Retas, Planos e Distâncias - Geometria Analítica

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Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear
Aula 3: Retas, Planos e Distâncias – parte I
Apresentação
Nesta aula, veremos que as retas são figuras geométricas primitivas formadas por
conjuntos de pontos. O fato de serem primitivas significa que não existe uma
definição para elas, contudo, aceitamos que são linhas que não fazem curva.
Elas estão presentes em muitas situações diárias, por exemplo, em um projeto de
Arquitetura de Interiores ou em um Projeto de Arquitetura, pois as linhas retas
permitem uma harmonia perfeita entre elementos da construção e elementos
pontuais decorativos e acabamentos.
Portanto, a partir de agora, entraremos em contato com o conceito, as
representações e as posições relativas que as retas podem ocupar no plano e no
espaço. Dessa forma, “ainda que a vida humana traga a necessidade de curvas para
a superação de obstáculos, vamos, agora, nos ocupar com a constância e a
previsibilidade das retas”.
Objetivos
Reconhecer e operar com as diferentes representações de uma reta;
Determinar o ângulo, a interseção e a posição relativa entre retas.
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A reta
Durante o Ensino Médio é provável que você tenha se deparado com as
noções mais usuais de reta.
Vamos recordar?
 Retas. | Fonte: shutterstock
Equação da reta na forma ponto-
coeficiente angular
Dois pontos distintos do plano cartesiano determinam a equação de uma reta.
Considere a reta definida pelos pontos A(x ,y ) e B(x ,y ).
Um ponto P(x,y) também estará sobre essa reta desde que A, B, e P sejam
colineares (Figura 1).
0 0 1 1
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Figura 1: Obtenção da equação de uma reta através da construção
geométrica. A reta é definida pelos pontos A e B. Fonte: SANTOS e FERREIRA,
2009.
Se os triângulos ΔABM e ΔAPN forem semelhantes, então, a condição de
alinhamento será:
Uma vez que x , y , x e y são números conhecidos, você pode escrever:
Onde: a = coeficiente angular da reta; e, a equação acima é chamada
equação da reta na forma ponto-coeficiente angular.
Equação da reta na forma reduzida
Outra maneira de se escrever a equação da reta é através da equação da
reta na forma reduzida:
Onde: b = coeficiente linear da reta, b = y – ax .
Na figura 2, você pode observar que o ângulo α , formado pela reta e pelo
eixo das abscissas no sentido positivo, denomina-se inclinação da reta.
Por meio da trigonometria, você terá:
=  . ⋅.   =PN
¯ ¯¯̄¯
AN¯ ¯¯̄ ¯
BM¯ ¯¯̄¯̄
AM¯ ¯¯̄¯̄
y−y0
x−x0
−y1 y0
−x1 x0
0 0 1 1
=  a . ⋅.  y −   =  a(x − )y−y0
x−x0
y0 x0
y =  ax + b
0 0
a =   =  tan α
∆y
∆x
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Figura 2: Determinação do coeficiente angular e do coeficiente linear de uma
reta definida pelos pontos A e B. Fonte: SANTOS e FERREIRA, 2009.
Observe também que o coeficiente linear é a ordenada do
ponto em que a reta intercepta o eixo y, ou seja, o ponto
(0,b).
Equação geral da reta
Outra definição costumeira que você encontra para uma reta é a seguinte:
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
Denominamos equação de uma reta no R a toda
equação nas incógnitas x e y que é satisfeita pelos
pontos P(x,y) que pertencem à reta e só por eles.
Dada uma reta r do plano cartesiano, vamos supor que r passe pelos pontos
A(x ,y ) e B(x , y ), A ≠ B, e consideremos um ponto genérico P(x,y).
O ponto P pertence à reta r se, e somente se, A, B e P são colineares, isto é:
Desenvolvendo o determinante encontramos:
Esta equação é chamada de equação geral da reta.
Equação vetorial da reta
Bem, agora é necessário expandir o seu conhecimento e ver a definição de
reta usando o conceito de vetor, ou seja, a equação vetorial da reta.
2
1 1 2 2
P  ∈  r  ⇔ ∆ = 0 ⇔ = 0
∣
∣
∣
x − x1
−x2 x1
y − y1
   −y2 y1
∣
∣
∣
( − )x + ( − )y + ( − ) = 0 . ⋅.  ax+ by+ c = 0y2 y1 x1 x2 x2y1 x1y2
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Considere um ponto A(x ,y ,z ) e um vetor não nulo =(a,b,c). Um ponto
P(x,y,z) pertence à reta r se, e somente se, o vetor é paralelo a , ou
seja:
Para alguma real t.
Figura 3: Interpretação da equação vetorial da reta r. Observe os vetores e 
 Fonte: WINTERLE, 2014.
Consequentemente:
Ou seja: (x, y, z) = (x , y , z ) + t(a, b, c) Equação vetorial da reta r
O vetor é chamado vetor diretor da reta r e t é denominado parâmetro.

