Técnicas de Integração

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Cálculo II
Aula 3: Técnicas de Integração
Apresentação
Você perceberá que o estudo das integrais envolve sempre o conhecimento adquirido anteriormente, portanto, é preciso
dominar as regras básicas de integração.
A partir desta aula, vamos analisar a integral para decidir qual das técnicas de integração aprendidas anteriormente ou as
que iremos aprender nesta aula, aplicaremos para resolver a integral.
Objetivo
Identi�car mais algumas técnicas de integração, ou seja, integração por partes e integrais que envolvem funções
trigonométricas.
 Conceito de calculos | Fonte: Shutterstock
Esta regra corresponde à Regra do Produto para a diferenciação.
Atenção! Aqui existe uma videoaula, acesso pelo conteúdo online
Veremos a seguir a demonstração
desta a�rmativa.
[f(x)g(x)]’ = f(x)g(x)’ + g(x) f’(x) (Regra do Produto)(uv)’ = u v’ + u’ v
Podemos arrumar tal expressão da seguinte forma:
u v’= (uv)’ – u’ v
Demonstrações
Podemos passar a integral em todos os membros da expressão em relação à variável x pois nossa função é em função de
x. Se u’ v tem primitiva, temos:
∫ uv'dx = ∫ (uv)'dx − ∫ u'v dx = uv − ∫ u'v dx
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Observe que podemos de�nir , pela regra básica de
integração, vista na primeira aula.
∫ (uv)'dx = uv
Podemos ainda melhorar a expressão observando que u’ é a derivada de u, logo pode ser representado por du. Portanto, o
método de integração por partes será de�nido da seguinte forma:
∫ udv = uv − ∫ vdu
Primeiro exemplo: integre a função
∫ x   dxex
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Portanto, podemos de�nir u = x e v’ = e ou u = e x e v’ = xx
1ª opção: e u = ex v' = x
2
Consequentemente, e , observe que aumentamos o grau da função.
Observe que esta integral formada é pior do que a anterior, isto mostra ser esta a escolha errada.
du = ex v  =  
x
2
2

∫ x   dx =   − ∫   dxex ex x
2
2
x
2
2
e
x
Consequentemente e . Lembre-se para encontrar v basta integrar v’.
2ª opção: u  =  x e v’  =  e x
du  =  1dx v = ex
∫ x   dx = x  − ∫   dx = x  + + cex ex ex ex ex
Atividade 1
1. Observe a integral, a função ∫ln 𝑥 𝑑𝑥=𝑥 ln 𝑥−∫1 𝑑𝑥=𝑥 ln 𝑥−𝑥+𝑐
Pesquise a resolução e treine o método de integração por partes.
Integrais Trigonométricas
Vimos na primeira aula algumas integrais trigonométricas básicas, são elas:
1 ∫𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝐶
2 ∫cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐶
Agora iremos descobrir mais algumas, utilizando os métodos de integração
aprendidos.
∫𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝐶 ∫cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐶
Clique nos botões para ver as informações.
Vamos mostrar a resolução desta integral:
 
