Função (Só Exatas)

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Função Afim 
1. (Ufsm 2014) De acordo com dados da UNEP - Programa 
das Nações Unidas para o Meio Ambiente, a emissão de 
gases do efeito estufa foi de 45 bilhões de toneladas de 
2CO em 2005 e de 49 bilhões de toneladas em 2010. Se as 
emissões continuarem crescendo no mesmo ritmo atual, a 
emissão projetada para 2020 é de 58 bilhões de toneladas. 
Porém, para garantir que a temperatura do planeta não 
suba mais que 2°C até 2020, a meta é reduzir as emissões 
para 44 bilhões de toneladas. 
 
Suponha que a meta estabelecida para 2020 seja atingida e 
considere que Q e t representam, respectivamente, a 
quantidade de gases do efeito estufa (em bilhões de 
toneladas) e o tempo (em anos), com t 0= 
correspondendo a 2010, com t 1= correspondendo a 2011 
e assim por diante, sendo Q uma função afim de t . 
 
A expressão algébrica que relaciona essas quantidades é 
a) 
9
Q t 45.
10
= − + 
b) 
1
Q t 49.
2
= − + 
c) Q 5t 49.= − + 
d) 
1
Q t 45.
2
= + 
e) 
9
Q t 49.
10
= + 
 
2. (Uerj 2014) O reservatório A perde água a uma taxa 
constante de 10 litros por hora, enquanto o reservatório B 
ganha água a uma taxa constante de 12 litros por hora. No 
gráfico, estão representados, no eixo y, os volumes, em 
litros, da água contida em cada um dos reservatórios, em 
função do tempo, em horas, representado no eixo x. 
 
 
 
Determine o tempo 0x , em horas, indicado no gráfico. 
 
3. (Espm 2014) A função f(x) ax b= + é estritamente de-
crescente. Sabe-se que f(a) 2b= e f(b) 2a.= O valor de 
f(3) é: 
a) 2 
b) 4 
c) 2− 
d) 0 
e) 1− 
 
4. (Fgv 2014) Uma fábrica de panelas opera com um custo 
fixo mensal de R$ 9 800,00 e um custo variável por panela 
de R$ 45,00. Cada panela é vendida por R$ 65,00. Seja a 
quantidade que deve ser produzida e vendida mensalmente 
para que o lucro mensal seja igual a 20% da receita. 
A soma dos algarismos de é: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
5. (Acafe 2014) O soro antirrábico é indicado para a 
profilaxia da raiva humana após exposição ao vírus rábico. 
Ele é apresentado sob a forma líquida, em frasco ampola de 
5mL equivalente a 1000UI (unidades internacionais). O 
gráfico abaixo indica a quantidade de soro (em mL) que um 
indivíduo deve tomar em função de sua massa (em kg) em 
um tratamento de imunização antirrábica. 
 
 
 
Analise as afirmações a seguir: 
 
l. A lei da função representada no gráfico é dada por q = 0,2 
. m, onde q é a quantidade de soro e m é a massa. 
II. O gráfico indica que as grandezas relacionadas são 
inversamente proporcionais, cuja constante de 
proporcionalidade é igual a 
1
.
5
 
III. A dose do soro antirrábico é 40UI/Kg. 
lV. Sendo 3000UI de soro a dose máxima recomendada, 
então, um indivíduo de 80 kg só poderá receber a dose 
máxima. 
V. Se um indivíduo necessita de 2880UI de soro, então, a 
massa desse indivíduo é de 72,2 kg. 
 
Todas as afirmações corretas estão em: 
a) I - III - IV 
b) I - III - IV - V 
c) II - III - IV - V 
d) I - II - V 
 
x
x
 
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6. (Upf 2014) João resolveu fazer um grande passeio de 
bicicleta. Saiu de casa e andou calmamente, a uma 
velocidade (constante) de 20 quilômetros por hora. Meia 
hora depois de ele partir, a mãe percebeu que ele havia 
esquecido o lanche. Como sabia por qual estrada o filho 
tinha ido, pegou o carro e foi à procura dele a uma 
velocidade (constante) de 60 quilômetros por hora. A 
distância que a mãe percorreu até encontrar João e o 
tempo que ela levou para encontrá-lo foram de: 
a) 10 km e 30 min 
b) 15 km e 15 min 
c) 20 km e 15 min 
d) 20 km e 30 min 
e) 20 km e 1 h 
 
7. (Uepa 2014) O caos no trânsito começa alastrar-se por 
todo país. Um estudo do Observatório das Metrópoles, 
órgão ligado ao Instituto Nacional de Ciência e Tecnologia, 
aponta que, em dez anos (de 2001 a 2011), a frota das 12 
principais regiões metropolitanas do país cresceu, em 
média, 77,8%. São Paulo, por exemplo, que tem hoje cerca 
de 11,4 milhões de habitantes e uma frota de 4,8 milhões 
de automóveis, acrescenta, mensalmente, 22000 veículos 
em sua frota ativa nas ruas. 
 
Texto Adaptado: National Geographic Scientific – Brasil, 
“Cidades Inteligentes”. Edição Especial. 
 
Considerando que a população de São Paulo permaneça 
constante, assim como a quantidade de automóveis 
acrescentada mensalmente, o número de veículos da frota 
paulista atingirá 50% do número de habitantes, 
aproximadamente, em: 
a) 2,0 anos. 
b) 2,5 anos. 
c) 3,0 anos. 
d) 3,5 anos. 
e) 4,0 anos. 
 
8. (Uema 2014) A fim de realizar o pagamento de uma 
festa de formatura, estabeleceu-se um valor de R$800,00 
para cada aluno formando e mais um valor adicional por 
cada convidado. 
Considerando que um formando convidou 8 pessoas, tendo 
despendido o total de R$1.200,00, determine o valor 
pago por esse formando por cada convidado. 
 
9. (Ucs 2014) O salário mensal de um vendedor é de 
R$ 750,00 fixos mais 2,5% sobre o valor total, em reais, 
das vendas que ele efetuar durante o mês. 
Em um mês em que suas vendas totalizarem x reais, o 
salário do vendedor será dado pela expressão 
a) 750 2,5x.+ 
b) 750 0,25x.+ 
c) 750,25x. 
d) ( )750 0,25x .⋅ 
e) 750 0,025x.+ 
10. (Uece 2014) Em uma corrida de táxi, 
é cobrado um valor inicial fixo, chamado 
de bandeirada, mais uma quantia 
proporcional aos quilômetros percorridos. 
Se por uma corrida de 8 km paga-se R$ 28,50 e por uma 
corrida de 5 km paga-se R$ 19,50, então o valor da 
bandeirada é 
a) R$ 7,50. 
b) R$ 6,50. 
c) R$ 5,50. 
d) R$ 4,50. 
 
11. (G1 - cftmg 2014) O gráfico representa a função real 
definida por f(x) = a x + b. 
 
 
 
O valor de a + b é igual a 
a) 0,5. 
b) 1,0. 
c) 1,5. 
d) 2,0. 
 
12. (Fgv 2014) A quantidade de cópias vendidas de cada 
edição de uma revista jurídica é função linear do número de 
matérias que abordam julgamentos de casos com ampla 
repercussão pública. Uma edição com quatro matérias 
desse tipo vendeu 33 mil exemplares, enquanto que outra 
contendo sete matérias que abordavam aqueles 
julgamentos vendeu 57 mil exemplares. 
 
a) Quantos exemplares da revista seriam vendidos, caso 
fosse publicada uma edição sem matéria alguma que 
abordasse julgamento de casos com ampla repercussão 
pública? 
b) Represente graficamente, no plano cartesiano, a função 
da quantidade (Y) de exemplares vendidos por edição, 
pelo número (X) de matérias que abordem julgamentos 
de casos com ampla repercussão pública. 
c) Suponha que cada exemplar da revista seja vendido a R$ 
20,00. Determine qual será o faturamento, por edição, 
em função do número de matérias que abordem 
julgamentos de casos com ampla repercussão pública. 
 
13. (Ufrgs 2014) Considere as funções f e g, definidas por 
f(x) 4 2x= − e g(x) 2f(x) 2.= + Representadas no 
mesmo sistema de coordenadas cartesianas, a função f 
intercepta o eixo das ordenadas no ponto A e o eixo das 
 
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abscissas no ponto B, enquanto a função g intercepta o 
eixo das ordenadas no ponto D e o eixo das abscissas no 
ponto C. 
 
A área do polígono ABCD é 
a) 4,5. 
b) 5,5. 
c) 6,5. 
d) 7,5. 
e) 8,5. 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
As atividades de comunicação humana são plurais e estão 
intimamente ligadas às suas necessidades de sobrevivência. 
O problema de contagem, por exemplo, se confunde com a 
própria história humana no decorrer dos tempos. Assim 
como para os índios mundurucus, do sul do Pará, os 
waimiri-atroari, contam somente de um até cinco, 
adotando os seguintes vocábulos: awynimi é o número 1, 
typytyna é o 2, takynima é o 3, takyninapa é o 4, e, 
finalmente, warenipa é o 5. 
 
Texto Adaptado: Scientific American – Brasil, 
“Etnomatática”. Edição Especial, Nº 11, ISSN 1679-5229 
 
 
14. (Uepa 2014) Considere as funções polinomiais do 
primeirograu f e g definidas de A em A, conjunto 
formado pelos números utilizados no sistema de contagem 
dos waimiri-atroari, ou seja, { }A 1,2,3,4,5 .= Se os pares 
ordenados ( )1,1 e ( )5,5 pertencem a f e os pares 
ordenados ( )1,5 e ( )5,1 pertencem a g, então é correto 
afirmar que: 
a) não existe nenhum par ordenado de A A× que satisfaça 
f e g simultaneamente. 
b) existe um único par ordenado de A A× que satisfaz f e 
g simultaneamente. 
c) existem dois pares ordenados de A A× que satisfazem 
f e g simultaneamente. 
d) existem três pares ordenados de A A× que satisfazem 
f e g simultaneamente. 
e) existem quatro pares ordenados de A A× que 
satisfazem f e g simultaneamente. 
 
15. (Ufrn 2013) Uma empresa de tecnologia desenvolveu 
um produto do qual, hoje, 60% das peças são fabricadas no 
Brasil, e o restante é importado de outros países. Para 
aumentar a participação brasileira, essa empresa investiu 
em pesquisa, e sua meta é, daqui a 10 anos, produzir, no 
Brasil, 85% das peças empregadas na confecção do 
produto. 
Com base nesses dados e admitindo-se que essa 
porcentagem varie linearmente com o tempo contado em 
anos, o percentual de peças brasileiras na fabricação desse 
produto será superior a 95% a partir de 
a) 2027. 
b) 2026. 
c) 2028. 
d) 2025. 
 
Função Quadrática 
1. (Uerj 2015) Um triângulo equilátero possui perímetro 
P, em metros, e área A, em metros quadrados. Os 
valores de P e A variam de acordo com a medida do lado 
do triângulo. 
 
Desconsiderando as unidades de medida, a expressão 
Y P A= − indica o valor da diferença entre os números P 
e A. 
 
O maior valor de Y é igual a: 
a) 2 3 
b) 3 3 
c) 4 3 
d) 6 3 
 
2. (Unicamp 2014) Sejam a e b reais. Considere as funções 
quadráticas da forma 2f(x) x a x b,= + + definidas para 
todo x real. 
 
a) Sabendo que o gráfico de y f(x)= intercepta o eixo y no 
ponto (0,1) e é tangente ao eixo x, determine os 
possíveis valores de a e b. 
b) Quando a b 1,+ = os gráficos dessas funções quadráticas 
têm um ponto em comum. Determine as coordenadas 
desse ponto. 
 
