Juros Composto

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MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
Adriana Claudia Schmidt
Juros compostos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Distinguir juros simples de juros compostos.
  Aplicar as fórmulas utilizadas para cálculos em operações que envol-
vem juros compostos.
  Calcular taxas de juros compostos na calculadora financeira.
Introdução
Para diferenciar os sistemas de juros, é importante estruturar alguns 
conceitos entre juros simples e juros compostos, também chamados de 
capitalizações simples e compostas. Em qualquer um dos sistemas, o 
capital, os juros, as taxas e o montante apresentam a mesma definição, e 
tanto na capitalização simples como na composta, é importante entender 
os princípios da matemática financeira, os quais podem ser calculados 
por meio de fórmulas algébricas. 
Neste capítulo, você entenderá a necessidade que as pessoas têm de 
conhecer os fundamentos básicos da matemática financeira. Além disso, será 
possível compreender como um valor aplicado a uma certa taxa de juros se 
comporta no decorrer do tempo. Após esse entendimento, você terá acesso 
ao uso da calculadora financeira, uma ferramenta essencial para quem deseja 
ter agilidade na resolução dos problemas financeiros do cotidiano.
Juros simples e juros compostos
Existem dois tipos de capitalização: simples e composta. A melhor forma de 
diferenciar uma capitalização da outra é por meio de um exemplo sucinto. 
Considere que uma pessoa obteve um empréstimo no valor de R$ 100,00 
em um banco X, que opera com uma taxa de juros de 90% ao ano. Qual será 
sua dívida após 5 anos? No Quadro 1, vemos um exemplo de como esses 
cálculos ocorrem.
Por meio da tabela desenvolvida, é possível verificar que, após 5 anos, a 
diferença entre os dois montantes é de R$ 1.926,10 (2.476,10 – 550,00).
Além disso, é possível verificar que o juro simples cresce linearmente ao longo 
dos 5 anos, ao passo que o juro composto cresce exponencialmente. A Figura 1, a 
seguir, apresenta um gráfico com a diferença entre os juros simples e composto.
Figura 1. Diferença entre juros simples e composto.
Ano Dívida
Juro 
simples 
Montante 
da dívida Dívida
Juro 
composto 
Montante 
da dívida
1 R$ 100,00 0,9 x 100 = 
90,00
R$ 190,00 R$ 100,00 0,9 x 100 = 
90,00
R$ 190,00 
2 R$ 190,00 0,9 x 100 = 
90,00
R$ 280,00 R$ 190,00 0,9 x 190 = 
171
R$ 361,00 
3 R$ 280,00 0,9 x 100 = 
90,00
R$ 370,00 R$ 361,00 0,9 x 361 = 
324,9
R$ 685,90 
4 R$ 370,00 0,9 x 100 = 
90,00
R$ 460,00 R$ 685,90 0,9 x 685,9 = 
617,31
R$ 1.303,21 
5 R$ 460,00 0,9 x 100 = 
90,00
R$ 550,00 R$ 1.303,21 0,9 x 1303,21 
= 1.172,89
R$ 2.476,10 
Quadro 1. Demonstrativo de cálculo de juro simples e juro composto
Juros compostos2
Ao somar os juros ao capital, dá-se o nome de capitalização, por isso 
podemos chamar o juro simples de capitalização simples e o juro composto 
de capitalização composta. No regime de capitalização simples, os juros são 
somados uma única vez ao capital, ou seja, o juro é calculado somente sobre 
o capital inicial, ao passo que, nos juros compostos, a remuneração se dá a 
cada período, isto é, juro sobre juro. Conforme Veras (2005, p. 56):
[...] os juros simples, pela sua facilidade de cálculo são utilizados comumente 
em negócios entre pessoas físicas. São utilizados também em operações 
comerciais como argumento de venda, pois, por esse regime, por meio de 
artifícios de cálculo, as taxas de lucro poderão parecer maiores e as taxas de 
juros menores. No mercado financeiro, só é utilizado em aplicações de curto 
prazo, como open market ou overnight e em descontos de títulos. Para todos 
os papéis de renda, sistema financeiro de habitação, crediários, utiliza-se o 
regime de capitalização composta.
Nas duas convenções, linear e exponencial, entende-se o seguinte:
  Capital é o valor que se tem em mãos hoje, também denominado valor 
atual, principal ou valor presente. Pode ser representado por C ou PV 
(PV, neste capítulo).