Exemplo
1 1 1 v⃗ 
AP
−→
v⃗ 
  =AP
−→
tv
→
v⃗ 
AP
−→
P  −  A  =  t   ∴  P   =  A  +  tv⃗  v⃗ 
1 1 1
v⃗ 
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Veja o Exemplo 1 <galeria/aula3/anexo/exemplo_1.pdf> .
Atividade
1. Considere uma reta r que passa pelo ponto A(-3,2,-4) e tem a direção
de =(0,−1,3). O ponto P que pertence à reta r, quando o parâmetro t é
2 será:
 a) P(-3,0,2)
 b) P(0,2,-3)
 c) P(-3,1,2)
 d) P(3,2,2)
 e) P(-3,2,0)

Comentário
A cada real t corresponde um ponto P ∈ r. A recíproca também é
verdadeira, ou seja, a cada P ∈ r corresponde um número real t.
Infinitas equações vetoriais podem ser geradas para a reta r, basta
tomar outro ponto de r (em vez de A) ou outro vetor qualquer não nulo
que seja múltiplo de .
Por exemplo, aproveitando o ponto P (2,-4,-1) e o vetor 3 = (6,−3,9):
v⃗ 
v⃗ 
1 v⃗ 
r (x, y, z)  =   (2,−4,−1)   +  t 6,−3,9)
t = 1 . ⋅.  (x, y, z)  =     =  (2, −4, −1)  +  1 ⋅ (6, −3,  9) . ⋅.   (8, −7,  8)  ∈  rP2 P2
http://estacio.webaula.com.br/cursos/go0009/galeria/aula3/anexo/exemplo_1.pdf
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A partir da equação vetorial da reta r:
(x,y,z) = (x ,y ,z ) + t(a,b,c)
(x,y,z) = (x + ta,y + tb,z + tc)
Assim, pela condição de igualdade, obtemos:
Elas são chamadas de equações paramétricas da reta.

Exemplo
Veja o Exemplo 2 <galeria/aula3/anexo/exemplo_2.pdf> .
1 1 1
1 1 1
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x  =     +  tax1
y  =     +  tby1
z  =     +  tcz1
http://estacio.webaula.com.br/cursos/go0009/galeria/aula3/anexo/exemplo_2.pdf
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Atividade
2. Dado o ponto A(0,-2,3) e o vetor =(−3,−2,1), o conjunto de
equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção de é
dado por:
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
A reta definida por dois pontos
A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou B) e tem a
direção do vetor = .

Exemplo
v⃗ 
v⃗ 
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x  = 3t
y  = − 2  +  2t
z  =   − 3  + t
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x  =  t
y  =  2t
z  =  t
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x  =  t
y  =   − 2  −  2t
z  =   − 3  +  t
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x  =  3
y  = −2 
z  = 3 
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x  =   − 3t
y  = −2  − 2t 
z  = 3  +  t 
v⃗  AB
−→−
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Exemplo 3
Dados os pontos A(0,3,5) e B(-1,3,-1), escreva as equações
paramétricas da reta r que passa por tais pontos.
Atividade
3. Dados os pontos A(2,-3,1) e B(0,-4,2), as equações paramétricas da
reta r, que passa por tais pontos, é:
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
  =     =  B  −  A  =  (−1, 3, −1)  −  (0, 3, 5)  =  (−1, 0, −6)v⃗  AB¯ ¯¯̄¯
. ⋅.  
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x  =  0  −  t
y  =  3  +  0t
z  =  5  −  6t
⎧
⎩
⎨
⎪⎪
x  =   − t
y  =  3
z  =  5  −  6t
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x  =   − 2t
y  =   − t
z  =  t
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x  =  2
y  =   − 3
z  =  1
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x  =  2  −  2t
y  =   − 3  −  t
z  =  1  +  t
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x  =   − 2  −  2t
y  =  3  −  t
z  =   − 1  +  t
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x  =   − 2  +  2t
y  = −3  +  t
z  =  1
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Equações paramétricas de um
segmento de reta
Considere a reta r do Exemplo 3.
Observe o segmento (origem A e extremidade B), conforme a Figura 6.
As equações paramétricas do segmento são as mesmas da reta r, porém,
com 0 ≤ t ≤ 1, ou seja:
Você pode observar que:
Quando t = 0, obtemos o ponto A;
Quando t = 1, obtemos o ponto B;
Quando 0 < t < 1, obtemos os pontos entre A e B.
A equação do segmento pode ser representada por:
P = tb + (1 - t)A
 AB¯ ¯¯̄¯
 AB¯ ¯¯̄¯
 ,  t  ≤ 0, 1
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x  =  t
y  −  3
z  =  5  −  6t
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
 AB¯ ¯¯̄¯
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Figura 6: Segmento (representado em vermelho), onde A(0,3,5) e
B(-1,3,-1). As equações paramétricas do segmento definem uma porção
da reta r (em vermelho) limitada em 0 ≤ t ≤ 1.
Equações simétricas da reta
Das equações paramétricas:
Supondo abc ≠ 0, vem:
Como para cada ponto da reta corresponde um só valor para t, as igualdades
são obtidas:
As equações anteriores são denominadas equações simétricas da reta que
passa pelo ponto A(x ,y ,z ) e tem a direção do vetor = (a,b,c).

