ESTUDOS DISCIPLINARES XI

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· Pergunta 1
0,5 em 0,5 pontos
	
	
	
	No século XII surgiu, na Índia, um matemático conhecido, historicamente, como Bhaskara II. Este matemático fez grandes avanços para a resolução da equação quadrática. Bhaskara II dedicou-se a estudar Astronomia e Matemática, escreveu obras sobre Aritmética e resolveu equações do tipo, utilizando o método de “completar quadrados”. Atribui-se a ele o seguinte problema: “A quarta parte de um bando de macacos, elevada ao quadrado, brinca em um bosque. Além disso, 3 macacos podem ser vistos sobre uma colina. Qual o total de macacos?“.
 
Com base nessas informações, assinale a opção que apresenta um valor possível para o total de macacos no problema de Bhaskara II:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	a. 
12 macacos.
	Respostas:
	a. 
12 macacos.
	
	b. 
16 macacos.
	
	c. 
18 macacos.
	
	d. 
20 macacos.
	
	e. 
36 macacos.
	Feedback da resposta:
	Resposta: A
Comentário: escrevendo o problema sob a forma de uma equação, temos que:
Sendo assim, a resposta é 4 ou 12 macacos.
	
	
	
· Pergunta 2
0,5 em 0,5 pontos
	
	
	
	Há dois números que satisfazem a seguinte condição: “O triplo do quadrado de um número é igual a 15 vezes esse número”. Quais números são esses?
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	d. 
0 e 5.
	Respostas:
	a. 
0 e 1.
	
	b. 
1 e 2.
	
	c. 
1 e 5.
	
	d. 
0 e 5.
	
	e. 
2 e 3.
	Feedback da resposta:
	Resposta: D
Comentário:  
Resolvendo a equação por fatoração, temos:
	
	
	
· Pergunta 3
0,5 em 0,5 pontos
	
	
	
	Assim como os sistemas de numeração, os números classificados como negativos, irracionais, racionais e complexos tiveram uma ordem de surgimento na linha do tempo. Esse conhecimento histórico é importante, pois, a partir dele, é possível compreender os obstáculos didáticos apresentados no processo de ensino-aprendizagem dos números. A respeito do tema, assinale a alternativa que contém a ordem cronológica da origem dos números, na escrita atual, do conjunto sendo a constante de Euler e o número imaginário:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	c. 
	Respostas:
	a. 
	
	b. 
	
	c. 
	
	d. 
	
	e. 
	Feedback da resposta:
	Resposta: C
Comentário:
temos na tabela a seguir, uma cronologia do surgimento dos números do conjunto:
 
	
	
	
· Pergunta 4
0,5 em 0,5 pontos
	
	
	
	Srinivasa Ramanujan (1887-1920), o gênio hindu do século XX, tinha a mesma incrível habilidade manipulativa em Aritmética e Álgebra que se encontra em Bhaskara. O matemático inglês G. H. Hardy, uma vez, visitou Ramanujan num hospital em Putney e mencionou, ao amigo, que viera num táxi com o número desinteressante 1729, e Ramanujan, imediatamente, observa que este número, ao contrário, é interessante, pois é o menor inteiro que pode ser representado de dois modos diferentes como a soma de dois cubos.
Fonte: BOYER, C. B. História da Matemática. Ed. Edgard Blucher, p. 153.
Considere as seguintes somas:
I. 12³ + 1³
II. 11³ + 2³
III. 9³ + 10³
Podemos afirmar que representa o “número interessante 1729”, de acordo com a observação de Ramanujan, apenas o que se descreve em:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	d. 
I e III.
	Respostas:
	a. 
I.
	
	b. 
II.
	
	c. 
I e II.
	
	d. 
I e III.
	
	e. 
II e III.
	Feedback da resposta:
	Resposta: D
Comentário:
I. 12³ + 1³ = 1728 + 1 = 1729 (correta);
II. 11³ + 2³ = 1331 + 8 = 1339 (falsa);
III. 9³ + 10³ = 729 + 1000 = 1729 (correta).
	
