Ondulatória movimento harmônico simples e cinemática no MHS

Prévia do material em texto

Ciências da Natureza e 
suas Tecnologias - FÍSICA
Ensino Médio, 2ª Série
Ondulatória: Movimento Harmônico 
Simples e a cinemática no MHS
FÍSICA, 2ª Ano
Ondulatória: Movimento Harmônico Simples e a 
cinemática no MHS
Imagem: Jkrieger / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
3
A
0-A
Observe o movimento
•Movimento oscilatório: todo movimento de vaivém realizado
simetricamente em torno de um ponto de equilíbrio.
•Movimento periódico: todo movimento oscilatório que se repete 
em intervalos de tempo iguais.
Quando um movimento se repete em torno de uma posição
de equilíbrio, em intervalos de tempo regulares, é chamado
Movimento Harmônico Simples (MHS).(1)
http://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCcQFjAA&url=http://www.forma-te.com/mediateca/download-document/5234-fisica-mhs-1-7.html&ei=1iCYT6GeGorc9ASPmrHoBQ&usg=AFQjCNGv1rmXnrcAuC-WEi19OTzrq8C3fA&sig2=Lwx4GzaTIB8J7
4
Veja alguns exemplos
Oscilador harmônico simples (oscilador massa-mola)
Im
a
g
e
m
: 
T
ib
b
e
ts
7
4
 /
 G
N
U
 F
re
e
 D
o
c
u
m
e
n
ta
ti
o
n
 L
ic
e
n
s
e
Imagem: Dbfls / GNU Free Documentation License
Oscilador 
massa-mola 
vertical
Im
a
g
e
m
: 
M
a
z
e
m
a
s
te
r 
/ 
P
u
b
lic
 D
o
m
a
in
Órbita
P
o
s
iç
ã
o
Velocidade
Período (T): menor intervalo de tempo no qual o evento se repete. Dado
em segundos (no S.I.).
Frequência (f): o número de períodos que cabem numa determinada
unidade de tempo. Se essa unidade de tempo for o segundo, a
frequência será dada em Hertz (Hz).
T
1
f =
Características do movimento periódico
7
•Elongação (x): número real que indica a posição do objeto oscilante;
corresponde à abscissa do ponto P no eixo Ox.
•Amplitude (A): a maior elongação apresentada pelo objeto oscilante;
corresponde ao raio do M.C.U.
•Ângulo de Fase (): posição angular do ponto P no M.C.U.
Im
a
g
e
m
: 
S
E
E
-P
E
, 
re
d
e
s
e
n
h
a
d
o
 a
 p
a
rt
ir
 d
e
 
ilu
s
tr
a
ç
ã
o
 d
e
 A
u
to
r 
D
e
s
c
o
n
h
e
c
id
o
.
cos.Ax =
t.0  +=
)t.cos(.Ax
0
 +=
Função horária da elongação do MHS
Função horária da elongação(X)
Imagem: SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de Autor 
Desconhecido.
9
v

mhsv

).(... 0 tsenAsenvvmhs  +==
)t.(sen.A.v
0
 +−=
Função horária da velocidade
Nos pontos de inversão 
do movimento, V=0. No 
ponto x=0, a velocidade 
tem valor máximo.
A.v
máx
=
( )²x²A²v2 −=
Equação de Torricelli
Função da velocidade e velocidade máxima
Imagem: SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de Autor Desconhecido.
10
c
a
 ).cos(.².cos. 0 tAaa cmhs  +==
)t.cos(.A².a
0mhs
 +−=
Função da aceleração do MHS
No ponto central, a 
aceleração é nula, 
pois x=0. Nos pontos 
de inversão, temos o 
valor máximo e o 
mínimo. (1)x².a −=
Aceleração 
em função da 
elongação A².amáx =
mhs
a

