Aula 11

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Curso de Concreto Armado 101 31/10/18 
11 Elementos Lineares Sujeitos à Força Cortante - ELU 
 
11.1 Tensões de cisalhamento 
 
a) Estádio I 
 
 
Figura 42 - Tensões de cisalhamento (Estádio I) 
 
Seja um elemento de comprimento dx de uma peça compreendido entre duas seções S e S’ 
(figura 42), submetido à atuação de momento fletor, esforço normal e esforço cortante. 
Cortando este elemento por uma seção C-C, paralela ao plano que contém o eixo 
longitudinal da peça e a linha neutra da seção, o equilíbrio na direção do eixo (X = 0) se 
obterá graças ao aparecimento das tensões  de cilhamento, cuja resultante deve equilibrar 
a diferença entre as resultantes das tensões normais D e (D + dD) atuantes nas duas faces 
do elemento. 
 
Assim: 
 
D + bdx = D + dD   = 
dx
dD
b
1
 
sendo (y) = 
J
yM
A
N 
 e D =  
ys
yc
dA)y( , temos: 
D =   
ys
yc
ys
yc
11 mJ
M
AA
N
ydA
J
M
dA
A
N
   = 





 mJ
M
AA
N
dx
d
b
1
11
 (I), onde: 
 
A1 e A representam, respectivamente, a área da parte da seção situada acima da fibra C-C e 
a área total da seção 
m1 é o momento estático de A1 em relação à linha neutra 
J é o momento de inércia da seção completa em relação à linha neutra 
b é a largura da seção ao nível da fibra C-C 
 
Nos casos de flexão simples (N = 0), em peças com inércia constante, a expressão geral (I) 
se transforma em: 
 = 
Jb
mVM
J
m
dx
d
b
1 11











 
Ao nível da linha neutra temos: 
0 = 
zb
V
m
J
b
V
Jb
mV
0
0
0
0
0






 (II), onde a relação 
m
J
0
 pode ser identificada como o braço 
de alavanca entre as resultantes das tensões de compressão (D) e de tração (Z) oriundas da 
flexão, representado por z. 
 
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b) Estádio II 
 
Seja a mesma seção da figura 42 funcionando no Estádio II (concreto já fissurado) 
submetida à flexão simples, conforme mostra a figura 43. 
 
 
Figura 43 - Tensões de cisalhamento (Estádio II) 
 
As equações (I) e (II) permaneceriam válidas se feita a restrição de que todo o concreto 
fissurado fosse considerado como inexistente e admitida distribuição linear de tensões de 
compressão no concreto, ao mesmo tempo em que a armadura tracionada As deveria ser 
tratada como uma área localizada de concreto igual a (n x As), onde n é a relação entre os 
módulos de elasticidade do aço e do concreto. Deste modo, entre a linha neutra e a 
armadura tracionada o valor do produto b x  permanece constante, já que nenhum 
acréscimo sofrerá m1 tendo em vista a não consideração da área tracionada de concreto, 
sofrendo uma descontinuidade e caindo a zero quando encontra a armadura tracionada As. 
 
O dimensionamento à flexão simples no ELU, para as solicitações de cálculo Vd e Md, não 
admite distribuição linear mas sim parabólica (simplificada em retangular) das tensões de 
compressão oriundas de Md, de modo que não mais permanecem válidas as expressões (I) e 
(II) caso se pretenda determinar z como sendo a relação entre J e m0. A expressão (II) 
continuará aplicável desde que seja considerado, no estado limite último, o valor z = (1 - 0,4 
kx) x d = kz x d. 
 
No intuito de simplificar o trabalho de cálculo, considera-se um valor médio para kz (= 0,87) 
tal que cubra (do lado da segurança) a grande maioria das situações que ocorrem na 
prática. 
 