3. (Upe 2014) Num terreno, na forma de triângulo 
retângulo, com catetos de medidas 60 metros e 80 metros, 
Sr. Pedro construiu uma casa retangular com a maior área 
possível, como na figura a seguir: 
 
 
 
Qual é a medida da área do terreno destinado à construção 
da casa em metros quadrados? 
a) 600 
b) 800 
c) 1 000 
d) 1 200 
e) 1 400 
 
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 4. (G1 - cftmg 2014) Sobre a função real 
( ) 2f(x) k 2 x 4x 5= − + − assinale (V) para as afirmativas 
verdadeiras ou (F) para as falsas. 
 
( ) O gráfico de f(x) é uma parábola para todo k ;∈ � 
( ) Se k 1,= então f(x) é negativa para todo x ;∈ � 
( ) Se k 2,> então f(x) é uma parábola com 
concavidade voltada para cima; 
( ) Se k 3,= então f( 5) 1.− = 
 
A sequência correta encontrada é 
a) V – F – F – F. 
b) F – V – F – V. 
c) V – F – V – V. 
d) F – V – V – F. 
 
5. (Unifesp 2014) Chamando de y’ e y” as equações das 
parábolas geradas quando a curva y = 2x
2
–12x + 16 é 
refletida pelos eixos x e y, respectivamente, determine: 
 
a) a distância entre os vértices das parábolas definidas por 
y’ e y”. 
b) y’ e y”. 
 
6. (Espcex (Aman) 2014) Uma indústria produz 
mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal 
resultante da venda deste produto é 2V(x) 3x 12x= − e o 
custo mensal da produção é dado por 
2C(x) 5x 40x 40.= − − Sabendo que o lucro é obtido pela 
diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da 
produção, então o número de lotes mensais que essa 
indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a 
a) 4 lotes. 
b) 5 lotes. 
c) 6 lotes. 
d) 7 lotes. 
e) 8 lotes. 
 
7. (G1 - ifce 2014) Seja uma função quadrática 
dada por onde são 
constantes e cujo gráfico (parábola) está esboçado na 
figura. 
 
 
 
É correto afirmar-se que 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
8. (Uepb 2014) O gráfico da função f : R R→ dada por 
2f(x) mx nx p= + + com m 0≠ é a parábola esboçada 
abaixo, com vértice no ponto V. Então podemos concluir 
corretamente que: 
 
 
a) m 0, n 0 e p 0< < < 
b) m 0, n 0 e p 0< > > 
c) m 0, n 0 e p 0< < > 
d) m 0, n 0 e p 0> < > 
e) m 0, n 0 e p 0> > > 
 
9. (Uea 2014) A figura mostra um quadrado de lado igual a 
10 m. A região assinalada é constituída de dois quadrados 
que não se intersecionam e cujos lados medem x metros. 
A área da região não assinalada pode ser obtida pela lei 
2A 100 2x .= − 
 
 
 
Desse modo, quando x assumir o maior valor inteiro 
permitido, a área da região não assinalada será igual, em 
metros quadrados, a 
a) 84. 
b) 36. 
c) 48. 
d) 68. 
e) 64. 
 
10. (Ufsm 2014) Ao descartar detritos orgânicos nos lagos, 
o homem está contribuindo para a redução da quantidade 
de oxigênio destes. Porém, com o passar do tempo, a 
f : →� �
2f(x) ax bx c,= + + a, b, c ∈ �
a 0.<
b 0.>
c 0.<
2b 4ac.<
2f(a bc) 0.+ <
 
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natureza vai restaurar a quantidade de oxigênio até o seu 
nível natural. 
 
Suponha que a quantidade de oxigênio, t dias após os 
detritos orgânicos serem despejados no lago, é expressa 
por 
2
2
t 20t 198
f(t) 100
t 1
 − +
=   + 
 por cento (%) de seu nível 
normal. 
 
Se 1t e 2t , com 1 2t t ,< representam o número de dias 
para que a quantidade de oxigênio seja 50% de seu nível 
normal, então 2 1t t− é igual a 
a) 4 5 .− 
b) 2 5 .− 
c) 2 5 . 
d) 4 5 . 
e) 40. 
 
11. (Ucs 2014) O lucro obtido por um distribuidor com a 
venda de caixas de determinada mercadoria é dado pela 
expressão 2
6 0,01
L(x) x x 0,6x,
5 5
 
= − − 
 
 em que x 
denota o número de caixas vendidas. 
 
Quantas caixas o distribuidor deverá vender para que o 
lucro seja máximo? 
a) 60 
b) 120 
c) 150 
d) 600 
e) 1500 
 
12. (G1 - cftrj 2014) Seja 
2
1
f(x) 3 x 4,
2
 
= ⋅ − − 
 
 onde x é 
um número real qualquer. O menor valor que f(x) pode 
assumir é: 
a) –3 
b) –4 
c) –5 
d) –6 
 
13. (Uerj 2014) O gráfico abaixo mostra o segmento de reta 
AB, sobre o qual um ponto C (p, q) se desloca de A até B (3, 
0). 
 
 
 
O produto das distâncias do ponto C aos eixos coordenados 
é variável e tem valor máximo igual a 4,5. 
O comprimento do segmento AB corresponde a: 
a) 5 
b) 6 
c) 3 5 
d) 6 2 
 
14. (Fgv 2014) Um restaurante francês oferece um prato 
sofisticado ao preço de p reais por unidade. A quantidade 
mensal x de pratos que é vendida relaciona-se com o 
preço cobrado através da função p 0,4x 200.= − + 
Sejam 1k e 2k os números de pratos vendidos 
mensalmente, para os quais a receita é igual a 
R$21.000,00. O valor de 1 2k k+ é: 
a) 450 
b) 500 
c) 550 
d) 600 
e) 650 
 
15. (Ufg 2014) A auxina é um hormônio vegetal 
relacionado ao crescimento das plantas, sendo a raiz mais 
sensível a este hormônio do que o caule. A figura a seguir 
representa o efeito de diferentes concentrações desse 
hormônio sobre o crescimento da raiz e do caule de uma 
determinada planta. 
 
 
 
Assumindo-se que as curvas dadas na figura são parábolas, 
conclui-se que 
a) a concentração para o estímulo máximo de crescimento 
da raiz é maior do que do caule. 
b) a concentração ótima de auxina, para o desenvolvimento 
do caule, varia de 810 g / Lμ− a 710 g / L.μ− 
c) a concentração ótima de auxina para o desenvolvimento 
da raiz é de 510 g / L.μ− 
 
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d) a concentração de auxina variando de 1110 g / Lμ− a 
710 g / Lμ− estimula o crescimento do caule. 
e) a concentração ótima de auxina para o desenvolvimento 
da raiz é de 910 g / L.μ− 
 
Função Exponencial 
1. (Espcex (Aman) 2015) Seja 
3
10
3 7
10 10
log1
.
2 log log
β = ⋅
−
 O 
conjunto soluçãoda desigualdade cos(x)
3
3
7
β
 
≤  
 
 no 
intervalo [ )0,2 ,π é igual a 
a) 0, .
3
π 
 
 
b) 
5
, .
3 3
π π 
  
 
c) ,2 .
3
π
π
 
  
 
d) ,2 .
3
π
π
 
 
 
e) 
3
,2 .
2
π
π
 
 
 
 
2. (Uepb 2014) Biólogos e Matemáticos acompanharam em 
laboratório o crescimento de uma cultura de bactérias e 
concluíram que esta população crescia com o tempo t 0,≥ 
ao dia, conforme a lei t0P(t) P 5 ,
λ= onde P0, é a população 
inicial da cultura (t = 0) e λ é uma constante real positiva. 
Se, após dois dias, o número inicial de bactérias duplica, 
então, após seis dias, esse número é: 
a) 10P0 
b) 6P0 
c) 3P0 
d) 8P0 
e) 4P0 
 
3. (Uepa 2014) Os dados estatísticos sobre violência no 
trânsito nos mostram que é a segunda maior causa de 
mortes no Brasil, sendo que 98% dos acidentes de trânsito 
são causados por erro ou negligência humana e a principal 
falha cometida pelos brasileiros nas ruas e estradas é usar o 
celular ao volante. Considere que em 2012 foram 
registrados 60.000 mortes decorrentes de acidentes de 
trânsito e destes, 40% das vítimas estavam em motos. 
 
Texto Adaptado: Revista Veja, 19/08/2013. 
 
A função t0N(t) N (1,2)= fornece o número de vítimas que 
estavam de moto a partir de 2012, sendo t o número de 
anos e 0N o número de vítimas que estavam em moto em 
2012. Nessas condições, o número 
previsto de vítimas em moto para 2015 
será de: 
a) 41.472. 
b) 51.840. 
c) 62.208. 
d) 82.944. 
e) 103.680. 
 
4. (Ufsm 2014) As matas ciliares desempenham importante 
papel na manutenção das nascentes e estabilidade dos 
solos nas áreas marginais. Com o desenvolvimento do 
agronegócio e o crescimento das cidades, as matas ciliares 
vêm sendo destruídas. Um dos métodos usados para a sua 
recuperação é o plantio de mudas. 
 
O gráfico mostra o número de mudas 
tN(t) ba (o a 1 e b 0)= < ≠ > a serem plantadas no 
tempo t (em anos), numa determinada região. 
 
 
 
De acordo com os dados, o número de mudas a serem 
plantadas, quando t 2 anos,= é igual a 
a) 2.137. 
b) 2.150. 
c) 2.250. 
d) 2.437. 
e) 2.500. 
 
5. (Ufpr 2014) Uma pizza a 185°C foi retirada de um forno 
quente. Entretanto, somente quando a temperatura atingir 
65°C será possível segurar um de seus pedaços com as 
mãos nuas, sem se queimar. Suponha que a temperatura T 
da pizza, em graus Celsius, possa ser descrita em função do 
tempo t, em minutos, pela expressão 
0,8 tT 160 2 25.− ×= × + Qual o tempo necessário para que 
se possa segurar um pedaço dessa pizza com as mãos nuas, 
sem se queimar? 
a) 0,25 minutos. 
b) 0,68 minutos. 
c) 2,5 minutos. 
d) 6,63 minutos. 
e) 10,0 minutos. 
 
 
 
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6. (Mackenzie 2014) Seja uma função tal 
que para quaisquer e 
 Se o valor de é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
7. (Acafe 2014) O crescimento exponencial é característico 
de certos fenômenos naturais. Uma função exponencial 
pode ser enunciada pela lei kt0N(t) N a ,= ⋅ onde 0N é o 
número inicial, N é o número no instante t, e k é a taxa 
de crescimento ou decrescimento do fenômeno em estudo. 
Analise as proposições abaixo e classifique-as em V - 
verdadeiras ou F - falsas. 
 
( ) Para que a função N(t) represente um “decaimento” é 
necessário que k seja um número negativo. 
( ) A lei que representa o crescimento do número de 
pessoas infectadas pelo vírus da gripe em uma 
grande cidade é dada por 0,8tN(t) 600 2 ,= ⋅ com t 
em horas. Então, após 6h25min a cidade está com 
19200 pessoas infectadas. 
( ) A população de certa região do país é dada pela 
função 0,25t0P(t) P 2 ,
−= ⋅ onde t é o tempo em 
anos. Então, após 4 anos, a população dessa região 
está reduzida à metade da população inicial. 
 
