Questionario 1

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ATIVIDADE AVALIATIVA - ELEMENTOS FINITOS
1. Escreva as hipóteses cinemáticas da teoria de tração/compressão de barras.
2. O Princípio dos Trabalhos Virtuais, da forma como ele foi formulado "em aula", serve para que tipos de deformações? Por quê?
3. O Princípio dos Trabalhos Virtuais, da forma como ele foi formulado "em aula", serve para que tipos de materiais?
4. O Princípio da Mínima Energia Potencial Total, da forma como ela foi formulada "em aula", serve para que tipos de materiais? Por quê?
5. Em que princípio energético se baseia o método de Ritz?
6. É indicado calcular tensões quando se utiliza o método de Ritz? Por quê?
7. Que condições devem obrigatoriamente ser satisfeitas pelas funções de interpolação quando se resolve um problema de valor no contorno utilizando o método de Ritz?
8. O que significa dizer que na teoria de barras "não pode haver forças de corpo nas direções transversais" da estrutura?
9. O que significa o produto interno entre duas funções ser nulo?
10. O que se pode dizer a respeito da continuidade de uma função construída a partir da combinação linear de duas ou mais funções contínuas?
11. O que significa dizer que duas funções são ortogonais entre si?
12. Na elasticidade, ao se utilizar as mesmas funções de interpolação, os métodos de Ritz e Galerkin dão o mesmo resultado?
13. É possível se obter a solução exata de uma equação diferencial utilizando um método numérico de aproximação como o de Galerkin?
14. Qual é o grau do polinômio de interpolação que se consegue obter utilizando polinômios de Lagrange com 3 nós?
15. Como se procede para aproximar a solução de um problema bidimensional através de funções unidimensionais?
16. Escreva as hipóteses cinemáticas da teoria de vigas de Euler-Bernoulli.
17. Escreva as hipóteses de trabalho (geométricas e de condições de contorno) de um caso de estado plano de deformações.
18. Escreva as hipóteses de trabalho (geométricas e de condições de contorno) de um caso de estado plano de tensões.
19. Qual é a inconsistência que surge no cálculo de tensões em vigas de Euler-Bernoulli a partir das hipóteses cinemáticas e como ela é contornada?
20. Quais são os componentes não-nulos do vetor de deslocamento e dos tensores de deformação e tensão em uma viga de Euler-Bernoulli orientada ao longo do eixo x?
15) Usa-se uma base formada por um produto tensorial das bases em cada dimensão específica, ou seja, uma base em uma direção (unidimensional) e outra base em outra direção, assim o produto tensorial entre essas duas bases vai gerar a base nas duas dimensões ao mesmo tempo.
16) Hipóteses cinemáticas de Vigas de Euler – Bernolli:
Deslocamento ao longo de X: Quanto maior Z menor é o deslocamento em X, tem variação linearmente com a coordenada Z.
Ux = -Z sen(teta) = -Ztg(teta) = -Z (dUz/dx).
Deslocamento ao longo de Y é zero.
Uy = 0
Deslocamento ao longo de Z: Assume-se que ele não depende da coordenada Z. Toda seção transversal tem o mesmo deslocamento Z.
Uz(x) (só depende de X)
u = [-Z dUz/dx; 0; Uz(x)]
17) Estado plano de deformações Hipóteses:
Uma das dimensões do problema é muito maior do que as outras duas.
Deslocamento e deformações são no plano, pois o deslocamento em Z é zero.
Elasticidade linear infinitesimal isotrópica e os tensores são simétricos.
18) Estado plano de tensões Hipóteses:
Uma das dimensões é muito menor que as outras duas.
Tensões são no plano e Sigma zz é forçado a zero, pois a aparece um Epson zz, se a Epson zz for de tal forma que seja calculada por: Epson zz =( Lambda/(lambda+2*G)*(Epson xx + Epson yy), então Sigma zz vai ser zero.
Deslocamento em Uz é zero.
Elasticidade linear infinitesimal isotrópica e os tensores são simétricos.