Exemplo
Exemplo 4
Determinar as equações simétricas da reta r que passa pelo ponto
A(-2,1,4) e tem o direção do vetor = (2,2,−1).
Resolução:
AB¯ ¯¯̄¯
AB¯ ¯¯̄¯
x =   +  ta y =   +  tb z =   +  tcx1 y1 z1
t =      t =    t =
x−x1
a
y−y1
b
z−z1
c
r  :     =     =  
x−x1
a
y−y1
b
z−z1
c
1 1 1 v⃗ 
v⃗ 
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Atividade
4. As equações simétricas da reta r que passa pelo ponto A(0,-1,3) e tem
a direção do vetor = (−2,−3,1) são:
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
Equações simétricas da reta
A melhor forma de explicar é resolvendo um exemplo com você. Veja:
Seja a reta r definida pelo ponto A(0,-2,5) e pelo vetor diretor = (1,3,−2),
ela pode ser expressa pelas equações simétricas:
A partir dessas equações, pode-se expressar duas variáveis em função da
terceira. Por exemplo, caso você deseje isolar a variável x:
  =     =    . ⋅.  r  :     =     =  
x−x1
a
y−y1
b
z−z1
c
x + 2
2
y − 1
2
z − 4
−1
v⃗ 
r :     =     =  x
−2
y + 1
−3
z − 3
1
r :     =     =  x
2
y + 1
3
z − 3
−1
r :     =     =  x − 1
−2
y − 1
−3
z + 3
1
r :     =     =  x 
2
y − 1
−3
z + 3
1
r :     =     =  x 
2
y + 1
−3
z + 3
−1
v⃗ 
r  :     =     =    x 
1
y + 2
3
z − 5
−2
  =     ∴  y  +  2  =  3x  ∴  y  =  3x  −  2
x 
1
y + 2
3
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As duas equações geradas acima são chamadas de equações reduzidas da
reta r, na variável x.
Observações baseadas no exemplo resolvido:
• É fácil verificar que todo ponto P ∈ r será do tipo (x, 3x-2, -2x+5), em que x
pode assumir um valor qualquer.
• Equações reduzidas na variável x serão sempre da forma:
• Equações reduzidas na variável y ou equações reduzidas na variável z
podem ser obtidas por procedimento semelhante.
Usando o mesmo exemplo:

Exemplo
Exemplo 5
Encontre o vetor diretor da reta definida pelas equações reduzidas em x.
  =     ∴  z  −  5  =  2x  ∴  z  =   − 2x  +  5x 
1
z − 5
−2
{y  =  mx  +  n
z  =  px  +  q
  =     ∴  y  +  2  =  3x  ∴  x  =  x
1
y + 2
3
y + 2
3
  =     ∴   − 2(y  +  2)  =  3(z  −  5)  ∴  z  =  y + 2
3
z − 5
−2
−2y + 11
3
r  :  {y  =  
3 + x
2
z  =  1  −  x
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Resolução:
Uma maneira de resolver o problema é você determinar dois pontos, A e
B, que pertencem à reta r e, então, encontrar o vetor diretor .
Por exemplo:
, portanto A(0,3/2,1)
, portanto B(1,2,0)
Assim, 
Dessa forma, a reta r poderia ser também representada por:
Atividade
5. O vetor diretor da reta definida pelas equações reduzidas em x é:
Esse vetor é corretamente definido por:
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
  =  v⃗  AB¯ ¯¯̄¯
x  =  0  ∴  y  =  3/2,  z  =  1
x  =  1  ∴  y  =  2,  z  =  0
  =     =  B  −  A  =  (1, 2, 0)  −  (0,   ,  1)  =  (1,   ,   − 1)v⃗  AB¯ ¯¯̄¯ 3
2
1
2
(x,  y,  z)  =  (0,   ,  1)  =  (1,   ,   − 1)3
2
1
2
r  :  {
y  =   x
2
z  =   − 1  −  3x
(0,   ,  0)1
2
(1, −  ,  5)1
2
(0,    ,  5)1
2
(1,    ,   − 5)1
2
(−1,   −    ,   − 5)1
2
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Retas paralelas
Uma reta é paralela a um dos planos xOy, xOz ou yOz se seus vetores
diretores forem paralelos ao correspondente plano. Nesse caso, uma das
componentes do vetor é nula.
Uma reta é paralela a um dos eixos Ox, Oy ou Oz se seus vetores diretores
forem paralelos a = (1,0,0) ou a = (0,1,0), ou, ainda, a = (0,0,1).
Nesse caso, duas das componentes do vetor são nulas.
Os eixos Ox, Oy e Oz são retas particulares. Todas passam pela origem
O(0,0,0) e têm a direção de i, j ou k, respectivamente.
Logo, suas equações são:
, nesta ordem.

Exemplo
Veja o Exemplo 6 <galeria/aula3/anexo/exemplo_6.pdf> .
i ⃗  j ⃗  k⃗ 
{ ,  { ,  {y  =  0
z  =  0
x  =  0
z  =  0
x  =  0
y  =  0
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Atividade
6. As equações paramétricas da reta s que passa por A(-5,0,-4) e é
paralela ao eixo z são:
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
Observações:
• As retas r e r são ortogonais, ou seja, r r quando . Duas
retas ortogonais podem ser concorrentes ou não.
• Na figura 10, as retas r e r são ortogonais a r. Porém, r e r são
concorrentes. Nesse caso, diz-se que r e r são perpendiculares.
s :  
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x  = 5
y  =  0
z  =  4  − 2t
s :  
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x  = −5
y  =  0
z  =   − 4  + 2t
s :  
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x  = 0
y  = 0
z  =  2t
s :  
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x  = −5
y  =  0
z  = −4
s :  
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x  = −4  +  2t
y  =  0
z  = t
1 2 1 ⊥ 2   ⋅     =  0v1
→
v2
→
1 2 2
2
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Figura 7: Retas r , r e r. Posição relativa entre elas. As retas r e r, além de
ortogonais, são concorrentes e, portanto, são perpendiculares. Fonte:
WINTERLE, 2014.
• Sejam as retas r e r não paralelas, com as direções de e ,
respectivamente. Toda reta r ortogonal a r1 e r terá a direção de um vetor 
 tal que:
A estratégia para determinar a equação da reta r é conhecer um ponto P tal
que P ∈ r e calcular o produto vetorial: .
Interseção de duas retas
Se existe um ponto I (x,y,z) comum à duas retas r e r , então, suas
coordenadas verificam todas as equações de r e r , ou seja, o ponto I é
solução única do sistema formado pelas equações das duas retas.
1 2 2
1 2 v1
→
v2
→
2
v1
→
{  ⋅v
⃗ 
 ⋅v⃗ 
  =  0v1
→
  =  0v2
→
  =    x v⃗  v1
→
v2
→
1 2
1 2
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Se duas retas se interceptam, elas são coplanares, ou seja, estão
situadas no mesmo plano. Também são coplanares as retas paralelas.
Figura 11: (a) Retas r e r interceptando-se no ponto I. Retas
coplanares; (b) Retas r e r tambémcoplanares, porém r e r são
paralelas. Fonte: WINTERLE, 2014.
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Se duas retas são não coplanares, elas são consideradas reversas.
Figura 12: As retas r e r não são paralelas e nem são concorrentes.
Dessa forma, elas não pertencem ao mesmo plano. As retas r e r são
ditas reversas.

