Para resolver essa questão, precisamos entender como a quantidade de sal no tanque muda ao longo do tempo. 1. Condições iniciais: - Volume inicial de água: 1000 L - Sal inicial: 15 kg - Taxa de entrada de água pura: 10 L/min - Taxa de saída da solução: 10 L/min Como a água entra e sai na mesma taxa, o volume total de água no tanque permanece constante em 1000 L. 2. Concentração de sal: A concentração inicial de sal é: \[ C_0 = \frac{15 \text{ kg}}{1000 \text{ L}} = 0,015 \text{ kg/L} \] 3. Mudança na quantidade de sal: A quantidade de sal no tanque, \( S(t) \), muda ao longo do tempo. A cada minuto, a água pura que entra não contém sal, enquanto a água que sai contém sal. A quantidade de sal que sai do tanque a cada minuto é dada pela concentração de sal multiplicada pela taxa de saída: \[ \text{Sal que sai} = \frac{S(t)}{1000} \times 10 \] Portanto, a taxa de variação da quantidade de sal no tanque é: \[ \frac{dS}{dt} = -\frac{S(t)}{1000} \times 10 = -\frac{S(t)}{100} \] 4. Equação diferencial: A equação diferencial que descreve a quantidade de sal no tanque é: \[ \frac{dS}{dt} = -\frac{S(t)}{100} \] 5. Solução da equação: Essa é uma equação diferencial separável. Integrando, obtemos: \[ S(t) = S(0) e^{-\frac{t}{100}} \] Onde \( S(0) = 15 \) kg. Assim, a solução é: \[ S(t) = 15 e^{-\frac{t}{100}} \] 6. Cálculo para \( t \) minutos: (a) Para calcular a quantidade de sal após \( t \) minutos, basta substituir \( t \) na equação: \[ S(t) = 15 e^{-\frac{t}{100}} \] (b) Para \( t = 20 \) minutos: \[ S(20) = 15 e^{-\frac{20}{100}} = 15 e^{-0,2} \approx 15 \times 0,8187 \approx 12,28 \text{ kg} \] Portanto, a quantidade de sal no tanque após \( t \) minutos é \( S(t) = 15 e^{-\frac{t}{100}} \) kg, e após 20 minutos, há aproximadamente 12,28 kg de sal no tanque.