm) é aumentada até atingir o 
tamanho da Terra (raio = 6400 Km), qual seria o raio de um núcleo de 238U? [Bertu] 
 
4. Calcule a densidade aproximada da matéria nuclear em gm/cm3.[Bertu] 
 
5. Usando a fórmula semi-empírica de massa ou fórmula de Weiszäcker [Wei35] da 
equação (2.11), calcule as massas teóricas para os núcleos de 12C, 40Ca, 56Fe, 76Ge e 
208Pb. Compare os valores obtidos com aqueles valores experimentais da Referência 
http://ie.lbl.gov/toimass.html. Discuta as diferenças destes valores. 
 
REFERÊNCIAS 
[Abd06] Bohr, O arquiteto do átomo. Maria Cristina B. Abdalla, © 2006 Odysseus 
Editora Ltda. 
[Bei69] Arthur Beiser, Conceitos de Física Moderna, Ed. Polígono S.A. São Paulo, 
1969. 
[Hey99] K. Heyde, Basic Ideas and Concepts in Nuclear Physics, An Introductory 
Approach, © IOP Publishing Ltd 1994, 1999, UK. 
[Bet04] K. Bethge, G. Kraft, P. Kreisler e G. Walter, Medical Applications of Nuclear 
Physics, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2004, Germany. 
[Fanca] Ana Rodrigues Fanca, Física Atômica e Nuclear – Capítulo 8. Modelos 
Nucleares, http://w3.ualg.pt/~arodrig/Documentos/InfPagina/fancap8a.DOC 
[Bertu] Carlos A. Bertulani, 
www.tamu-commerce.edu/physics/cab/Lectures/FisicaNuclear.pdf