Deste modo, temos: 
 
d = 
db
V15,1
db87,0
V
zb
V ddd






 (III) 
 
Em uma seção fissurada de concreto armado, os máximos valores de cálculo das tensões de 
cisalhamento costumam aparecer na região tracionada do concreto entre a linha neutra e a 
armadura As. Apenas em casos particulares muito especiais e inusuais de seções 
comprimidas com largura caindo na direção das fibras mais comprimidas poderá vir a 
aparecer, na região comprimida, a máxima tensão de cisalhamento no ELU. 
 
c) Resumo 
 
Do exposto acima pode-se concluir, para peças de concreto armado dimensionadas no 
estado limite último, que: 
 
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 As máximas tensões de cisalhamento ocorrem na região fissurada, ressalvados casos 
excepcionais 
 Na região tracionada, o produto da largura da peça b pelo valor de cálculo d da tensão 
de cisalhamento é constante e igual a: 
 
z
Vddb  
 Ao nível da linha neutra, chamando b0 a largura da seção, temos a atuação de uma 
tensão 0d de cisalhamento dada por: 
 
d0b
Vd15,1
z0b
Vd
d0




 
 No caso mais corrente de nervuras com largura constante e igual a bw teremos, ao longo 
de toda a região fissurada, a atuação no ELU de uma tensão de cisalhamento 0d dada 
por: 
 
wd15,1
dbw
Vd15,1
d0 


 , onde 
dbw
Vd
wd

 
 
Ao valor wd chamamos tensão convencional de cisalhamento, decorrendo a mesma do fato 
de que essa tensão é um parâmetro através do qual se verificará estar ou não havendo 
esmagamento da biela comprimida que se forma na viga em seu funcionamento à flexão. 
 
 O dimensionamento ao esforço cortante de uma peça em concreto armado envolverá 
duas etapas: 
 
Verificação do não esmagamento do concreto para as diagonais comprimidas da 
treliça que se forma em seu interior 
Dimensionamento das armaduras necessárias a absorver as trações que surgem na 
referida treliça oriundas do esforço cortante (armaduras com barras verticais ou 
inclinadas) 
 
Todo este dimensionamento estará calcado nas adaptações introduzidas ao longo do tempo 
sobre a Treliça de Ritter-Mörsch. 
 
11.2 A Treliça de Mörsch 
 
Considerando a viga retangular (bw x h) da figura 11, Mörsch admitiu, após a fissuração, seu 
funcionamento segundo uma treliça, 
 
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 A NBR 6118 
 
 Hipóteses básicas 
 
As prescrições que se seguem aplicam-se a elementos lineares armados ou protendidos, 
submetidos a forças cortantes, eventualmente combinadas com outros esforços solicitantes. 
 
Não se aplicam a elementos de volume, lajes, vigas parede e consolos curtos. 
 
As condições fixadas pela NBR 6118 para elementos lineares admite dois modelos de cálculo 
que pressupõem a analogia com modelo em treliça, de banzos paralelos, associado a 
mecanismos resistentes complementares desenvolvidos no interior do elemento estrutural e 
traduzidos por uma componente adicional Vc. 
 
 Condições relativas aos esforços solicitantes 
 
I. Cargas próximas aos apoios 
 
Para o cálculo da armadura transversal, no caso de apoio direto (se a carga e a reação de 
apoio forem aplicadas em faces opostas do elemento estrutural, comprimindo-a), valem as 
seguintes prescrições: 
 
 a força cortante oriunda de carga distribuída pode ser considerada, no trecho entre o 
apoio e a seção situada à distância d/2 da face de apoio, constante e igual à desta seção 
 
 a força cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distância a  2d do 
eixo teórico do apoio pode, nesse trecho de comprimento a, ser reduzida multiplicando-a 
por a/(2d). Todavia esta redução não se aplica às forças cortantes provenientes dos 
cabos inclinados de protensão 
 
As reduções indicadas neste item não se aplicam à verificação da resistência à compressão 
diagonal do concreto. No caso de apoios indiretos, essas reduções também não são 
permitidas. 
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II. Elementos estruturais com altura variável 
 
A força cortante que é resistida pela alma das vigas de altura variável pode ser avaliada por: 
onde: 
 
VSd,red é a força cortante reduzida, considerando o efeito de altura variável 
 
c é o ângulo entre o banzo de compressão e o eixo longitudinal do elemento estrutural 
 
t é o ângulo entre a armadura de tração e o eixo do elemento estrutural 
 
 é o ângulo de inclinação das bielas de compressão consideradas no dimensionamento à 
força cortante 
 
z é o braço de alavanca das forças internas 
 
Os sinais de c e t devem ser obtidos considerando o sentido das forças finais de 
compressão e de tração da flexãocom a força cortante concomitante. 
 