  Juro é o valor da remuneração do capital, representado pela letra J.
  Taxa de juros é geralmente representada em porcentagem. Quando 
substituída em fórmulas, deve ser decimal, ou seja, dividida por 100. 
É a remuneração paga pelo uso de um capital, sendo representada 
pela letra i.
  Montante é o valor final do capital aplicado, ou seja, é o capital mais 
os juros, sendo representado pelas letras M, S ou FV, pois também é 
chamado de valor futuro.
  Tempo é o número de períodos que o capital fica aplicado ou emprestado, 
sendo representado pelas letras n ou t.
Para o cálculo das operações financeiras, são utilizadas fórmulas algébricas 
nas duas convenções, sendo que a simbologia nas duas é a mesma, conforme 
apresentado no Quadro 2.
3Juros compostos
Capitalização simples Capitalização composta
Juro J = PV ∙ i ∙ n J = PV[(1 + i)n – 1]
Taxa de juros
Tempo ou número 
de períodos
Capital ou valor 
principal
ou: ou:
PV = FV(1 + i)–n
Montante ou 
valor final
FV = PV(1 + i ∙ n) FV = PV(1 + i) ∙ n
Onde:
J = juro; 
FV = valor final;
PV = valor principal;
i = taxa de juros; 
n = número de períodos.
Quadro 2. Fórmulas das capitalizações simples e composta
Na resolução de muitos problemas de juros simples e compostos, é imperativo 
que se encontre o montante, o valor principal e o juro por meio das seguintes 
fórmulas:
FV = PV + J
PV = FV – J
J = FV – PV
Juros compostos4
É imprescindível estabelecer as relações e as diferenças entre as duas 
capitalizações, concluindo-se que, em juros simples, apenas o capital inicial 
rende juros, sendo diretamente proporcional ao tempo e à taxa. Já no juro 
composto, o juro gerado pela aplicação em um período será incorporado a 
cada período, gerando juros sobre juros.
Capitalização composta e suas aplicações 
O regime que melhor retrata a realidade nas operações fi nanceiras é o regime de 
capitalização composta. Conforme Azevedo (2015), os fi nanciamentos (p. ex., 
empréstimos bancários, aplicações fi nanceiras ou crédito rotativo por meio de 
cartão de crédito) são permeados atualmente por juros compostos. No regime 
de juros compostos, diferentemente dos juros simples, os juros incidem no saldo 
devedor do período anterior, havendo, portanto, uma composição de juros.
Assim como na capitalização simples, o capital acrescido de juros compõe 
o valor futuro:
FV = PV + J
A fórmula geral da capitalização composta varia de acordo com a quantidade 
de períodos da capitalização, formando o fator de capitalização (1 + i)n, de 
modo que, por gerar juros sobre juros, a fórmula do montante é:
FV = PV(1 + i)n
Por meio da fórmula do valor futuro, tem-se a fórmula do valor principal:
ou ainda:
PV = FV(1 + i)–n
Nos cálculos com a utilização de fórmulas, o período e a taxa devem estar 
na mesma unidade de tempo. Por exemplo, se o tempo estiver em dias, a taxa 
deve ser dias; se o tempo estiver em meses, a taxa deve estar em meses, e 
assim sucessivamente. Lembre-se de que as taxas devem ser decimais (divi-
didas por 100).
5Juros compostos
O Exemplo 1, a seguir, apresenta a aplicabilidade dessa fórmula.
Luiz aplicou um certo capital a uma taxa de juros compostos de 1,2% ao mês, capita-
lizado mensalmente, produzindo um montante de R$ 3.500,00 após 10 meses. Qual 
o valor aplicado por Luiz?
PV = ?
FV = 3.500
n = 10 meses 
i = 1,2% a.m. ÷ 100 = 0,012
Por meio da resolução dessa fórmula, é possível concluir que Luiz Aplicou R$ 3.106,44.
É importante que você utilize uma calculadora científica para a resolução dos cálculos.
Já os juros podem ser calculados pela diferença: 
J = FV – PV
Dessa fórmula, obtém-se: 
J = PV (1 + i)n – PV
E colocando o PV em evidência, tem-se a fórmula do juro composto:
J = PV [(1 + i)n – 1]
O fator (1 + i)n é encontrado em tabelas financeiras para cada valor de 
n e i, e pode ser calculado com as calculadoras científicas usuais ou com a 
calculadora financeira HP 12c.
