Lista 10

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1
Cálculo 02 (2019/02) - Lista X
(I) Derivadas Parciais de ordem mais alta.
Questão 01 Calcule todas as derivada parciais de segunda ordem
∂2f
∂x2
,
∂2f
∂x∂y
,
∂2f
∂y∂x
e
∂2f
∂y2
em cada caso:
(a) f(x, y) =
2xy
(x2 + y2)2
; (b) f(x, y, z) = ez +
1
x
+ xe−y (x 6= 0); (c) f(x, y) = cos(xy2).
Questão 02 Sejam f(x, y) função de duas variáveis e a composta F (u, v) = f(u+ v, u− v). Mostre que
∂2F
∂u∂v
=
∂2f
∂x2
− ∂
2f
∂y2
.
Questão 03 Uma função u = f(x, y) é dita harmônica se for de classe C2 e satisfizer a equação de Laplace
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
= 0.
Determine quais funções a seguir são harmônicas:
(a) u(x, y) = x3 − 3xy2; (b) u(x, y) = x2 − y2; (c) u(x, y) = x2 + y2; (d) f(x, y) = ln(x− y) + tg(x+ y);
Questão 04? Seja
f(x, y) =

xy(x2 − y2)
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
(a) Calcule as derivadas parciais
∂f
∂x
(x, y) e
∂f
∂y
(x, y), para (x, y) 6= (0, 0);
(b) Mostre que
∂f
∂x
(0, 0) =
∂f
∂y
(0, 0) = 0;
(c) Mostre que
∂2f
∂x∂y
(0, 0) = 1 e
∂2f
∂y∂x
(0, 0) = −1;
(d) Explique o porque do item (c) não contradizer o teorema de Schwarz, das derivadas parciais mista.
(II) Máximos e Mı́nimos. Pontos Cŕıticos e a matriz Hessiana
Questão 05 Utilize o Teorema de Weierstrass para dizer se é posśıvel garantir, a priori, se cada função f , restrita
ao conjunto D, possui um valor máximo e um valor mı́nimo:
(a) f(x, y) = x+ y e D = {(x, y); x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y2 ≤ 1};
(b) f(x, y) = x2 − y2 e D = {(x, y); x ≥ 0 e y ≥ 0};
(c) f(x, y) = sen(x2 + y2) e D = {(x, y); x2 + y2 < 1};
(d) f(x, y) = sen(x2 + y2) e D = {(x, y); x2 + y2 ≤ 1};
(e) f(x, y) = sen(x2 + y2) e D = {(x, y); x2 + y2 = 1};
(f) f(x, y) =

y
x+ y
, 0 < x2 + y2 ≤ 1
1, (x, y) = (0, 0)
, onde D = {(x, y);x2 + y2 ≤ 1};
Questão 06 Localize e classifique todos os pontos cŕıticos, caso existam, das funções a seguir:
(a) f(x, y) = xy2 + x3y − xy; (b) f(x, y) = x2 − 6xy + 2y2 + 10x+ 2y − 5; (c) f(x, y) = 3x4 + 3x2y − y3;
(d) f(x, y) = 4y2e−x
2−y2 ; (e) f(x, y) = x2 + xy + y2 +
1
x
+
1
y
.
Questão 07 Neste Exerćıcio, verifique que det(Hf(x0, y0)) = 0, onde (x0, y0) é o ponto critico de cada função
abaixo. Mostre que tal ponto tem a propriedade indicada:
2
(a) f(x, y) = (x− y)4 + (x+ y + 2)2 mı́nimo local;
(b) f(x, y) = 1− x4 − y4 máximo local;
(c) f(x, y) = x3 + (x− y)2 sela;
Questão 08? (Prinćıpio do Máximo)
(a) Suponha que f(x, y) possua derivadas parciais de primeira e segunda ordens cont́ınuas para todo (x, y) ∈ IR2 e
que f seja harmônica (veja a Questão 03). Assuma também que
∂2f
∂x2
(x0, y0) 6= 0. Mostre que f não pode possuir
um máximo ou um mı́nimo local em (x0, y0).