A expressão acima considera a redução da força de compressão na flexão quando existe 
força cortante concomitante. 
 
 Verificação do estado limite último 
 
 Cálculo da resistência 
 
A resistência do elemento estrutural, numa determinada seção transversal, deve ser 
considerada satisfatória quando verificadas simultaneamente as seguintes condições: 
 
VSd  Rd2 
 
VSd  Rd3 = Vc + Vsw , onde: 
 
VSd é a força cortante solicitante de cálculo na seção 
 
VRd2 é a força cortante resistente de cálculo relativa à ruína das diagonais comprimidas de 
concreto, conforme se apliquem os processos indicados a seguir 
 
VRd3 = Vc + Vsw, é a força cortante resistente de cálculo relativa à ruína por tração diagonal, 
onde Vc é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao de 
treliça e Vsw a parcela absorvida pela armadura transversal, conforme se apliquem os 
processos indicados a seguir 
 
Na região dos apoios os cálculos devem considerar as forças cortantes agentes nas 
respectivas faces. 
 
 Modelo de cálculo I 
 
tred,SdSdcred,SdSdred,Sdd tg)2/gcotVz/M(tg)2/gcotVz/M(VV 
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O modelo I admite diagonais de compressão inclinadas de  = 45 em relação ao eixo 
longitudinal do elemento estrutural e admite ainda que a parcela complementar Vc tenha 
valor constante, independente de VSd. 
 
verificação da compressão diagonal do concreto 
 
VRd2 = 0,27 x v x fcd x bw x d, sendo v = (1 - fck / 250) fck em MPa 
 
cálculo da armadura transversal 
 
Vsw = (Asw / s) x 0,9 x d x fywd (sen  + cos ), sendo: 
 
Vc = 0 nos elementos estruturais tracionados quando a linha neutra se situa fora da 
seção 
 
Vc = Vc0 na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção 
 
Vc = Vc0 (1+ Mo / MSd,máx )  2Vc0 na flexo-compressão 
 
Vc0 = 0,6 fctd bw d 
 
fctd = fctk,inf / c 
onde: 
 
bw é a menor largura da seção compreendida ao longo da altura útil d 
 
d é a altura útil da seção, igual à distância da borda comprimida ao centro de gravidade 
da armadura de tração 
 
s é o espaçamento entre elementos da armadura transversal Asw, medido segundo o eixo 
longitudinal do elemento estrutural 
 
fywd é a tensão na armadura transversal passiva, limitada ao valor fyd no caso de estribos e 
a 70% desse valor no caso de barras dobradas, não se tomando, para ambos os casos, 
valores superiores a 435 MPa 
 
 
elemento estrutural, podendo-se tomar 45º    
 
M0 é o valor do momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da 
seção (tracionada por Md,max) provocada pelas forças normais de diversas origens 
concomitantes com VSd, sendo essa tensão calculada com valor de f igual a 0,9. Os 
momentos correspondentes a essas forças normais não devem ser considerados no 
cálculo dessa tensão pois são considerados em MSd 
 
MSd,max é o momento fletor de cálculo máximo no trecho em análise, que pode ser tomado 
como o de maior valor no semi-tramo considerado 
 
decalagem do diagrama de força no banzo tracionado 
 
Quando a armadura longitudinal de tração for determinada através do equilíbrio de esforços 
na seção normal ao eixo do elemento estrutural, os efeitos provocados pela fissuração 
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oblíqua podem ser substituídos no cálculo pela correspondente decalagem do diagrama de 
momentos fletores dada pela expressão: 
 
sendo: 
 
al  0,5d, no caso geral 
 
al  0,2d, para estribos inclinados a 45 
 
 Modelo de cálculo II 
 
O modelo II admite diagonais de compressão inclinadas de  em relação ao eixo longitudinal 
do elemento estrutural, com  variável livremente entre 30 e 45. Admite ainda que a 
parcela complementar Vc sofra redução com o aumento de VSd. 
 