Função da aceleração e aceleração máxima
Imagem: SEE-PE, redesenhado a partir 
de ilustração de Autor Desconhecido.
http://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCcQFjAA&url=http://www.forma-te.com/mediateca/download-document/5234-fisica-mhs-1-7.html&ei=1iCYT6GeGorc9ASPmrHoBQ&usg=AFQjCNGv1rmXnrcAuC-WEi19OTzrq8C3fA&sig2=Lwx4GzaTIB8J7
Gráficos do MHS – Posição x tempo
11
Imagens: SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de Autor Desconhecido.
12
Gráficos do MHS – velocidade x tempo
Imagens: SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de Autor Desconhecido.
13
Gráficos do MHS – aceleração x tempo
Imagens: SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de Autor Desconhecido.
Imagem: Autor desconhecido / Creative Commons Attribution-Share Alike 1.0 Generic
Imagem: Gonfer / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
EXEMPLOS
Um corpo realiza umMHS regido pela lei horária
x=10cos no ( Π/4 . t + Π/ 2) no SI.
Determine:
a) As funções horárias de velocidade e da 
aceleração;
b) A velocidade e a aceleração do corpo no 
instante t=2s;
c) Os gráficos da elongação, velocidade e 
aceleração em função do tempo desse 
movimento.
Uma partícula tem o deslocamento dedo pela seguinte 
equação x=6.cos(6 Π.t + Π), no SI.
a) Qual é a velocidade angular do movimento?
b) Qual é a frequência e o periódo?
c) Encontre o valor da amplitude e da fase inicial?
d) Qual deve ser a sua posição em t=0s e t=0,5s?
16
Cálculo do período do pêndulo simples
Galileu percebeu que o período do movimento
pendular não depende da amplitude (conhecido
como isocronismo do pêndulo). Este fato,
devidamente trabalhado por Huygens, veio a
revolucionar a forma de medir intervalos de
tempo e, portanto, de construir relógios.
Medidas de tempo são imprescindíveis na
observação dos fenômenos físicos. (1)Imagem: Vincenzo Viviani / United States Public Domain
Imagem: Justus Sustermans / United States Public Domain
http://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCYQFjAA&url=http://www.fisica.parfor.ufpa.br/index.php?option=com_rokdownloads&view=file&task=download&id=32%3A1-historia-da-mecanica&Itemid=5&ei=0iSYT7Gg
São bem conhecidas as histórias sobre as experiências
que levaram o astrônomo e físico italiano Galileu Galilei
(1564-1642) à descoberta das leis do pêndulo e das leis
da queda livre. Nos dois casos, não há uma data precisa
de quando ele foi motivado a realizar as experiências
que o levaram à formulação daquelas leis. Essa
imprecisão, segundo o físico e historiador da ciência, o
norte-americano Tony Rothman, em seu livro Tudo é
Relativo e Outras Fábulas da Ciência e Tecnologia (DIFEL,
2005), decorre do fato de que tais histórias não foram
registradas por Galileu em nenhum de seus livros, e sim
que elas foram descritas por seu discípulo, o físico
italiano Vincenzio Viviani (1622-1703), em um livro
inacabado que escreveu sobre a vida de seu mestre.
Como era um perfeccionista, levou cinquenta anos
vendo e revendo o que escrevia, sem concluí-lo. Morreu
sem vê-lo publicado, o que só aconteceu em 1717. (2)
Um pouco de história da física
Imagem: Domenico Tempesti / United States public domain
http://www.searadaciencia.ufc.br/folclore/folclore108.htm
No livro Galileu: Uma Vida (José Olympio, 1995) e no
livro Galileu Galilei (Nova Fronteira, 1997), os autores
dizem que Galileu foi levado a descobri-las (as leis) ao
observar, quando assistia à missa na Catedral de Pisa,
que o período de oscilações de um candelabro (lanterna
decorativa), colocado em movimento pelo vento, não
dependia do fato de que tais oscilações fossem rápidas
ou lentas. Ele comparou os períodos dessas oscilações
contando sua própria pulsação. Registre-se que esse
isocronismo já havia sido observado, no século X, pelo
astrônomo árabe Ibn Junis.(2)
http://www.searadaciencia.ufc.br/folclore/folclore108.htm
PERÍODO DO PÊNDULO SIMPLES
Imagens: Algarabia / Public Domain
Lsena
LsenA
Aa
máx
máx
.².
.
².