	
	
· Pergunta 5
0,5 em 0,5 pontos
	
	
	
	As imagens de uma tela plana de televisão digital são representadas por pontos, chamados pixels. Os movimentos das imagens correspondem às mudanças desses pontos representados em um sistema cartesiano ortogonal, que, em computação gráfica, são realizados por operações de matrizes. Uma rotação de  graus de um ponto no sentido anti-horário e em torno da origem, é feita pela multiplicação da matriz dada por pela matriz coluna sendo x, a primeira linha e y, a segunda linha, gerando uma matriz coluna que dá a nova posição do ponto após a rotação. Nessa situação, qual a nova posição do ponto após uma rotação de 150º no sentido anti-horário e em torno da origem do sistema cartesiano ortogonal?
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	a. 
	Respostas:
	a. 
	
	b. 
	
	c. 
	
	d. 
	
	e. 
	Feedback da resposta:
	Resposta: A
Comentário:
segundo o enunciado, a rotação do ponto (3, –1) de 150º, no sentido anti-horário e em torno da origem, é feita pelo produto de matrizes:
   
A partir do ciclo trigonométrico, temos que:
Assim, temos:
Logo, as novas coordenadas após a rotação são: 
	
	
	
· Pergunta 6
0,5 em 0,5 pontos
	
	
	
	Em um monitor de computador, as imagens são representadas por pontos chamados pixels. Os movimentos das imagens correspondem às mudanças desses pontos em um sistema cartesiano ortogonal, realizados por operações de matrizes. Uma rotação de β graus de um ponto (x, y) do plano cartesiano e em torno da origem desse sistema, é dada pela multiplicação de uma matriz dada por  pela matriz dada por  gerando uma matriz coluna que dá a nova posição do ponto (x,y) após a rotação. Nessa situação, qual a nova posição do ponto P (2, 4), após uma rotação de 60° em torno da origem do sistema cartesiano ortogonal?
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	b. 
	Respostas:
	a. 
	
	b. 
	
	c. 
	
	d. 
	
	e. 
	Feedback da resposta:
	Resposta: B
Comentário:
Segundo o enunciado, temos:
 
   
A partir do ciclo trigonométrico temos que:
Assim, temos:
	
	
	
· Pergunta 7
0,5 em 0,5 pontos
	
	
	
	O gerente de um posto de combustíveis observou que, na primeira semana do mês, em que definiu o preço do litro de gasolina a R$ 3,70, foram vendidos 15000 litros diários. Com isso, o posto fez uma promoção e percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 200 litros de gasolina, a mais, por dia. Representado por , a quantidade de centavos correspondente ao desconto dado no preço de cada litro de gasolina, e por , o valor, em reais, faturado por dia com a venda de gasolina, a expressão que descreve essa situação é:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	d. 
	Respostas:
	a. 
	
	b. 
	
	c. 
	
	d. 
	
	e. 
	Feedback da resposta:
	Resposta: D
Comentário: o enunciado diz que, para cada centavo de desconto concedido, a venda aumenta em 200 litros de combustível por dia.
 
Para um centavo de desconto, temos:
Para dois centavos de desconto, temos: 
Para três centavos de desconto, temos: 
Para  centavos de desconto, temos: 
 
O faturamento é calculado, multiplicando-se o preço do combustível pelo volume de combustível vendido. Logo:
 
 
Fazendo a distributiva, chegamos a:
 
	
	
	
· Pergunta 8
0,5 em 0,5 pontos
	
	
	
	Considere uma urna com 5 bolas azuis, 3 verdes e 6 pretas, da qual serão retiradas bolas sem reposição. Com base nessa situação, avalie as afirmativas a seguir:
 
I. Caso sejam retiradas 4 bolas, uma delas será verde;
II. O número mínimo de bolas que devem ser retiradas, para se garantir a retirada de uma bola preta, é igual a 9;
III. O número mínimo de bolas que devem ser retiradas, para se garantir a retirada de uma bola verde e uma bola azul, é igual a 10.
 