verificação da compressão diagonal do concreto 
 
VRd2 = 0,54 x v x fcd x bw x d x sen
2  x (cotg  + cotg ), sendo v = (1- fck/250) 
fck em MPa 
 
cálculo da armadura transversal 
Vsw = (Asw / s) x 0,9 x d x fywd x (cotg  + cotg ) sen , sendo: 
 
Vc= 0 em elementos estruturais tracionados quando a linha neutra se situa fora da 
seção 
 
Vc= Vc1 na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção 
 
Vc= Vc1 (1+ M0 / MSd,máx)  2Vc1 na flexo-compressão, com: 
 
Vc1 = Vc0 quando VSd  Vc0 
 
Vc1 = 0 quando VSd = VRd2, interpolando-se linearmente para valores intermediários 
 
 
deslocamento do diagrama de momentos fletores 
 
O deslocamento do diagrama de momentos fletores, aplicando o processo descrito neste 
item, deve ser: 
 
 
sendo: 
 
al  0,5d, no caso geral 
 
al  0,2d, para estribos inclinados a 45 
 
 Condições gerais 










 gcot)gcot1(
)VV(2
V
da
cmáx,Sd
máx,Sd

)gcotg(cotd5,0a 
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Todos os elementos lineares submetidos a força cortante, à exceção dos casos indicados 
abaixo, devem conter armadura transversal mínima constituída por estribos, com taxa 
geométrica: 
onde: 
 
Asw é a área da seção transversal dos estribos 
 
s é o espaçamento dos estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural 
 
 é a inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural 
 
bw é a largura média da alma, medida ao longo da altura útil da seção 
 
Fazem exceção ao parágrafo anterior: 
 
os elementos estruturais lineares com bw  5 d (em que d é a altura útil seção), caso que 
deve ser tratado como laje 
 
as nervuras de lajes nervuradas, quando espaçadas de menos de 60 cm, que também 
podem ser verificadas como lajes. Neste caso deve ser tomada como base a soma das 
larguras das nervuras no trecho considerado, podendo ser dispensada a armadura 
transversal quando VSd  0,7 VRd1 com VRd1 = Rd1 bw Rd1 definido em 19.4.1); 
 
a) os pilares e elementos lineares de fundação submetidos predominantemente à 
compressão que atendam simultaneamente, na combinação mais desfavorável das 
ações em estado limite último, calculada a seção em Estádio I, às condições seguintes: 
 
- em nenhum ponto deve ser ultrapassada a tensão fctk; 
 
- VSd c, sendo Vc definido em 17.4.2.1. 
 
Neste caso, a armadura transversal mínima é a definida na seção 18. 
 
A armadura transversal (Asw) pode ser constituída por estribos (fechados na região de apoio 
das diagonais, envolvendo a armadura longitudinal) ou pela composição de estribos e barras 
dobradas. Entretanto, quando forem utilizadas barras dobradas, estas não devem suportar 
mais do que 60% do esforço total resistido pela armadura. 
 
Podem ser utilizadas barras verticais soldadas combinadas com estribos fechados, mantida a 
proporção resistente estabelecida acima. Entretanto, quando essas barras não forem 
combinadas com estribos, os elementos longitudinais soldados devem obrigatoriamente 
constituir a totalidade da armadura longitudinal de tração. 
 
O ângulo de inclinação  das armaduras transversais em relação ao eixo longitudinal do 
elemento estrutural deve estar situado no intervalo 45º    
 
 Distribuição da armadura longitudinal 
 
ywk
ctm
w
sw
sw
f
f
2,0
sen.s.b
A



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Armaduras de tração na flexão simples ancoradas por aderência 
 
O trecho da extremidade da barra de tração considerado como de ancoragem, tem início na 
seção teórica onde sua tensão s começa a diminuir (o esforço da armadura começa a ser 
transferido para o concreto). Deve prolongar-se pelo menos 10 além do ponto teórico de 
tensão s nula, não podendo em nenhum caso ser inferior ao comprimento de ancoragem 
necessário. Assim, na armadura longitudinal de tração dos elementos estruturais solicitados 
por flexão simples, o trecho de ancoragem da barra deve ter início no ponto A (figura 35) do 
diagrama de forças RSd = MSd / z decalado do comprimento al. Se a barra não for dobrada, o 
trecho de ancoragem deve prolongar-se além de B no mínimo 10. 
 