=
=
=
g
L
2=
OSCILADOR HARMÔNICO HORIZONTAL
Aamáx ².=
Imagem: Dbfls / GNU Free Documentation License
Oscilador harmônico simples (oscilador massa-mola)
OSCILADOR HARMÔNICO VERTICAL
Mas, como o peso não varia
conforme o movimento, este
pode ser considerado como uma
constante, então a força
resultante é do tipo -K.X.
Assim, a força varia
proporcionalmente à elongação
do movimento, portanto é um
MHS, cujo período é expresso
por:
Im
a
g
e
m
: 
S
E
E
-P
E
, 
re
d
e
s
e
n
h
a
d
o
 a
 p
a
rt
ir
 d
e
 i
lu
s
tr
a
ç
ã
o
 d
e
 A
u
to
r 
D
e
s
c
o
n
h
e
c
id
o
.
Na vida cotidiana, os movimentos harmônicos são bastante frequentes. São exemplos disso
os movimentos de uma mola, de um pêndulo e de uma corda de violão.
Cada um desses movimentos oscilatórios realiza movimentos de vaivém em torno de uma
posição de equilíbrio e são caracterizados por um período e por uma frequência. (3)
MHS no Cotidiano
Imagem: Roger McLassus /
GNU Free Documentation License
Imagem: Carivaldi / GNU
Free Documentation License
Imagem: PJ / GNU Free Documentation License
http://www.oocities.org/br/saladefisica3/laboratorio/oscilador/oscilador.htmO estudo do movimento harmônico simples foi fundamental para diversas inovações
tecnológicas, desde a construção de relógios de pêndulo até estudos espaciais que
possibilitaram, entre outras coisas, a criação de satélites artificiais e sondas
espaciais(4).
Texto extraído do site: http://fisicaemdia.tumblr.com/page/2
Imagem: Loadmaster / GNU Free Documentation License Imagem: U.S. Air Force / Public Domain
http://www.sofisica.com.br/conteudos/cotidiano/mhs.php
http://efisica.if.usp.br/mecanica/curioso/historia/galileu/
http://fisicaemdia.tumblr.com/page/2
O MHS também é introdutório ao estudo de sistemas não-
harmônicos, que podem ser estudados pela composição de
ondas harmônicas e adaptados pelas leis conhecidas.(5)
Tacoma bridge
Texto extraído do site: http://fisicaemdia.tumblr.com/page/2
Imagem: Kathy Calm / GNU Free Documentation License
http://www.sofisica.com.br/conteudos/cotidiano/mhs.php
http://efisica.if.usp.br/mecanica/curioso/historia/galileu/
http://fisicaemdia.tumblr.com/page/2
Slide Autoria / Licença Link da Fonte Data do 
Acesso
2 Jkrieger / Creative Commons Attribution-Share 
Alike 3.0 Unported
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Spring_r
esonance.gif
28/03/2012
4.a
Tibbets74 / GNU Free Documentation License
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Simple_
Pendulum_Oscillator.gif
28/03/2012
4.b
Dbfls / GNU Free Documentation License
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ressort
2.gif
28/03/2012
5
Mazemaster / Public Domain
http://pt.wikipedia.org/wiki/Movimento_harm%
C3%B4nico_simples
28/03/2012
7 SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de 
Autor Desconhecido. Acervo SEE-PE
29/03/2012
8 SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de 
Autor Desconhecido. Acervo SEE-PE
29/03/2012
9 SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de 
Autor Desconhecido. Acervo SEE-PE
29/03/2012
10 SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de 
Autor Desconhecido. Acervo SEE-PE
29/03/2012
11 SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de 
Autor Desconhecido. Acervo SEE-PE
29/03/2012
12 SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de 
Autor Desconhecido. Acervo SEE-PE
29/03/2012
13 SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de 
Autor Desconhecido. Acervo SEE-PE
29/03/2012
Tabela de Imagens
Slide Autoria / Licença Link da Fonte Data do 
Acesso
14.a Autor desconhecido / Creative 
Commons Attribution-Share Alike 1.0 Generic
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Muelle.
gif
28/03/2012
14.b Gonfer / Creative Commons Attribution-Share 
Alike 3.0 Unported
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Fasorxv
a.gif
28/03/2012
16.a
Vincenzo Viviani / United States Public Domain
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Galileo_Pendulu
m_Clock.jpg
28/03/2012
16.b
Justus Sustermans / United States Public Domain
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Galileo-
sustermans.jpg
28/03/2012
17 Domenico Tempesti / United States public 
domain
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Vincenz
o_Viviani.jpeg
28/03/2012
19
Algarabia / Public Domain
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Moglfm
1309_pendulosimple.jpg
28/03/2012
21
Dbfls / GNU Free Documentation License
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ressort
2.gif
28/03/2012
22 SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de 
Autor Desconhecido. Acervo SEE-PE
29/03/2012
23.a Roger McLassus / GNU Free Documentation 
License
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:2006-
02-04_Metal_spiral.jpg
28/03/2012
23.b Imagem: Carivaldi / GNU Free Documentation 
License
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Radiest
hetic_pendulum.jpg
28/03/2012
23.c
PJ / GNU Free Documentation License
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Guitar_
1.jpg
28/03/2012
Tabela de Imagens
Slide Autoria / Licença Link da Fonte Data do 
Acesso
24.a
Loadmaster / GNU Free Documentation License
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Clock-
JungHans-6932.jpg
28/03/2012
24.b
U.S. Air Force / Public Domain
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Navstar-
2.jpg
28/03/2012
25
Kathy Calm / GNU Free Documentation License
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bridge1.
jpg
28/03/2012
Tabela de Imagens