Exemplo
Veja o Exemplo 7 <galeria/aula3/anexo/exemplo_7.pdf> .
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http://estacio.webaula.com.br/cursos/go0009/galeria/aula3/anexo/exemplo_7.pdf
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Atividade
7. O ponto P(m,1,n) pertence à reta que passa por A(3,-1,4) e
B(4,-3,-1). O ponto P é definido por:
 a) P(2,1,9)
 b) P(-2,-1,9)
 c) P(0,1,0)
 d) P(2,1,-9)
 e) P(1,1,1)

Exemplo
Veja o Exemplo 8 <galeria/aula3/anexo/exemplo_8.pdf> .
http://estacio.webaula.com.br/cursos/go0009/galeria/aula3/anexo/exemplo_8.pdf
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Atividade
8. Dado o ponto A(3,4,-2) e a reta 
As equações paramétricas da reta que passa por A e é perpendicular a r
são:
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
r  :  
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x  =  1  +  t
y  =  2  −  t
z  =  4  +  2t
s  :  
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x  =   − 4h
y  =  4
z  =  2h
s  :  
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x  =   − 3  −  4h
y  =   − 4
z  =   − 2  −  2h
s  :  
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x  =  3h
y  =  4
z  =   − 2
s  :  
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x  =  h
y  =  4
z  =   − 2  +  2h
s  :  
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x  =  3  −  4h
y  =  4
z  =   − 2  +  2h
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9. Dadas as retas r: 3x + 4y -1 = 0, s: 3x + 2y – 10 = 0 e t: x – 2y +
2 = 0, a reta paralela a r e que passa pela interseção das retas s e t é:
 a) 3x + 4y = 14
 b) 3x + 4y = 5
 c) 3x + 4y = -14
 d) 3x + 4y = 7
 e) x + y = 5
10. Se os pontos A(a,1) e B(0,b) pertencem à reta x + 2y – 4 = 0, qual
a distância entre os pontos A e B?
 a) 3
 b) 1
 c) 
 d) 
 e) 
3√
5√
2√
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11. A equação da reta no plano cartesiano que passa pelo ponto A(2,0) e
forma um ângulo de 30° com o eixo das abscissas é:
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
12. A reta que passa pelo ponto P(2,7) e é perpendicular à reta s: 3x +
y + 1 = 0 é:
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
y  =    x  −  2
3√
3
y  =     −  23x
−−
√
y  =     +  23x
−−
√
y  =     (x  −  2)
3√
2
y  =     (x  −  2)
3√
3
y  =    (x  +  19)1
3
y  =    (x  +  3)1
19
y  =    (x  −  19)13
y  =   −  (x  +  19)
y  =  
(x − 19)
19
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13. A reta que passa pelo ponto A(0,1,-2) e tem como vetor diretor v =
(0,0,1) tem equação vetorial igual a:
 a) (x,y,z) = (0,1,-2) + t(0,0,1)
 b) (x,y,z) = (0,1,-2) - t(0,0,1)
 c) (x,y,z) = (0,1,-2) x t(0,0,1)
 d) (x,y,z) = - (0,1,-2) - t(0,0,1)
 e) (x,y,z) = (0,1,-2) / t(0,0,1)
Referências
DIAS, G.; SOUZA, A. L.; LIMA, M. A. Álgebra linear. Rio de Janeiro: SESES,
2015. (Livro proprietário).
GUIMARÃES, L. G. S. et al. Bases matemáticas para Engenharia. Rio de
Janeiro: SESES, 2015.
MACHADO, A. S. Álgebra Linear e Geometria Analítica. São Paulo: Atual,
1997. cap. 3, p. 37-79.
SANTOS, F. J.; FERREIRA, S. F. Geometria Analítica. 1. ed. Porto Alegre:
Artmed, 2009. cap. 2, p. 41-55.
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson
Education do Brasil, 2014. cap. 5, p. 103-126.
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Próximos Passos
As equações que definem o plano;
A interseção entre planos;
As distâncias entre pontos, retas e planos.
Explore mais
Para continuar mantendo seu interesse e motivá-lo a prosseguir nesta
caminhada, não deixe de aproveitar estas sugestões de vídeos:
“Traçar uma reta paralela a uma reta dada, por um ponto fora da
reta – 1º Processo”; <https://youtu.be/ITDuMDHY7AU>
“Retas, segmentos de retas e semirretas”;
<https://youtu.be/KZBcA2Kv2pY>
“Geometria no cotidiano”. <https://youtu.be/XuJpwCFL1xA>
https://youtu.be/ITDuMDHY7AU
https://youtu.be/KZBcA2Kv2pY
https://youtu.be/XuJpwCFL1xA