Se a barra for dobrada, o início do dobramento pode coincidir com o ponto B (verfigura 35). 
 
 
Figura 35 - Cobertura do diagrama de força de tração solicitante pelo diagrama 
resistente 
 
Nos pontos intermediárias entre A e B, o diagrama resistente linearizado deve cobrir o 
diagrama solicitante (ver figura 35). 
 
Se o ponto A estiver na face do apoio ou além dela e a força Rst diminuir em direção ao 
centro de apoio, o trecho de ancoragem deve ser medido a partir dessa face. 
 
18.3.2.3.2 Caso de barras alojadas nas mesas 
 
Para as barras alojadas nas mesas ou lajes, e que façam parte da armadura da viga, o ponto 
de interrupção da barra é obtido pelo mesmo processo anterior, considerando ainda um 
comprimento adicional igual à distância da barra à face mais próxima da alma. 
 
18.3.2.4 Armadura de tração nas seções de apoio 
 
Os esforços de tração junto aos apoios de vigas simples ou contínuas devem ser resistidos 
por armaduras longitudinais que satisfaçam à mais severa das seguintes condições: 
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a) no caso de ocorrência de momentos positivos, as armaduras obtidas através do 
dimensionamento da seção; 
 
b) em apoios extremos, para garantir ancoragem da diagonal de compressão, armaduras 
capazes de resistir a uma força de tração Rst = (a /d) Vd + Nd , onde Vd é a força 
cortante no apoio e Nd é a força de tração eventualmente existente; 
 
c) em apoios extremos e intermediários, por prolongamento de uma parte da armadura 
de tração do vão (As,vão), correspondente ao máximo momento positivo do tramo (Mvão) 
de modo que: 
 
- As,apoio 1/3 (As,vão) se Mapoio apoio vão ; 
 
- As,apoio 1/4 (As,vão) se Mapoio apoio vão . 
 
18.3.2.4.1 Ancoragem da armadura de tração no apoio 
 
Quando se tratar do caso (a) do item 18.3.2.4, as ancoragens devem obedecer aos critérios 
usuais de detalhamento. 
 
Para os casos (b) e (c), em apoios extremos, as barras das armaduras devem ser ancoradas 
a partir da face do apoio, com comprimentos iguais ou superiores ao maior dos seguintes 
valores: 
 
- b,nec, conforme 9.4.2.5; 
 
- 
 
- 60 mm. 
 
Quando houver cobrimento da barra no trecho do gancho, medido normalmente ao 
plano do gancho, de pelo menos 70 mm e as ações acidentais não ocorrerem com 
grande freqüência com seu valor máximo, o primeiro dos três valores anteriores pode 
ser desconsiderado, prevalecendo as duas condições restantes. 
 
Para os casos (b) e (c), em apoios intermediários, o comprimento de ancoragem 
, desde que não haja qualquer possibilidade da ocorrência de 
momentos positivos nessa região, provocados por situações imprevistas, 
particularmente, por efeitos de vento e eventuais recalques. Quando essa 
possibilidade existir, as barras devem ser contínuas ou emendadas sobre o apoio. 
 
18.3.3 Armadura transversal para força cortante 
 
18.3.3.1 Generalidades 
 
As armaduras destinadas a resistir aos esforços de tração provocados por forças 
cortantes podem ser constituídas por estribos, combinados ou não com barras 
dobradas ou barras soldadas, e devem ser projetadas de acordo com as prescrições 
do item 17.4. 
 
18.3.3.2 Elementos estruturais armados com estribos 
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Os estribos para cortantes devem ser fechados através de um ramo horizontal, 
envolvendo as barras da armadura longitudinal de tração, e ancorados na face 
oposta. Quando essa face também puder estar tracionada, o estribo deve ter o ramo 
horizontal nessa região, ou complementado por meio de barra adicional. 
 