(b) Agora, suponha que f(x, y) seja harmônica na região x2 + y2 < 1 e que seja nula em x2 + y2 = 1. Conclua que
f(x, y) é nula em todos os pontos no disco unitário D = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1}.
Questão 09 Obtenha o máximo e o mı́nimo absoluto de f em cada conjunto D dados:
(a) f(x, y) = x3 + y3 − 3xy, D é a região triangular de vértices (0, 0), (0, 1) e (1, 0).
(b) f(x, y) = x2 + y2 − x− y + 1, D = {(x, y); x2 + y2 ≤ 1};
Questão 10 Num ćırculo de raio R, traçam-se duas cordas paralelas, uma acima e outra abaixo do centro, e
constrói-se um trapézio isósceles. Determinar as distâncias das duas cordas ao centro, para que a área do trapézio
seja máxima.
Questão 11 Determine o volume da maior caixa retangular no primeiro octante com três faces nos planos coorde-
nados e com um vértice no plano x+ 2y + 3z − 6 = 0.
(III) Máximos e Mı́nimos restritos. Multiplicadores de Lagrange.
Questão 12 Determine o máximo e o mı́nimo de f(x, y) = x + y2 em D = {(x, y); (x − 2)2 + y2 = 1}, usando o
método dos multiplicadores de Lagrange.
Questão 13 Determine o máximo e o mı́nimo de f(x, y) = exy, restrita a curva de equação x3 + y3 = 16, caso
existam.
Questão 14 Em relação ao sistema de coordenadas cartesianas, uma pessoa está na origem, no interior de uma
praça cujo contorno tem por equação 3x2 + 4xy+ 6y2 = 140. A que ponto a pessoa deve se dirigir, ao sair da praça,
para caminhar o menos posśıvel?
“Transportai um punhado de terra todos os dias e fareis uma montanha.”
— Confúsio
3
Respostas e Sugestões
Questão 01 (a)
∂2f
∂x2
= 24
x3y − xy3
(x2 + y2)4
,
∂2f
∂x∂y
=
∂2f
∂y∂x
=
−6x4 + 36x2y2 − 6y4
(x2 + y2)4
e
∂2f
∂y2
= 24
−x3y + xy3
(x2 + y2)4
;
(b)
∂2f
∂x2
=
2
x3
,
∂2f
∂x∂y
=
∂2f
∂y∂x
= −e−y e ∂
2f
∂y2
= xe−y;
(c)
∂2f
∂x2
= −y4 cos(xy2), ∂
2f
∂x∂y
=
∂2f
∂y∂x
= −2y sen(xy2)−2xy3 cos(xy2) e ∂
2f
∂y2
−2x sen(xy2)−4x2y2 cos(xy2)
Questão 02 Dica: Use a regra da cadeia.
Questão 03 (a), (b) e (c) são harmônicas
(d) Não é harmônica. Podemos verifique que
∂2f
∂x2
=
∂2f
∂y2
.
Questão 04 (a)
∂f
∂x
(x, y) =
y(x4 + 4x2y2 − y4)
(x2 + y2)2
e
∂f
∂y
(x, y) =
x5 − 4x3y2 − xy4
(x2 + y2)2
.
(b) Dica: Observe que f se anula sobre os eixos x e y, i.e., f(x, 0) = f(0, y) = 0 e use isto e a definição (por
limites) de derivada parcial, para concluir que as derivadas parciais em (0, 0) são nulas.
(c) Note que
∂f
∂x
(t, 0) = t e
∂f
∂x
(0, t) = −t, levando em conta o que foi obtido no item (a). Agora, pela
definição
∂2f
∂y∂x
(0, 0) =
∂
∂y
(
∂f
∂x
)
= lim
t→0
∂f
∂x (0, 0 + t)−
∂f
∂x (0, 0)
t
=
−t
t
= −1.
A outra derivada pode ser calculada da mesma maneira.
