Inequacao-do-primeiro-grau

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Inequação do Primeiro Grau 
 
1. (Unicamp 2015) Seja a um número real positivo e considere as funções afins f(x) ax 3a  
e g(x) 9 2x,  definidas para todo número real x. 
a) Encontre o número de soluções inteiras da inequação f(x)g(x) 0. 
b) Encontre o valor de a tal que f(g(x)) g(f(x)) para todo número real x. 
 
2. (Acafe 2014) Uma pequena fábrica de tubos de plástico calcula a sua receita em milhares 
de reais, através da função R(x) 3,8x, onde x representa o número de tubos vendidos. 
Sabendo que o custo para a produção do mesmo número de tubos é 40% da receita mais R$ 
570,00. Nessas condições, para evitar prejuízo, o número mínimo de tubos de plástico que 
devem ser produzidos e vendidos pertence ao intervalo: 
a) [240 ; 248]. 
b) [248 ; 260]. 
c) [252 ; 258]. 
d) [255 ; 260]. 
 
3. (Enem 2014) Conforme regulamento da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac), o 
passageiro que embarcar em voo doméstico poderá transportar bagagem de mão, contudo a 
soma das dimensões da bagagem (altura + comprimento + largura) não pode ser superior a 
115cm. 
A figura mostra a planificação de uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo. 
 
 
 
O maior valor possível para x, em centímetros, para que a caixa permaneça dentro dos 
padrões permitidos pela Anac é 
a) 25. 
b) 33. 
c) 42. 
d) 45. 
e) 49. 
 
 
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4. (Fuvest 2014) Um apostador ganhou um prêmio de R$ 1.000.000,00 na loteria e decidiu 
investir parte do valor em caderneta de poupança, que rende 6% ao ano, e o restante em um 
fundo de investimentos, que rende 7,5% ao ano. Apesar do rendimento mais baixo, a 
caderneta de poupança oferece algumas vantagens e ele precisa decidir como irá dividir o seu 
dinheiro entre as duas aplicações. Para garantir, após um ano, um rendimento total de pelo 
menos R$ 72.000,00, a parte da quantia a ser aplicada na poupança deve ser de, no máximo, 
a) R$ 200.000,00 
b) R$ 175.000,00 
c) R$ 150.000,00 
d) R$ 125.000,00 
e) R$ 100.000,00 
 
5. (G1 - cftmg 2014) O conjunto solução S, em , da inequação: 
 
 
x
4 2x 1 1 0
3
 
      
 
 é 
a)  S x /1 x 2 .    
b) 
1
S x / x 3 .
2
 
    
 
 
c)  S x / x 1 ou x 2 .    
d) 
1
S x / x ou x 3 .
2
 
    
 
 
 
6. (Unifor 2014) Com o objetivo de melhorar a sua arrecadação no recolhimento do Imposto 
Predial Territorial e Urbano (IPTU), a prefeitura de uma cidade do interior cearense lançou uma 
promoção que consta de dois planos. Pelo plano A, o proprietário do imóvel pagará R$ 100,00 
mais 5% do valor do imóvel; no plano B, o proprietário pagará R$ 900,00 mais 2% do valor do 
imóvel. Com base nesses dados podemos afirmar que: 
 
(Veja a observação sobre a resposta correta no gabarito) 
 
a) Se o valor do imóvel é maior que R$ 30.000,00, então o proprietário desse imóvel deve 
escolher o plano A. 
b) Se o valor do imóvel é menor que R$ 30.000,00, então o proprietário desse imóvel deve 
escolher o plano A. 
c) Se o valor do imóvel é menor que R$ 30.000,00, então o proprietário desse imóvel deve 
escolher o plano B. 
d) Se o valor do imóvel é R$ 30.000,00, então o proprietário desse imóvel deve escolher o 
plano B. 
e) Se o valor do imóvel é R$ 30.000,00, então o proprietário pagará o mesmo valor para os 
planos A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7. (Enem 2014) Ao final de uma competição de ciências em uma escola, restaram apenas três 
candidatos. De acordo com as regras, o vencedor será o candidato que obtiver a maior média 
ponderada entre as notas das provas finais nas disciplinas química e física, considerando, 
respectivamente, os pesos 4 e 6 para elas. As notas são sempre números inteiros. Por 
questões médicas, o candidato II ainda não fez a prova final de química. No dia em que sua 
avaliação for aplicada, as notas dos outros dois candidatos, em ambas as disciplinas, já terão 
sido divulgadas. 
O quadro apresenta as notas obtidas pelos finalistas nas provas finais. 
 