O diâmetro da barra que constitui o estribo deve ser maior ou igual a 5 mm, sem 
exceder 1/10 da largura da alma da viga. Quando a barra for lisa, seu diâmetro não 
pode ser superior a 12 mm. No caso de estribos formados por telas soldadas, o 
diâmetro mínimo pode ser reduzido para 4,2 mm, desde que sejam tomadas 
precauções contra a corrosão dessa armadura. 
 
O espaçamento mínimo entre estribos, medido segundo o eixo longitudinal do 
elemento estrutural, deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador, 
garantindo um bom adensamento da massa. O espaçamento máximo deve atender 
às seguintes condições: 
 
se Vd 0,67 VRd2 , então smáx = 0,6 d 300 mm ; 
 
- se Vd 0,67 VRd2 , então smáx = 0,3 d 200 mm . 
 
O espaçamento transversal entre ramos sucessivos da armadura constituída por estribos não 
deve exceder os seguintes valores: 
 
- se Vd 0,20 VRd2 , então st,máx = d 800 mm ; 
 
- se Vd 0,20 VRd2 , então st,máx = 0,6d 350 mm . 
 
As emendas por traspasse são permitidas apenas quando os estribos forem constituídos por 
telas ou por barras de alta aderência. 
 
18.3.3.3 Elementos estruturais armados com barras dobradas 
 
18.3.3.3.1 Ancoragem 
 
No caso de barras dobradas resistentes à tração provocada por forças cortantes, o trecho 
b,nec (ver 9.4.2.5). 
 
18.3.3.3.2 Espaçamento longitudinal 
 
O espaçamento longitudinal entre barras dobradas não deve ser superior a smáx = 0,6 d (1+ 
é o ângulo de inclinação da barra dobrada. 
 
18.3.4 Armadura para torção 
 
A armadura destinada a resistir aos esforços de tração provocados por torção deve ser 
constituída por estribos normais ao eixo da viga, combinados com barras longitudinais 
paralelas ao mesmo eixo, e deve ser projetada de acordo com as prescrições do item 17.5. 
 
Consideram-se efetivos na resistência os ramos dos estribos e as armaduras longitudinais 
contidos no interior da parede fictícia da seção vazada equivalente (ver 17.5.1.3). 
 
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Os estribos para torção devem ser fechados em todo o seu contorno, envolvendo as barras 
das armaduras longitudinais de tração, e com as extremidades adequadamente ancoradas 
por meio de ganchos em ângulo de 45º. 
 
Devem ser obedecidas as prescrições de 18.3.3.2 relativas ao diâmetro das barras que 
formam o estribo e ao espaçamento longitudinal dos mesmos, 
 
As barras longitudinais da armadura de torção podem ter arranjo distribuído ou concentrado 
ao longo do perímetro interno dos estribos, espaçadas no máximo de 350 mm. 
 
Deve-se respeitar a relação 
, exigida pelo dimensionamento. 
 
As seções poligonais devem conter, em cada vértice dos estribos de torção, pelo menos uma 
barra. 
 
18.3.5 Armadura de pele 
 
A armadura de pele calculada de acordo com 17.3.4.2.3 deve ser disposta de modo que o 
afastamento entre as barras não ultrapasse d/3 e 20 cm. 
 
18.3.6 Armadura de suspensão 
 
Nas proximidades de cargas concentradas transmitidas à viga por outras vigas ou elementos 
discretos que nela se apoiem ao longo ou em parte de sua altura, ou fiquem nela 
penduradas, deve ser colocada armadura de suspensão. 
 
18.3.7 Armaduras de ligação mesa-alma ou talão-alma 
 
Os planos de ligação entre mesas e almas ou talões e almas de vigas devem ser verificados 
com relação aos efeitos tangenciais decorrentes das variações de tensões normais ao longo 
do comprimento da viga, tanto sob o aspecto de resistência do concreto, quanto das 
armaduras necessárias para absorver as trações decorrentes desses efeitos. 
 
As armaduras de flexão da laje, existentes no plano de ligação, podem ser consideradas 
como parte da armadura de ligação, complementando-se a diferença entre ambas, se 
necessário. A seção transversal mínima dessa armadura, estendendo-se por toda a largura 
útil e ancorada na alma, deve ser de 1,5 cm2 por metro.