Juros compostos6
O Exemplo 2, a seguir, traz uma demonstração da utilização da fórmula 
do juro composto.
Mariafez um empréstimo a uma taxa de juros compostos de 2,8% ao mês, durante 
6 meses, e pagou de juros o valor de R$ 7.500,00. Qual o valor que Maria pegou 
emprestado?
PV = ?
FV = ?
Nessa situação, em que se quer descobrir o valor principal que Maria pegou empres-
tado, não é possível utilizar a fórmula do PV, visto que, para calcular por essa fórmula, 
é necessário ter conhecimento do FV, de modo que, como só conhecemos o juro, 
teremos de utilizar a fórmula do juro.
J = 7.500
n = 6 meses
i = 2,8% a.m.÷ 100 = 0,028
Para o cálculo do número de períodos em juros compostos, como o n 
está sempre no expoente, ao fazermos a substituição das variáveis, caímos 
em logaritmos. Em concursos, muitas vezes a questão informa o valor do 
logaritmo, e, nas questões usuais, usa-se a calculadora científica para cálculos 
com fórmulas ou a calculadora financeira HP 12c.
Para o cálculo do tempo, tem-se a seguinte fórmula:
7Juros compostos
O Exemplo 3, a seguir, traz uma aplicação para o cálculo do número de 
períodos.
Se a inflação mensal está em torno 1,4%, em quanto tempo uma mercadoria que custa 
R$ 7.500,00 atingirá o preço de R$ 7.819,43?
PV = 7.500
FV = 7.819,43
i = 1,4% a.m. ÷ 100 = 0,014
n = ? 
Já para o cálculo da taxa no juro composto, faz-se necessário o uso de uma 
fórmula prática. Conforme Rohloff (2009), deve-se subtrair 1 e multiplicar 
por 100 o resultado do cálculo exponencial, como segue:
Para o cálculo da taxa, é indispensável o uso de calculadoras. Lembre-
-se de que a resposta virá sempre na forma decimal, de modo que é preciso 
multiplicar por 100 para transformar em taxa percentual, como pode ser 
visualizado no Exemplo 4.
Juros compostos8
Se você realizar um investimento no valor de R$ 32.000,00 em títulos de capitalização 
que lhe proporcionarão um resgate de R$ 39.753,50 após 150 dias de aplicação, qual 
será a taxa mensal de juros compostos aplicada ao seu capital?
PV = 32.000
FV = 39.753,50
N = 150 dias = 5 meses
i = ?
Resolução de taxas com a máquina financeira 
HP 12c
Taxas de juros
Na capitalização composta, as taxas de juros são defi nidas de uma maneira 
especial, diferentemente dos juros simples, em que a taxa de 2% ao mês 
representa o mesmo que 24% ao ano ou 12% ao semestre, ou seja, a relação 
é linear. Pode-se dizer, então, que essas taxas são proporcionais. Entretanto, 
nos juros compostos, a relação não é a mesma.
Taxa nominal
Conforme Castanheira e Macedo (2010), ao nos dirigirmos a um agente fi -
nanceiro e questionarmos sobre o valor da taxa utilizado para empréstimo 
9Juros compostos
à pessoa física, é comum sermos informados da taxa anual que está sendo 
praticada naquele momento. Entretanto, o prazo de formação de juros e a sua 
incorporação ao capital que o produziu costumam ser de periodicidade menor, 
geralmente mensal. À taxa informada, damos o nome de taxa nominal. 
A taxa de juros é nominal quando a unidade referencial de tempo não 
coincide com a unidade de tempo da capitalização. Por exemplo:
  16% ao ano, capitalizada mensalmente;
  18% ao ano, capitalizada trimestralmente;
  22% ao ano, capitalizada semestralmente.
Quando essa situação ocorrer em problemas de capitalização composta, 
deve-se calcular de forma proporcional aos juros simples. Veja:
  16% ao ano, capitalizada mensalmente.
  18% ao ano, capitalizada trimestralmente 
  22% ao ano, capitalizada semestralmente: 
O Exemplo 5, a seguir, apresenta o desenvolvimento desse cálculo por 
meio da fórmula e da calculadora financeira HP 12c.
Determine o montante de um valor de R$ 3.000,00 que foi aplicado à taxa nominal de 
40% ao ano, durante um ano, considerando a capitalização trimestral:
i = 40% a.a. = = 10% a.t. ÷ 100 = 0,1 a.t.
n = 1 ano = 4 trimestres
PV = 3.000
FV = ?