(d) Não temos uma contradição, pois f não é de classe C2, ou seja, alguma derivada parcial de segunda ordem
é descont́ınua. Realmente, para (x, y) 6= (0, 0) podemos mostrar (verifique) que
∂2f
∂x∂y
(x, y) =
x6 + 9x4y2 − 9x2y4 − 9y6
(x2 + y2)3
,
e que ao londo do caminho y = x esta derivada tende para zero, quando x → 0 que é diferente do valor
∂2f
∂x∂y
(0, 0) = 1. Portanto esta derivada não é cont́ınua em (0, 0).
Questão 05 (a) Sim, pois f é cont́ınua e D é fechado e limitado.
(b) Não, pois apesar de f ser cont́ınua, o conjunto D é ilimitado: o primeiro quadrante do plano IR2.
(c) Não, pois D não é fechado, já que não contém seus pontos de fronteira, que são aqueles em que x2+y2 = 1.
(d) Sim, pois f é cont́ınua e D, por ser o disco de raio 1 centrado na origem, é fechado e limitado.
(e) Sim, pois D neste caso é fechado, pois contém seus pontos de fronteira (que é o próprio D) além de ser
claramente limitado.
4
(f) Não, pois f é descont́ınua em (0, 0), apesar de D ser fechado e limitado. Para ver a descontinuidade, veja
que ao longo do caminho y = x a função tende para 1/2 enquanto que ao longo dos pontos em D, que estão
no eixo y, f tende para 1, quando nos aproximamos da origem.
Questão 06 (a) (0, 0), (±1, 0), (0, 1) são pontos de sela, (
√
5/5, 2/5) é ponto de mı́nimo local e (−
√
5/5, 2/5) é
ponto de máximo local.
(b) (13/7, 16/7) é ponto de sela de f .
(c) (0, 0) é inconclusivo, (1/2,−1/2) é ponto de mı́nimo local e (−1/2,−1/2) é ponto de máximo local de f .
(d) (0, 1) e (0,−1) são pontos de máximo local e (x, 0), para todo x ∈ IR, são os pontos de mı́nimo local de f .
(e) Esta é mais complicada de determinar os pontos cŕıticos. Note que
∇f(x, y) = (2x+ y − 1/x2, 2y + x− 1/y2).
Logo, para obtermos (x, y) tal que o ∇f(x, y) = (0, 0), devemos resolver o sistema de equações
2x+ y − 1
x2
= 0
2y + x− 1
y2
= 0
⇒ 2x3 + x2y = 2y3 + y2x ⇒ x2(2x+ y) = y2(2y + x) ⇒
(
x
y
)2
=
2 + (x/y)
1 + 2(x/y)
.
Pondo θ = x/y, então recáımos na equação cúbica 2θ3 + θ2 − θ − 2 = 0. Como a soma dos coeficientes desta
equação resulta em zero, automaticamente temos que θ = 1 é uma de suas ráızes. Dividindo este polinômio
por θ − 1, obtemos o polinômio 2θ2 + 3θ + 2, que não possui ráızes reais, uma vez que o discriminante desta
equação quadrática é negativo. Portanto, ficamos com a única raiz θ = 1. Assim,
θ = 1 ⇒ x/y = 1 ⇒ x = y.
Substituindo em uma das equações do sistema acima, podemos encontrar x = y =
1
3
√
3
. Por fim, usamos o
teste do hessiano, para concluir que o ponto (1/
3
√
3, 1/
3
√
3) é um ponto de mı́nimo local de f .
Questão07
Questão 08 (a) Dica: Mostre que (x0, y0) é um ponto de sela de f , usando o determinante da matriz hessiana de
f . Você precisa usar o fato de f ser harmônica:
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
= 0.
(b) Dica: onde estão o máximo e o mı́nimo de f? Solução.Se o máximo de f ocorrer na fronteira, é claro
que f tem que ser nula. Suponha que o máximo de f ocorra em (x0, y0), no interior do disco. Logo,
f(x, y) ≤ f(x0, y0), para todo (x, y) no disco. Se f(x0, y0) = 0, já obtemos automaticamente o que desejamos.
Por outro lado, se f(x0, y0) 6= 0, consideramos a função auxiliar
g(x, y) = f(x, y) +
1
4
f(x0, y0)‖(x, y)− (x0, y0)‖2
= f(x, y) +
1
4
f(x0, y0){(x− x0)2 + (y − y0)2}.