Questionário 1
1)Escreva as hipóteses cinemáticas da teoria de tração/compressão de barras.
· O estado de tensões é uniaxial em qualquer ponte da barra
· Uma seção plana e perpendicular à linha de centro antes da deformação, permanece plana e perpendicular à linha de centro após a deformação.
· Os deslocamentos são função somente de x
2)O Princípio dos Trabalhos Virtuais, da forma como ele foi formulado "em aula", serve para que tipos de deformações? Por quê?
Para pequenas deformações, pois tem como base as equações de equilíbrio no regime linear, que desconsidera os termos não-lineares (deformação de Green),ou seja, para deformações infinitesimais. 
3)O Princípio dos Trabalhos Virtuais, da forma como ele foi formulado "em aula", serve para que tipos de materiais? 
Serve para todos tipos de materiais, desde que, para pequenas deformações, pois como dito anteriormente, na dedução da forma fraca foram utilizadas deformações infinitesimais. 
4)O Princípio da Mínima Energia Potencial Total, da forma como ela foi formulada "em aula", serve para que tipos de materiais? Por quê?
Materiais elásticos, lineares ou não lineares. Pois foi feito uma simplificação onde o duplo produto interno entre o tensor constitutivo e o tensor deformação é igual ao tensor tensão, assim assumindo que o material é elástico(isotrópico). 
5)Em que princípio energético se baseia o método de Ritz?
Se baseia no PMEP
6) É indicado calcular tensões quando se utiliza o método de Ritz? Por quê?
Não, não é recomendável utilizar o método de Ritz para calcular coisas que derivam do deslocamento, isso inclui tensões. Pois, ao escolher as funções que satisfazem as condições de contorno nos deslocamentos, não se faz nenhuma consideração a respeito de suas derivadas. Logo, o que acontecerá após deriva-las, possivelmente não estará próximo do resultado correto(aproximado). 
7) Que condições devem obrigatoriamente ser satisfeitas pelas funções de interpolação quando se resolve um problema de valor no contorno utilizando o método de Ritz?
As funções devem obrigatoriamente satisfazer às condições de contorno. 
8) O que significa dizer que na teoria de barras "não pode haver forças de corpo nas direções transversais" da strutura?
9) O que significa o produto interno entre duas funções ser nulo?
Significa que as funções são ortogonais entre si
10) O que se pode dizer a respeito da continuidade de uma função construída a partir da combinação linear de duas ou mais funções contínuas?
Pode-se dizer que sempre será contínua
11) O que significa dizer que duas funções são ortogonais entre si?
* se uma das funções for uma função de aproximação e a outra for a função do erro, isso significa que a função de aproximação escolhida será a que terá menor erro. Isso quando o erro for diferente de zero.
12) Na elasticidade, ao se utilizar as mesmas funções de interpolação, os métodos de Ritz e Galerkin dão o mesmo resultado? 
Sim
13) É possível se obter a solução exata de uma equação diferencial utilizando um método numérico de aproximação como o de Galerkin? 
Sim, é possível
14) Qual é o grau do polinômio de interpolação que se consegue obter utilizando polinômios de Lagrange com 3 nós? 
Grau 2
15)Como se procede para aproximar a solução de um problema bidimensional através de funções unidimensionais?
15) Usa-se uma base formada por um produto tensorial das bases em cada dimensão específica, ou seja, uma base em uma direção (unidimensional) e outra base em outra direção, assim o produto tensorial entre essas duas bases vai gerar a base nas duas dimensões ao mesmo tempo.
16) Escreva as hipóteses cinemáticas da teoria de vigas de Euler-Bernoulli.
16) Hipóteses cinemáticas de Vigas de Euler – Bernolli:
Deslocamento ao longo de X: Quanto maior Z menor é o deslocamento em X, tem variação linearmente com a coordenada Z.
Ux = -Z sen(teta) = -Ztg(teta) = -Z (dUz/dx).
Deslocamento ao longo de Y é zero.