Lembre-se da disciplina de Trigonometria: tangente é seno dividido pelo cosseno.
Usando o método de por partes temos: u = cos x e du = - sen x dx, portanto, utilizaremos o método de substituição:
∫𝒕𝒈𝒙𝒅𝒙=−𝐥𝐧 |𝐜𝐨𝐬 𝒙 | + 𝑪 
∫ tg x dx =  ∫  dxsen x
cos  x
∫ tg x dx =  ∫  dx = ∫ = −∫ dusen x
cos x
−du
u
1
u
=   − lnu+C =   − ln cosx  +  c = ln   +  C∣∣
∣
∣
1
|cos x|
=   ln   sec x +C∣∣
∣
∣
Vamos mostrar a resolução desta integral:
Lembre-se de Trigonometria (teoria aprendida em disciplinas anteriores): tangente é seno dividido pelo cosseno.
∫𝐜𝐨𝐭 𝒈 𝒙𝒅𝒙 = −𝐥𝐧 |𝐜𝐨𝐬𝐬𝐞𝐜 𝒙| + 𝑪 
∫ cotg x dx =  ∫  dxcos x
senx
Observe que se tomarmos u = cos x não irá funcionar, pois, du = - sen x dx.
Neste caso podemos usar o fato que cos2 x cos x = cos3x , porém cos2 x = 1 – sen2 x.
Portanto, a integral �cará:
... onde tomamos u = sen x e consequentemente du = cos x dx (método da substituição).
Esta integral pode ser resolvida de outra maneira, veremos adiante.
∫𝐜𝐨𝐬 𝒙𝒅𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝒙𝟑 
∫  xdx = ∫(1 − se  x) cosx dx = ∫(1 − )du = u− + ccos3 n2 u2 u
3
3
= senx− +C
se  xn3
3
Integral trigonometria que envolve o produto de potência de
senos e cossenos
Para resolver a integral , com as constantes m e n positivas podemos dividir nos casos:
, onde m ou n são constante inteiro impar positiva.
Utilizaremos a identidade Trigonometria sen x + cos x = 1. Neste caso reescreveremos a função pelo método de
substituição.
Caso F(cos x) sen x tomaremos u = cos x, consequentemente du = - sen x.
Caso F(sen x) cos x tomaremos u = sen x, consequentemente du = cos x.
∫ se x   x dxnm  cosn
∫ se x   x dxnm  cosn
2 2
Exemplo 1:
Para resolver a integral ∫𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥, com as constantes m e n positivas podemos dividir nos casos:
Observe que (1–sen x) indica que trabalharemos com F(sen x). Então tomaremos u = sen x, consequentemente du = cos
x. Agora aplicaremos a integral o método de substituição.
Exemplo 2:
Para resolver a integral , com as constantes m e n
positivas podemos dividir nos casos:
Observe que esta integral também pode ser resolvida pelo método de por partes. E também podemos resolver ∫cos 𝑥𝑑𝑥
utilizando a identidade trigonométrica sen 2 x + cos2 x = 1 como o exemplo 2 ou o método de por partes.
2 5
∫ se  x  x dx = ∫ se  x  x   x   cos  xdx = ∫ se  x( x     cos x dx = ∫ se  x(1 − se  x    cos  x dxn2 cos5 n2 cos2 cos2 n2 cos2 )
2
n
2
n
2 )
2
2
∫ se  xdx = ∫ sen  xsen  xdx = ∫ (1 − x)senxdxn3  2 cos2
Note que (1 – cos2 x) indica que trabalharemos com F(cos x). Então tomaremos u = cos x, consequentemente du = -
sen x. Agora aplicaremos a integral o método de substituição.
∫ se  xdx = ∫ se  xsen  xdx = ∫(1 − x)senxdx  ∫(1 − )(−du) = −u + = − cos x +    x + cn3 n2 cos2 u2 u
3
3
1
3
cos3
3
Dica: Caso m e n sejam os dois números inteiros impares positivos,
utilize o de menor grau para abrir e substituir pela identidade
trigonométrica sen x + cos x = 1.2 2
Integral trigonometria que envolve o produto de potência de
senos e cossenos
Para resolver a integral , com as constantes m e n positivas podemos dividir nos casos:
, onde m e n são inteiros pares não negativos.
Utilizaremos as identidades trigonométricas abaixo.
Portanto:
∫ se  x  x dxnm cosn
∫ se  x  x dxnm cosn
cos 2 x = 1 − 2  se  x = 2  x − 1n2 cos2
se x = (1 − cos 2 x) x = (1 + cos 2 x)n2  1
2
cos2
1
2
Atividade
2. Resolva a seguinte questão:
Esta integral pode ser reescrita utilizando as identidades trigonométricas acima listadas. Portanto:
∫ se  2x    2xdxn4 cos2
∫ se  2x    2xdx = ∫ [ (1 − cos 4 x)  [ (1 + cos  4 x)]dxn4 cos2 1
2
]
2 1
2
Agora vamos aplicar o método de por partes u = cos w dv = cos w, consequentemente du = - sen w dw e v = sen w.
Podemos então escrever que:
∫ w   dx = cosw  sen w + ∫ se  w  dw =cos2 n2
=   cos  w  senw + ∫ (1 − w)dw =   cosw senw + ∫ 1dw − ∫ w  dw =cos2 cos2
∫ w   dw + ∫ w   dw = cosw  senw + ∫ 1dwcos2 cos2
2 ∫ w   dx  = cosw  senw + wcos2
 
 
∫ w   dx =    cosw  senw + + C =   cos 4 x  sen4x + + Ccos2 1
2
w
2
1
2
4x
2
  ∫ w   dx = (    + ) + C1
32
cos2
1
32
1
2
sen 8x
2
4x
2
  ∫ 4 x  dx =  sen  8x + + C1
8
cos2
1
128
x
16
  ∫ 4x dx =   ∫ 4x  cos  4x dx =  sen4x − + c1
8
cos3
1
8
cos2
1
32
se  4xn
3
96
Observando novamente que w = 4x e consequentemente dw = 4 dx então, .= dxdw
4
Assim, fazendo a soma dos termos encontrados anteriormente e as devidas simpli�cações encontramos:
 e podem ser feitas pelo método de por partes, mas também podemos resolver utilizando as
respectivas igualdades trigonométricas: e .
E novamente aplicarmos o método de substituição como o exemplo anterior. Você poderá fazer tais integrais como
exercício.
∫ se  2x    2xdx = − −n4 cos2 x
16
sen8x
128
se  4xn3
96
∫  xdxcos2 ∫ se  xdxn2
x =cos2
1+cos 2 x
2
se x =n2
1−cos 2 x
2
Observação: Quando , onde m e n iguais podemos
também usar . E em seguida cairemos no 1º
caso ou no 2º caso.
∫ se  x  x dxnm cosn
sen  2x = 2  sen x  cosx
Agora que você já conheceu o método de integração por partes e o método de integração trigonométrico, podemos
generalizar duas importantes integrais.
Podemos generalizar cosseno elevado a qualquer inteiro positivo n:
Para isto será utilizada na demonstração o método de por partes. Esta demonstração �cará como exercício paravocê.
∫  xdx =    xsenx +   ∫  x dxcosn 1
n
cosn−1
n−1
n
cosn−2
Notas
Primitiva 1
Antiderivada.
heranças do período medieval 2
Vamos voltar um pouquinho e vermos o que era, exatamente, o mundo medieval.
A Idade Média, que começa no século V, com o �m do Império Romano do Ocidente e é dividida em Alta e Baixa Idade Média. O
primeiro período, a Alta Idade Média, é o apogeu medieval e a Baixa Idade Média, o momento em que as estruturas do medievo
entram em crise até serem substituídas por um novo modo de produção, que daria início a Idade Moderna.
diversas regiões 3
No caso ibérico, essa identidade religiosa foi imprescindível para aglutinar a população em torno dos reis. Isabel e Fernando,
reis de Aragão e Castela, terão o titulo de reis católicos, concedido pelo papa, em uma demonstração de que a Igreja via a união
com bons olhos.
Primitiva 4
Ainda que Portugal e Espanha tenham sido os primeiros a se uni�car, é a França que é considerada o modelo de absolutismo
por excelência. Nesse sistema, todos os poderes são concentrados nas mãos do rei. Na Inglaterra, isso ocorre durante o
reinado de Henrique VIII e o modelo de rei absoluto francês é Luis XIV, o Rei Sol.
Muda 5
Ter terras ainda era importante, é clarro, mas não tinha o mesmo signi�cado.
práticas mercantilistas 6
O mercantilismo não é um sistema econômico, stricto sensu. Na verdade, denominamos mercantilismo como o conjunto de
práticas econômicas característico dos estados modernos. É possível a�rmar que o mercantilismo daria origem ao sistema
capitalista, e alguns teóricos entendem esse momento como o início do capitalismo comercial.
balança comercial favorável 7
Mas nem todos os reinos conseguiram aplicar esta medida. Espanha e Portugal, por exemplo, mesmo recebendo toneladas de
metais preciosos de suas colônias, viviam em constante dé�cit �nanceiro. Isso acontecia porque compraram muitas
mercadorias da França e da Inglaterra, além de contraírem empréstimos com os holandeses. Por essa razão, ainda que tenham
explorado continuamente os territórios ultramarinos, os países ibéricos não se desenvolveram na mesma proporção. O ouro e a
prata da América apenas passavam por Portugal e Espanha, mas iria enriquecer os cofres dos outros reinos.
Referências
 
Próxima aula
Próxima aula
O método de substituição trigonométrica.
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