5
Temos que para os pontos (x, y) na fronteira do disco, f(x, y) = 0 e então
g(x, y) = 0 +
1
4
f(x0, y0).{(x− x0)2 + (y − y0)2} ≤
1
4
f(x0, y0).1 < f(x0, y0) = g(x0, y0).
Isto indica que o máximo de g(x, y) no disco, ocorre em um ponto (x1, y1) no interior do disco. Mas então,
∂2g/∂x2(x1, y1) ≤ 0 e ∂2g/∂y2(x1, y1) ≤ 0. Logo
∆g(x1, y1) ≤ 0.
Por outro lado, podemos calcular o laplaciano de g diretamente, e concluir que ∆g = ∆f + f(x0, y0) =
0 + f(x0, y0) > 0, o que contradiz a desigualdade anterior. Portanto, f(x0, y0) = 0.
Questão 09 (a) Máximo global 1 nos pontos (0, 1) e (1, 0) e mı́nimo global −1/2 no ponto (1/2, 1/2). Dica:(1) No
interior do triângulo, busque os pontos (x, y) tais que ∇f(x, y) = (0, 0). (2) Reserve os vértices do triângulo.
(3) Parametrize cada lado do triângulo e calcule os extremos de f ao longo destes caminhos. Reserve estes
pontos. (4) Calcule o valore de f em cada um dos pontos obtidos nos passos (1)-(3) e escolha aqueles em que
f resultou no maior e no menor.
(b) Vamos seguir os passos:
(1) O único ponto cŕıtico de f no interior do disco é (1/2, 1/2).
(2) A fronteira de D é o ćırculo de parametrização σ(t) = (cos t, sent), 0 ≤ t ≤ 2π. Vamos analisar os
extremos de f ao longo de σ(t), para t ∈]0, 2π[ (exclúımos as extremidades do intervalo). Assim, temos que
f(σ(t)) = sen2t+ cos2 t− sent− cos t+ 1 = 2− sent− cos t.
Derivando em t e igualando a zero, obtemos
sent = cos t, i.e. t =
π
4
,
5π
4
.
Portanto os candidatos aos pontos de máximo e de mı́nimo para f ao longo da fronteira são σ(π/4), σ(5π/4)
e os pontos σ(0) = σ(2π) (retirados da análise acima).
(3) calculando f nos pontos acima, vemos que
f(1/2, 1/2) = 1/2
f(σ(π/4)) = f(
√
2/2,
√
2/2) =
1
2
+
1
2
−
√
2 + 1 = 2−
√
2
f(σ(5π/4)) = f(−
√
2/2,−
√
2/2) = 2 +
√
2
f(σ(0)) = f(σ(2π)) = f(1, 0) = 1.
Portanto, o mı́nimo absoluto ocorre em (1/2, 1/2) e o máximo absoluto em (−
√
2/2,−
√
2/2).
Questão 10 Resposta R/
√
2. Dica: Faça um desenho e use o teorema de Pitágoras para concluir que a área do
trapézio, em função das distâncias x e y de cada corda ao centro, é dada por
A(x, y) =
(x+ y)
2
{
2
(√
R2 − x2 +
√
R2 − y2
)}
= (x+ y)
(√
R2 − x2 +
√
R2 − y2
)
x, y ∈ [0, R].
Agora, as derivadas parciais de A(x, y), para x, y ∈]0, R[, são
∂A
∂x
=
(√
R2 − x2 +
√
R2 − y2
)
+ (x+ y)
−x√
R2 − x2
∂A
∂x
=
(√
R2 − x2 +
√
R2 − y2
)
+ (x+ y)
−y√
R2 − y2
,
6
e igualando cada uma a zero (para encontrarmos os pontos cŕıticos) obtemos
(x+ y)x = R2 − x2 +
√
(R2 − x2)(R2 − y2) (0.1)
(x+ y)y = R2 − y2 +
√
(R2 − x2)(R2 − y2) (0.2)
e subtraindo membro a membro desta igualdades, obtemos
(x+ y)x− (x+ y)y = y2 − x2 ⇒ (x+ y)(x− y) = (y − x)(y + x) ⇒(x+y)6=0 x− y = y − x ⇒ x = y.
