7- EQUIVALÊNCIA DE TAXAS A JUROS COMPOSTOS

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1-Conceito
Historicamente o cálculo dos juros foi caracterizado por forte presença de taxas compostas anuais. Atualmente, com as grandes variações de taxas e prazos e a marcante presença da inflação, abriu-se espaço para as aplicações de taxas em períodos menores, com recálculos mais freqüentes.
As operações de recálculo das taxas de juros são importantes nas economias inflacionadas para garantir o valor dos ativos financeiros e nas economias estáveis para garantir a confiabilidade da margem de lucro, de difícil recuperação nesse perfil econômico.
Por terem que levar junto suas capitalizações, os cálculos da taxa efetiva no critério composto são mais complexos do que no simples, onde as taxas equivalentes são proporcionais. Atualmente essas dificuldades estão minimizadas pela eficiência das calculadoras modernas que, a um custo baixo, incorporaram grande eficiência e precisão de cálculos.
Os bancos e financeiras desenvolveram esquemas práticos para cálculos em situações corriqueiras, que não atendem a situações de exceção cada vez mais freqüentes, cujos cálculos devem ser específicos. A conseqüência importante dessa situação é uma exigência maior da competência do administrador que gerencia o dia-a-dia das empresas. Quando não se consegue esse desenvolvimento nas escolas as empresas acabam arcando com os custos dessa formação dos seus gerentes financeiros.
Para facilitar nosso trabalho, vamos estabelecer um conceito operacional que será traduzido em uma fórmula aberta que, com pequenas alterações poderão ser aplicadas a todas as situações.
 
Duas taxas de juros diferentes, referentes a unidades de tempo diferentes, serão equivalentes quando, a partir do mesmo capital, no mesmo prazo, produzirem o mesmo montante.
 
Aplicação: Qual a importância do conceito de equivalência de taxas compostas?
R.: esse conceito é muito importante porque nos permite calcular valores em prazos cujas taxas de juros não conhecemos. Existem situações como as de pagamentos parcelados, cujos prazos não podem ser alterados para se adequar à unidade de tempo da taxa de juros.
 
           
2-Fórmulas de Equivalência
Para construirmos uma fórmula que relacione duas taxas equivalentes de acordo com o critério do juro composto, vamos fixar as taxas anual e mensal.
 
·         ia = taxa unitária anual
·         im = taxa unitária mensal
Número de períodos: um ano para a taxa anual e doze meses para a taxa mensal.
 
Aplicando a fórmula do montante composto, teremos:
 
            M = P.(1 + im )12   , para a taxa mensal
 
            M = P.(1 + ia)  , para a taxa anual
 
Repare que para o mesmo prazo de um ano a taxa anual vê um período e a taxa mensal vê doze.
 
Como, de acordo com o conceito, os montantes e os principais são iguais, teremos:
 
 
                (1 + im )12   =  1 + ia
 
Essa fórmula indica que a taxa anual possui doze capitalizações da taxa mensal equivalente.
Equivalências em outros períodos poderão ser calculadas alterando-se, na fórmula, os números de capitalizações correspondentes.
 
            Repare que o número de capitalizações dessa fórmula é obtido através da relação entre os prazos das duas taxas de juros consideradas.
 
Aplicações: Calcule a taxa composta anual equivalente a 2% a.m.
            Solução por aplicação direta da fórmula:
 
            (1 + 2÷100) = (1 + ia)
1 + ia = 1,26824
ia = 0,26824 ao ano ou 26,82%a.a..
 
Na calculadora temos:
Algébrica:
2÷100+1= yx 12 = -1 =
 
RPN (HP12C):
2 ENTER 100÷1+12 yx 1-
 
Observe o conceito em que se baseia essa solução: a taxa anual tem doze capitalizações da mensal equivalente.
Esse formato do cálculo se deve ao fato da capitalização ser efetuada através da fórmula do montante composto.
           
Esses cálculos de taxas equivalentes também poderão ser feitos através das funções da calculadora financeira. A definição da taxa de juros unitária como a variação do juro por unidade de capital, dá suporte a esse cálculo.
 
No caso do exercício anterior temos:
1          CHS   PV      -1,00
12                   n         12,00
2                     i          2,00
                        FV      1,2682
 
Calculando 1,2682 – 1 temos taxa = 0,2682 ao ano.
Como a taxa é a variação por unidade de capital, aplicamos 1,00 e, ao final, subtraímos 1,00 para ficar apenas com a variação no período, que é a taxa pedida. Alterando os parâmetros podemos calcular todas as variações das taxas, a juros compostos.
              A taxa percentual será 26,82% a.a..