Candidato Química Física 
I 20 23 
II X 25 
III 21 18 
 
A menor nota que o candidato II deverá obter na prova final de química para vencer a 
competição é 
a) 18. 
b) 19. 
c) 22. 
d) 25. 
e) 26. 
 
8. (Pucrj 2014) A soma das soluções da inequação 
x 3
0
2x 1
 


 onde x pertence ao conjunto 
dos números naturais é: 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 8 
 
9. (G1 - ifsp 2013) O preço de venda de uma mercadoria é obtido através da expressão 5p 7, 
em que p é a quantidade de produtos vendidos. Já, o preço de custo para produzi-la é obtido 
através da expressão 2p 11, em que p é a quantidade de produtos produzidos. A quantidade 
mínima de itens produzidos e vendidos para que não se tenha prejuízo é 
a) 4. 
b) 5. 
c) 6. 
d) 7. 
e) 8. 
 
10. (Fgv 2013) Laura caminha pelo menos 5 km por dia. Rita também caminha todos os dias, e 
a soma das distâncias diárias percorridas por Laura e Rita em suas caminhadas não ultrapassa 
12 km. A distância máxima diária percorrida por Rita, em quilômetros, é igual a 
a) 4. 
b) 5. 
c) 6. 
d) 7. 
e) 8. 
 
11. (G1 - cftmg 2013) O número de soluções inteiras da inequação x 1 3x 5 2x 1,     é 
a) 4. 
b) 3. 
c) 2. 
d) 1. 
 
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12. (Ufg 2013) Um comerciante comprou um lote de um produto A por R$ 1.000,00 e outro, de 
um produto B, por R$ 3.000,00 e planeja vendê-los, durante um certo período de tempo, em 
kits contendo um item de cada produto, descartando o que não for vendido ao final do período. 
Cada kit é vendido ao preço de R$ 25,00, correspondendo a R$ 10,00 do produto A e R$ 15,00 
do B. Tendo em vista estas condições, o número mínimo de kits que o comerciante precisa 
vender, para que o lucro obtido com o produto B seja maior do que com o A, é: 
a) 398 
b) 399 
c) 400 
d) 401 
e) 402 
 
13. (Udesc 2013) Se n é um número inteiro, então a quantidade de números racionais da 
forma 
2n
,
3n 15
 que são estritamente menores que 
7
,
13
 é: 
a) 21 
b) 25 
c) 20 
d) infinita 
e) 27 
 
14. (Udesc 2012) Seja r(x) o resto da divisão do polinômio   2p x 4x 3x 5   por 
  2q x 2x x 1.   Se  f x 2x k  e     f g x r x , então o valor da constante k para que o 
conjunto solução da inequação  g x 10 seja  x | x 3  é: 
a) –12 
b) –2 
c) 12 
d) 2 
e) 
32
–
5
 
 
15. (G1 - ifce 2012) Tomando-se R, o conjunto dos números reais, como universo, a 
inequação 
2 23x 3x 4
2x
7 7 5
 
   
 
 
 tem como solução 
a) 
7
x R; x .
5
 
   
 
 
b) 
7
x R; x .
5
 
  
 
 
c) 
5
x R; x .
2
 
   
 
 
d) 
2
x R; x .
5
 
   
 
 
e) 
2
x R; x .
5
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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16. (G1 - ifba 2012) Considere estas desigualdades 
5x 7x 5
2 3
x 6
1
4



  

 
 
A quantidade de números inteiros x que satisfaz simultaneamente às duas desigualdades é: 
a) 11 
b) 10 
c) 9 
d) 8 
e) 7 
 
17. (Fgv 2012) O número de soluções inteiras da inequação 
2x 6
0
14 2x



 é: 
a) 8 
b) 9 
c) 10 
d) 11 
e) infinito 
 
18. (Uern 2012) A soma de todos os números inteiros que satisfazem simultaneamente a 
inequação-produto (3x – 7)  (x + 4) < 0 e a inequação-quociente 
2x 1
0
5 x



 é 
a) 3. 
b) 5. 
c) 6. 
d) 7. 
 