Pondo então x = y na primeira igualdade em (0.1), obtemos
2x2 = R2 − x2 +R2 − x2 ⇒ x = R
√
2/2.
Agora, podemos checar queA(R
√
2/2, R
√
2/2) = 2R2 e queA(x, y) < 2R2, para os pontos (0, 0), (0, R), (R, 0), (R,R),
exclúıdos. Estes trapézios são, na verdade, um ponto, um triangulo, um triângulo e uma linha, respectiva-
mente, e não faziam parte do enunciado. Consideremos eles aqui, para trabalharmos num conjunto fechado e
limitado.
Questão 11 Dado P = (x, y, z) ∈ Π, onde Π é o plano dado, o volume é dado por
V (x, y, z) = xyz,
onde x, y, z ≥ 0 e x+ 2y + 3z − 6 = 0. (Figura acima)
Como podemos escrever a coordenada z em função das coordenadas x e y: z = 1/3(6 − x − 2y), então a
expressão para o volume é dado por
v(x, y) = xy{1/3(6− x− 2y)} = 1
3
(6xy − x2y − 2xy2),
onde (x, y) pertence a região triangular de vértices C = (0, 0), A = (6, 0) e B = (0, 4).
x+ 2y = 6
A
B
C
ϕ1
ϕ2
ϕ3
7
Como esta região é fechada e limitada, pelo teorema de Weirstrass, v assume ai o máximo (e o mı́nimo).
Vamos obter os pontos cŕıticos de v no interior deste triângulo, ou seja, x, y > 0 e x+ 2y < 6. Temos que
∂v
∂x
= −2
3
y(x+ y − 3)
∂v
∂x
= −1
3
x(x+ 4y − 6)
e igualando ambas as derivadas a zero, e lembrando que x, y 6= 0,{
x+ y − 3 = 0
x+ 4y − 6 = 0
.
Dáı, obtemos o ponto cŕıtico (x, y) = (2, 1). Agora, vamos estudar v(x, y) na fronteira do triângulo, exceto os
vértices. Da figura, temos que cada lado pode ser parametrizado por
ϕ1(t) = (t, 3− t/2), t ∈ ]0, 6[
ϕ2(t) = (t, 0), t ∈ ]0, 6[
ϕ(t) = (0, t), t ∈ ]0, 4[.
Assim,
v(ϕ1(t)) = v(t, 3− t/2) =
1
6
t(t2 − 10t+ 24), t ∈ ]0, 6[
v(ϕ2(t)) = v(t, 0) = 0, t ∈ ]0, 6[
v(ϕ(t)) = v(0, t) = 0, t ∈ ]0, 4[.
As duas últimas são nulas para todo t, e serão exclúıdas. Vejamos os pontos cŕıticos da primeira: derivando
em t temos que
d
dt
{v(ϕ1(t))} =
t2
2
− 10
3
t+ 4 = 0 ⇔ t = 10±
√
7
3
.
Como
10 +
√
7
3
> 6, então o único ponto cŕıtico é t =
10−
√
7
3
. Logo, ϕ1((10−
√
7)/3) é um ponto cŕıtico de
v restrita a fronteira.
Finalmente, comparando os valores da função v(x, y) em cada ponto C = (0, 0), A = (6, 0), B = (0, 4), (2, 1)
e ϕ1((10−
√
7)/3):
v(0, 0) = 0
v(6, 0) = 0
v(0, 4) = 0
v(2, 1) = 4/3
v(ϕ1((10−
√
7)/3)) =
8
81
(10 + 7
√
7).
Comparando os valores, conclúımos que o ponto de máximo é (2, 1) e o valor (volume máximo) é 4/3.
Questão 12 máximo: 13/4 e mı́nimo 1
Questão 13 máximo: e4. Não temos mı́nimo global.
Questão 14 (2, 4) ou (−2,−4).