A sequência correta, de cima para baixo, é: 
a) F - V - F 
b) V - V - V 
c) V - F - V 
d) V - F - F 
 
8. (Ufrgs 2014) A função f , definida por xf(x) 4 2,−= − 
intercepta o eixo das abscissas em 
a) 2.− 
b) 1.− 
c) 
1
.
2
− 
d) 0. 
e) 
1
.
2
 
 
9. (Pucrs 2014) O decrescimento da quantidade de massa 
de uma substância radioativa pode ser apresentado pela 
função exponencial real dada por tf(t) a .= Então, pode-se 
afirmar que 
a) a 0< 
b) a 0= 
c) 0 a 1< < 
d) a 1> 
e) a ∈ � 
 
10. (Insper 2014) A partir do momento em que é ativado, 
um vírus de computador atua da seguinte forma: 
 
- ao longo do primeiro minuto, ele destrói 40% da memória 
do computador infectado; 
- ao longo do segundo minuto, ele destrói 40% do que havia 
restado da memória após o primeiro minuto; 
- e assim sucessivamente: a cada minuto, ele destrói 40% 
do que havia restado da memória no minuto anterior. 
 
Dessa forma, um dia após sua ativação, esse vírus terá 
destruído aproximadamente 
a) 50% da memória do computador infectado. 
b) 60% da memória do computador infectado. 
c) 80% da memória do computador infectado. 
d) 90% da memória do computador infectado. 
e) 100% da memória do computador infectado. 
 
11. (Enem PPL 2013) Em um experimento, uma cultura de 
bactérias tem sua população reduzida pela metade a cada 
hora, devido à ação de um agente bactericida. 
Neste experimento, o número de bactérias em função do 
tempo pode ser modelado por uma função do tipo 
a) afim. 
b) seno. 
c) cosseno. 
d) logarítmica crescente. 
e) exponencial. 
 
12. (Ufrn 2013) A pedido do seu orientador, um bolsista de 
um laboratório de biologia construiu o gráfico a seguir a 
partir dos dados obtidos no monitoramento do crescimento 
de uma cultura de micro-organismos. 
 
 
 
Analisando o gráfico, o bolsista informou ao orientador que 
a cultura crescia segundo o modelo matemático, 
f : + +→� �
( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = ⋅ x +∈ �
y .+∈ � ( )f 1 8,=
4
f
3
 
 
 
16
1
3
1
4
3
4
 
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atN k 2 ,= ⋅ com t em horas e N em milhares de micro-
organismos. 
Para constatar que o modelo matemático apresentado pelo 
bolsista estava correto, o orientador coletou novos dados 
com t = 4 horas e t = 8 horas. 
Para que o modelo construído pelo bolsista esteja correto, 
nesse período, o orientador deve ter obtido um aumento 
na quantidade de micro-organismos de 
a) 80.000. 
b) 160.000. 
c) 40.000. 
d) 120.000. 
 
13. (Pucrs 2013) A desintegração de uma substância 
radioativa é um fenômeno químico modelado pela fórmula 
k tq 10 2 ,⋅= ⋅ onde q representa a quantidade de substância 
radioativa (em gramas) existente no instante t (em horas). 
Quando o tempo t é igual a 3,3 horas, a quantidade 
existente q vale 5. Então, o valor da constante k é 
a) 35 5− 
b) 33 10− 
c) 5 33− 
d) 10 33− 
e) 100 33− 
 
14. (Acafe 2012) Um dos perigos da alimentação humana 
são os microrganismos, que podem causar diversas doenças 
e até levar a óbito. Entre eles, podemos destacar a 
Salmonella. Atitudes simples como lavar as mãos, 
armazenar os alimentos em locais apropriados, ajudam a 
prevenir a contaminação pelos mesmos. Sabendo que certo 
microrganismo se prolifera rapidamente, dobrando sua 
população a cada 20 minutos, pode-se concluir que o 
tempo que a população de 100 microrganismos passará a 
ser composta de 3.200 indivíduos é: 
a) 1 h e 35 min. 
b) 1 h e 40 min. 
c) 1 h e 50 min. 
d) 1 h e 55 min. 
 
15. (Ufmg 2011) Um grupo de animais de certa espécie 
está sendo estudado por veterinários. A cada seis meses, 
esses animais são submetidos a procedimentos de 
morfometria e, para tanto, são sedados com certa droga. 
A quantidade mínima da droga que deve permanecer na 
corrente sanguínea de cada um desses animais, para 
mantê-los sedados, é de 20 mg por quilograma de peso 
corporal. Além disso, a meia-vida da droga usada é de 1 
hora — isto é, a cada 60 minutos, a quantidade da droga 
presente na corrente sanguínea de um animalreduz-se à 
metade. 
Sabe-se que a quantidade q(t) da droga presente na 
corrente sanguínea de cada animal, t minutos após um 
dado instante inicial, é dada por 
kt
0q(t) q 2 ,
−= 
 
em que: 
• 0q é a quantidade de droga presente 
na corrente sanguínea de cada animal no 
instante inicial; e 
• k é uma constante característica da droga e da espécie. 
 
Considere que um dos animais em estudo, que pesa 10 
quilogramas, recebe uma dose inicial de 300 mg da droga 
e que, após 30 minutos, deve receber uma segunda dose. 
Suponha que, antes dessa dose inicial, não havia qualquer 
quantidade da droga no organismo do mesmo animal. 
 
Com base nessas informações, 
a) calcule a quantidade da droga presente no organismo 
desse animal imediatamente antes de se aplicar a 
segunda dose; 
b) calcule a quantidade mínima da droga que esse animal 
deve receber, como segunda dose, a fim de ele 
permanecer sedado por, pelo menos, mais 30 minutos. 
 
Função Logarítmica 
1. (Unicamp 2014) A altura (em metros) de um arbusto em 
uma dada fase de seu desenvolvimento pode ser expressa 
pela função 3h(t) 0,5 log (t 1),= + + onde o tempo t 0≥ é 
dado em anos. 
 
a) Qual é o tempo necessário para que a altura aumente de 
0,5 m para 1,5 m? 
b) Suponha que outro arbusto, nessa mesma fase de 
desenvolvimento, tem sua altura expressa pela função 
composta g(t) h(3t 2).= + Verifique que a diferença 
g(t) h(t)− é uma constante, isto é, não depende de t. 
 
2. (Pucrs 2014) O modelo da cobertura que está sendo 
colocada no Estádio Beira-Rio está representado na figura 
abaixo. 
 
 
 
Colocada devidamente em um plano cartesiano, é possível 
afirmar que, na forma em que está, a linha em destaque 
pode ser considerada uma restrição da representação da 
função dada por 
a) y log(x)= 
 
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b) 2y x= 
c) y x= 
d) y x= − 
e) xy 10= 
 
3. (Ueg 2013) O gráfico da função y log(x 1)= + é 
representado por: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
4. (Ita 2013) Determine o maior domínio D ⊂ � da função 
 
( )
x( x)
4
f : D , f x log (4senx cos x 1).π
−
→ = −� 
 
5. (Fuvest 2013) Seja f uma função a valores reais, com 
domínio D ,⊂ � tal que 210 1 3f(x) log (log (x x 1)),= − +
para todo x D.∈ 
 
 
 
O conjunto que pode ser o domínio D é 
a) { }x ; 0 x 1∈ < <� 
b) { }x ; x 0 ou x 1∈ ≤ ≥� 
c) { }1x ; x 103∈ < <� 
d) { }1x ; x ou x 103∈ ≤ ≥� 
e) { }1 10x ; x9 3∈ < <� 
 
6. (Insper 2012) Uma função f, cujo domínio é o conjunto 
{ }x / x 0 ,∈ >� é tal que, para todo a, b ,∗+∈ � verifica-se 
a igualdade: 
( ) ( ) ( )f ab f a f b .= + 
Nessas condições, ( ) 1f 2 f
2
 
+  
 
é igual a 
a) 0. 
b) 
1
.
2
 
c) 1. 
d) 
5
.
4
 
e) 
3
.
2
 
 
7. (Udesc 2012) Seja f : D → � a função definida por 
( ) ( )2f x log x x ,= − onde D é dado por 
{ }D x | x 1 .= ∈ >� 
 
Analise as proposições abaixo. 
 
I. A função f não admite nenhuma raiz pertencente a D. 
II. Existe um único valor de x D∈ para o qual 
( )f x 2log 2 log 3.= + 
III. Existe um único valor de x D∈ para o qual 
( )
3 2
2 3
f x .
log 10 log 10
= + 
 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente a afirmativa II é verdadeira. 
b) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
c) Somente a afirmativa III é verdadeira. 
d) Somente a afirmativa I é verdadeira. 
e) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
 
8. (Uern 2012) O produto entre o maior número inteiro 
negativo e o menor número inteiro positivo que pertence 
ao domínio da função 23f(x) log (x 2x 15)= − − é 
a) – 24. 
b) – 15. 
c) – 10. 
d) – 8. 
 
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TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Escalas logarítmicas são usadas para facilitar a 
representação e a compreensão de grandezas que 
apresentam intervalos de variação excessivamente 
grandes. O pH, por exemplo, mede a acidez de uma solução 
numa escala que vai de 0 a 14; caso fosse utilizada 
diretamente a concentração do íon H+ para fazer essa 
medida, teríamos uma escala bem pouco prática, variando 
de 0,00000000000001 a 1. 
Suponha que um economista, pensando nisso, tenha criado 
uma medida da renda dos habitantes de um país chamada 
Renda Comparativa (RC), definida por 
0
R
RC log ,
R
 
=  
 
 
em que R é a renda, em dólares, de um habitante desse 
país e 0R é o salário mínimo, em dólares, praticado no 
país. (Considere que a notação log indica logaritmo na base 
10.) 
 
 
9. (Insper 2011) Dentre os gráficos abaixo, aquele que 
melhor representa a Renda Comparativa de um habitante 
desse país em função de sua renda, em dólares, é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
O gráfico a seguir representa as funções xf(x) 2= e 
2g(x) log x.= 
 
 
 
 
 
10. (Insper 2011) Seja A um número inteiro tal que: 
f(A) g(A) 10
g(f(A) g(A)) 3
+ <

+ >
 
 
Então, g(g(A)) é aproximadamente igual a 
a) 0,6. 
b) 1,2. 
c) 1,8. 
d) 2,4. 
e) 3,0 
 
11. (Fatec 2009) Seja a função f:IR → IR+* definida por 
 
 f(x) = log10 x - log10(x
3
/10
4
). 
 
A abscissa do ponto de intersecção do gráfico de f com a 
reta de equação y - 2 = 0 é: 
a) 10
-7
. 
b) 10
-3
. 
c) 10. 
d) 10
2
. 
e) 10
4
. 
 
 
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12. (Udesc 2009) Sabendo que os gráficos das funções f(x) 
= ax - n e g(x) = logn x se intersectam no ponto P
1
3, 
2
 
 
 
, 
então produto ab é igual a: 
a) 
( )7 3
2
 
 
 
b) 
( )3
2
 
 
c) 
( )5 3
2
−
 
d) - 
( )3
2
 
 
e) 
3
2
 
 
 
13. (Insper 2009) Considere a função real f, dada pela lei 
x
xf(x) log x .= 
 
a) Desenhe o gráfico de f(x). 
b) Calcule k, k ,∈ � de modo que se tenha f(k)16 40.= Se 
necessário, utilize a aproximação log2 0,30.= 
 
14. (Ufla 2008) A solução da equação log (x) – 10
(log(0,5)+log(8))
 
= log (
1
x
) satisfaz: 
a) log(log2(x)) = 1 
 
b) x = 10 
c) log2(log(x)) = 1 
d) x = 10
log(4) 
 
15. (Unesp 2008) O brilho de uma estrela percebido pelo 
olho humano, na Terra, é chamado de magnitude aparente 
da estrela. Já a magnitude absoluta da estrela é a 
magnitude aparente que a estrela teria se fosse observada 
a uma distância padrão de 10 parsecs (1 parsec é 
aproximadamente 3 × 10
13
 km). As magnitudes aparente e 
absoluta de uma estrela são muito úteis para se determinar 
sua distância ao planeta Terra. Sendo m a magnitude 
aparente e M a magnitude absoluta de uma estrela, a 
relação entre m e M é dada aproximadamente pela fórmula 
 
 M = m + 5 . log3 (3 .d
-0
'
48
) 
onde d é a distância da estrela em 
parsecs. A estrela Rigel tem 
aproximadamente magnitude aparente 
0,2 e magnitude absoluta - 6,8. Determine 
a distância, em quilômetros, de Rigel ao planeta Terra. 
 