19. (Enem 2011) Uma indústria fabrica um único tipo de produto e sempre vende tudo o que 
produz.O custo total para fabricar uma quantidade q de produtos é dado por uma função, 
simbolizada por CT , enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda da 
quantidade q também é uma função, simbolizada por FT . O lucro total (LT) obtido pela venda 
da quantidade q de produtos é dado pela expressão LT(q) FT(q) CT(q)  . Considerando-se 
as funções FT(q) 5q e CT(q) 2q 12  como faturamento e custo, qual a quantidade mínima 
de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo? 
a) 0 
b) 1 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
20. (G1 - cftmg 2010) Um comerciante vende arroz dos tipos I e II, cujos preços, por quilo, são, 
respectivamente, R$ 3,00 e R$ 4,00. Ele decide negociar parte desse estoque, compondo 75 
quilos de uma mistura com x quilos do arroz tipo I e y quilos do arroz tipo II. Se o preço, por 
quilo, dessa mistura for, no máximo, R$ 3,40, então, é INCORRETO afirmar que ela 
a) deve ter, no máximo, 30 kg de arroz tipo II. 
b) deve ter, no mínimo, 44 kg de arroz tipo I. 
c) pode ser composta por 50 kg de arroz tipo I e 25 kg do tipo II. 
d) pode ser composta por 47 kg de arroz tipo I e 28 kg do tipo II. 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 a) Sendo a 0, temos 
 
9
f(x)g(x) 0 a(x 3) x 0
2
9
3 x .
2
 
     
 
   
 
 
Portanto, segue que x { 2, 1, 0,1, 2, 3, 4},   ou seja, a inequação possui 7 soluções inteiras. 
 
b) Tem-se que 
 
f(g(x)) ag(x) 3a a(9 2x) 3a 2ax 12a        
 
e 
 
g(f(x)) 9 2f(x) 9 2(ax 3a) 2ax 6a 9.         
 
Logo, vem 
 
f(g(x)) g(f(x)) 2ax 12a 2ax 6a 9
1
a .
2
       
 
 
 
Resposta da questão 2: 
 [B] 
 
Para evitar prejuízo, deve-se ter 
 
3,8x (0,4 3,8x 570) 0 2,28x 570
x 250.
     
 
 
 
Portanto, o número mínimo de tubos de plástico que devem ser produzidos e vendidos é igual a 251. 
Daí, segue que 251 [248, 260]. 
 
Resposta da questão 3: 
 [E] 
 
De acordo com a figura, tem-se que a altura da caixa mede 24cm. Além disso, a largura mede 
90 2 24 42cm.   Daí, o comprimento x, em centímetros, deve ser tal que 
 
0 x 42 24 115 0 x 49.       
 
Portanto, o maior valor possível para x, em centímetros, é 49. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 4: 
 [A] 
 
Seja x a parte do capital a ser investida na poupança. Logo, 
 
0,06 x (1000000 x) 0,075 72000 0,015 x 75000 72000
3000
x
0,015
x 200000,
         
 
 
 
 
ou seja, a parte do capital a ser aplicada na poupança deve ser de, no máximo, 
R$ 200.000,00. 
 
Resposta da questão 5: 
 [B] 
 
Tem-se que 
 
x 8 1
4 (2x 1) 1 0 x (x 3) 0
3 3 2
1
x 3.
2
   
              
   
  
 
 
Portanto, 
 
1
S x | x 3 .
2
 
    
 
 
 
Resposta da questão 6: 
 Sem resposta. 
 
Gabarito Oficial: [B] 
Gabarito SuperPro®: Sem resposta. 
 
Seja V o valor do imóvel. Tem-se que o plano A é mais vantajoso do que o plano B se, e 
somente se, 
 
100 0,05V 900 0,02V 0,03V 800
V R$ 26.666,67.
    
 
 
 
Observação: Não há alternativa correta. De fato, se, por exemplo, o valor do imóvel for 
R$ 29.000,00, então o plano B é mais vantajoso para o proprietário. 
 
 
Resposta da questão 7: 
 [A] 
 
Tem-se que 
Ip
4 20 6 23
x 21,8
4 6
  
 

 e 
IIIp
4 21 6 18
x 19,2.
4 6
  
 

 
 
Logo, deve-se ter 
IIp
4 x 6 25
x 21,8 21,8 4x 218 150 x 17.
4 6
  
       

 
 
Portanto, a menor nota que o candidato [II] deverá obter na prova de química é 18. 
 