Uy = 0
Deslocamento ao longo de Z: Assume-se que ele não depende da coordenada Z. Toda seção transversal tem o mesmo deslocamento Z.
Uz(x) (só depende de X)
u = [-Z dUz/dx; 0; Uz(x)]
17) Escreva as hipóteses de trabalho (geométricas e de condições de contorno) de um caso de estado plano de deformações.
17) Estado plano de deformações Hipóteses:
Uma das dimensões do problema é muito maior do que as outras duas.
Deslocamento edeformações são no plano, pois o deslocamento em Z é zero.
Elasticidade linear infinitesimal isotrópica e os tensores são simétricos.
18) Escreva as hipóteses de trabalho (geométricas e de condições de contorno) de um caso de estado plano de tensões.
18) Estado plano de tensões Hipóteses:
Uma das dimensões é muito menor que as outras duas.
Tensões são no plano e Sigma zz é forçado a zero, pois a aparece um Epson zz, se a Epson zz for de tal forma que seja calculada por: Epson zz =( Lambda/(lambda+2*G)*(Epson xx + Epson yy), então Sigma zz vai ser zero.
Deslocamento em Uz é zero.
Elasticidade linear infinitesimal isotrópica e os tensores são simétricos.
19)Qual é a inconsistência que surge no cálculo de tensões em vigas de Euler-Bernoulli a partir das hipóteses cinemáticas e como ela é contornada?
A inconsistência surge quando aparecem tensões Sigmayy e Sigmazz , que contrariam uma das hipóteses que diz não haver forças de superfície nas laterais. Pois, para haver essas tensões, necessariamente deve haver forças nas superfícies laterais. Essas tensões amparam a hipótese dos deslocamentos .
Para contornar isso, ou seja, para que a viga não tenha deslocamentos laterais, e para que a seção transversal inteira tenha o mesmo deslocamento em z, se zera o Poisson.
 
20)Quais são os componentes não-nulos do vetor de deslocamento e dos tensores de deformação e tensão em uma viga de Euler-Bernoulli orientada ao longo do eixo x?
Campo de deslocamentos:
u = [ -z ; 0 ; uz ]
Campo de deformações:
Ɛ = [ -z; 0 ; 0 ]
 [ 0 ; 0 ;0 ]
 [ 0 ; 0 ;0 ]
Campo de tensões:
σ = [ -E z ; 0 ; 0 ]
 [ 0 ; 0 ;0 ]
 [ 0 ; 0 ;0 ]
Fausto
1 - São 3 as hipóteses cinemáticas da teoria da teoria de tração/compressão de barras.
	Relação deformação-deslocamento em que a deformação (ε_xx) é idêntica à derivada parcial do deslocamento (u) em relação ao eixo mais comprido da barra (eixo x).
	Deslocamento (u) e deformação não dependem de z ou y. Pois assumimos que as seções planas e normais ao eixo x continuam planas e normais mesmo depois de aplicar carga.
	Assumindo (2) e cargas aplicadas apenas axialmente (eixo x), tiramos que tensão no eixo x é muito maior que as demais, podendo assim negligenciá-las.
2. O Princípio dos Trabalhos Virtuais, da forma como ele foi formulado "em aula", serve para que tipos de deformações? Por quê?
São utilizadas para problemas um pouco mais complexos. Pois para casos simples é possível achar equação exata e resolver sem grandes dificuldades.
É possível porque transformamos as equações de equilíbrio em algo trabalhável por método de elementos finitos. Podendo pelo menos calcular o problema de maneira aproximada. 
PEQUENAS DEFORMAÇÕES, POIS DESCONSIDERA OS TERMOS NÃO-LINEARES
3. O Princípio dos Trabalhos Virtuais, da forma como ele foi formulado "em aula", serve para que tipos de materiais?
Válida para qualquer relação constitutiva. Serve para materiais linearmente elásticos, não lineares, rígidos ou plásticos. Porém os deslocamentos devem ser pequenos! (para que a magnitude e direção das forças não mudem durante a deformação)
4. O Princípio da Mínima Energia Potencial Total, da forma como ela foi formulada "em aula", serve para que tipos de materiais? Por quê?