Função Composta 
1. (Unicamp 2014) Considere as funções f e g, cujos 
gráficos estão representados na figura abaixo. 
 
 
 
O valor de f(g(1)) g(f(1))− é igual a 
a) 0. 
b) – 1. 
c) 2. 
d) 1. 
 
2. (Ufpr 2014) Considere as funções f e g, definidas por 
f(x) x 1= + e g(x) 2x sen(x),= com x real. 
 
a) Esboce os gráficos de f e g. 
 
 
 
b) Obtenha as expressões de f go e g fo em função de x, e 
esboce o gráfico dessas duas funções compostas. 
 
 
 
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3. (G1 - ifce 2014) Seja ] [f : 1,+∞ ⊂ →� � uma função 
dada por 
x
f(x) .
x 1
=
−
 A expressão da função composta 
( ) ( )( )g x f f x 1= + é 
a) 
1
g(x) .
x 1
=
−
 
b) 
x
g(x) .
x 1
=
−
 
c) g(x) x 1.= + 
d) g(x) x 1.= − 
e) 
x 1
g(x) .
x 1
+
=
−
 
 
4. (Cefet MG 2014) Sabe-se que o gráfico de ( )( )y f g x= 
abaixo está fora de escala, e que esta função, com raízes 0, 
1 e 3, foi obtida compondo-se as funções ( )f x | x | 5= − e 
( ) 2g x ax bx c.= + + 
 
 
 
O valor de a b c⋅ ⋅ é igual a 
a) 32 5.⋅ 
b) 323 .⋅ 
c) 32 5 .⋅ 
d) 33 5 .⋅ 
e) 33 5.⋅ 
 
5. (Esc. Naval 2013) Considere f e g funções reais de 
variável real definidas por, 
1
f(x)
4x 1
=
−
 e 2g(x) 2x .= 
Qual é o domínio da função composta (fog)(x)? 
a) � 
b) 
1 1
x | x , x
2 2 2 2
 
∈ ≠ − ≠ 
 
� 
c) 
1
x | x
4
 
∈ ≠ 
 
� 
d) 
1 1
x | x , x
4 2 2
 
∈ ≠ ≠ 
 
� 
e) 
1 1
x | x , x
4 2 2
 
∈ ≠ − ≠ − 
 
� 
 
6. (Espcex (Aman) 2013) Sejam as funções reais 
( ) 2f x x 4x= + e ( )g x x 1.= − O domínio da função 
f(g(x)) é 
a) { }D x | x 3 ou x 1= ∈ ≤ − ≥� 
b) { }D x | 3 x 1= ∈ − ≤ ≤� 
c) { }D x | x 1= ∈ ≤� 
d) { }D x | 0 x 4= ∈ ≤ ≤� 
e) { }D x | x 0 ou x 4= ∈ ≤ ≥� 
 
7. (Uepb 2013) Dada 2f(x) x 2x 5,= + + o valor de 
f(f( 1))− é: 
a) – 56 
b) 85 
c) – 29 
d) 29 
e) – 85 
 
8. (Uern 2013) Sejam as funções f(x) x 3= − e 
2g(x) x 2x 4.= − + Para qual valor de x tem 
f(g(x)) g(f(x))?= 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
 
9. (Ufu 2012) Fixado um sistema de coordenadas 
cartesianas xOy, considere as funções reais de variável real 
( ) 2y f x x b x c= = + ⋅ + e ( )y g x k x 4,= = ⋅ + em que as 
constantes b, c, k são números reais. 
Sabendo que o gráfico de f é dado pela parábola de vértice 
V = (1,1), determine todos os possíveis valores reais que k 
poderá assumir de maneira que a equação definida pela 
composição (g f )(x) 0=o tenha raiz real. 
 
10. (Uem 2012) Considere as funções f e g, ambas com 
domínio e contradomínio real, dadas por f(x) 5x 2= − e 
2g(x) x 6x 1= − + , para qualquer x real. A respeito dessas 
funções, assinale o que for correto. 
01) A imagem de qualquer número racional, pela função f, é 
um número irracional. 
02) A função g possui uma única raiz real. 
04) Ambas as funções são crescentes no intervalo [ [0,+∞
do domínio. 
08) O gráfico da função f go é uma parábola. 
16) Ambas as funções possuem inversas. 
 
11. (Ufsm 2012) Os praticantes de exercícios físicos se 
preocupam com o conforto dos calçados utilizados em cada 
 
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modalidade. O mais comum é o tênis, que é utilizado em 
corridas, caminhadas, etc. A numeração para esses calçados 
é diferente em vários países, porém existe uma forma para 
converter essa numeração de acordo com os tamanhos. 
Assim, a função 
x
g(x)
6
= converte a numeração dos tênis 
fabricados no Brasil para a dos tênis fabricados nos Estados 
Unidos, e a função f(x) = 40x + 1 converte a numeração dos 
tênis fabricados nos Estados Unidos para a dos tênis 
fabricados na Coreia. A função h que converte a numeração 
dos tênis brasileiros para a dos tênis coreanos é 
a) 
20 1
h(x) x . 
3 6
= + 
b) 
2
h(x) x 1. 
3
= + 
c) 
20
h(x) x 1. 
3
= + 
d) 
20 x 1
h(x) . 
3
+
= 
e) 
2 x 1
h(x) . 
3
+
= 
 
12. (G1 - ifsc 2012) Em uma fábrica de bijuterias o custo de 
produção de um lote de brincos é calculado a partir de um 
valor fixo de R$ 125,00, mais R$ 1,50 por unidade 
produzida. Nessa fábrica, são produzidos lotes de, no 
máximo, 10000 brincos, sendo vendido cada lote com 25% 
de lucro sobre o valor de custo. Sobre essa situação, leia e 
analise as afirmações abaixo: 
 
I. A função C que relaciona o custo de produção a uma 
quantidade x de brincos produzidos é C(x) = 126,50x. 
II. A função V que relaciona o valor de venda de um lote de 
brincos e o custo C de produção é V(C) = 1,25C. 
III. O custo para produção de um lote com 400 brincos é R$ 
725,00. 
IV. Considerando C a função que relaciona o custo de 
produção de uma quantidade x de brincos e V a função 
que relaciona o valor de venda de um lote de brincos 
com o custo C de produção, então a função composta 
V(C(x)) é a função que relaciona o valor de venda de um 
lote de brincos e a quantidade x de brincos produzidos. 
V. O preço de venda de um lote com 100 brincos é R$ 
343,75. 
 
Assinale a alternativa CORRETA. 
a) Apenas as afirmações II, III, IV e V são VERDADEIRAS. 
b) Apenas as afirmações I, III, IV e V são VERDADEIRAS. 
c) Apenas as afirmações III, IV e V são VERDADEIRAS. 
d) Apenas as afirmações I e II são VERDADEIRAS. 
e) Todas as afirmações são VERDADEIRAS. 
 
13. (Pucrj 2012) Sejam 2f(x) x 1= + e 2g(x) x 1.= − 
Então a equação f(g(x)) g(f(x)) 2− = − tem duas soluções 
reais. O produto das duas soluções é igual a: 
a) −2 
b) −1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
14. (Ufsj 2012) Sendo a função ( )f x ax b,= + tal que 
( )( )f f x 9x 8,= + é CORRETO afirmar que 
a) ( )1 xf x 2
3
− = + 
b) ( )f 0 8= 
c) ( )f x 3x 4= + 
d) ( ) ( )1
x 2
f x
3
− −= 
 
15. (G1 - cftmg 2012) Sendo 2f(x) x 2x 1= + + definida 
em A {x / x 1}= ∈ ≥ −� e 2g(x) x= definida em ,+� o 
gráfico que representa a função (gof)(x) é 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
 
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Função Modular 
1. (Uepb 2014) Uma função inversível f, definida em 
{ }R 3− − por ( ) x 5f x ,
x 3
+
=
+
 tem contradomínio { }0R y ,− 
onde R é o conjunto dos números reais. O valor de 0y é: 
a) 1− 
b) 3 
c) 2 
d) 1 
e) zero 
 
2. (Pucrj 2014) Considere a função real 3 2
1 1
f(x) x x
3 2
= − 
cujo gráfico está exibido abaixo: 
 
 
 
a) Determine as raízes de f(x) 0.= 
b) Determine todos os valores reais de c para que o gráfico 
de 3 2
1 1
h(x) x x c
3 2
= − + intercepte o eixo x em um 
único ponto. 
c) Esboce o gráfico de 3 2
1 1
g(x) x x .
3 2
= − 
 
3. (Pucrj 2014) Considere a função real 
f(x) x 1 x 1.= + + − O gráfico que 
representa a função é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
4. (Pucrj 2014) Considere a função real f(x) | x 1|.= − + O 
gráfico que representa a função é: 
 
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a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
5. (Ufrgs 2013) A interseção dos gráficos das funções f e 
g, definidas por ( )f x x= e ( )g x 1 x ,= − os quais são 
desenhados no mesmo sistema de coordenadas 
cartesianas, determina um polígono. 
 
A área desse polígono é 
a) 0,125. 
b) 0,25. 
c) 0,5. 
d) 1. 
e) 2. 
 
6. (Esc. Naval 2013) A reta no 2� de equação 2y 3x 0− = 
intercepta o gráfico da função 
2x 1
f(x) x
x
−
= nos pontos P e Q. Qual 
a distância entre P e Q? 
a) 2 15 
b) 2 13 
c) 2 7 
d) 7 
e) 
5
2
 
 
7. (Esc. Naval 2013) O gráfico que melhor representa a 
função real f , definida por 
x 1 x
x
se x 1x 1
f(x)
x x se x 1
− +
+ > −+
= 

 ≤ −
 é 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
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e) 
 
8. (Epcar (Afa) 2012) Considere a figura abaixo que 
representa um esboço do gráfico da função real f 
 
 
 
Sabe-se que ( ) ( )g x f x 3u,= − ( ) ( )h x g x u= + e 
( ) ( )j x h x .= 
 
Um esboço do gráfico que melhor representa a função j é 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
9. (Unicamp 2012) Considere a função f(x) 2x x p= + + , 
definida para x real. 
 
 
 
a) A figura acima mostra o gráfico de f(x) para um valor 
específico de p. Determine esse valor. 
b) Supondo, agora, que p = –3, determine os valores de x 
que satisfazem a equação f(x) = 12. 
 
10. (Fgv 2012) O polígono do plano cartesiano 
determinado pela relação 3x 4y 12+ = tem área igual a 
a) 6. 
b) 12. 
c) 16. 
d) 24. 
e) 25. 
 
11. (Ufpe 2012) Considere a função ( )f x x 1 x 1,= + − − 
definida para x real. Analise as afirmações seguintes sobre 
f. 
( ) f é par. 
( ) f é positiva. 
( ) f é injetora. 
( ) A imagem de f é o intervalo fechado [–2,2]. 
( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f y ,+ = + para quaisquer x e y reais. 
 
12. (Insper 2012) A figura a seguir mostra o gráfico da 
função f(x). 
 
 
 
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O número de elementos do conjunto solução da equação 
f(x) 1= , resolvida em � é igual a 
a) 6. 
b) 5. 
c) 4. 
d) 3. 
e) 2. 
 
13. (Fgv 2012)No plano cartesiano, os pontos (x, y) que 
satisfazem a equação + =x y 2 determinam um polígono 
cujo perímetro é: 
a) 2 2 
b) +4 2 2 
c) 4 2 
d) +8 4 2 
e) 8 2 
 
14. (Upe 2011) Dos gráficos abaixo, o que mais se 
assemelha ao gráfico da função f(x) || x 2 | 2 |= + − no 
intervalo -5 > x > 5 é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
15. (Mackenzie 2011) Dadas as funções reais definidas por 
( ) 2 2f x x 4 x e g(x) x 4x= − = − 
considere I, II, III e IV abaixo. 
 
I. Ambas as funções possuem gráficos simétricos em 
relação ao eixo das ordenadas. 
II. O número de soluções reais da equação f(x) = g(x) é 3. 
III. A soma de todas as raízes das funções dadas é 4. 
IV. Não existe x real tal que f(x) < g(x). 
 
O número de afirmações corretas é 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resolução Função Afim 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
 
Admitindo que Q = mt + p, temos: 
 
Em 2010, t = 0 e Q = 49. 
Em 2020, t = 10 e Q = 44 
 
P = Q(0) = 49 e 
44 49 1
m
10 0 2
−
= = −
−
 
 
Logo, 
1
Q t 49.
2
= − + 
 
Resposta da questão 2: 
 De acordo com as informações do problema, temos: 
A
 
B
y 720 – 10x
y 60 12x
=
= +
 
 
O valor 0x indicado no gráfico é o valor de x quando yA = 
yB, ou seja: 
720 10x 60 12x
22x 660
x 30
− = +
− = −
=
 
 
Logo, 0x 30 horas.= 
 
Resposta da questão 3: 
 [C] 
 
Se f : →� � é estritamente decrescente, então a 0.< 
Além disso, f(a) 2b= implica em 2a a b 2b b a⋅ + = ⇔ = 
e f(b) 2a= implica em 
2a
a b b 2a b .
a 1
⋅ + = ⇔ =
+
 Logo, 
 
2 22aa a (a a 2) 0
a 1
a (a 1) (a 2) 0
a 0 ou a 1 ou a 2.
= ⇔ ⋅ + − =
+
⇔ ⋅ − ⋅ + =
⇔ = = = −
 
 
Portanto, sendo f estritamente decrescente, só pode ser 
a 2.= − Em consequência, 
 
2f(3) 2 (3) ( 2) 2.= − ⋅ + − = − 
 
Resposta da questão 4: 
 [D] 
 
O custo total é dado por enquanto que a 
receita é igual a Desse modo, temos 
 
 
 
Por conseguinte, a soma dos algarismos 
de é igual a 
 
Resposta da questão 5: 
 [A] 
 
[I] Correta. Seja q : →� � a função definida por 
q(m) am b,= + com a ∗∈ � e b .∈ � Temos 
 
8 3
a 0,2.
40 15
−
= =
−
 
 
Daí, como o ponto (15, 3) pertence ao gráfico de q, 
vem 
 
3 0,2 15 b b 0.= ⋅ + ⇔ = 
 
[II] Incorreta. De [I], é imediato que as grandezas 
relacionadas são diretamente proporcionais. 
 
[III] Correta. Se m 1kg,= tem-se q 0,2mL.= Logo, a dose 
do soro antirrábico é 
 
0,2 1000
40 UI kg.
5
⋅
= 
 
[IV] Correta. De [III], vem 80 40 3200 UI.⋅ = Assim, um 
indivíduo de 80kg só poderá receber a dose máxima. 
 
[V] Incorreta. De [III], sabemos que se um indivíduo 
necessita de 2.880 UI de soro, então, a massa desse 
indivíduo é de 
2880
72kg.
40
= 
 
Resposta da questão 6: 
 [B] 
 
Sabe-se que o tempo da mãe de João é 30 minutos menor 
que o tempo de João. 
Considerando t o tempo da mãe de João e t 0,5+ o tempo 
de João, temos a seguinte igualdade: 
60t 20(t 0,5) 60t 20t 10 t 0,25h 15min.= + ⇒ = + ⇒ = =
 
 
E a distância percorrida por ambos é 
d 60 0,25h 15km.= ⋅ = 
 
Resposta da questão 7: 
 [D] 
 
Tem-se que 50% do número de habitantes corresponde a 
45x 9800,+
65x.
0,2 65x 65x (45x 9800) 13x 20x 9800
x 1400.
⋅ = − + ⇔ = −
⇔ =
x 1 4 0 0 5.+ + + =
 
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6 60,5 11,4 10 5,7 10 .⋅ ⋅ = ⋅ 
 
Se n é o número de meses necessário para que o número 
de veículos da frota paulista se torne igual a 65,7 10 ,⋅ 
então 
 
6 6 6 0,95,7 10 0,022 10 n 4,8 10 n
0,022
n 41.
⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⇔ =
⇒ ≅
 
 
Portanto, concluímos que 
41
3,4
12
≅ anos é o resultado 
procurado. 
 
Resposta da questão 8: 
 O valor pago por cada convidado é igual a 
1200 800
R$ 50,00.
8
−
= 
 
Resposta da questão 9: 
 [E] 
 
Desde que 2,5% 0,025,= segue-se que o resultado é 
750 0,025x.+ 
 
Resposta da questão 10: 
 [D] 
 
Considerando x o total de quilômetros rodados e y o valor 
da corrida, que poderá ser expresso através da função do 
afim y = ax + b, onde é o preço da corrida e b o valor fixo da 
bandeirada. 
 
De acordo com as informações do problema, temos o 
seguinte sistema linear: 
 
8 a b 28,50
5 a b 19,50
⋅ + =

⋅ + =
 
 
Onde, a = 3 e b = 4,50 
 
Portanto, o valor da bandeirada será de R$4,50. 
 
Resposta da questão 11: 
 [C] 
 
Como o gráfico de f intersecta o eixo das ordenadas em 
(0, 3), segue-se que b 3.= Além disso, o gráfico de f 
intersecta o eixo das abscissas em (2, 0.) Logo, 
 
3
0 a 2 3 a
2
= ⋅ + ⇔ = − 
 
e, portanto, 
3
a b 3 1,5.
2
+ = − + = 
 
Resposta da questão 12: 
 Seja f : →� � a função afim definida 
por f(x) ax b,= + em que f(x) é o 
número de cópias vendidas e x é o número de matérias 
que abordam julgamentos de casos com ampla repercussão 
pública. 
 
Sabendo que o gráfico de f passa pelos pontos (4, 33000) 
e (7, 57000), tem-se que 
57000 33000
a 8000.
7 4
−
= =
−
 
 
Logo, 
33000 8000 4 b b 1000.= ⋅ + ⇔ = 
 
a) O valor inicial da função f, definida acima, é igual a 
1000. 
 
b) O gráfico pedido é 
 
 
 
c) Seja g : →� � a função definida por g(x) 20 f(x),= ⋅ 
em que g(x) é o faturamento por adição e f(x) é o 
número de cópias vendidas, conforme definido em (a). 
 
Portanto, segue-se que 
g(x) 20 (8000x 1000) 160000x 20000.= ⋅ + = + 
 
Resposta da questão 13: 
 [E] 
 
f(x) 4 2x= − 
g(x) 2f(x) 2 2(4 2x) 2 4x 10= + = − + = − + 
 
Construindo os gráficos destas funções e encontrando o 
quadrado ABCD, temos: 
 
 
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( )
1 2A A A
2,5 2 10(10 4) 2
A 6 2,5 8,5
2 2
= +
− ⋅− ⋅
= + = + =
 
 
Resposta da questão 14: 
 [B] 
 
Sabendo que f e g são funções afins, f(1) f(5)< e 
g(1) g(5),> segue-se que f é crescente e g é 
decrescente. Logo, deve existir um único par ordenado de 
A A× que satisfaz f e g simultaneamente. De fato, como 
f(x) x= e g(x) x 6,= − + temos 
 
x x 6 x 3.= − + ⇔ = 
 
Portanto, o par ordenado (3, 3) de A A× satisfaz f e g 
simultaneamente. 
 
Resposta da questão 15: 
 [A] 
 
Sendo hoje um dia do mês de novembro de 2012 (t 0),= 
e sabendo que a variação do percentual com o tempo é 
linear, considere a função p : ,→� � definida por 
p(t) at b,= + com p(t) sendo o percentual de peças 
fabricadas no Brasil daqui a t anos. 
A taxa de variação da função p é dada por 
 
85 60 5
a .
10 0 2
−
= =
−
 
 
Logo, 
5
p(t) t 60.
2
= + 
 
Os valores de t, para os quais o percentual de peças 
brasileiras na fabricação do produto é superior a 95%, são 
tais que 
 
5
t 60 95 t 14.
2
+ > ⇔ > 
 
Portanto, o percentual de peças 
produzidas no Brasil superará 95% a 
partir do ano de 2012 15 2027.+ = 
 
Resolução Função Quadrática 
 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
 
Seja l a medida do lado do triângulo. Logo, tem-se que 
 
2
2
Y P A
3
3
4
3
3 3 ( 2 3) .
4
= −
= −
= − ⋅ −
l
l
l
 
 
Portanto, para 2 3,=l Y atinge o seu maior valor, ou 
seja, 3 3. 
 
Resposta da questão 2: 
 a) Se o gráfico de f intersecta o eixo das ordenadas em 
(0, 1), então b 1.= Além disso, como o gráfico é 
tangente ao eixo das abscissas, vem 
 
20 a 4 1 1 0
a 2.
Δ = ⇔ − ⋅ ⋅ =
⇔ = ±
 
 
Portanto, a 2= ± e b 1.= 
 
b) Se a b 1 b 1 a,+ = ⇔ = − então 2f(x) x ax 1 a.= + + − 
Agora, sem perda de generalidade, tomando a 0= e 
a 1,= obtemos 21f (x) x 1= + e 
2
2f (x) x x,= + 
respectivamente. Ora, como os gráficos de 1f e de 2f 
possuem um ponto em comum, tem-se 
2 2x 1 x x x 1.+ = + ⇒ = Em consequência, o resultado 
pedido é (1, 2). 
 
Resposta da questão 3: 
 [D] 
 
Considere a figura, em que AC 80 m= e AB 60 m.= 
 
 
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Tomando AD y= e AF x,= da semelhança dos triângulos 
ABC e DEC, obtemos 
 
CD DE 80 y x
80 60CA AB
4x
y 80 .
3
−
= ⇔ =
⇔ = −
 
 
Logo, amedida da área do terreno destinado à construção 
da casa é dada por 
 
2
2
2
(ADEF) AF AD
4x
x 80
3
4
(x 60x)
3
4
[(x 30) 900]
3
4
1200 (x 30) .
3
= ⋅
 
= ⋅ − 
 
= − ⋅ −
= − − −
= − −
 
 
Portanto, a área máxima é igual a 21200 m , quando 
x 30 m.= 
 
Resposta da questão 4: 
 [D] 
 
O gráfico de f não é uma parábola para k 2.= De fato, 
para k 2= tem-se f(x) 4x 5,= − cujo gráfico é uma reta. 
 
Se k 1,= então 2 2f(x) x 4x 5 (x 2) 1.= − + − = − − − 
Portanto, f(x) 0< para todo x real. 
 
Se k 2,> então o coeficiente dominante de f é positivo e, 
por conseguinte, o gráfico de f é uma parábola com a 
concavidade voltada para cima. 
 
Se k 3,= então 2f( 5) ( 5) 4 ( 5) 5 0.− = − + ⋅ − − = 
 
Resposta da questão 5: 
 a) Observe o gráfico a seguir: 
 
 
 
Considerando V o vértice da parábola de equação y = 
f(x), V’ o vértice de y’ = –f(x) e V” o vértice de y” = f(–x) 
temos: 
 
V(3, –2) , V’(3, –2) e V” (–3, –2) 
 
Portanto, a distância entre os pontos V e V” será dada 
por: 
 
2 2d ( 3 3) ( 2 2) 52 2 13= − − + − − = = 
 
b) Sendo y = f(x) = 2x
2 
– 12x + 16, temos: 
 
y’ = – f(x) = – (2x
2 
– 12x + 16) = –2x
2 
+ 12x – 16 
 
y” = f(–x) = 2(–x)
2 
–12(–x) + 16 = 2x
2 
+ 12x + 16 
 
Resposta da questão 6: 
 [D] 
 
Seja L(x) o lucro obtido, então: 
 
L(x) = V(x) – C(x) = – 2x
2
 + 28x + 40 
 
O valor de x para que L(x) seja máximo será dado por: 
 
V
b 28
x 7
2 a 2 ( 2)
= − = − =
⋅ ⋅ −
 
 
Resposta da questão 7: 
 [D] 
 
A concavidade da parábola voltada para cima implica em 
 
 
a 0.>
 
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Desde que e tem-se 
 
Note, no gráfico, que 
 
Como para todo e segue-
se que 
 
Do gráfico sabemos que a parábola não intersecta o eixo 
das abscissas. Logo, 
 
 
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
A parábola possui concavidade para baixo, logo m < 0. 
O valor da abscissa do vértice é 
n
2m
− e negativo, como m 
< 0, concluímos que n < 0. 
A parábola intercepta o eixo, em sua parte positiva, no 
ponto (0, p), logo p > 0. 
 
Resposta da questão 9: 
 [D] 
 
O maior valor inteiro para o lado do quadrado, de acordo 
com as condições acima, é 4m. 
Portanto, a área da região não assinalada é: 
2 2A 100 2 4 68m .= − ⋅ = 
 
Resposta da questão 10: 
 [C] 
 
2
2
2
2
2 2
2 2
2
2
2 1
t 20t 198
f(t) 100
t 1
100 (t 20t 198)
50
t 1
2.(t 20 t 198) t 1
2 t 40 t 396 t 1 0
t 40t 395 0
( 40) 4 395 20
( 40) 20 40 2 5
t 20 5
2 1 2
Portanto, t t 20 5 (20 5) 2 5
Δ
 − +
=   + 
⋅ − +
=
+
− ⋅ + = +
⋅ − ⋅ + − − =
− + =
= − − ⋅ =
− − ± ±
= = = ±
⋅
− = + − − =
 
 
Resposta da questão 11: 
 [C] 
 
Reescrevendo a lei de L, obtemos 
 
21 3L(x) x x.
500 5
= − + 
 
Portanto, o resultado pedido é igual a 
 
3
5 150.
1
2
500
− =
 ⋅ − 
 
 
 
Resposta da questão 12: 
 [B] 
 
f(x) assumirá um valor mínimo quando 
2
1
x 0 (valor mínimo).
2
 
− = 
 
 Daí concluímos que o valor 
mínimo de f(x) é f(x) 3 0 4 4.= ⋅ − = − 
 
Resposta da questão 13: 
 [C] 
 
A reta que passa por A e por B(3,0) tem equação 
y ax b,= + logo, 3 .3a a0 b b⇒ = −= + 
Então, y ax 3a,= − como a reta passa pelo ponto (p,q) 
temos que : 
 
2
2
p q p (ap 3a)
p q ap 3ap
9a
4,5 4,5 a 0 (não convém) ou a 2
4a 4.a
⋅ = ⋅ −
⋅ = −
∆
= − ⇒ = − ⇒ = = −
 
 
Portanto, y 2x 6= − + e A(0,6) 
Portanto, 2 2AB (3 0) (0 6) 45 3 5.= − + − = = 
 
Resposta da questão 14: 
 [B] 
 
Desde que p 0,4x 200,= − + temos 
 
2
p x 21000 ( 0,4x 200) x 21000
x 500x 52500 0.
⋅ = ⇔ − + ⋅ =
⇔ − + =
 
 
Portanto, pelas Relações de Girard, segue-se que 
1 2k k 500.+ = 
 
Resposta da questão 15: 
 [E] 
 
Com a raiz é a mais sensível conclui-se que a primeira 
parábola refere-se ao crescimento das raízes. Portanto, a 
v
b
x 0
2a
= − > a 0,> b 0.<
f(0) c 0.= >
f(x) 0> x∈ � 2(a bc) ,+ ∈ �
2f(a bc) 0.+ >
2 2b 4ac 0 b 4ac.− < ⇔ <
 
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concentração ótima de auxina para o desenvolvimento da 
raiz é de 910 g / L.μ− 
Quando ocorreu o maior estímulo. 
Resolução Função Exponencial 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
 
1
2
3
7
1 log3
2 log3 log7
1 3
log 3 3
2 7
β
β
β
= ⋅
−
 
= ⋅ ⇒ = 
 
 
 
Portanto: 
1
cos x cos x 23 13 3 3 cos x
7 2
β
 
= ⇔ ≤ ⇒ ≤ 
 
 
 
 
 
Portanto, a solução da inequação é: 
5
S , .
3 3
π π 
=   
 
 
Resposta da questão 2: 
 [D] 
 
( )
( )
t
0
0
2
0 0
2
6
0
32
0
3
0
0
P(t) P 5
P(2) 2 P
P 5 2 P
5 2
Logo,
P(6) P 5
P(6) P 5
P(6) P 2
P(6) 8 P
λ
λ
λ
λ
λ
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
= ⋅
= ⋅
⋅ = ⋅
=
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅
 
 
Resposta da questão 3: 
 [A] 
 
Tem-se que 0N 0,4 60000 24000.= ⋅ = 
 
O número previsto de vítimas, nos 
acidentes com motos, para 2015 é dado por 
 
3N(3) 24000 (1,2) 41.472.= ⋅ = 
 
Resposta da questão 4: 
 [C] 
 
Considerando os pontos (1, 1500) e (3, 3375) do gráfico 
temos o seguinte sistema: 
1
3
1500 b a ( I )
3375 b a ( II )
 = ⋅

= ⋅
 
 
Fazendo (II) dividido por (I), temos: 
2a 2,25 a 1,5 e b 1000= ⇒ = = 
 
Logo, ( )t 2N(t) 1000 1,5 N(2) 1000 (1,5) 2250.= ⋅ ⇒ = ⋅ = 
 
Resposta da questão 5: 
 [C] 
 
0,8 t
0,8 t
0,8 t
0,8t
0,8t 2
T 160 2 25
65 160 2 25
40 160 2
2 1 4
2 2
0,8 t 2
t 2,5 minutos
− ⋅
− ⋅
− ⋅
−
− −
= ⋅ +
= ⋅ +
= ⋅
=
=
− ⋅ = −
=
 
 
Resposta da questão 6: 
 [A] 
 
Se para quaisquer e 
então Assim, implica em 
 e, portanto, 
 
Resposta da questão 7: 
 ANULADA 
 
Questão anulada no gabarito oficial. 
 
[I] Incorreta. Se 0 a 1< < e k 0> a função N será 
decrescente. 
 
[II] Incorreta. Para 
77
t 6 h 25min h,
12
= = temos 
 
f(x y) f(x) f(y)+ = ⋅ x +∈ � y ,+∈ �
xf(x) a= (a 0).> f(1) 8=
a 8=
4
434f 8 2 16.
3
  = = = 
 
 
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77
0,8
1277N 600 2 21059.
12
⋅ 
= ⋅ ≅ 
 
 
 
[III] Correta. De fato, sendo 0P a população inicial, vem que 
 
0,25 4 0
0
P
P(4) P 2 .
2
− ⋅= ⋅ = 
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
Fazendo f(x) = 0, temos: 
x
x
2x 1
4 2 0
4 2
2 2
2x 1
1
x
2
−
−
−
− =
=
=
− =
= −
 
 
Portanto, a função f intercepta o eixo x no ponto de 
abscissa 
1
x .
2
= − 
 
Resposta da questão 9: 
 [C] 
 
A função tf(t) a= é definida para valores positivos de a, 
sendo a diferente de 1. Temos dois casos a considerar: 
(primeiro caso) A função é decrescente para 0 < a < 1 . 
(segundo caso) A função é crescente para a > 1. 
 
Portanto, a alternativa correta é a [C]. 
 
Resposta da questão 10: 
 [E] 
 
Seja M : →� � a função cuja lei é t0M(t) M (0,6) ,= ⋅ em 
que M(t) é a memória que resta no computador t minutos 
após o início da infecção. 
 
Após um dia, ou seja, 1440 minutos, da ativação do vírus, 
a memória íntegra será igual a 
 
1440
0M(1440) M 0,6 0.= ⋅ ≅ 
 
Portanto, após um dia, aproximadamente 100% da 
memória do computador terá sido destruída. 
 
Resposta da questão 11: 
 [E] 
 
O número de bactérias N(t), em função do tempo t, em 
horas, pode ser modelado por uma função do tipo 
t
0N(t) N 2 ,
−= ⋅ com 0N sendo a 
população inicial. A função N é 
exponencial. 
 
Resposta da questão 12: 
 [D] 
 
Do gráfico, temos 
 
a 0(0,10) 10 k 2 k 10⋅⇔ = ⋅ ⇔ = 
 
e 
 
a 2
2a
(2, 20) 20 10 2
2 2
1
a .
2
⋅⇔ = ⋅
⇔ =
⇔ =
 
 
Logo, 
t
2N(t) 10 2= ⋅ e, portanto, se o modelo estiver 
correto, o aumento na quantidade de micro-organismos 
entre t 4= e t 8= horas deve ter sido de 
 
N(8) N(4) 160 40 120.000.− = − = 
 
Resposta da questão 13: 
 [D] 
 
Para t 3,3 h= sabe-se que q 5 g.= Logo, 
 
k 3,3 3,3k 15 10 2 2 2
3,3k 1
10
k .
33
⋅ −= ⋅ ⇔ =
⇔ = −
⇔ = −
 
 
Resposta da questão 14: 
 [B] 
 
Seja N a função definida por 3tN(t) 100 2 ,= ⋅ em que N(t) 
é o número de microrganismos t horas após o início do 
experimento. 
Portanto, o tempo necessário para que a população de 
100 microrganismos passe a ser de 3.200 indivíduos é tal 
que 3t 3t 5
5
3200 100 2 2 2 th,
3
= ⋅ ⇔ = ⇔ = ou seja, 1h 
e 40min. 
 
Resposta da questão 15: 
 a) Sabendo que a meia-vida da droga é de 1h 60min,= 
temos que: 
 
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k 60 60k 1300 1q(60) 150 300 2 2 2 k .
2 60
− ⋅ − −= ⇔ = ⋅ ⇔ = ⇔ =
 
 
 Desse modo, a quantidade da droga presente no 
organismo desse animal imediatamente antes de se 
aplicar a segunda dose é: 
 
1 1
30
60 2q(30) 300 2 300 2 150 2 mg.
− ⋅ −
= ⋅ = ⋅ = 
 
b) De acordo com o enunciado, o animal fica sedado se 
10 20mg 200mg⋅ = da droga estiverem presentes em 
seu organismo. A fim de manter o animal sedado por 
mais 30 minutos, temos que a quantidade de droga 
presente no organismo desse animal, adicionada à 
quantidade da segunda dose, deve ser tal que 
 
1
30
60
0 0q(30) 200mg q 2 200 q 200 2 mg.
− ⋅
≥ ⇔ ⋅ ≥ ⇔ ≥
 
 
 Portanto, sabendo que após 30 minutos da aplicação da 
primeira dose havia 150 2 mg da droga no organismo 
do animal (item (a)), segue que a quantidade de droga 
na segunda dose deve ser de: 
 200 2 150 2 50 2 mg.− = 
Resolução Função Logarítmica 
Resposta da questão 1: 
 a) O valor de t para o qual se tem h(t) 0,5= é 
 
30,5 0,5 log (t 1) t 0.= + + ⇔ = 
 
Para h(t) 1,5,= obtemos 
 
31,5 0,5 log (t 1) t 1 3 t 2.= + + ⇔ + = ⇔ = 
 
Portanto, serão necessários 2 anos para que a altura 
aumente de 0,5 m para 1,5 m. 
 
b) A lei da função g pode ser escrita sob a forma 
 
3
3
3 3
g(t) h(3t 2)
0,5 log (3t 2 1)
0,5 log 3 (t 1)
0,5 log 3 log (t 1)
1 h(t).
= +
= + + +
= + ⋅ +
= + + +
= +
 
 
Por conseguinte, 
 
g(t) h(t) 1 h(t) h(t) 1,− = + − = 
 
para todo t 0.≥ 
 
Resposta da questão 2: 
 [A] 
 
 
 
O gráfico da função y = log(x) é o que mais se aproxima da 
curva considerada. 
 
Resposta da questão 3: 
 [D] 
 
A raiz da função y log(x 1)= + é tal que 
 
 0log(x 1) 0 x 1 10 x 0.+ = ⇔ + = ⇔ = 
 
Daí, o gráfico intersecta o eixo das abscissas no ponto 
(0, 0). 
 
Portanto, a alternativa correta é a [D], cujo gráfico passa 
pela origem. 
 
Resposta da questão 4: 
 Pelas condições de existência dos logaritmos, vem 
 
>
− >
 π
⇔ − < π  ≠ − >   
 
π
− + ≠ ∆ <
π π
+ π < < + π
⇔
π
< <
π π
⇔ < <
2
1
sen2x
24sen xcos x 1 0
x x 0
1 x x 0 4
4
x x 1 0 ( 0)
4
5
k x k
12 12
0 x
4
x .
12 4
 
 
Portanto, 
 π π
=  
 
D , .
12 4
 
 
Resposta da questão 5: 
 [A] 
 
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Como 2x x 1 0− + > para todo x real, segue que os valores 
de x para os quais f está definida são tais que 
 
2 2
1 3 1 3 1 3
2
log (x x 1) 0 log (x x 1) log 1
x x 1 1
x (x 1) 0
0 x 1.
− + > ⇔ − + >
⇔ − + <
⇔ ⋅ − <
⇔ < <
 
 
Resposta da questão 6: 
 [A] 
 
De acordo com a definição de f, obtemos 
 
f(1) f(1 1) f(1) f(1) f(1) 0.= ⋅ = + ⇔ = 
 
Portanto, 
 
1 1
f(2) f f 2 f(1) 0.
2 2
   + = ⋅ = =   
   
 
 
Resposta da questão 7: 
 [B] 
 
I. Falsa. Pondo f(x) 0,= obtemos 
2 2log(x x) 0 x x 1 0
1 5
x 1.
2
− = ⇔ − − =
+
⇒ = >
 
 
II. Verdadeira. Como 22log2 log3 log(2 3) log12,+ = ⋅ = 
vem 
2 2x x 12 x x 12 0
x 4.
− = ⇔ − − =
⇒ =
 
 
III. Verdadeira. Temos que 
3 2
2 3
2 3
2log3 3log2
log 10 log 10
log3 log2
log72.
+ = +
= +
=
 
Portanto, 
2 2x x 72 x x 72 0
x 9.
− = ⇔ − − =
⇒ =
 
 
Resposta da questão 8: 
 [A] 
 
A função f está definida para os valores reais de x, tais 
que 
 
2 2x 2x 15 0 (x 1) 16
| x 1| 4
x 3 ou x 5.
− − > ⇔ − >
⇔ − >
⇔ < − >
 
Portanto, como 4− é o maior número 
inteiro negativo e 6 é o menor número 
inteiro positivo que pertencem ao 
domínio de f, segue que o produto 
pedido é igual a 4 6 24.− ⋅ = − 
 
Resposta da questão 9: 
 [D] 
 
Seja a função y logx,= definida de ∗+� em ,� cujo gráfico 
é 
 
 
 
Fazendo y RC= e 
0
R
x ,
R
= obtemos 
0
R
RC log .
R
 
=  
 
 
Assim, 
0
0 0
0
R
R R RC log log1 0 (R , 0).
R
 
= ⇒ = = = ⇒ 
 
 
 
Portanto, o gráfico que melhor representa a Renda 
Comparativa de um habitante desse país em função de sua 
renda é o da alternativa (D). 
 
Resposta da questão 10: 
 [A] 
 
Do enunciado, temos 
A
2f(A) g(A) 10 2 log A 10+ < ⇔ + < 
 
e 
 
A
2 2g(f(A) g(A)) 3 log (2 log A) 3.+ > ⇔ + > 
 
Como A é inteiro, segue que 
2
2 2 2
4
2
A 2 log (2 log 2) log 5 3
A 3.
A 4 2 log 4 18 10
= ⇒ + = <
⇒ =
= ⇒ + = >
 
 
Assim, 
2 2g(g(A)) g(g(3)) log (log 3)= = 
e, portanto, 
2 2 2 2 2 2log (log 2) log (log 3) log (log 4) 0 g(g(A)) 1.< < ⇔ < < 
 
Resposta da questão 11: 
 [C] 
 
Resposta da questão 12: 
 
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 [A] 
2
37
3
6
37
6
37
33
2
1
333log
2
1 2
1
2
1
=⋅=
=⇒−=
=⇒=⇔=
ab
aa
bbb
 
 
 
Resposta da questão 13: 
 a) O domínio de f é tal que 1 x 0.≠ > 
x
x x
1
f(x) log x x log x x.= = ⋅ =
123
 
Portanto, o gráfico da função f, sujeito à restrição 
1 x 0,≠ > é 
 
 
 
b) Do item (a) sabemos que f(k) k.= Logo, 
 
f(k) 4k 2 4k 2 4k 216 40 2 2 10 2 10 log2 log10
(4k 2) log2 1
10
4k 2
3
4
k .
3
− −= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇔ =
⇒ − ⋅ =
⇒ − =
⇒ =
 
 
Resposta da questão 14: 
 [C] 
 
Resposta da questão 15: 
 7,29 × 10
15
 km 
 
 
 
 
Resolução Função Composta 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
Do gráfico, sabemos que g(1) 0= e 
f(1) 1.= − Logo, como f(0) 1= e 
g( 1) 0,− = obtemos 
 
f(g(1)) g(f(1)) f(0) g( 1)
1 0
1.
− = − −
= −
=
 
 
Resposta da questão 2: 
 a) O zero e o valor inicial de f são, respectivamente, 
1− e 1. Logo, o gráfico de f é 
 
 
 
Considere a função →� �h : , tal que h(x) sen(x).= 
Logo, g(x) 2 h(x)= ⋅ e, portanto, o gráfico da função g 
corresponde ao gráfico de h esticado verticalmente por 
um fator igual a 2. 
 
 
 
b) O gráfico da função →o � �f g : , tal que 
(f g)(x) 2sen(x) 1,= +o é obtido do gráfico de g por 
meio de uma translação vertical de 1 unidade no sentido 
positivo do eixo das ordenadas. 
 
 
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O gráfico da função →o � �g f : , tal que 
= +o(g f )(x) 2sen(x 1), é obtido do gráfico de g por 
meio de uma translação horizontal de 1 unidade no 
sentido negativo do eixo das abscissas. 
 
 
 
Resposta da questão 3: 
 [C] 
 
Desde que 
 
x 1 x 1
f(x 1) f(x 1) ,
x 1 1 x
+ +
+ = ⇔ + =
+ −
 
 
temos 
 
g(x) f(f(x 1))
x 1
x
x 1
1
x
x 1
x
x 1 x
x
x 1.
= +
+
=
+
−
+
=
+ −
= +
 
 
Resposta da questão 4: 
 [D] 
 
Desde que f(g(0)) 0,= é fácil ver que c 5.= Além disso, 
sabemos que g(1) g(2) 5.= = − Logo, 
 
a b 5 5 a b 10
4a 2b 5 5 4a 2b 10
a 5
.
b 15
+ + = − + = −
⇔
+ + = − + = −
=
⇔
= −
 
 
Por conseguinte, 
 
3| a b c | | 5 ( 15) 5 | 3 5 .⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ 
 
Resposta da questão 5: 
 [B] 
 
2 2
2 2
1 1
fog(x)
4 2x 1 8x 1
Logo,
1 1 1
8x 1 0 x x e x
8 2 2 2 2
= =
⋅ − −
− ≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠ ≠ −
 
 
Portanto, o domínio será dado por: 
1 1
D x | x e x .
2 2 2 2
 
= ∈ ≠ ≠ − 
 
� 
 
Resposta da questão 6: 
 [A] 
 
Temos que 
 
 
2
2
2
f(g(x)) (x 1) 4(x 1)
x 2x 1 4x 4
x 2x 3
(x 3)(x 1).
= − + −
= − + + −
= + −
= + −
 
 
Assim, a função f go está definida para os valores de x 
tais que 
 
 (x 3)(x 1) 0 x 3 ou x 1,+ − ≥ ⇔ ≤ − ≥ 
 
ou seja, 
 
 D {x | x 3 ou x 1}.= ∈ ≤ − ≥� 
 
Resposta da questão 7: 
 [D] 
 
Como 2f( 1) ( 1) 2 ( 1) 5 4,− = − + ⋅ − + = segue que 
 
2f(f( 1)) f(4) 4 2 4 5 29.− = = + ⋅ + = 
 
Resposta da questão 8: 
 [B] 
 
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Lembrando que uma função só está bem definida quando 
conhecemos o seu domínio, contradomínio e a lei de 
associação, vamos supor que f : →� � e g : .→� � 
Além disso, por exemplo, a função g fo está definida 
apenas quando o contradomínio de f é igual ao domínio 
de g. 
 
Desse modo, o valor de x para o qual se tem 
f(g(x)) g(f(x))= é 
 
2 2 2 2x 2x 4 3 (x 3) 2(x 3) 4 x 2x 3 x 6x 9 2x 6
6x 15 3
x 3.
− + − = − − − + ⇔ − − = − + − +
⇔ = +
⇔ =
 
 
Resposta da questão 9: 
 Sabendo que o vértice do gráfico de fé o ponto 
=V (1,1), segue que 
 
 2 2f(x) 1 (x 1) 1 x 2x 2.= ⋅ − + = − + 
 
Dessa forma, 
 
 
2
2
(g f )(x) 0 k (x 2x 2) 4 0
kx 2kx (2k 4) 0.
= ⇔ ⋅ − + + =
⇔ − + + =
o
 
 
Para que a equação =o(g f )(x) 0 possua soluções reais, 
devemos ter k 0≠ e 0,Δ ≥ ou seja, 
 
 
 
2 2( 2k) 4 k (2k 4) 0 k 4k 0
 e e
k 0 k 0
4 k 0
 e
k 0
4 k 0.
 − − ⋅ ⋅ + ≥ + ≤
 
 ⇔
 ≠ ≠ 
− ≤ ≤

⇔ 
 ≠
⇔ − ≤ <
 
 
Resposta da questão 10: 
 01 + 08 = 09. 
 
(01) Verdadeiro. Para qualquer 
x Q Im(f) I (I ConjuntodosIrracionais)∈ → ∈ → 
 
(02) Falso. 
12
2
x 3 2 2
g(x) 0 x 6x 1 0
x 3 2 2
 = +
= ⇒ − + = ⇒ 
= −
 
 
(04) Falso. 
A função f(x) 5x 2= − é crescente para todo x ∈ � 
A função 2g(x) x 6x 1= − + é 
crescente para todo [ )∈ ∞x 3, 
 
(08) Verdadeiro. 
= = − + − = − + −o 2 2(f g)(x) f(g(x)) 5(x 6x 1) 2) 5x 30x 5 2
 é uma parábola. 
 
(16) Falso. Considerando as funções f e g, ambas com 
domínio e contradomínio real, temos: 
I. 
−
= − = ℜ = ℜ
+
= = ℜ = ℜ1
f(x) 5x 2 com D e CD
x 2
f (x) com D e CD
5
 
II. 
 
[ ) [ )−
= − + = ℜ = ℜ
= + + = − +∞ = +∞
2
1
g(x) x 6x 1 com D e CD
g (x) 3 x 8 com D 8, e CD 0,
 
Portanto, a inversa de g possui restrição quanto ao 
domínio. Logo, não admite inversa. 
 
Resposta da questão 11: 
 [C] 
 
 
 
h(x) = f[g(x)] 
 
h(x) = 
x
40. 1
6
+ 
h(x) = 
20
x 1
3
⋅ + 
 
Resposta da questão 12: 
 [A] 
 
I. Falsa, pois C(x) = 125 + 1,5x. 
 
II. Verdadeira. Como o lucro da produção é de 25% temos 
V(C) = 1,25 ⋅ C. 
 
III. Verdadeira, pois C(400) = 125 + 1,5 ⋅ 400 = R$ 725,00. 
 
IV. Verdadeira, pois V(C(x)) = 1,25 ⋅ (125 + 1,5x). 
 
V. Verdadeira, pois V(C(100)) = 1,25 ⋅ (125 + 1,5 ⋅ 100) = 1,25
⋅ 275 = 343,75. 
 
 
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Apenas as afirmações II, III, IV e V são VERDADEIRAS. 
 
Resposta da questão 13: 
 [B] 
 
( ) ( )2 22 2
4 2 4 2
2
f(g(x)) g(f(x)) 2
x 1 1 x 1 1 2
x 2x 2 x 2x 2
x 1 0
− = −
− + − + + = −
− + − − = −
− =
 
 
Calculando o produto P das raízes temos: P 1: 1 1.= − = − 
 
Resposta da questão 14: 
 [D] 
 
( )( )
( )
( )2
2
f f x 9x 8
a ax b b 9x 8
 a x b a 1 9x 8 
a 9, logo a 3 ou a 3.
= +
+ + = +
+ + = +
= = = −
 
 
Considerando a 3,= temos: 
 
( )b 3 1 8
 b 2
+ =
=
 
Logo ( )f x 3x 2= + e ( ) ( )1
x 2
f x
3
− −= 
 
OBS: Poderíamos também ter considerado a 3.= − 
 
Resposta da questão 15: 
 [A] 
 
A função composta g(f(x)) será dada por: 
 
( )
( )
2
2
2
g f(x) x 2x 1
g f(x) x 2x 1 para x 1
 = + + 
 
= + + ≥ −
 
 
Portanto, o seu gráfico é o da alternativa [A] (apenas o 
ramo direito da parábola). 
 
Resolução Função Modular 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
Determinando a função inversa de f, temos: 
 
( ) ( )
{ }
1
1 1 1 1 1
1
1
f (x) 5
x x f (x) 3 f (x) 5 x f (x) 3x f (x) 5 f (x) x 1 5 3x
f (x) 3
5 3x
f (x) com domínio x R/x 1
x 1
−
− − − − −
−
−
+
= ⇒ ⋅ + = + ⇒ ⋅ + = + ⇒ ⋅ − = − ⇒
+
−
= ∈ ≠
−
 
 
O contradomínio de uma função inversível é o domínio de 
sua inversa, portanto, 0y 1.= 
 
Resposta da questão 2: 
 a) As raízes de f são tais que 
 
3 2 21 1 1 3x x 0 x x 0
3 2 3 2
3
x 0 ou x .
2
 − = ⇔ − = 
 
⇔ = =
 
 
b) Note que h(x) f(x) c.= + Além disso, do gráfico de f, 
sabemos que (0, 0) é um ponto de máximo local e 
1
1,
6
 
− 
 
 é um ponto de mínimo local. Portanto, para 
que o gráfico de h intersecte o eixo x em um único 
ponto, deve-se ter c 0< ou 
1
c .
6
> 
 
c) Como g(x) | f(x) |,= basta refletirmos a parte negativa 
do gráfico de f em relação ao eixo das abscissas. 
 
 
 
Resposta da questão 3: 
 [A] 
 
Lembrando que 
n, se n 0
| n | ,
n, se n 0
≥
= 
− <
 vem 
 
x 1, se x 1
| x 1|
x 1, se x 1
+ ≥ −
+ = 
− − < −
 
e 
x 1, se x 1
| x 1| .
x 1, se x 1
− ≥
− = 
− + <
 
 
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Logo, tem-se 
 
2x, se x 1
f(x) 2, se 1 x 1
2x, se x 1
− < −

= − ≤ <
 ≥
 
 
e, portanto, o gráfico de f é o da alternativa [A]. 
 
Resposta da questão 4: 
 [A] 
 
Tem-se que 
x 1, se x 1
f(x) .
x 1, se x 1
− + ≤
= 
− >
 Portanto, o gráfico da 
alternativa [A] é o que representa f. 
 
Resposta da questão 5: 
 [C] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
As abscissas dos pontos de interseção dos gráficos de f e 
g são tais que 
 
f(x) g(x) | x | 1 | x |
1
| x |
2
1
x .
2
= ⇔ = −
⇔ =
⇔ = ±
 
 
Logo, como o gráfico da função g corresponde ao gráfico 
da função h(x) | x |,= − deslocado de uma unidade no 
sentido positivo do eixo das ordenadas, obtemos a figura 
acima. 
 
É fácil ver que o polígono determinado pelos gráficos de f 
e g é um quadrado cuja diagonal mede 1. Portanto, a área 
desse quadrado é igual a 
21
0,5.
2
= 
 
 
 
Resposta da questão 6: 
 [B]
2
2
2
2
2 2
3x
2y 3x y
2
x 1
y x
x
3x x 1
x
2 x
3x x 1
se x 0 x 2 P(2,3)
2 1
3x x 1
se x 0 x 2 Q( 2, 3)
2 1
logo, PQ ( 2 2) ( 3 3) 52 2 13

= ⇒ =

− = ⋅
−
= ⋅
−
> ⇒ = ⇒ = ⇒
−
< ⇒ = − ⇒ = − ⇒ − −
= − − + − − = =
 
 
Resposta da questão 7: 
 [E] 
 
Analisando a função em cada intervalo, temos: 
 
 
 
Portanto, o gráfico da função é: 
 
 
 
Resposta da questão 8: 
 [A] 
 
f(x) sofre uma translação vertical 
 
 
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g(x) sofre uma translação horizontal 
 
 
 
A parte negativa de h(x) é multiplicada por –1. 
 
 
 
 
Resposta da questão 9: 
 a) Tomando como referência o ponto (1,2) destacado no 
gráfico, temos: 
2 2.1 1 p 1 p 0 p 1.= + + ⇔ + = ⇔ = − 
b) 
2x x 3 12 x 3 12 2x x 3 12 2x ou x 3 2x 12Ûx 5 ou x 9.+ − = ⇔ − = − ⇔ − = − − = − = =
 
x = 9 não convém, pois 12 – 2.9 < 0. 
Portanto, o valor de x que satisfaz a equação é 5. 
 
Resposta da questão 10: 
 [D] 
 
Sabendo que 
, se 0
| | ,
, se 0
φ φ
φ
φ φ
 ≥
= 
− <
 para todo φ real, 
segue que a relação | 3x | | 4y | 12+ = determina o losango 
de diagonais 6 e 8, conforme a figura abaixo. 
 
 
 
Portanto, a área pedida é dada por 
6 8
24 u.a.
2
⋅
= 
 
Resposta da questão 11: 
 F – F – F – V – F. 
 
Como 
x 1, se x 1
| x 1|
x 1, se x 1
+ ≥ −
+ = 
− − < −
 e 
x 1, se x 1
| x 1| ,
x 1, se x 1
− ≥
− = 
− + <
 segue que 
 
 
 
2, se x 1
f(x) | x 1| | x 1| 2x, se 1 x 1.
2, se x 1
− < −

= + − − = − ≤ <
 ≥
 
 
Assim, o gráfico de f é: 
 
 
 
Portanto, como o gráfico de f é simétrico em relação à 
origem do sistema de eixos cartesianos, segue que f é 
ímpar. Além disso, f não é positiva, pois f(x) 0< para 
x 0.< Do gráfico, concluímos que f não é injetora, pois 
existem infinitos pontos de interseção entre as retas 
y 2= − e y 2= com o gráfico de f. 
Ainda do gráfico, temos que a imagem de f é o intervalo 
fechado [ 2, 2].− 
Se 
1
x
2
= e y 2,= vem 
1 1
f 2 1,
2 2
  = ⋅ = 
 
 f(2) 2= e 
1
f f(2) 1 2 3.
2
  + = + = 
 
 Por outro lado, 
1 5 1
f 2 f 2 3 f f(2).
2 2 2
     + = = ≠ = +     
     
 
 
 
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Resposta da questão 12: 
 [B] 
 
 
 
De acordo com o gráfico, temos 5 pontos de Intersecção 
entre as funções f(x) e y = 1. 
Portanto, a equação dada possui 5 raízes. 
 
Resposta da questão 13: 
 [E] 
 
 
 
Se x ≥ 0 e y ≥ 0 x y 2.⇒ + = 
 
Se x ≥ 0 e y < 0 x y 2.⇒ − = 
 
Se x < 0 e y < 0 x y 2.⇒ − − = 
 
Se x < 0 e y ≥ 0 x y 2.⇒ − + = 
 
Calculando o lado d do quadrado, temos: d
2
 = 2
2
 + 2
2
 
d 2 2.⇒ = ⋅ 
 
Logo, o perímetro P será dado por P = 4 ⋅ d = 8 2. 
 
Resposta da questão 14: 
 [C] 
 
 
 
Observando os gráficos desenhados ao lado e considerando 
o intervalo - 5 < x < 5 a resposta C está adequada. 
 
Resposta da questão 15: 
 [B] 
 
I. (falsa) O gráfico de g(x) não é simétrico em relação ao 
eixo das ordenadas. 
II. (falsa) A equação apresenta infinitas raízes para x > 4 
III. (verdadeira) 4 0 4 0 4 4− + + + + = 
IV. (falsa), pois f(2) < g(2)