Matemática Computacional

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Matemática 
Computacional 
Edgard Jamhour 
Definição 
• A matemática computacional é uma área da matemática e 
da computação que trata do desenvolvimento de modelos 
matemáticos, para o tratamento de problemas complexos, e 
desenvolvimento de métodos numéricos de obtenção de 
soluções. 
 
• Matemática computacional geralmente utiliza técnicas para 
solução numérica (aproximada) de problemas. 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Computa%C3%A7%C3%A3o
Solução Analíticas vs Numéricas 
• Soluções analíticas são soluções exatas obtidas através de 
manipulações algébricas e provas matemáticas; 
• Exemplo: 
• Em quais pontos as equações se interceptam: 
y=a*x + b 
x2+y2=r2 
 
y = 0.5*x + 5 
x2+y2=25 
Problemas sem solução 
analítica 
 
• A) Diversas integrais como: 
 
• B) Equações diferenciais como: 
 
• C) equações diferenciais parciais não lineares podem ser 
resolvidas analiticamente só em casos particulares. 
 
 dxe
x2
22 tyy 
Exemplo: Integração Numérica 
retângulo trapézio simpson 
Influência dos Erros nas 
Soluções 
• Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis 
• (25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil Patriot) 
6 
Erro de 0,34 s no cálculo do 
tempo de lançamento 
Limitação na representação 
numérica (24 bits) 
Influência dos Erros nas 
Soluções 
• Exemplo 3: Falha no lançamento do foguete francês Ariane 501 
• (04/06/1996 – Guiana Francesa) 
7 
Erro de trajetória 36,7 segundos 
após o lançamento 
 
Prejuízo de U$ 7,5 bilhões 
Erro na conversão de um número 
de ponto flutuante de 64bits 
para inteiro de 16 bits 
Modelagem e Resolução 
• No caso geral, a utilização da matemática computacional para 
resolução e problemas envolve as seguintes etapas; 
 
• 1) Definir o problema que será resolvido 
• 2) Construir um modelo matemático para o problema 
• 3) Resolver o problema usando um método 
numérico/computacional 
• 4) Verificar a solução confrontando os resultados previstos com 
aqueles medições feitas em experimentos. 
8 
Fontes de erros 
• Problema: como determinar a altura de um edifício usando 
uma bola de metal e um cronômetro? 
• h = 
𝑔𝑡2
2
 
• h= altura (m) 
• t = tempo medido (m) 
• g = gravidade (9.8 m/s2) 
• Se a bola levar 2 segundos para cair do topo do prédio, 
podemos afirmar que a altura do prédio é 19.6 metros? 
• Quais são as fontes de erro que podem afetar essa resposta? 
• erros no modelo matemático 
• erros de resolução 
• erros de truncamento 
 
 
 
Fontes de erros 
• Problema: como determinar a altura de um edifício usando 
uma bola de metal e um cronômetro? 
• h = 
𝑔𝑡2
2
 
• h= altura (m) 
• t = tempo medido (m) 
• g = gravidade (9.8 m/s2) 
• Se a bola levar 2 segundos para cair do topo do prédio, 
podemos afirmar que a altura do prédio é 19.6 metros? 
• Quais são as fontes de erro que podem afetar essa resposta? 
• erros no modelo matemático 
• erros de resolução (precisão dos dados de entrada) 
• erros de truncamento 
 
 
 
Representação Numérica 
• Qual a distância que uma roda de raio R = 10 metros percorre 
em uma volta? 
• C = 2  R 
• Como representar o número ? 
• a) π =3,14 
• b) π =3,1416 
• c) π =3,141592654 
• O valor exato não pode ser obtido através de métodos 
numéricos. 
• A representação de um número depende da BASE escolhida e 
do número de dígitos usados na sua representação. 
 
 
Representação de Número 
Inteiro 
 
 
Onde: 
  é a base fixa 
- d é um dígito da base 
 
Exemplos: 
Representação de Número 
Real 
• Representação de um número real x 
• 𝑥 = ± 𝑥𝑖, 𝑥𝑓 
• xi: parte inteira 𝑖𝑛𝑖𝑛−1𝑖𝑛−2⋯𝑖1 𝑖0 
• xf: parte fracionária 𝑓1𝑓2⋯𝑓𝑚−1 𝑓𝑚 
• 𝑥𝑓 = 𝑓1𝛽
−1𝑓2𝛽
−2⋯𝑓𝑚−1𝛽
− 𝑚−1 𝑓𝑚−1𝛽
− 𝑚−2 
• n+1 algarismos na parte inteira e m na parte fracionária 
• Exemplos: 
 