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Resposta da questão 8: 
 [A] 
 
Tem-se que 
 
x 3 x 3
0 0
12x 1
2 x
2
1
x 3.
2
  
  
  
 
 
  
 
 
Logo, as soluções naturais da inequação são x 1 e x 2. Em consequência, o resultado 
pedido é igual a 1 2 3.  
 
Resposta da questão 9: 
 [C] 
 
Preço de venda: V = 5p – 7 
Preço de custo: C = 2p + 11 
 
Para que não se tenha prejuízo: V  C 
 
Logo, 5p – 7  2p + 11 
 3p  18 
 p  6 
 
A quantidade mínima de itens produzidos e vendidos para que não se tenha prejuízo é 6. 
 
Resposta da questão 10: 
 [D] 
 
Sejam e r, respectivamente, as distâncias percorridas diariamente, em km, por Laura e Rita. 
Temos 5 e r 12 .  Portanto, a distância percorrida por Rita será máxima quando a 
distância percorrida por Laura for mínima, ou seja, r 12 5 7km.   
 
Resposta da questão 11: 
 [B] 
 
Temos 
 
x 1 3x 5
x 1 3x 5 2x 1
3x 5 2x 1
2 x 6.
  
     
  
  
 
 
Portanto, se α é uma solução inteira de x 1 3x 5 2x 1,     então {3, 4, 5}.α 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 12: 
 [D] 
 
Segundo os dados do problema, temos: 
 
Lucro com o produto A: 10x – 1000 
 
Lucro com o produto B: 15x – 3000 
 
Portanto, 
15x 3000 10x 1000
5x 2000
x 400
  


 
 
Logo, o número mínimo de kits será 401. 
 
Resposta da questão 13: 
 [B] 
 
Sendo n um número inteiro, temos 
 
2n 7 2n 7
0
3n 15 13 3(n 5) 13
26n 21(n 5)
0
39(n 5)
5(n 21)
0
39(n 5)
5 n 21.
   
 
 
 


 

   
 
 
Portanto, a quantidade de números racionais da forma 
2n
,
3n 15
 que são estritamente menores 
do que 
7
,
13
 é igual a 21 ( 5) 1 25.    
 
Resposta da questão 14: 
 [D] 
 
Dividindo p por q, obtemos 
 
2 2
2
4x 3x 5 2x x 1
4x 2x 2 2
5x 7
   
  

 
 
Assim, r(x) 5x 7.  
 
Desse modo, temos que 
 
f(g(x)) r(x) 2 g(x) k 5x 7
5x 7 k
g(x) .
2
     
 
 
 
 
Sabendo que o conjunto solução da inequação g(x) 10 é {x | x 3},  vem 
 
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5x 7 k
10 5x k 13
2
k 13
x ,
5
 
   

 
 
 
ou seja, 
k 13
3 k 2.
5

   
 
Resposta da questão 15: 
 [E] 
 
2 2 2 23x 3x 4 3x 3x 4 4 4 2
2x 2x -2x x x
7 7 5 7 7 5 5 10 5
 
               
 
 
 
 
S= 
2
x R; x .
5
 
   
 
 
 
Resposta da questão 16: 
 [C] 
 
5x 7x 5
15x 14x 10 x 10
2 3
x 6
1 x 6 4 x 2
4

     

        

 
 
Temos então, nove números inteiros que verificam as condições acima: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 
10. 
 
Resposta da questão 17: 
 [C] 
 
Fazendo o estudo do sinal, temos: 
 
 
 
Logo, a solução da equação será dada por  7x3/RxS  com os seguintes números 
inteiros: 
 
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Dez no total. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 18: 
 [A] 
 
Temos que 
 
7
(3x 7) (x 4) 0 3 x (x 4) 0
3
7
4 x
3
 
          
 
   
 
 
e 
 
1
2 x
2x 1 20 0
5 x (x 5)
1
x
2 0
x 5
1
x 5.
2
 
  
  
  
  

 

   
 
 
Logo, os números reais x que satisfazem simultaneamente as inequações são tais que 
1 7
x ,
2 3
   e, portanto, a soma pedida é igual a 0 1 2 3.   
 
Resposta da questão 19: 
 [D] 
 
5q 2q 12
5q 3q 12
3q 12
q 4
 
 


 
 
Portanto, a quantidade mínima deverá ser 4 unidades. 
 
Resposta da questão 20: 
 [B] 
 
 
300 x
3,40 x 255 300 x 35 1 x 45
75

            
Logo, deverá ter no mínimo 45 kg de arroz tipo I e no máximo 30 kg de arroz tipo II.