Apenas para materiais elásticos. Tanto linear como não linear.
Isso porque corpos deformáveis armazenam energia. E para esse método é utilizada a energia potencial total, resumindo-se em elástica e trabalho.
5. Em que princípio energético se baseia o método de Ritz?
Assim como no PMEP, o método de Ritz utiliza a energia potencial total.
E se baseia em achar os coeficientes de Ritz que minimizem a energia potencial total.
6. É indicado calcular tensões quando se utiliza o método de Ritz? Por quê?
O método de Ritz é utilizado para aproximar deslocamentos, solução de problemas de valor no contorno. Mas não é indicado para calcular tensões.
7. Que condições devem obrigatoriamente ser satisfeitas pelas funções de interpolação quando se resolve um problema de valor no contorno utilizando o método de Ritz?
Deve-se sempre escolher funções que satisfaçam as condições de contorno. Se por exemplo a viga é engastada em X(0), a função deve ser nula em X(0).
8. O que significa dizer que na teoria de barras "não pode haver forças de corpo nas direções transversais" da estrutura?
A teoria de barras considera apenas forças aplicadas no eixo de maior comprimento/dimensão do corpo. Caso surjam forças/tensões nos outros eixos, as relações cinemáticas tornam-se inválidas.
9. O que significa o produto interno entre duas funções ser nulo?
Significa que as funções são ortogonais entre si. 
10. O que se pode dizer a respeito da continuidade de uma função construída a partir da combinação linear de duas ou mais funções contínuas?
Se todas funções forem contínuas, a função construída será contínua. Caso alguma seja descontínua, a função construída será descontínua.
11. O que significa dizer que duas funções são ortogonais entre si?
Que o produto interno entre elas é nulo. A integral do produto delas se anula.
12. Na elasticidade, ao se utilizar as mesmas funções de interpolação, os métodos de Ritz e Galerkin dão o mesmo resultado?
Sim
13. É possível se obter a solução exata de uma equação diferencial utilizando um método numérico de aproximação como o de Galerkin?
Em problemas com baixo grau de complexidade é possível esbarrar com a solução exata mesmo utilizando métodos numéricos
14. Qual é o grau do polinômio de interpolação que se consegue obter utilizando polinômios de Lagrange com 3 nós?
Terceiro grau (sem certeza)
GRAU 2.
15. Como se procede para aproximar a solução de um problema bidimensional através de funções unidimensionais?
Deve-se encontrar uma função que forme um erro ortogonal à função do problema bidimensional. Para isso usa-se o produto interno de funções
16. Escreva as hipóteses cinemáticas da teoria de vigas de Euler-Bernoulli.
Deslocamento em x varia linearmente com a coordenada z ux= - z*d(uz)/dx
Sem deslocamento em y (se a carga for aplicada no eixo z)
Deslocamento em z não depende de z. Apenas função de x.
17. Escreva as hipóteses de trabalho (geométricas e de condições de contorno) de um caso de estado plano de deformações.
Uma das dimensões do problema é muito maior que as outras. Todos os carregamentos em uma direção. Não tem deslocamentos em uma dimensão.
18. Escreva as hipóteses de trabalho (geométricas e de condições de contorno) de um caso de estado plano de tensões.
Uma das dimensões do problema é muito menor que as outras. Todos os carregamentos ortogonais à dimensão menor.
19. Qual é a inconsistência que surge no cálculo de tensões em vigas de Euler-Bernoulli a partir das hipóteses cinemáticas e como ela é contornada?
Surgem tensões em y e z, que pelas simplificações não deveriam aparecer. Para corrigir esse problema Poisson deve ser zero. 
20. Quais são os componentes não-nulos do vetor de deslocamento e dos tensores de deformação e tensão em uma viga de Euler-Bernoulli orientada ao longo do eixo x?
Do vetor deslocamento: ux e uz
Do tensor deformação: apenas o primeiro (exx)
Do tensor tensão: sigmaxx