É correto o que se afirma em:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	a. 
II, apenas.
	Respostas:
	a. 
II, apenas.
	
	b. 
III, apenas.
	
	c. 
I e II, apenas.
	
	d. 
I e III, apenas.
	
	e. 
I, II e III
	Feedback da resposta:
	Resposta: A
Comentário:
I – Afirmativa incorreta.
JUSTIFICATIVA. Temos um total de 14 bolas, sendo 5 azuis, 3 verdes e 6 pretas. Se retirarmos 4 bolas, aleatoriamente, podemos obter, por exemplo, 4 bolas azuis ou 4 bolas pretas, dentre outras combinações. Não há, portanto, a obrigatoriedade de uma dessas 4 bolas ser verde.
II – Afirmativa correta.
JUSTIFICATIVA. Se desejamos 100% de certeza de tirar uma bola preta, devemos considerar a pior hipótese: tiramos, primeiro, as bolas verdes e azuis, para apenas, então, tirarmos as bolas pretas. Nesse caso, temos 5 bolas azuis e 3 verdes, totalizando 8 bolas “tiradas”, para, então, tirarmos a primeira bola preta. Logo, precisamos tirar 9 bolas para garantir que tiraremosuma bola preta.
III – Afirmativa incorreta.
JUSTIFICATIVA. Se desejamos 100% de certeza de obter uma bola verde, devemos considerar, novamente, a pior hipótese: tiramos as primeiras bolas azuis e pretas, sem nenhuma verde, e, apenas então, tiramos as bolas verdes. Nesse caso, temos 5 bolas azuis e 6 pretas, totalizando 11 bolas “tiradas”, e apenas a 12ª bola seria verde. Precisamos, então, tirar 12 bolas para garantir a retirada de uma bola verde.
 
É interessante adicionar que, se tirarmos 6 bolas pretas e 3 bolas verdes, teremos tirado o total de 9 bolas, sem nenhuma azul. Assim, para garantirmos a retirada de uma bola azul, necessitamos a retirada de 10 bolas. Para garantirmos a retirada de uma bola verde, necessitamos a retirada de 12 bolas. Como 12>10, garantimos, com 12 retiradas, a retirada de uma bola azul e de uma bola verde.
	
	
	
· Pergunta 9
0,5 em 0,5 pontos
	
	
	
	Em uma cidade do interior do estado, existem 20 postos de combustível. Desses 20 postos, exatamente dois, comercializam combustível adulterado. Foram sorteados, aleatoriamente, dois desses 20 postos para serem fiscalizados. Qual é a probabilidade de que os dois postos infratores sejam os sorteados?
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	c. 
	Respostas:
	a. 
	
	b. 
	
	c. 
	
	d. 
	
	e. 
 
	Feedback da resposta:
	Resposta: C
Comentário:
	
	
	
· Pergunta 10
0,5 em 0,5 pontos
	
	
	
	Um professor de Matemática, após trabalhar pontos notáveis e áreas de triângulos com uma de suas turmas, propõe a seguinte atividade aos alunos: divida um triângulo escaleno, no qual os ângulos internos são inferiores a 90º, em três triângulos de mesma área.
Avalie as seguintes propostas de solução feitas pelos estudantes:
 
I.  Os triângulos ABH, BCH e CAH, em que H é o ortocentro de ABC, têm a mesma área;
II. Os triângulos ABI, BCI e CAI, em que I é o incentro de ABS, têm a mesma área;
III. Os triângulos AMC, ANM e ABN em que M e N dividem o lado CB em três partes de mesma medida, têm a mesma área.
 
É correto o que se afirma em:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	b. 
III, apenas.
	Respostas:
	a. 
I, apenas.
	
	b. 
III, apenas.
	
	c. 
I e II, apenas.
	
	d. 
II e III, apenas.
	
	e. 
I, II e III.
	Feedback da resposta:
	Resposta: B
Comentário:
Análise das afirmativas:
 
I. Afirmativa incorreta: o ortocentro H é o ponto em comum da três alturas do triângulo. Além disso, vemos, na figura a seguir, que os triângulos ABH, BCH e CAH têm áreas distintas.
 
II. Afirmativa incorreta: o incentro I é o ponto obtido pelo encontro das bissetrizes dos três ângulos do triângulo, como mostra a figura. Embora os triângulos AIC e BIC tenham alturas similares, suas bases são diferentes, o que leva à conclusão que as áreas desses triângulos são distintas.
 
III. Afirmativa correta: se dividirmos o segmento BC do triângulo em três segmentos iguais, temos o que está indicado na figura a seguir. Como os três triângulos da figura (AMC, ANM e ABN) têm as mesmas medidas de base e de altura, suas áreas são iguais.