FV = PV (1 + i)n
FV = 3.000(1 + 0,1)4
FV = 4.392,30
Na calculadora HP 12c:
f reg (zera todos os registros)
3.000 CHS PV
10 i
4 n
FV
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Taxas proporcionais, equivalentes e efetivas
Para Azevedo (2015, p. 32), as taxas proporcionais estão ligadas a juros simples, 
ao passo que as taxas equivalentes se associam a juros compostos. Todavia, 
pode-se dizer também que as taxas equivalentes estão ligadas às duas capita-
lizações, e, sempre que solicitadas ao cálculo, é preciso saber qual o tipo de 
capitalização. As taxas efetivas, por sua vez, estão ligadas somente aos juros 
compostos. Desse modo, sempre que for dito a taxa efetiva, não será necessário 
a especifi cação, visto que a taxa efetiva só é calculada no juro composto.
Conforme Assaf Neto (2012), por se tratar de capitalização exponencial, 
a expressão da taxa equivalente composta é a média geométrica da taxa de 
juros do período inteiro. Quando solicitado o cálculo da taxa efetiva ou da 
taxa equivalente em juros compostos, duas fórmulas são usuais para o cálculo:
 e 
A primeira é utilizada quando se tem a taxa com o maior período e se 
quer encontrar a taxa equivalente ao menor período, ao passo que a segunda 
é utilizada quando se tem a taxa com o menor período e se quer encontrar a 
taxa com o maior período.
Para entender melhor, veja os Exemplos 6 e 7.
Determine a taxa de juros compostos mensal equivalente a 21% ao ano:
i = 21% ao ano, porém queremos ao mês (temos a.a. e vamos para a.m., da maior 
para a menor).
Quantos meses têm um ano? 12 meses.
n = 12 meses
Na HP 12c:
100 CHS PV (usa-se como valor principal);
121 FV (valor principal somado à taxa de juros);
12 n (período que buscamos);
i (taxa equivalente).
11Juros compostos
A taxa de juros compostos de 2,4% ao mês corresponde à qual taxa equivalente ao 
trimestre?
i = 2,4% ao mês, porém queremos ao trimestre (temos a.m. e vamos para a.t., da 
menor para a maior).
Quantos meses têm um trimestre? 3 meses.
n = 3 meses
Na HP-12c:
100 CHS PV (usa-se como valor principal);
2,4 i (taxa de juros fornecidos);
3 n (período que buscamos);
FV (valor futuro);
100 – (subtrai-se o PV inicial para encontrar a taxa de juros).
Conforme Castanheira e Macedo (2010), na matemática financeira, independentemente 
da capitalização em estudo, é comum utilizar nas respostas duas casas após a vírgula, 
e, para isso, usa-se uma regra de arredondamento: se o terceiro número for 5, 6, 7, 8 
ou 9, o segundo número é arredondado para cima, porém se o terceiro número for 4, 
3, 2, 1 ou 0, o segundo número fica inalterado. Por exemplo:
  2,23673% = 2,24%
  3,38213% = 3,38%
Juros compostos12
Neste capítulo, para facilitar o entendimento da capitalização composta, 
foram utilizados vários problemas envolvendo diferentes cálculos desenvolvidos 
por meio de fórmulas e pela máquina financeira HP 12c. Para Castanheira e 
Macedo (2010), pode-se considerar que a essência da capitalização composta 
está na definição de que ela é caracterizada pela reincidência de juros sobre 
o capital, ou seja, quando sobre um valor que já tem embutido uma parcela de 
juro, incide novamente a taxa de juro. Nesse contexto, vários instrumentos de 
cálculos da área financeira são utilizados, como juros simples, juros compostos 
e equivalência de taxas.
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 12. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
AZEVEDO, G. H. W. Matemática financeira: princípios e aplicações. São Paulo: Saraiva, 2015.
CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. D. Matemática financeira aplicada. 3. ed. Curitiba: 
Ibpex, 2010.
ROHLOFF, D. B. Matemática financeira: administração. São Paulo: Pearson, 2009.
VERAS, L. L. Matemática financeira: uso de calculadoras financeiras, aplicações ao 
mercado financeiro, introdução à engenharia econômica, 300 exercícios resolvidos e 
propostos com respostas. São Paulo: Atlas, 2005.
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