Problema 23 Prove que as funções dadas são difer- enciáveis. a). f(x, y) = xy; b). f(x, y) = x+ y; 3 2a Lista de Exerćıcios c). f(x, y) = x2y...

Para provar que uma função é diferenciável, precisamos verificar se ela possui derivadas parciais contínuas em relação a cada uma de suas variáveis. Vamos analisar cada uma das funções dadas: a) f(x, y) = xy Para provar que essa função é diferenciável, precisamos calcular suas derivadas parciais em relação a x e y e verificar se são contínuas. Temos: ∂f/∂x = y ∂f/∂y = x Ambas as derivadas parciais são funções contínuas, portanto, a função f(x, y) = xy é diferenciável. b) f(x, y) = x + y Nesse caso, as derivadas parciais são: ∂f/∂x = 1 ∂f/∂y = 1 Novamente, ambas as derivadas parciais são funções contínuas, o que indica que a função f(x, y) = x + y é diferenciável. c) f(x, y) = x^2y^2 As derivadas parciais são: ∂f/∂x = 2xy^2 ∂f/∂y = 2x^2y Ambas as derivadas parciais são funções contínuas, portanto, a função f(x, y) = x^2y^2 é diferenciável. d) f(x, y) = 1/xy Nesse caso, as derivadas parciais são: ∂f/∂x = -1/(x^2y) ∂f/∂y = -1/(xy^2) As derivadas parciais não são contínuas em todos os pontos do domínio da função, portanto, a função f(x, y) = 1/xy não é diferenciável. e) f(x, y) = 1/(x + y) As derivadas parciais são: ∂f/∂x = -1/(x + y)^2 ∂f/∂y = -1/(x + y)^2 Ambas as derivadas parciais são funções contínuas, o que indica que a função f(x, y) = 1/(x + y) é diferenciável. f) f(x, y) = x^2 + y^2 As derivadas parciais são: ∂f/∂x = 2x ∂f/∂y = 2y Ambas as derivadas parciais são funções contínuas, portanto, a função f(x, y) = x^2 + y^2 é diferenciável. Portanto, as funções a), b), c), e) e f) são diferenciáveis, enquanto a função d) não é diferenciável.