Conversão Decimal para 
Binária 
• Método das divisões sucessivas (parte inteira do número) 
a. Divide-se o número (inteiro) por 2; 
b. Divide-se por 2, o quociente da divisão anterior; 
c. Repete-se o processo até o último quociente ser igual a 1. 
• Método das multiplicações sucessivas (parte fracionária do 
número) 
a. Multiplica-se o número (fracionário) por 2; 
b. Do resultado, a parte inteira será o primeiro dígito do número 
na base binária e a parte fracionária é novamente multiplicada 
por 2; 
c. O processo é repetido até que a parte fracionária do último 
produto seja igual a zero 
Exemplos 
Erro de arredondamento 
• Nem todo número real na base decimal possui uma 
representação finita na base binária. 
• Exemplo: representação do número 0,1 em binário: 
 
• 0.0001100112 = 0.0996094 
• 0.00011001100112 = 0.0999756 
• 0.000110011001100112 = 0.0999985 
• 0.0001100110011001100112 = 0.0999999 
 
• Operações com números reais são uma das principais fontes 
de erro introduzidos por algoritmos numéricos. 
Resolva os seguintes exercícios 
usando o Wolfram Alpha 
• a) (100110)2 = para base 10 
• b) (1100101)2 = para base 10 
• c) (40,28) 10= para base 2 
• d) (110,01) 2= para base 10 
• e) (3,8)10 = para base 2 
Ponto Flutuante 
• Formato de representação digital de números reais usada nos 
computadores. A representação vista anteriormente: 
• [ PARTE INTEIRA , PARTE FRACIONÁRIA ] 
•  é muito cara em termos de armazenamento e processamento 
• Um número em ponto flutuante tem o seguinte formato: 
Mantissa = 0,d1d2 ...dt 
(número menor que 1) 
t: número de dígitos significativos 
Base (número inteiro) 
= 2 sistemas binários 
Expoente 
I ≤ e ≤ S 
Exemplos 
• Notação de ponto flutuante em base 10: 
• 0.35 = 0.35*100 
• -5.171 = -0.5171*101 
• 0.0123 = 0.123*10-1 
• 5391.3 = 0.53913*104 
• 0.0003 = 0.3*10-3 
• Mesmo exemplo, com t=3 e -2 ≤ e ≤ 2: 
• 0.35 = 0.350*100 
• -5.171 = -0.517*101 
• 0.0123 = 0.123*10-1 
• 5391.3 = 0.539*10*** 4>2 ****= erro de overflow 
• 0.0003 = 0.300*10*** -4 <-2 **** = erro de underflow 
 
 
 
 
Representação no MATLAB 
• MATLAB representa números em ponto flutuante com 
precisão simples ou dupla (default), de acordo como o padrão 
IEEE 754. 
• SIMPLES (32 bits): 31 .... 0 
• bit 31: sinal (0 positivo, 1 negativo) 
• 30 até 23: expoente 
• 22 até 0: mantissa 
• DUPLA (64 bits): 63 ... 0 
• bit 63: sinal (0 positivo, 1 negativo) 
• 62 até 52: expoente 
• 51 até 0: mantissa 
 
 
 
 
Erros Absoluto, Relativo e 
Percentual 
• Erro absoluto: 𝐸𝑎 = 𝑥 − 𝑥 
• x = valor exato 
• 𝑥 = valor aproximado obtido por procedimento numérico 
• Exemplo: 
• Se 𝑥 = 10 e 𝐸𝑎 < 0.01 então 0.99 < x < 10.01 
• Erro relativo: 𝐸𝑟 =
𝐸𝑎
𝑥 
 = 
𝑥−𝑥 
𝑥 
 
• Erro percentual: 𝐸𝑝 = 𝐸𝑟 
 
• Exercício: Você testou dois métodos numéricos A e B. O 
método A obteve o valor x= 0.00004, sabendo que o valor real 
é 0.0005. O método B obteve o valor 100000, sando que o 
valor real é 101000. Qual desses métodos é melhor? 
 
 
 
 
Erro por Arredondamento e 
Truncamento 
• Suponha que se computador opere com números em ponto 
flutuante com 3 dígitos significativos, e expoente -4<e<4. 
• Erros cometidos por arredondamento são menores que os de 
truncamento, mas requerem um tempo menor de execução. 
Por isso, o truncamento é mais usado em computadores. 
 
 
 
Propagação de Erros 
• Suponha que um computador que opere com 4 dígitos 
significativos realize as seguintes operações, equivalentes: