Apostila_CSD_Combinada

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Capı́tulo 2
Noções de Modelagem de Sistemas
Dinâmicos
O objetivo do presente capı́tulo é apresentar os conceitos fundamentais da modelagem de siste-
mas dinâmicos e elucidar as relações que existem entre os conceitos. No âmbito das engenharias, a
modelagem de sistemas dinâmicos diz respeito à modelagem de sistemas dinâmicos reais, e envolve
geralmente 3 etapas:
1. elaboração de um modelo fı́sico representativo para o sistema real;
2. elaboração de um modelo matemático correspondente;
3. análise do sistema por meio da solução do modelo matemático.
Essa sequência lógica pode ser representada de forma gráfica pelo fluxograma da Figura 2.1.
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Sistema real
- Causal/não 
causal
- Linear/não 
linear
- Invariante no 
tempo/variante 
no tempo
- aleatório/deter
minístico
Modelo físico
(determinístico)
Discreto/parâmetros 
concentrados
Contínuo/parâmetros 
distribuídos
Modelo matemático
EDOs
Lineares/
não-lineares
Funções de transferência 
FTs (Eqs. Algébricas)
Lineares/não-lineares
EDPs
Lineares/
não-lineares
jw
EDOs
Lineares/
não-lineares
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L
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Funções resposta em 
frequência 
FRFs (Funções complexas)
Lineares/não-lineares
Funções resposta em 
frequência 
FRFs (Funções complexas)
Lineares/não-lineares
Sistema dinâmico
Figura 2.1: Relação entre sistema real, modelo fı́sico e modelos matemáticos
Verifica-se pela Figura 2.1 que sistemas dinâmicos reais podem ser classificados de diferentes
maneiras:
- com respeito à sua causalidade, em sistemas causais e não-causais;
- com respeito à sua linearidade, em sistemas lineares e não-lineares;
- com respeito à variação temporal de suas propriedades dinâmicas, em sistemas variantes e
invariantes no tempo;
- com respeito à explicitude do modelo, em sistemas determinı́sticos ou aleatórios.
Esses conceitos serão explicados na Seção 2.1. No que concerne a elaboração de um modelo fı́sico
representativo para o sistema real é importante notar que, em geral, não existe um único modelo
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C 4 Caṕıtulo 2. Noções de Modelagem de Sistemas Dinâmicos
fı́sico para um sistema real. A escolha de um modelo fı́sico é norteada por um balanço entre simpli-
cidade e exatidão na representação do sistema real.
Considerando que o sistema real a ser modelado seja um sistema determinı́stico, ou um sistema
aleatório bem comportado, um modelo fı́sico determinı́stico é uma escolha adequada. Inclusive,
tratamos apenas de sistemas e modelos determinı́sticos no contexto da disciplina CSD.
Os modelos fı́sicos determinı́sticos podem ser classificados ainda em modelos discretos, também
chamados de modelos de parâmetros concentrados (lumped parameter models), e modelos contı́nuos.
A escolha para um modelo discreto ou modelo contı́nuo se dá em função da distribuição das
caracterı́sticas dinâmicas no sistema. Se a distribuição das caracterı́sticas for muito heterogênea,
o sistema pode ser representado bem por um modelo discreto. Neste, os parâmetros que descre-
vem certas caracterı́sticas dinâmicas, como o coeficiente de amortecimento η, que quantifica a carac-
terı́stica amortecimento viscoso, são concentrados em determinados pontos do modelo. A hipótese
de parâmetros concentrados permite que a modelagem seja feita de maneira simbólica, como nos
clássicos sistemas massa–mola e diagramas de corpo livre ou nas representações gráficas de circuı́tos
elétricos, que (em geral) não lembram em nada o sistema fı́sico original.
Se as caracterı́sticas são distribuı́das de forma aproximadamente homogênea, ou seja, se variam
suavemente ao longo de todo o domı́nio do sistema, o sistema é melhor representado por um modelo
fı́sico contı́nuo, pois nele as caracterı́sticas são distribuı́das de maneira contı́nua, ou melhor dito: as
funções que representam as caracterı́sticas dinâmicas são funções contı́nuas.
Variação suave Variação abrupta
Figura 2.2: No esquema da esquerda, um modelo contı́nuo é mais adequado. No modelo da direita,
um modelo de parâmetros concentrados é mais adequado.
De forma geral, os modelos fı́sicos discretos são mais simples e menos representativos que os
contı́nuos, mas em muitos casos são representativos o suficiente. Importante notar que os detalhes
de um sistema real sempre são desconsiderados ao elaborar modelos fı́sicos, inclusive em modelos
contı́nuos. No que concerne especificamente modelos discretos de sistemas mecânicos, estes po-
dem ser ainda classificados em modelos de corpos rı́gidos e modelos de corpos flexı́veis, sendo os
primeiros mais simples que os segundos, já que as Leis de Newton são suficientes para modela-
gem, diferentemente dos segundos, que necessitam de ferramentas de mecânica do contı́nuo para
formulação.
Para poder analisar o comportamento de um sistema dinâmico, representado por um modelo
fı́sico, é preciso estabelecer um modelo matemático representativo para o modelo fı́sico, e portanto
dentro de limites também para o sistema dinâmico real. Os modelos matemáticos para representar
um sistema dinâmico (SD) normalmente são equações diferenciais
• ordinárias (EDO) para representar modelos fı́sicos discretos / modelos fı́sicos de parâmetros
concentrados;
• parciais (EDP) para representar modelos fı́sicos contı́nuos;
sempre no domı́nio do tempo.
A Figura 2.1 sugere que usando transformadas lineares, como a transformada de Laplace (L) ou
a transformada de Fourier (F ), é possı́vel obter modelos matemáticos/descrições matemáticas nos
domı́nios s e i ω. Utilizando-se, por exemplo, a transformada de Laplace com condições iniciais ade-
quadas, uma EDO dá origem a uma equação algébrica em s. Além disso, aplicando a transformada
de Laplace a uma EDP, também com condições iniciais adequadas, pode-se obter uma EDO em s.
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Prof. Stephan Paul
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C 2.1. Conceitos em Sistemas Dinâmicos 5
2.1 Conceitos em Sistemas Dinâmicos
No contexto da modelagem de sistemas dinâmicos é preciso esclarecer os conceitos de causalidade,
determinı́stico vs. aleatório, linear vs não-linear, variante no tempo vs. invariante no tempo.
Na disciplina CSD, os sistemas que podem ser analisados por meio das ferramentas que serão
introduzidas devem ser causais, lineares e invariantes no tempo (SCLIT, ou simplesmente SLIT). Desta
forma, é necessário verificar se o sistema a ser analisado cumpre estes requisitos antes de tentar
modelá-lo.
2.1.1 Sistemas causais
Em um sistema causal, a(s) resposta(s) em algum instante t = t0 depende(m) apenas de entradas
em instantes 0 ≤ t < t0. Se um sistema dinâmico for descrito por equações diferenciais, ele será
causal se a máxima ordem da derivada da resposta for maior ou igual à máxima ordem da derivada
da entrada.
2.1.2 Determinı́stico vs. Aleatório
Um sinal, um sistema, ou um processo é dito determinı́stico se o mesmo é descrito completamente
por equações matemáticas explı́citas, fazendo com que o estado do sinal (ou a resposta de um sistema
ou processo) possa ser descrito/previsto/determinado em qualquer instante do tempo.
Já sinais, sistemas ou processos aleatórios não são descritos por equações explı́citas, não sendo possı́vel
descrever/determinar o estado/resposta num determinado instante sem o uso de ferramentas pro-
babilı́sticas.
2.1.3 Sistemas lineares
Sistemas lineares são sistemas nos quais a causa e efeito são proporcionais e que são descritos por
equações (diferenciais) lineares. Uma equação diferencial do tipo
dnx(t)
dtn
+ αn−1(t)
dn−1x(t)
dtn−1
+ . . . + α1(t)
dx(t)
dt
+ α0(t)x(t) = f (t) (2.1)
é linear se αn−1(t), . . . , α0(t) e f (t) forem funções continuas.
A linearidade de um sistema implicana validade de dois princı́pios: o princı́pio de homogeneidade
e o princı́pio da superposição. Caso um sistema satisfaça ambos os princı́pios, então ele é linear, i.e., a
recı́proca também é verdadeira.
Um sistema é homogêneo se, ao aplicar um ganho na entrada e(t), a saı́da s(t) será amplificada pelo
mesmo ganho, ou seja a entrada ke(t) gera a saı́da ks(t), conforme representado também na Figura
2.3a.
Um sistema atende ao princı́pio da superposição se a resposta às entradas combinadas e1(t) e e2(t)
corresponde à saı́da s1(t) + s2(t), sendo s1(t) e s2(t) as respostas às entradas e1(t) e e2(t), respectiva-
mente. Tal caracterı́stica é representada na Figura 2.3b.
SDke(t) ks(t)
(a) Homogeneidade
SDe1(t) + e2(t) s1(t) + s2(t)
(b) Superposição
Figura 2.3: Representação esquemática dos princı́pios da homogeneidade e superposição
A partir da verificação da validade dos princı́pios da homogeneidade e superposição é possı́vel
determinar a linearidade de um sistema, conforme exemplificado nos exemplos a seguir.
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C 6 Caṕıtulo 2. Noções de Modelagem de Sistemas Dinâmicos
Exemplos
1. Seja um sistema descrito pela equação s(t) = t2e(t). Este sistema é linear?
(a) Homogeneidade: Considerando a aplicação de um ganho na entrada de tal forma que
e1(t) = ke(t), tem-se então que a saı́da é s1(t) = t2e1(t) = t2ke(t) = kt2e(t) = ks(t), o que
significa que o princı́pio da homogeneidade é válido.
(b) Superposição: Considerando que s2(t) = t2e2(t), s3(t) = t2e3(t) e e4(t) = e2(t) + e3(t),
então: s4(t) = t2e4(t) = t2(e2(t) + e3(t)) = t2e2(t) + t2e3(t) = s2(t) + s3(t). Portanto, o
princı́pio de superposição também é valido
O sistema descrito pela equação s(t) = t2e(t) portanto é um sistema linear.
2. Considerando um sistema descrito por s(t) = sen(e(t)), a avaliação da linearidade passa nova-
mente pelo teste dos princı́pios de homogeneidade e superposição.
(a) Homogeneidade: Considerando que e1(t) = ke(t), então s1(t) = sen(e1(t)) = sen(ke(t)) �=
k sen(e(t)) = ks(t). O princı́pio da homogeneidade não é válido.
(b) Superposição: Se s2(t) = sen(e2(t)), s3(t) = sen(e3(t)) e e4(t) = e2(t) + e3(t), então:
s4(t) = sen(e4(t)) = sen(e2(t) + e3(t)) �= sen(e2(t)) + sen(e3(t)) = s2(t) + s3(t). O
princı́pio da superposição também não é válido.
O sistema descrito por s(t) = sen(e(t)) é portanto um sistema não-linear.
Muitos processos e sistemas não são lineares, e o controle dos mesmos requer que estes sejam li-
nearizados. Normalmente é preciso linearizar sistemas não-lineares para desenvolver uma estratégia
de controle dinâmico linear, o que é possı́vel em torno de um ponto de equilı́brio utilizando-se apenas
os termos lineares da expansão em série de Taylor.
Assumindo a existência de um sistema não-linear cuja saı́da y(t) é uma função não-linear da
entrada x(t):
y(t) = f (x(t))
a relação entre x(t) e y(t) seja dada pelo gráfico azul na Figura 2.4
x
y
x̄
ȳ
Figura 2.4: Função não linear que relaciona entrada x(t) e saı́da y(t) de um SD não-linear e
aproximação por função linear em torno de um ponto de equilı́brio (x̄, ȳ).
A função f (x) pode ser expandida em série de Taylor em torno de x̄, resultando em:
f (x) = f (x̄) + (x − x̄) d
dx
f (x̄) +
1
2!
(x − x̄)2 d
2
dx2
f (x̄) + · · · (2.2)
sendo f (x̄) + (x − x̄) ddx f (x̄) a parcela linear e 12! (x − x̄)2 d
2
dx2 f (x̄) + · · · a parcela não-linear.
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C 2.1. Conceitos em Sistemas Dinâmicos 7
Se a distância x − x̄ for suficientemente pequena, é possı́vel desprezar os termos não-lineares e a
Eq.(2.2) é aproximada por:
f (x) = f (x̄) + (x − x̄) d
dx
f (x̄) (2.3)
e considerando que f (x) = y(x), f (x̄) = y(x̄) e d f (x̄)/dx = k tem-se
y(x) = y(x̄) + k(x − x̄). (2.4)
Exemplo: Deve-se linearizar a equação y(x) = x3 em torno de x̄ = 3 e x̄ = 1.
1. Para x̄ = 3 a expansão em série de Taylor resulta em:
y(x) = f (x̄) + (x − x̄) d
dx
f (x̄) = x̄3 + (x − x̄)(3x̄2) = 27x − 54
2. Para x̄ = 1 a expansão em série de Taylor resulta em:
y(x) = f (x̄) + (x − x̄) d
dx
f (x̄) = x̄3 + (x − x̄)(3x̄2) = 3x − 2
No gráfico da Figura 2.5 fica clara a necessidade de restringir a linearização apenas à região próxima
ao ponto de controle.
31
f(3)
f(1)
f (x)
Linearização em x̄ = 3
Linearização em x̄ = 1
Figura 2.5: Linearizações da função f (x) = x3 para x̄ = 1 e x̄ = 3.
Para um sistema com múltiplas entradas e uma saı́da (EMSS/MISO), isto é, y(t) = f (x1(t), . . . , xn(t)),
também é possı́vel aplicar o processo de linearização. Para o caso n = 2, tem-se:
y(t) = f (x̄1, x̄2) +
�
(x1 − x̄1)
∂
∂x1
f (x̄1, x̄2) + (x2 − x̄2)
∂
∂x2
f (x̄1, x̄2)
�
+
+
1
2!
�
(x1 − x̄1)2
∂2
∂x21
f (x̄1, x̄2) + 2(x1 − x̄1)(x2 − x̄2)
∂2
∂x1∂x2
f (x̄1, x̄2) + (x2 − x̄2)
∂2
∂x22
f (x̄1, x̄2)
�
+ . . .
(2.5)
Mantendo apenas os termos lineares e considerando:
f (x̄1, x̄2) = ȳ;
∂
∂x1
f (x̄1, x̄2) = k1;
∂
∂x2
f (x̄1, x̄2) = k2
tem-se:
y(x1, x2) = ȳ + k1(x1 − x̄1) + k2(x2 − x̄2). (2.6)
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C 8 Caṕıtulo 2. Noções de Modelagem de Sistemas Dinâmicos
Exercı́cio Linearize a equação f (x, y) = xy para 5 < x < 7 e 10 < y < 12, com (x̄, ȳ) = (6; 11) e
estime o erro de linearização.
A expansão em série de Taylor dá:
z = f (x̄, ȳ) +
�
(x − x̄)∂ f
∂x
+ (y − ȳ ∂ f
∂y
)
�
+ . . .
Desprezando novamente os termos de alta ordem tem-se
z − z̄ = k1(x − x̄) + k2(y − ȳ)
com
k1 =
∂ f (x, y)
∂x
����
x=x̄=6; y=ȳ=11
k2 =
∂ f (x, y)
∂y
����
x=x̄=6; y=ȳ=11
o que resulta em
k1 =
∂(xy)
∂x
����
x=x̄=6; y=ȳ=11
=
66
6
= 11 k2 =
∂(xy)
∂y
����
x=x̄=6; y=ȳ=11
=
66
11
= 6
e portanto
z̄ = f (x̄, ȳ) = x̄ȳ = 66.
Desta forma
zlin = 11(x − 6) + 6(y − 11) + 66 = 11x + 6y − 66.
Para o ponto com as coordenadas x = 5 e y = 10 tem-se então
zlin(5; 10) = 55 + 60 − 66 = 49
comparado com z(5; 10) = 50, o que corresponde a um erro de 2% no intervalo 5 ≤ x ≤ 7 e 10 ≤
y ≤ 12.
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C 2.1. Conceitos em Sistemas Dinâmicos 9
2.1.4 Sistemas invariantes no tempo
Sistemas invariantes no tempo são sistemas nos quais as caracterı́sticas dinâmicas não variam
com o tempo, ou seja, a equação diferencial é invariante no tempo. Em particular, os coeficientes da
equação diferencial não dependem de t.
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C 10 Caṕıtulo 2. Noções de Modelagem de Sistemas Dinâmicos
2.2 Noções de modelagem de sistemas mecânicos no domı́nio do tempo
2.2.1 Modelagem do sistema – “O equilibrista”
O objetivo da presente seção é a modelagem do sistema dinâmico “O equilibrista”. Para tanto
deve ser elaborado um modelo fı́sico e um modelo matemático, este no domı́nio do tempo.
Figura 2.6: O equilibrista
Na discussão na primeira aula concluiu-se que o objetivo do equilibrista é equilibrar o cabo de
uma vassoura de tal forma que o ângulo de inclinação do cabo de vassoura seja ϕ ≈ 0. Concluiu-se,
também, que a forma de controle é de malha fechada, com medição do ângulo pelos olhos, controle
pelo cérebro e atuação pelo conjunto braço e mão, aplicando uma força no cabo de vassoura.
Para se obter um modelo fı́sico, algumas consideraçõessimplificadores são feitas:
• considera-se apenas o cabo de vassoura de comprimento 2� como planta a ser controlada;
• considera-se que o cabo é um corpo rı́gido, o que implica que este pode ser caracterizado uni-
camente por seu centro de massa CM;
• admite-se movimento do cabo apenas em um plano x–y;
• admite-se movimento da mão apenas em x.
Modelo fı́sico
Com as considerações simplificadoras, o modelo fı́sico do sistema é representado pela Figura 2.7.
xCM(t)
yCM(t)
�
Fp = mg
Fy
x(t)
Fx
ϕ(t)
Figura 2.7: Modelo fı́sico de parâmetros concentrados do cabo de vassoura
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C 2.2. Noções de modelagem de sistemas mecânicos no doḿınio do tempo 11
Considerando o cabo de vassoura como corpo rı́gido (CR), este é caracterizado por seu compri-
mento 2� e um centro de massa (CM) no qual atua a força peso Fp. Como a geometria do cabo de
vassoura não importa neste caso, concluı́mos que o modelo fı́sico é um modelo de parâmetros con-
centrados.
Portanto, espera-se que o modelo matemático que será desenvolvido na sequência será uma
equação diferencial ordinária, ainda que não se saiba, neste momento, se a equação diferencial será
linear e invariante no tempo.
Modelo matemático
O modelo matemático do sistema será desenvolvido a partir da análise dinâmica, o que envolve
a análise cinemática e a análise cinética do corpo rı́gido.
Análise cinemática do corpo rı́gido
As equações da posição do CM, considerando-se que a mão se move apenas na direção x, ficam:
xCM(t) = x(t) + � sen(ϕ(t)), (2.7a)
yCM(t) = � cos(ϕ(t)). (2.7b)
A partir dessas equações é possı́vel estabelecer as equações da velocidade e aceleração como:
ẋCM(t) = ẋ(t) + �ϕ̇(t) cos(ϕ(t)), (2.8a)
ẏCM(t) = −�ϕ̇(t) sen(ϕ(t)), (2.8b)
ẍCM(t) = ẍ(t) + �ϕ̈(t) cos(ϕ(t))− �ϕ̇2(t) sen(ϕ(t)), (2.8c)
ÿCM(t) = −�ϕ̈(t) sen(ϕ(t))− �ϕ̇2(t) cos(ϕ(t)). (2.8d)
Análise cinética do corpo rı́gido
Na análise cinética do corpo rı́gido busca-se pela relação entre causa do movimento e movimento,
o que levará à Equação de movimento como modelo matemático do sistema dinâmico.
1. Análise translacional do Centro de Massa (CM) Considerando que o modelo fı́sico envolve um
único corpo rı́gido, a análise cinética pode ser realizada facilmente pela Segunda Lei de Newton,
resultando em:
Fx(t) = mẍCM(t) (2.9a)
Fy(t) = mÿCM(t)− mg. (2.9b)
Então, com as equações de velocidade e aceleração estabelecidas anteriormente tem-se:
Fx(t) = mẍ(t) + m�[ϕ̈(t) cos(ϕ(t))− ϕ̇2(t) sen(ϕ(t))] (2.10)
Fy(t) = −mg − m�[ϕ̈(t) sen(ϕ(t)) + ϕ̇2(t) cos(ϕ(t))] (2.11)
2. Análise do movimento angular Da mesma forma como feito para o movimento translacional, é
possı́vel utilizar a Segunda Lei de Newton para análise do movimento rotacional, resultando em:
∑ TA = J ϕ̈(t), (2.12)
na qual J é o momento de inércia do cabo de vassoura e A é o ponto tomado como referência para a
rotação do sistema.
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C 12 Caṕıtulo 2. Noções de Modelagem de Sistemas Dinâmicos
Considerando que o movimento torcional se deve a uma força que atua perpendicularmente na
ponta do cabo de vassoura e que essa força é dada por (Fx(t)� − Fy(t)�) tem-se que T = (Fx(t)� −
Fy(t)�)�. Portanto tem-se:
(Fx(t)� − Fy(t)�)� = J ϕ̈(t). (2.13)
Cada componente Fx(t)� e Fy(t)� é dada por:
F�x(t) = Fx(t) cos(ϕ(t)) =
m{ẍ(t) cos(ϕ(t) + �[ϕ̈(t) cos(ϕ(t))2 − ϕ̇2(t) sen(ϕ(t))(cos(ϕ(t))]} (2.14)
F�y(t) = Fy(t) sen(ϕ(t)) =
− m{g sen(ϕ(t) + �[ϕ̈(t) sen(ϕ(t))2 + ϕ̇2(t) cos(ϕ(t)) sen(ϕ(t))]}. (2.15)
Levando as Eqs. (2.14) e (2.15) à Eq. (2.13) tem-se:
m�ẍ cos(ϕ(t)) + m�2 ϕ̈ + mg� sen(ϕ(t)) = J ϕ̈(t) (2.16)
(J − m�2)ϕ̈(t) = m�ẍ cos(ϕ(t)) + mg� sen(ϕ(t)). (2.17)
Equacionando mẍ na Eq. (2.14) e (2.17), ou seja juntando o movimento translacional e rotacional,
obtêm-se:
(J − m�2)ϕ̈(t)− mg� sen(ϕ(t)) = Fx(t)� cos(ϕ(t)) +
− m�2[ϕ̈(t) cos(ϕ(t))2 − ϕ̇(t)2 sen(ϕ(t)) cos(ϕ(t))]
(2.18)
o que claramente é uma equação diferencial ordinária não-linear e invariante no tempo, para um
sistema que é causal.
Controlar o sistema não-linear descrito pela Eq. (2.18) foge do escopo da disciplina. Logo, é
necessário linearizar o sistema/modelo matemático/equação diferencial.
Ocorre que, para pequenos ângulos em torno da vertical, tem-se que:
ϕ̇(t)2 ≈ 0, sen ϕ ≈ ϕ, cos ϕ ≈ 1.
Aplicando isso à Eq. (2.18) tem-se:
(J − m�2)ϕ̈(t)− mg�ϕ(t) = Fx(t)�− m�2[ϕ̈(t)− 0]
ou ainda
J ϕ̈(t)− mg�ϕ(t) = Fx(t)� (2.19)
sendo que essa última equação uma equação linear e invariante no tempo que corresponde ao sistema
linearizado do equilibrista.
Verifique que, assumindo-se pequenos ângulos ϕ, foi fácil linearizar o sistema e, por conseguinte,
a equação de movimento do sistema. De fato, a condição ϕ ≈ 0 é uma condição quase que necessária
para controlar o sistema, e, pensando no desafio de equilibrar um cabo de vassoura, você observa
que um equilibrista irá colocar o cabo de vassoura sempre na vertical para iniciar o desafio. A prática
nos ensinou que apenas desta forma será possı́vel equilibrar o cabo de vassoura, e agora sabemos
que isso se deve à linearização do sistema que permite que ele seja controlável.
Tal premissa não se restringe ao nosso equilibrista. Verifique por exemplo o vı́deo em https:
//www.youtube.com/watch?v=15DIidigArA. No vı́deo fica muito evidente que o sistema de controle
requer que o ângulo inicial do cabo seja ≈ 0.
Controle de sistemas dinâmicos
atualização: 24 de setembro de 2020
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C 2.3. Modelagem de sistemas lineares 13
2.3 Modelagem de sistemas lineares
Na sequência iremos realizar a modelagem de sistema lineares, ou seja, deduzir os modelos ma-
temáticos de sistemas dinâmicos lineares.
2.3.1 Modelagem de sistemas vibratórios
Seja o sistema uma unidade condensadora de condicionador de ar, conforme mostra a Figura 2.8.
Figura 2.8: Unidades condensadoras de ar condicionado
Analisando o problema de vibração desta unidade condensadora verifica-se que a mesma está
montada em cima de isoladores de vibração de borracha. Essa borracha é um material viscoelástico,
ou seja, um material com caracterı́sticas de elasticidade ou rigidez e amortecimento viscoso. A
distribuição das caracterı́sticas massa, rigidez e amortecimento pode ser considerada bastante não
homogênea, pelo menos comparando-se a unidade condensadora e os isoladores de vibrações.
Desta forma, um modelo fı́sico de parâmetros concentrados parece viável e pode ser representado
conforme a Figura 2.9.
k c
m
f (t)
x(t)
Figura 2.9: Modelo de parâmetros concentrados
para o sistema vibratório unidade condensadora
m
f (t)
fk(t) fc(t)
ma = mẍ(t)
Figura 2.10: Diagrama de corpo livre para o sis-
tema vibratório unidade condensadora
A partir da Figura 2.9 verifica-se que o modelo tem apenas um único grau de liberdade. Desta
forma a elaboração do modelo matemático correspondente pode ser realizada utilizando-se métodos
de mecânica Newtoniana, em particular a segunda lei de Newton.1 Para tanto elabora-se um dia-
grama de corpo livre, dado pela Figura 2.10, para depois estabelecer o somatório das forças em x:
∑ Fx : f (t) = mẍ(t) + cẋ(t) + kx(t). (2.20)
Essa equação é chamada de equação do movimento (do sistema dinâmico) e estabelece uma relação
entre a entrada f (t) e a saı́da x(t) (ou suas derivadas ẋ(t) e ẍ(t)). A equação de movimento é uma
equação diferencial ordinária, causal2, linear e invariante no tempo, como era de se esperar pois o
modelo fı́sico é de parâmetros concentrados, determinı́stico, causal, linear e invariante no tempo.1Para sistemas de parâmetros concentrados de muitos graus de liberdade métodos da mecânica analı́tica tais como o
método de Lagrange e o método de Hamilton seriam mais indicados.
2Uma equação diferencial é causal se a máxima ordem da derivada da saı́da for maior ou igual à máxima ordem da
derivada de entrada.
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C 14 Caṕıtulo 2. Noções de Modelagem de Sistemas Dinâmicos
Se pensarmos em um outro sistema vibratório, cujo modelo simplificado de parâmetros con-
centrados é representado na Figura 2.11 e cujo diagrama de corpo livre é dado pela Figura 2.12, a
equação de movimento, ou seja, o modelo matemático, pode ser desenvolvido novamente utilizando-
se métodos da mecânica Newtoniana. Na Figura 2.11 verifica-se que a entrada do sistema é u(t) e a
saı́da é y(t). O modelo matemático precisa então relacionar u(t) e y(t).
k
c m
y(t)u(t)
Figura 2.11: Modelo fı́sico de parâmetros con-
centrados para um sistema vibratório horizontal
m
y(t)
fk(t)
fc(t)
Figura 2.12: Diagrama de corpo livre para o mo-
delo fı́sico dado na Figura 2.11.
Utilizando-se a Segunda Lei de Newton, pelos mesmos motivos elencados anteriormente, tem-se:
∑ fx = fk(t) + fc(t) = ma (2.21)
sendo
fk(t) = −k[y(t)− u(t)] (2.22)
e
fc(t) = −c[ẏ(t)− u̇(t)]. (2.23)
Logo, a Eq. (2.21) resulta na Equação de movimento do sistema:
m
d2y(t)
dt2
+ c
dy(t)
dt
+ ky(t) = ku(t) + c
du(t)
dt
(2.24)
que por sua vez é uma EDO linear, causal e invariante no tempo de 2a ordem que relaciona a entrada
u(t) e a saı́da y(t).
2.3.2 Modelagem de sistemas elétricos
Assim como discutido para sistemas mecânicos os sistemas elétricos reais também podem ser
modelados por modelos fı́sicos de parâmetros concentrados e modelos de parâmetros distribuı́dos,
sendo estes últimos também chamados de modelos de linhas de transmissão (transmission line mo-
dels). Da mesma forma como discutido para sistemas dinâmicos mecânicos o critério para esco-
lher um modelo de parâmetros (elétricos) concentrados ou parâmetros (elétricos) distribuı́dos é a
distribuição homogênea ou não dos parâmetros dinâmicos, no caso resistência elétrica, indutância,
capacitância e ganho. O foco na disciplina estará em modelos de parâmetros concentrados, que são
adequados se a distribuição dos parâmetros for muito não homogênea ou ainda se � � λ, sendo � o
comprimento caracterı́stico do circuito e λ o comprimento de onda. Porém, é importante notar que
a representação gráfica de modelos elétricos de parâmetros concentrados e de modelos elétricos de
parâmetros distribuı́dos é bem parecida, o que pode causar confusão.
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C 2.3. Modelagem de sistemas lineares 15
Para ajudar na elaboração de modelos de parâmetros concentrados é importante lembrar de al-
gumas relações básicas e representações de elementos básicos em circuitos elétricos.
• Resistor
R
vR(t) = RiR(t) iR(t) =
vR(t)
R
• Capacitor
C
ic(t) = C
duC(t)
dt uC(t) =
1
C
�
iC(t)dt
• Indutor
L
uL(t) = L
diL(t)
dt iL(t) =
1
L
�
uL(t)dt
• Fonte de tensão
+ −us
• Fonte de corrente
is
A análise de circuitos elétricos de parâmetros concentrados é realizada utilizando as leis de Kir-
chhoff, sendo estas:
1. a lei dos Nós de Kirchhoff, também conhecida por lei das correntes, que afirma que em um nó
com N entradas e saı́das a soma das correntes elétricas que entram é igual à soma das correntes
que saem, ou seja
N
∑
k=1
ik = 0; (2.25)
2. a Lei das Malhas de Kirchhoff, também chamada a lei das tensões, pela qual a soma algébrica
das tensões elétricas em uma malha fechada é nula, ou seja
∑ u = 0. (2.26)
É essencial notar que as Leis de Kirchhoff valem apenas em modelos/circuı́tos de parâmetros
concentrados e para baixas frequências.
Por meio de um exemplo simples deve ser exemplificada o procedimento de desenvolvimento do
modelo matemático para um sistema elétrico.
Seja um sistema cuja finalidade é filtrar um sinal oscilatório. Tais sistemas são compostos por
um ou vários circuı́tos RLC, sendo que a distribuição das resistências, indutâncias e capacitâncias
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C 16 Caṕıtulo 2. Noções de Modelagem de Sistemas Dinâmicos
muito não homogênea no circuito. Em particular, a resistência do resistor é muito maior à resistência
dos conectores, trilhas de conexão e cabos, a indutância do indutor muito maior que a indutância
de qualquer outro elemento e a capacitância do capacitor muito maior que aquela de qualquer outra
parte do circuito. Desta forma, um modelo de parâmetros concentrados é adequado para tratar o
problema.
Considere que o modelo fı́sico é dado pelo circuı́to de parâmetros concentrados da Figura 2.13.
L R
C
i(t)
uin(t) uout(t)A B
Figura 2.13: Circuito RLC simples
Analisando o circuito da Figura 2.13 verifica-se que o único elemento no laço B é o capacitor, o
que significa que uout(t) = uC(t). Com isso o circuito poderia ser redesenhado, e ficaria conforme
Figura 2.14.
L R
C
i(t)
uin(t) A uC(t) = uout(t)
Figura 2.14: Circuito RLC redesenhado
Analisando-se o circuito simplificado dado pela Figura 2.14 por meio das Leis de Kirchhoff têm-
se:
1. pela lei das correntes
iL = iR = iC; (2.27)
2. e pela lei das tensões
uL(t) + uR(t) + uC(t) = uin(t) (2.28)
sendo
uC(t) = uout.
Verifica-se pelo circuı́to de parâmetros concentrados que a entrada do sistema é uin(t) e a saı́da
é uout(t). O modelo matemático que se deseja obter precisa portanto estabelecer uma relação entre
uin(t) e uout(t), considerando os parâmetros dinâmicos R, L, C do sistema. Isso significa que será
preciso expressar uL(t), uR(t) e uC(t) por meio de uout(t) e os parâmetros dinâmicos R, L, e C.
Considerando a relações básicas entre tensão e corrente nos elementos do circuı́to tem-se:
1. para a corrente no indutor iL(t) e no capacitor iC(t), em função de uC(t), uout(t) e C:
iL(t) = iC(t) = C
duC(t)
dt
= C
duout(t)
dt
;
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C 2.3. Modelagem de sistemas lineares 17
2. para a tensão no indutor uL(t), em função de iL(t) e L:
uL(t) = L
diL(t)
dt
;
3. para a tensão no indutor uL(t), em função de uout(t), L e C:
uL(t) = LC
d2uout(t)
dt2
; (2.29)
4. para a tensão no resistor uR(t), em função de uout(t) e R:
uR(t) = RiR(t) = RiL(t) = R
duout(t)
dt
. (2.30)
Levando-se à Eq. (2.28) aquelas expressões anteriores que expressam uL(t) (Eq. (2.29)) e uR(t)
(Eq. (2.30)) em função de uout(t), e considerando que uC(t) = uout(t), a Eq. (2.28) fica:
LC
d2uout(t)
dt2
+ RC
duout(t)
dt
+ uout(t) = uin(t) (2.31)
sendo esta uma equação diferencial ordinária, de 2a ordem, linear, causal e invariante no tempo
que estabelece uma relação entre entrada uin(t) e saı́da do sistema uout(t). Apesar do modelo de
parâmetros concentrados e o modelo matemático serem simplificações, eles são bastante representa-
tivas dentro de uma faixa de aplicação. Pense em cenários que fariam com que o modelo matemático
expresso por uma equação diferencial ordinária, de 2a ordem, linear, causal e invariante no tempo
não seria mais válido.
•
•
•
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Capı́tulo 3
Transformada de Laplace
Estudou-se a modelagem matemática de SD por modelos matemáticos determinı́sticos e observou-
se que os modelos resultantes são, normalmente, equações diferenciais. A solução de equações dife-
renciais pode ser bastante complexa e ferramentas que facilitam a solução destas equações diferenci-
ais são bem vindas.
A transformada de Laplace1 (TL) é uma ferramenta útil neste contexto, pois permite resolver
equações diferenciais lineares de forma indireta2, permitindo assim a descrição e análise de sistemas
dinâmicos no domı́nio s, o que será abordado no Capı́tulo 4. Notar-se-á que a manipulação das
equações que descrevem o sistema no domı́nio s é mais simples do que tratar o problema diretamente
no domı́nio do tempo. Podem ser analisados a resposta em regime permanente bem como questões
como a estabilidade em regime permanente, por meio da análise da localização de polos e zeros.
Usando a TL obtêm-se, a partir da equação diferencial que descreve o sistema no domı́nio do
tempo, uma função no domı́nio s. Esta função, chamada de função de transferência (FT), será uma:
• equação algébrica, caso a descrição no domı́nio t seja uma equação diferencial ordinária (EDO)
• equação diferencial ordinária, caso a descrição no domı́nio t seja uma equação diferencial par-
cial (EDP)
conforme se mostrará no Capı́tulo 4.
Da mesma forma como a descrição matemática do SD (o modelo matemático do SD) pode ser
transformada para o domı́nio s, o sinal de excitação também deve ser transformado para o domı́nio
s caso o objetivo seja a análise do comportamento do SD frente a uma excitação.
1Marquis Pierre-Simon de Laplace, foi contemporâneo francês de Lagrande e Fourier e viveu entre 1749 e 1827. Além
de estudar a aplicação das Leis de Newton da gravitação ao sistema solar estudou também a teoria da probabilidade, o
que originou a Transformada de Laplace.
2A ideia de usar a Transformada de Laplace na solução de equações diferenciais é de Oliver Heaviside (Inglês, 1850-
1925).
EDO Eq. alg.
t sL
L−1
Figura 3.1: Mapeamento de funções do domı́nio t para o domı́nio s e vice versa, no exemplo do
mapeamento de Equações diferenciais ordinárias para Equações algébricas
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C 24 Caṕıtulo 3. Transformada de Laplace
Em todo caso, é importante notar que a transformada de Laplace é uma operação linear que
mapeia funções do domı́nio do tempo para o domı́nio s, sendo que estas funções podem representar
o sistema dinâmico e/ou o sinal de excitação.
No contexto da disciplina, a TL se apresenta então como ferramenta para transformar tanto o
modelo matemático de SD como também os modelos matemáticos de sinais de excitação do domı́nio
do tempo para o domı́nio s, conforme mostra a Figura 3.2.3 Conforme se verifica na Figura 3.2 a TL,
representada pelo sı́mbolo L, transforma o modelo matemático do sinal de excitação, dado por uma
função x(t) ou e(t), em sua representação no domı́nio s, ou seja, para X(s) ou E(s) respectivamente.
Já no caso do modelo matemático do sistema dinâmico, a TL transforma a EDO que caracteriza um
SD no domı́nio do tempo para uma Equação algébrica no domı́nio s. A representação algébrica do
sistema dinâmico pela relação Y(s)/X(s) no domı́nio s é a função de transferência.
st
Sistema real
­ Causal/não 
causal
­ Linear/não 
linear
­ Invariante no 
tempo/variante 
no tempo
­ aleatório/deter
minístico
Modelo físico
(determinístico)
Discreto/parâmetros 
concentrados
Contínuo/parâmetros 
distribuídos
Modelo matemático
EDOs
Lineares/
não­lineares
Funções de transferência 
FTs (Eqs. Algébricas)
Lineares/não­lineares
EDPs
Lineares/
não­lineares
jw
EDOs
Lineares/
não­lineares
L
L
F
F
Funções resposta em 
frequência 
FRFs (Funções complexas)
Lineares/não­lineares
Funções resposta em 
frequência 
FRFs (Funções complexas)
Lineares/não­lineares
Sistema dinâmico
Excitação
Resposta
Sinal real
­ aleatório/(deter
minístico)
Modelo do sinal
­ aleatório/
­ determinístico
Modelo matemático do sinal determinístico
Modelo estatístico do sinal aleatório
e(t), x(t) E(s), X(s) E(jw), X(jw)
L
F
Sinal real
­ aleatório/(deter
minístico)
Modelo do sinal
­ aleatório/
­ determinístico
Modelo matemático do sinal determinístico
s(t), y(t)
S(s), Y(s)
S(jw), Y(jw)
L
F
Modelo estatístico do sinal aleatório
Controlador 
de malha 
aberta
Controlador 
de malha 
fechada
Figura 3.2: Organograma que representa a relação entre sinais de excitação, sistema dinâmico e res-
postas no âmbito da disciplina de Controle de Sistemas Dinâmicos.
Verifica-se que existe também a operação inversa, a transformada inversa de Laplace (TIL), que
mapeia funções em s para a função no domı́nio t. Usando a TIL é portanto possı́vel retornar do
domı́nio s para o domı́nio t.
Além da TL e da TIL aparecem no esquema da Figura 3.2 também a transformada de Fourier
e sua inversa, representadas pelos sı́mbolos F e F−1. A transformada de Fourier transforma uma
função do domı́nio do tempo para o domı́nio jω ou do domı́nio do espaço para o domı́nio do número
de onda.
Visando o uso da TL na disciplina de Controle de Sistemas Dinâmicos serão elencados a seguir
algumas definições e teoremas importantes. Porém, considerando que a TL é apenas uma ferramenta
e não finalidade da disciplina, a abordagem será muito sucinta e sugere-se consultar materiais mais
completos para sanar eventuais dúvidas.
3O organograma está disponı́vel no moodle, e pode ser modificado por vocês para incluir maiores informações e deta-
lhamentos.
Controle de sistemas dinâmicos
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C 3.1. Definições 25
3.1 Definições
Inicialmente serão feitas as definições da TL bilateral e unilateral e da TIL. Apesar da TL bilateral
não ser usada diretamente no âmbito da disciplina ela será introduzida por ser o caso mais geral.
1. TL bilateral
F(s) = L{ f (t)} =
� ∞
−∞
f (t) e−stdt (3.1)
sendo s = σ + iω a variável complexa de Laplace e e−st o núcleo de transformação. Logo,
e−st = e−(σ+iω)t, sendo σ e ω números reais σ ω ∈ R.Note também que os limites da integração
são reais, ou seja t ∈ R.
Sendo F(s) uma função em s a mesma pode ser representada conforme mostra a Figura 3.3, o
que deixa claro também que ela tem magnitude |F(s)| e ângulo de fase.
iω
σ
F(s)
Figura 3.3: Representação da variável F(s) no plano s.
2. TL unilateral, definida para todos os casos nos quais f (t < 0) = 0
F(s) = L{ f (t)} =
� ∞
0
f (t) e−st dt (3.2)
Para que exista a TL é necessária a convergência da integral
� ∞
0
f (t) e−σtdt < ∞ para σ ∈ R (3.3)
o que faz com que existam funções para as quais não existe TL. Por exemplo, não existem
as transformadas de Laplace de tt ou de et
2
. A faixa de σ para a qual a função F(s) converge é
denominada de região de convergência. O conjunto de valores σ e ω, que representam posições
especı́ficas no plano complexo, e portanto representam uma área no plano complexo para as
qual a integral dada pela Eq.(3.3) converge, é chamada de área de convergência.
3. Transformada inversa de Laplace (TIL)
f (t) = L−1{F(s)} = 1
2π i
� c+i∞
c−i∞
F(s) estdt (3.4)
sendo c uma constante real conhecida como abscissa de convergência.
Devemos fazer as seguintes observações:
• A função f (t) é uma função genérica, que pode representar o modelo determinı́stico do
sinal de excitação ou o modelo matemático do SD;
• A TL é uma operação linear, e com isso valem os princı́pios de
– homogeneidade e
L{A f (t)} = AL{ f (t)}(3.5)
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C 26 Caṕıtulo 3. Transformada de Laplace
– superposição
L{α f (t) + βg(t)} = αL{ f (t)}+ βL{g(t)}. (3.6)
e com isso também o princı́pio de aditividade
L{ f1(t) + f2(t)} = L{ f1(t)}+ L{ f2(t)}. (3.7)
• A função f (t) deve ser integrável para aplicar as Eqs. (3.1) e (3.2), ou seja, precisa ser
integrável para realizar a TL. Funções f (t) com descontinuidades podem ser separadas
em pontos t1, . . . , tn de modo que f (t) seja continua e integrável entre ti e ti+1. Funções
deste tipo são chamadas funções por partes, e sua integral é a soma das integrais das
funções restritas às partes contı́nuas.
� b
a
f (t)dt =
� t1
a
f (t)dt +
� t2
t1
f (t)dt + . . . +
� ti+1
ti
f (t)dt + . . . +
� b
tn
f (t)dt (3.8)
Sendo cada função f (t) integrável entre ti e ti+1 é possı́vel obter a TL de cada uma delas, e
assumindo linearidade, a TL da função original é obtida do somatório das TL das partes.
Atividade 3.1.1: Faça uma lista de funções relevantes na área de CSD que sejam des-
contı́nuas
1.
2.
3.
3.2 Teoremas importantes da TL
Para usar a TL é importante lembrar de alguns teoremas, que facilitam algumas operações en-
volvendo a TL. Elencamos a seguir alguns teoremas que são especialmente úteis no contexto da
disciplina, sem qualquer pretensão da lista ser completa.
1. Função f (t) deslocada de a unidades em t : se f é tal que f (t − a) = 0 (Figura 3.4) para t ≤ a,
então:
L{ f (t − a)} = L{ f (t)}e−as = F(s)e−as (3.9)
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C 3.3. Exemplos de TL 27
t
f (t)
a
Figura 3.4: Exemplo de uma função deslocada em a
2. Se f (t) for uma função periódica com perı́odo p
L { f (t)} =
� p
0 e
−st f (t)dt
1 − e−ps (3.10)
3. Mudança de escala no tempo
L { f (at)} = 1
a
F(s); a > 0 (3.11)
4. Multiplicação de f (t) com e−αt
L
�
e−αt f (t)
�
=
� ∞
0
(e−αt)(e−st) f (t)dt = F(s + α) (3.12)
5. Derivada no tempo
L
�
dn( f (t))
dtn
�
= snF(s)− sn−1 f (t = 0)− . . . − d
n−1 f (t = 0)
dtn−1
(3.13)
Note a importância desse teorema para a área de análise e controle de SD, já que grande parte
dos SD determinı́sticos pode ser descrito, com aproximações, por Equações diferenciais or-
dinárias e linearizadas. Note também, que a transformação completa da função f (t) para o
domı́nio s ocorre apenas se:
(a) as condições iniciais forem constantes ou nulas, ou seja, f (t = 0) = cte ou f (t = 0) = 0,
(b) todos os d
n−1
dtn−1 = 0 e
(c) se m < n.
6. Teorema do valor final (útil para determinar o limite de uma função f (t) em t → ∞ por meio
da TL)
Se L { f (t)} = F(s) e se limt→∞ f (t) for finito, então:
lim
t→∞
f (t) = lim
s→0
sF(s) (3.14)
7. Teorema do valor inicial
lim
t→0+
f (t) = lim
s→∞
sF(s) (3.15)
3.3 TL de algumas funções especı́ficas
Para que se possa fazer a análise do sistema dinâmico no domı́nio s é preciso observar também a
função que descreve o sinal determinı́stico de excitação no domı́nio s, conforme se exemplificou no
esquema da Figura 3.2.
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atualização: 1 de outubro de 2020
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C 28 Caṕıtulo 3. Transformada de Laplace
Sinais reais de excitação são normalmente aleatórios, e além de não serem descritos por funções
explı́citas provocam então, inclusive em sistemas determinı́sticos (descritos por modelos matemáticos
explı́citos, como por exemplo equações diferenciais), respostas aleatórias. A análise de respostas
aleatórias porém é muito mais complexa, e portanto uma resposta determinı́stica seria desejável.
Para produzir uma resposta determinı́stica um SD determinı́stico tem que ser excitado por um sinal
determinı́stico.
Atividade 3.3.1: Pense em sinais aleatórios que representam excitações em sistemas
dinâmicos na prática. Plote estes sinais no domı́nio do tempo.
Justifica-se portanto a necessidade de representar determinadas caracterı́sticas de sinais aleatórios
por sinais determinı́sticos, o que claramente envolve simplificações. Mesmo assim, os sinais deter-
minı́sticos podem representar as caracterı́sticas mais importantes dos sinais aleatórios e aproximam
determinadas caracterı́sticas importantes dos sinais de excitação. O sinal de excitação de uma sus-
pensão de um automóvel é uma força que é aleatória em função da rugosidade do pavimento. A
resposta de um SD determinı́stico a essa força aleatória seria também aleatória, mas a análise se-
ria bastante complexa. Entretanto, é razoável representar algumas das caracterı́sticas do sinal de
excitação por sinais determinı́sticos, em particular por exemplo por
• um sinal senoidal, para representar as caracterı́sticas causadas por simular ondulações periódicas
• um sinal degrau para representar as caracterı́sticas causadas por um buraco mais fundo.
Para outros casos outras funções podem ser mais indicadas. De forma geral, as seguintes funções
tem utilidade e podem ser utilizados para excitar um SD:
1. função exponencial complexa
2. função degrau e função degrau unitário
3. função exponencial multiplicada com função degrau unitário
4. função rampa
5. função pulso
6. função impulso
7. função senoidal
8. função varredura de seno
Controle de sistemas dinâmicos
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C 3.3. Exemplos de TL 29
Assim, justifica-se introduzir as TL de de algumas funções especı́ficas que representam certas
caracterı́sticas de sinais de excitação. As transformadas de Laplace introduzidas a seguir, e de várias
outras funções, e suas transformadas inversas, podem ser encontradas em Tabelas de TLs.
1. A função exponencial, dada por:
f (t) =
�
0, t < 0
Ae−at, t � 0 (3.16)
Atividade 3.3.2: Plote a função exponencial no domı́nio do tempo
tem como TL a função:
L { f (t)} = L
�
Ae−at
�
=
� ∞
0
Ae−ate−stdt = A
� ∞
0
e−(a+s)tdt =
A
s + a
. (3.17)
2. A função degrau, dada por:
f (t) =
�
0, t < 0
A, t � 0 (3.18)
e exemplificada na Figura 3.5 tem como TL a função dada por:
t
f (t)
A
Figura 3.5: Exemplo de uma função degrau
F(s) = L { f (t)} = L {A} =
� ∞
0
Ae−stdt = A
1
s
=
A
s
(3.19)
3. A função degrau unitário, que corresponde à função da pela Eq. (3.18) com A = 1 e portanto
seria:
f (t) =
�
0, t < 0
1, t � 0 (3.20)
tem a TL dada por:
L {1} = 1
s
(3.21)
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C 30 Caṕıtulo 3. Transformada de Laplace
4. A função exponencial multiplicada com degrau unitário dada por:
f (t) = e−atu(t) =
�
0, t < 0
e−at, t � 0 (3.22)
sendo u(t) a função degrau unitário, tem como sua TL:
L { f (t)} = 1
s + a
= F(s) (3.23)
5. A função rampa dada por:
f (t) =
�
0, t < 0
At, t � 0 (3.24)
tem a TL:
L { f (t)} = A
s2
. (3.25)
Atividade 3.3.3: Plote a função rampa no domı́nio do tempo
Se A=1 → a função é a rampa unitária e a TL é dada por F(s) = 1s2 .
6. A função pulso retangular dada por:
f (t) =



A
t0
, 0 < t < t0
0, t < 0 e t0 < t
(3.26)
, sendo A e t0 constantes, e exemplificada pela Figura 3.1
t
f (t)
A/t0
t0
Figura 3.6: Exemplo de uma função pulso retangular
também pode ser escrita como:
f (t) =
A
t0
1(t)− A
t0
1(t − t0)
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C 3.3. Exemplos de TL 31
e então a sua TL é dada por:
F(s) = L { f (t)} = L
�
A
t0
1(t)
�
− L
�
A
t0
1(t − t0)
�
=
A
t0s
(1 − est0). (3.27)
7. A função impulso, que é o caso limite da função pulso retangular, é dada por:
f (t) =



limt0→0
A
t0
, 0 ≤ t ≤ t0
0, 0 < t e t0 < t
(3.28)
Considerando a TL da função pulso, e observando a regra de L’Hopital, pode-se determinar a
TL como:
F(s) = L { f (t)} = lim
t→0
�
A
t0s
(1 − e−st0)
�
= lim
t→0
�
A
t0s
− A
t0s
e−st0
�
=
As
s
= A (3.29)
Obs: a TL de uma função impulso representa também a área do impulso.
8. (Função)4 impulso unitário (Delta de Dirac δ(t)) na sua definição:
δ(t − t0) =
�
∞, t = t0
0, t �= t0
(3.30)
� ∞
−∞
δ(t)dt = 1
� ∞
−∞
δ(t)dt = 1 (3.31)
tem a TL:
L{δ(t)} =
� ∞
0
δ(t)e−stdt =
e−st
−s
����
∞
0
= 1 (3.32)
Atividade 3.3.4: Plote a impulso unitário (Delta de Dirac δ(t)) no domı́nio do tempo
4É importante notar que o Delta de Dirac não é uma função propriamente dita, mas sim uma distribuição.
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C 32 Caṕıtulo 3. Transformada de Laplace
Atividade 3.3.5: Classifique as funções abordadas
As funções abordadas nos itens anteriores podem ser classificadas conforme uma caracterı́stica
particular que tem ou não tem. Essa caracterı́stica faz com que algumas dessas funções
também estão sendo utilizadas na área de vibrações. Qual é essa caracterı́stica e como seria a
classificação das funções de acordo com esta?
3.4 Transformada inversa de Laplace
Conforme já fora visto, a TIL é dada por
L−1 [F(s)] = f (t) = 1
2π i
� c+iw
c−iw
F(s) eitds. (3.33)
Entretanto, é normalmente mais fácil realizar a TIL utilizando tabelas. Só que o uso de tabelas
para realizar a TIL de expressões em s requer, normalmente, o uso de expansão em frações parciais,
principalmente quando F(s) pode ser expresso por F(s) = B(s)A(s) . A expansão em frações parciais é
portanto introduzida na Seção 4.3 no contexto das funções de transferência.
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Capı́tulo 4
Descrição de sinais e sistemas no
domı́nio s
Já foi mencionado anteriormente que a descrição dos sinais de excitação e dos SD no domı́nio s
facilita a análise das caracterı́sticas e do comportamento do sistema, além de oferecer uma visão do
SD que evidencia determinadas caracterı́sticas. Lembrem aqui do exemplo da caixinha de giz.
No que concerne a descrição do SD no domı́nio s, nas próxima seções serão abordados os con-
ceitos de função de transferência, polos e zeros da função de transferência, Transformada Inversa de
Laplace (TIL) de funções de transferência e expansão em frações parciais.
4.1 Conceito da função de transferência (FT)
Se um sistema dinâmico é representado no domı́nio do tempo por uma equação diferencial linear
ordinária, cuja forma geral é:
an
dny(t)
dtn
+ an−1
dn−1y(t)
dtn−1
+ · · ·+ a1
dy(t)
dt
+ a0y(t) = bm
dmx(t)
dtm
+ bm−1
dm−1x(t)
dtm−1
+ · · ·+ b1
dx(t)
dt
+ b0x(t)
(4.1)
e se ainda as condições iniciais forem nulas, a aplicação da TL (teorema 5) resulta em uma descrição
do sistema apenas no domı́nio s:
ansnY(s)+ an−1sn−1Y(s)+ · · ·+ a1sY(s)+ a0Y(s) = bmsmX(s)+ bm−1sm−1X(s)+ · · ·+ b1sX(s)+ b0X(s)
(4.2)
Colocando Y(s) e X(s) em evidência na Eq. (4.2):
Y(s)(ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s + a0) = X(s)(bmsm + bm−1sm−1 + · · ·+ b1s + b0). (4.3)
Isolando as transformadas dos sinais de entrada e saı́da do lado esquerdo, obtém-se,
Y(s)
X(s)
=
bmsm + bm−1sm−1 + · · ·+ b1s + b0
ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s + a0
≡ G(s), (4.4)
que é uma função racional.
Para que o sistema seja causal, é necessário que n ≥ m. Com isso, é possı́vel separar G(s) em
frações parciais, o que viabiliza o uso de tabelas para calcular a TIL.
• A função G(s) caracteriza o sistema e é chamada função de transferência;
• Se a entrada x(t) for um impulso de Dirac δ(t), a resposta do sistema no domı́nio do tempo é
chamada a resposta ao impulso ou resposta impulsiva.
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C 28 Caṕıtulo 4. Descrição de sinais e sistemas no doḿınio s
Para a resposta impulsiva, notando que: L{δ(t)} = 1 = X(s) e L{y(t)} = Y(s), tem-se que
G(s) =
Y(s)
X(s)
= Y(S); isto é, a função de transferência é a própria TL da resposta impulsiva.
Portanto, para caracterizar um sistema linear invariante no tempo (SLIT), é suficiente aplicar a
ele um impulso de Dirac, pois a resposta do sistema a essa excitação o descreve, já que corresponde
à TIL da FT. Isso é possı́vel analiticamente, numericamente e experimentalmente.
Atividade: Procure exemplos nas mais diversas áreas nas quais é aplicada uma excitação por im-
pulso de Dirac para obter a resposta impulsiva do sistema e assim caracterizar o sistema.
4.2 Polos e zeros
Associado ao conceito da FT, é útil lembrar dos conceitos de polos e zeros. Lembrando que a FT
é definida como:
G(s) =
Y(s)
X(s)
=
bmsm + bm−1sm−1 + · · ·+ b1s + b0
ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s + a0
, (4.5)
potencialmente cancelando raı́zes comuns aos polinômios no numerador e no numerador, além de
tornar o polinômio no denominador mônico1, escrevemos,
G(s) =
N(s)
D(s)
. (4.6)
São zeros os valores que tornam N(s) = 0, ou seja, G(s) = 0 e são polos: valores que tornam
D(s) = 0, isto é, lim G → ∞.
Embora os coeficientes ai e bj sejam reais, os polos e zeros são complexos, ainda que possam apre-
sentar parte imaginária nula. Sendo complexos, devem ser representados no plano complexo, para
nós chamado de plano s. O estudo da localização dos polos e zeros no plano s viabiliza, por exemplo,
a análise de estabilidade do sistema.
Exemplo: A função de transferência
G(s) =
5s + 7
s2 + 3s + 2
=
5(s + 1,4)
(s + 1)(s + 2)
tem um zero em s1 = −1,4 e dois polos em s2 = −1 e s3 = −2.
−3 −2 −1 0 1 2 3
−1
0
1
σ
iω
zeros
polos
Figura 4.1: Localização dos polos e zeros para a função G(s) = 5(s+1,4)
(s+1)(s+2) .
1Polinômios mônicos são polinômios cujo coeficiente que acompanha a maior ordem de s é igual a 1. No nosso caso,
an = 1.
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C 4.3. Transformada inversa de funções de transferência e expansão em frações parciais 29
4.3 Transformada inversa de funções de transferência e expansão em frações
parciais
Para resolver a TIL das FT’s, normalmente é necessário realizar a expansão em frações parciais
para viabilizar o uso de tabelas.
Para o caso de sistemas invariantes no tempo, as funções N(s) e D(s) serao polinômios, de modo
que:
G(s) =
N(s)
D(s)
=
N(s)
(s − p1)(s − p2) · · · (s − pn)
=
N(s)
∏ni=1(s − pi)Ki
, (4.7)
onde Ki é a multiplicidade da raiz pi.
A expansão em frações parciais de G(s) pode ser calculada como:
G(s) =
n
∑
i=1
Ki−1
∑
j=0
aij
(s − pi)Ki−j
(4.8)
com
aij =
dj
j!dsj
�
G(s)(s−pi)Ki
�
s=+pi
(4.9)
sendo m o número de polos simples (multiplicidade Ki = 1) e n − m o número de polos com mul-
tiplicidades Ki �= 1. Importante notar que na Equação (4.9) definiu-se que s = +pi, e portanto
tem-se o produto G(s)(s − pi)Ki . Em outros livros define-se s = −pi, e portanto o produto torna-se
G(s)(s + pi)Ki .
Considerando a Eq. (4.9), a Eq. (4.8)pode ser escrita também como:
G(s) =
N(s)
D(s)
=
N(s)
(s − p1) · · · (s − pk) · · · (s − pm)(s − pi)Ki
(4.10)
=
a10
(s − p1)
+ · · ·+ ak0
(s − pk)
+ · · ·+ am0
(s − pm)
+ · · ·
=
ai0
(s − pi)Ki
+
ai1
(s − pi)Ki−1
+ · · ·+ aij
(s − pi)Ki−j
+ · · ·+ aiKi−1
(s − pi)
+ · · · (4.11)
Verifica-se que a cada polo pi corresponderão Ki parcelas.
O uso das Eqs.(4.9) e (4.11) não é muito simples e por isso vamos discutir/exemplificar casos
especı́ficos, sendo eles os seguintes: (1) Polos reais e distintos, (2) raı́zes reais repetidas , (3) polos
conjugados complexos e (4) polos mistos (reais e conjugados complexos).
Para facilitar a notação, serão denotados,
i o ı́ndice do polo,
n o número total de polos distintos,
m o número de polos simples,
K a multiplicidade,
j o ı́ndice mudo correspondente à multiplicidade no somatório dos aij, satisfazendo a relação 0 ≤
j ≤ Ki − 1.
Além disso, quando reais, vamos considerar que pi ≤ pj para i < j. Caso as multiplicidades de
todos os polos sejam 1, teremos pi < pj.
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C 30 Caṕıtulo 4. Descrição de sinais e sistemas no doḿınio s
1. Polos reais e distintos
Neste caso todos os polos tem multiplicidade 1, isto é, todos os polos são simples. Deste modo,
a operação de diferenciação na Eq. (4.9) é eliminada, e como 0! = 1, a Eq. (4.9) fica:
ai0 = [(s − pk)G(s)]s=pk para cada i = 1, . . . , m(= n). (4.12)
Exemplo: Considere a FT da por:
G(s) =
s + 3
s3 + 6s2 + 8s
=
s + 3
s(s2 + 6s + 8)
=
s + 3
s(s + 2)(s + 4)
As raı́zes de D(s), ou seja os polos de G(s), são: s1 = 0; s2 = −2; s3 = −4.
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3
−1
0
1
σ
iω
zeros
Figura 4.2: Localização dos polos da função s+3s3+6s2+8s .
Como os polos são reais e distintos, tem-se que:
• número total de polos: n = 3;
• número de polos simples: m = n = 3;
• multiplicidade dos polos: Ki = 1, para i = 1; 2; 3.
Então
G(s) =
n
∑
i=1
Ki−1
∑
j=0
aij
(s − pi)Ki−j
=
n
∑
i=1
ai0
(s − pi)
=
a1,0
s − p1
+
a2,0
s − p2
+
a3,0
s − p3
.
Os coeficientes ai0 serão então determinados para i = 1, 2, 3, com p1 = −4, p2 = −2 e p3 = 0.
Para i = 1, tem-se:
a10 =
�
(s + 4)1
s + 3
(s + 4)(s + 2)s
�
s=−4
=
�
s + 3
(s + 2)s
�
s=−4
= −1
8
.
Para i = 2, tem-se:
a20 =
�
(s + 2)1
s + 3
(s + 4)(s + 2)s
�
s=−2
=
�
s + 3
(s + 4)s
�
s=−2
= −1
4
.
Para i = 3, tem-se:
a30 =
�
(s + 0)1
s + 3
(s + 4)(s + 2)s
�
s=0
=
�
s + 3
(s + 4)(s + 2)
�
s=0
=
3
8
.
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C 4.3. Transformada inversa de funções de transferência e expansão em frações parciais 31
Substituindo em G(s),
G(s) =
a1,0
s + 4
+
a2,0
s + 2
+
a3,0
s + 0
.
tem-se que
G(s) = −1
8
1
s + 4
− 1
4
1
s + 2
+
3
8
1
s
.
Nesta forma a FT expandida pode ser transformada para o domı́nio do tempo pois as TILs dos
termos 1s ,
1
s+2 e
1
s+4 podem ser encontrados na tabela de transformada de Laplace. Tendo em
vista que a TL é uma operação linear, para a qual valem os princı́pios de homogeneidade e
superposição, tem-se que
L−1 {G(s)} = L−1
�
−1
8
1
s + 4
− 1
4
1
s + 2
+
3
8
1
s
�
= −1
8
L−1
�
1
s + 4
�
− 1
4
L−1
�
1
s + 2
�
+
3
8
L−1
�
1
s
�
.
Usando a tabela de TILs são obtidos:
L−1
�
1
s + 4
�
= e−4t
L−1
�
1
s + 2
�
= e−2t
L−1
�
1
s
�
= u(t) =
�
1, t ≥ 0
0, t < 0
Portanto,
g(t) = −1
8
e−4t − 1
4
e−2t +
3
8
u(t),
sendo u(t) a função Heaviside. A função g(t) representa a resposta impulsiva do sistema
dinâmico caracterizado pela FT s+3s3+6s2+8s =
s+3
s(s2+6s+8) =
s+3
s(s+2)(s+4) , cujos polos são todos reais
e distintos, o que indica que o sistema não tem capacidade oscilatória. Desta forma, a resposta
impulsiva g(t) não pode ser oscilatória, mesmo que a excitação por impulso de Dirac tenha
caracterı́sticas oscilatórias (implı́citas). Verifica-se pela Figura 4.3 que a RI de fato não é osci-
latória.2
1 2 3
1/8
1/4
3/8
t
g(t)
Figura 4.3: Resposta impulsiva g(t) = 38 − 14 e−2t − 18 e−4t que corresponde à resposta ao impulso de
Dirac do sistema cuja FT é G(s) = s+3s3+6s2+8s com os polos reais 0; −2; −4.
2Mais adiante será realizada uma análise mais formal das respostas de SD de 1a e 2a ordem a diferentes tipos de
excitação.
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C 32 Caṕıtulo 4. Descrição de sinais e sistemas no doḿınio s
2. Raı́zes reais repetidas
No caso de raı́zes reais repetidas, por definição existem raı́zes com multiplicidade Ki > 1,
embora também possam existir polos simples.
Exemplo: Considere a FT:
G(s) =
s + 3
(s + 5)(s + 2)2
.
Os polos (as raı́zes de D(s)) desta FT são: s1 = −5; s2 = −2 e s3 = −2. Isso significa que existe
um polo simples (s1 = −5) e um polo com multiplicidade 2, (s2,3 = −2).
−5 −3 −1 1
−1
0
1
σ
iω
zeros
zeros repetidos
Figura 4.4: Localização dos polos s1 = −5; s2 = −2 e s3 = −2 da função G(s) = s+3(s+5)(s+2)2 .
Todos os polos são reais, o que indica que o sistema não tem capacidade oscilatória e a resposta
impulsiva não deve ter caracterı́sticas oscilatórias.
Analisando-se os polos verifica-se que se tem:
• n = 2 polos distintos,
• m = 1 polo simples e n − m = 1 polo múltiplo;
• multiplicidade dos polos: K1 = 1 e K2 = 2.
Desta forma, tem-se
G(s) =
a10
s + 5
+
a20
(s + 2)2
+
a21
(s + 2)1
.
Os coeficientes aij serão então determinados para i = 1, 2, com p1 = −5 e p2 = −2. Além disso,
se i = 2, tem-se j = 1; 2.
Para i = 1:
a10 =
�
(s + 5)
s + 3
(s + 5)(s + 2)2
�
s=−5
=
�
s + 3
(s + 2)2
�
s=−5
= −2
9
.
Para i = 2:
a20 =
�
(s + 2)2
s + 3
(s + 5)(s + 2)2
�
s=−2
=
1
3
,
a21 =
1
1!
d
ds
�
(s + 2)2
s + 3
(s + 5)(s + 2)2
�
s=−2
=
�
(s + 5)− (s + 3)
(s + 5)2
�
s=−2
=
2
9
.
Assim,
G(s) = −2
9
1
(s + 5)
+
1
3
1
(s + 2)2
+
2
9
1
(s + 2)
.
Controle de sistemas dinâmicos
atualização: 29 de setembro de 2020
Prof. Stephan Paul
pierr
Realce
pierr
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L
,E
M
C
-U
FS
C 4.3. Transformada inversa de funções de transferência e expansão em frações parciais 33
com a resposta impulsiva correspondente
g(t) = −2
9
e−5t +
1
3
te−2t +
2
9
e−2t
que é não-oscilatória e é plotada na Figura 4.5
1 2 3 4
1/18
1/9
1/6
t
g(t)
Figura 4.5: Resposta impulsiva g(t) = − 29 e−5t + 13 te−2t + 29 e−2t que corresponde à reposta ao impulso
de Dirac do sistema cuja FT é G(s) = s+3
(s+5)(s+2)2 com os polos reais −5; −2; −2.
Exemplo: Considerando a FT
G(s) =
1
s(s + 2)(s + 1)3
cujos polos são s1 = −2, com K1 = 1; s2 = −1, com K2 = 3 e s3 = 0, com K3 = 1, sendo
todos reais, o que indica que o sistema não tem capacidade oscilatória.
−5 −3 −1 1
−1
0
1
σ
iω
zeros
Figura 4.6: Localização dos polos s1 = −2; s2 = −1 e s3 = 0 da função G(s) = 1s(s+2)(s+1)3 .
A FT expandida será dada por:
G(s) =
a10
(s + 2)
+
a20
(s + 1)3
+
a21
(s + 1)2
+
a22
(s + 1)1
+
a30
s
.
Utilizando Eq. (4.9) determinam-se os coeficientes ai,j para as combinações i e j.
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C 34 Caṕıtulo 4. Descrição de sinais e sistemas no doḿınio s
Para i = 1; K1 = 1 e j = 0:
a10 =
d0
ds0
�
(s + 2)
1
(s + 2)(s + 1)3s
�
s=−2
=
1
2
Para i = 2; K2 = 3 e j = 0:
a20 =
d0
ds0
�
(s + 1)3
1
s(s + 2)(s + 1)3
�
s=−1
= −1
Para i = 2; K2 = 3 e j = 1:
a21 =
1
1!
d
ds
�
(s + 1)3
1
s(s + 2)(s + 1)3
�
s=−1
=
d
ds
�
1
s(s + 2)
�
s=−1
=
� −2s − 2
(s + 2)2s2
�
s=−1
= 0
Para i = 2; K2 = 3 e j = 2:
a32 =
1
2!
d2
ds2
�
(s + 1)3
1
s(s+ 2)(s + 1)3
�
s=−1
=
1
2
d
ds
� −2s − 2
(s + 2)2s2
�
s=−1
=
1
2
�−2(s + 2)2s2 − 2(s + 1)(4s3 + 12s2 + 8s)
(s + 2)4s4
�
s=−1
= −1.
Para i = 3; K1 = 1 e j = 0:
a30 =
d0
ds0
�
s
1
(s + 2)(s + 1)3s
�
s=0
=
1
2
Desta forma a FT fica:
G(s) =
1
2
1
(s + 2)
− 1
(s + 1)3
+
0
(s + 1)2
− 1
(s + 1)
+
1
2
1
s
.
Aplicando a TIL obtêm-se a resposta impulsiva dada por:
g(t) =
1
2
e−2t − 1
2
t2e−t − e−t + 1
2
u(t).
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C 4.3. Transformada inversa de funções de transferência e expansão em frações parciais 35
2 4 6 8 10 12
1/8
1/4
3/8
1/2
t
g(t)
Figura 4.7: Resposta impulsiva 12 e
−2t − 12 t2e−t − e−t + 12 u(t) que corresponde à resposta ao impulso
de Dirac do sistema cuja FT é G(s) = 1s(s+2)(s+1)3 , com cinco polos reais −2; −1; −1; −1; 0.
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C 36 Caṕıtulo 4. Descrição de sinais e sistemas no doḿınio s
3. Dois polos conjugados complexos
Se os polos forem um par de conjugados complexos, para evitar trabalhar com número com-
plexos é melhor manter o polinômio de ordem 2 no denominador e escrever:
G(s) =
N(s)
(s − p1)(s − p2)
=
N(s)
(s − p1)(s − p�1)
=
N(s)
s2 −
�
p1 + p�1
�
s + p1 p�1
=
N(s)
s2 − 2Re (p1) s + |p1|2
=
N(s)
s2 − 2Re (p1) s + Re (p1)2 + Im (p1)2
=
N(s)
(s − Re (p1))2 + Im (p1)2
= α1
s − Re (p1)
(s − Re (p1))2 + (Im (p1))2
+ α2
Im (p1)
(s − Re (p1))2 + (Im (p1))2
.
(4.13)
Exemplo:
Considere a FT:
G(s) =
2s + 12
s2 + 2s + 5
=
2s + 12
(s + 1)2 + 22
Os polos são p1 = −1 − 2 i e p2 = −1 + 2 i, ou seja, são conjugados complexos, indicando
capacidade oscilatória do sistema dinâmico.
−5 −3 −1 1
−2
0
1
2
σ
iω
zeros
Figura 4.8: Localização dos polos s1 = −1 − 2 i; s2 = −1 + 2 i da função G(s) = 2s+12s2+2s+5 .
A RI deve portanto ser oscilatória. Note que Re(p1) = −1 = Re(p2) e Im(p1) = −2 i =
−Im(p2). Dessa forma, pelo que foi discutido anteriormente, deseja-se determinar α1 e α2 tais
que,
G(s) = α1
(s + 1)
(s + 1)2 + 22
+ α2
(−2)
(s + 1)2 + 22
=
α1s + α1 − 2α2
(s + 1)2 + 22
=
2s + 12
(s + 1)2 + 22
.
Resolvendo para α1 e α2, têm-se
G(s) = 2
(s + 1)
(s + 1)2 + 22
− 5 (−2)
(s + 1)2 + 22
.
Aplicando a TIL obtêm-se a resposta impulsiva:
g(t) = 2e−t cos(2t) + 5e−t sen(2t)
que no caso é oscilatória, pois o sistema permite oscilação e o sinal de excitação (impulso de
Dirac) tem caracterı́sticas oscilatórias implı́citas.
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pierr
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C 4.3. Transformada inversa de funções de transferência e expansão em frações parciais 37
1 2 3 4 5 6−0.5
0.5
1.5
2.5
3.5
t
g(t)
Figura 4.9: Resposta impulsiva g(t) = 2e−t cos(2t) + 5e−t sen(2t) que corresponde à resposta ao
impulso de Dirac do sistema cuja FT é G(s) = 2s+12s2+2s+5 com os polos p1 = −1 − 2 i e p2 = −1 + 2 i.
4. Polos mistos (reais e conjugados complexos)
Para o caso de polos mistos adota-se um procedimento misto dos anteriores. Considere a FT:
G(s) =
1
s(s2 + 2s + 2)
cujos polos são s1 = 0; s2 = −1 − i e s3 = −1 + i, ou seja, há um par de polos conjugados com-
plexos e um polo na origem. Devido aos polos conjugados complexos o sistema tem capacidade
oscilatório e espera-se um comportamento oscilatório da resposta impulsiva.
−5 −3 −1 1
−1
0
11
σ
iω
zeros
Figura 4.10: Localização dos polos s1 = 0; s2 = −1 − i e s3 = −1 + i, da função G(s) = 1s(s2+2s+2) .
A FT pode ser reescrita como
G(s) =
a10
s
+ α1
(s + 1)
(s + 1)2 + (1)2
+ α2
(1)
(s + 1)2 + (1)2
sendo que com a Eq. (4.9) determina-se a10 considerando Ki = 1 e j = 0:
a10 =
d0
0!ds0
�
s
1
s(s2 + 2s + 2)
�
s=0
=
1
2
.
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C 38 Caṕıtulo 4. Descrição de sinais e sistemas no doḿınio s
Assim, a FT fica:
G(s) =
1
2
1
s
+ α1
(s + 1)
(s + 1)2 + (1)2
+ α2
(1)
(s + 1)2 + (1)2
=
1
2 (s
2 + 2s + 2) + α1s2 + (α1 + α2)s
s(s2 + 2s + 2)
=
s2( 12 + α1) + s(1 + α1 + α2) + 1
s(s2 + 2s + 2)
=
1
s(s2 + 2s + 2)
.
Da última linha da equação anterior, como o numerador não deve depender de s, tem-se que,
α1 + 1/2 = 0;
α1 + α2 + 1 = 0;
e, portanto,
α1 = α2 = −1/2.
Desta forma, a FT fica:
G(s) =
1
2
1
s
− 1
2
(s + 1)
(s + 1)2 + (1)2
− 1
2
(1)
(s + 1)2 + (1)2
Aplicando-se a TIL aos termos da equação anterior obtêm-se a resposta impulsiva, dada por:
g(t) =
1
2
u(t)− 1
2
�
e−t cos t + e−t sen t
�
=
1
2
�
u(t)− e−t(cos t + sen t)
�
.
que é oscilatória, ainda que bastante amortecida.
1 2 3 4 5 6
−0.25
0.25
0.5
t
g(t)
Figura 4.11: Resposta impulsiva 12
�
u(t)− e−t(cos t + sen t)
�
que corresponde à resposta ao impulso
de Dirac do sistema cuja FT é G(s) = 1s(s2+2s+2) com os polos s1 = 0; s2 = −1 − i e s3 = −1 + i.
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C
Capı́tulo 5
Álgebra e Diagramas de blocos
Diagramas de blocos consistem na representação gráfica, por meio de blocos, de elementos que
compõem um sistema ou conjunto de sistemas dinâmicos. A princı́pio diagramas de blocos podem
ser desenvolvidos considerando sinais e sistemas dinâmicos no domı́nios t, s e jω. Em cada um dos
domı́nios a relação entre o sinal de saı́da (resposta) e a o sinal de entrada (excitação do sistema) é
dada por relação especı́fica:
1. Domı́nio do tempo
EDO/EDP
x(t) y(t)
y(t) = h(t) ∗ x(t) Convolução
2. Domı́nio s
FT
X(s) Y(s)
Y(s) = H(s) · X(s) Relações algébricas
3. Domı́nio jω
FRF
X(jω) Y(jω)
Y(jω) = H(jω) · X(jω) Relações algébricas
Apesar de ser possı́vel representar um sistema dinâmico de forma esquemática nos três domı́nios,
a representação no domı́nio s e no domı́nio jω é a mais indicada, pois nestes domı́nios a relação entre
sinal de entrada e sinal de saı́da é dada por funções simples e relações algébricas. Já no domı́nio do
tempo a relação é dada normalmente por equações diferenciais e pela operação de convolução, que
é indicada pelo sı́mbolo ∗.1
Existindo relações algébricas entre saı́da e entrada de um sistema descrito de forma abstrata por
um bloco é possı́vel se usar álgebra de blocos para manipular e simplificar diagramas de blocos, por
exemplo com a finalidade de determinar funções de transferência ou funções resposta em frequência
de sistemas complexos a partir do seu diagrama de blocos. Em outras palavras, álgebra de blocos é
possı́vel nos domı́nios s e iω, mas não no domı́nio do tempo pois a convolução não é uma operação
algébrica.
1Portanto, em textos no âmbito da engenharia não se usa, e você também não deve usar, o sı́mbolo ∗ para a
multiplicação. Da mesma forma não se deve usar o sı́mbolo . para multiplicação, pois . indica o final de uma sentença.
49
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Realce
pierr
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C 50 Caṕıtulo 5. Álgebra e Diagramas de blocos
Os elementos constituintes de diagramas de blocos são:
• blocos
• ramos
• interligações
• derivações (dos sinais)
Como álgebra de blocos entende-se o conjunto de operações algébricas com blocos no domı́nio
s ou no domı́nio jω. Ela é viável devido à transformada de Laplace ou transformada de Fourier
do teorema de convolução. Em sistemas lineares verifica-se que a relação entre excitação, sistema e
reposta no domı́nio do tempo é dada por:
y(t) = x(t) ∗ h(t) =
� ∞
−∞
x(τ)h(t − τ)dτ (5.1)
sendo h(t) a resposta impulsiva do sistemadinâmico, linear e invariante no tempo. A integral da na
Eq (5.1) é conhecida como integral de convolução. Verifique na wikipedia maiores detalhes e boas
animações sobre a convolução.
Aplicando-se a transformada e Laplace tem-se:
Y(s) = L{x(t) ∗ h(t)} = L{x(t)} · L{h(t)} = X(s) · H(s) (5.2)
o que é claramente uma relação algébrica envolvendo as transformadas de Laplace dos sinais x(t) e
h(t).
Para um sistema composto por dois blocos em série, e portanto com respostas impulsivas h1(t) e
h2(t) para cada um dos blocos respectivamente, tem-se então que:
h1(t) h2(t)
x2(t)x1(t) y(t)
y(t) = x(t) ∗ h1(t) ∗ h2(t) (5.3)
e aplicando-se a TL tem-se:
Y(s) = L{x(t) ∗ h1(t) ∗ h2(t)} = L{x(t)} · L{h1(t)} · L{h2(t)} = X(s) · H1(s) · H2(s). (5.4)
Essa relação algébrica pode ser representada pelo diagrama de blocos
H1(s) H2(s)
X2(s)X1(s) Y(s)
o que por sua vez é equivalente a
H1(s) · H2(s)
X1(s) Y(s)
Controle de sistemas dinâmicos
atualização: 15 de outubro de 2020
Prof. Stephan Paul, Lucas Zambrano
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C 5.1. Regras para álgebra de blocos 51
pois é possı́vel de se fazer álgebra de blocos no domı́nio s. Já a resposta impulsiva correspondente
ao sistema composto somente pode ser obtida diretamente no domı́nio do tempo fazendo a operação
de convolução tal que:
h(t) = h1(t) ∗ h2(t)
e essa operação não é possı́vel de ser realizada por álgebra de blocos. Esse exemplo deixa claro as
facilidades que as relações algébricas em s ou jω implicam e da mesma forma como no exemplo de
blocos em série podem ser deduzidas as regras para álgebra de blocos apresentadas a seguir.
5.1 Regras para álgebra de blocos
Na presente seção estão elencados algumas regras para a álgebra de blocos. Verifique que nos
livro de Ogata por exemplo há uma relação mais extensa de regras, que pode ser útil.
1. Blocos em cascata/série
G1(s) G2(s)
U2(s)U1(s) Y(s)
G1(s) =
U2(s)
U1(s)
; G2(s) =
Y(s)
U2(s)
(5.5)
G(s) =
Y(s)
U1(s)
=
U2(s)
U1(s)
Y(s)
U2(s)
= G1(s)G2(s) (5.6)
G(s)
U1(s) Y(s)
A resposta do sistema composto no domı́nio s é então:
Y(s) = U1(s)G(s) = U1(s)G1(s)G2(s) (5.7)
Prof. Stephan Paul, Lucas Zambrano Controle de sistemas dinâmicos
atualização: 15 de outubro de 2020
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C 52 Caṕıtulo 5. Álgebra e Diagramas de blocos
Exemplo 5.1.1: Orelha humana representado por blocos em série
Um exemplo da aplicação de blocos em série é a orelha humana, que é composta por orelha
externa (OE), orelha média (OM) e orelha interna e orelha (OI).a A OE transforma a pressão
sonora p(t) em um deslocamento xmt(t) da membrana timpânica que por sua vez é trans-
formado em deslocamento na platina do estribo xpe(t) na entrada da OI. Esse deslocamento
xpe(t) é transformado em impulsos elétricos i(t) na OI.b
OE OM OI
xmt(t)
Xmt(s)
p(t)
P(s)
xpe(t)
Xpe(s)
i(t)
I(s)
Horelha
A FT da orelha humana é portanto
Horelha(s) = HOE(s)HOM(s)HOI(s) =
I(s)
P(s)
.
aO orgão de fato se chama orelha e não ouvido, pois o conjunto de OE, OM e OI não faz o individuo ouvir.
A orelha gera apenas os sinais elétricos necessários para que o cortex auditivo produza a sensação de ouvir. O
‘ouvido” seria então o conjunto de todas a partes do sistema auditivo que possam produzir em conjunto uma
sensação de ouvir na existência de um estı́mulo sonoro com caracterı́sticas adequadas.
bEstritamente falado os sinais (plural) de saı́da da OI são digitais, pois a OI é um conversor analógico digital e
um banco de ∞ filtros.
Atividade 5.1.1: Representação mais detalhada da orelha por subsistemas
É interessante notar que OE, OM e OI ainda poderiam ser representadas por mais
subsistemas. A OE pode ser representada pelos subsistemas pavilhão auditivo e canal
auditivo, a OM pelos subsistemas membrana timpânica e cadeia ossicular e a OI
pelos subsistemas fluı́dos cocleares, membrana basilar e nervos auditivos. A cadeia
ossicular poderia ser subdividida ainda nos subsistemas martela, bigorna e estribo. Faça
uma representação mais detalhada da orelha considerando-se todos os subsistemas
elencados no exemplo anterior. Reflita sobre os sinais de entrada e saı́da para cada um
dos subsistemas.
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C 5.1. Regras para álgebra de blocos 53
2. Blocos em paralelo, podendo o ponto somatório ter entradas com sinais negativos (-) ou positi-
vos (+).
G1(s)
G2(s)
U1(s)
Σ
Y(s)
±
±
Considerando que
G(s) =
Y(s)
U(s)
(5.8)
tem-se então:
Y(s) = ±U(s)G1(s)± U(s)G2(s) = U(s)[±G1(s)± G2(s)]. (5.9)
Em um sistema com blocos em paralelo a FT G(s) é então a soma das FTs dos subsistemas,
observando-se os sinais - ou +:
G(s) = ±G1(s)± G2(s) (5.10)
e então o sistema equivalente é dado por:
G(s) = ±G1(s)± G2(s)
U(s) Y(s)
Prof. Stephan Paul, Lucas Zambrano Controle de sistemas dinâmicos
atualização: 15 de outubro de 2020
pierr
Realce
pierr
Realce
D
R
A
FT
O
N
LY
!-
P
R
O
F.
ST
E
P
H
A
N
PA
U
L
,E
M
C
-U
FS
C 54 Caṕıtulo 5. Álgebra e Diagramas de blocos
Atividade 5.1.2: A sua voz
Você já notou que a sua voz soa muito diferente para você se comparado a outras
pessoas. Compare os diagramas de blocos que representam todos os subsistemas que
processam o sinal da sua voz em você e em outra pessoa. Há alguma diferença que
explicaria que sua voz soa diferente para você se comparado a outra pessoa?
3. Laço de realimentação
Σ G1(s)
G2(s)
U1(s)
+
Y2(s)
–
Y1(s)
Seja a diferença entre U1(s) e Y2(s) dada por:
U2(s) = U1(s)− Y2(s) (5.11)
então a saı́da do sistema será:
Y1(s) = U2(s)G1(s). (5.12)
A saı́da Y1(s) passa pela FT G2(s), que tipicamente representa um sensor, e se torna Y2(s) tal
que
Y2(s) = G2(s)Y1(s) (5.13a)
= G2(s)U2(s)G1(s) = G1(s)G2(s)U2(s) (5.13b)
= G1(s)G2(s) [U1(s)− Y2(s)] =
G1(s)G2(s)U1(s)
1 + G1(s)G2(s)
. (5.13c)
Controle de sistemas dinâmicos
atualização: 15 de outubro de 2020
Prof. Stephan Paul, Lucas Zambrano
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PA
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,E
M
C
-U
FS
C 5.1. Regras para álgebra de blocos 55
Observe que as grandezas que entram no ponto somatório tem que ter a mesma unidade, para
que se possa fazer a operação de soma ou diferença.
Lembrando que se deseja obter uma relação entre Y1(s) (saı́da) e U1(s) (entrada do sistema)
manipula-se as equações anteriores de tal forma que é obtido:
Y1(s) =
G1(s)
1 + G1(s)G2(s)
U1(s) (5.14)
o que pode ser manipulado para se obter G(s):
G(s) =
G1(s)
1 + G1(s)G2(s)
(5.15)
Atividade 5.1.3: Manipulação das equações
Faça a manipulação das Eqs (5.11), (5.12) e (5.13) de tal forma que é obtida a Eq. (5.14).
4. Mudança na posição do bloco somatório
Σ G1(s)
X1(s)
±
X2(s)
X3(s)
±
G1(s) Σ
G1(s)
X1(s)
±
X2(s)
X3(s)
±
X2(s) = [X1(s)± X3(s)]G1(s) (5.16)
5. Deslocamento do ponto de derivação
O ponto de derivação no exemplo abaixo pode ser deslocado para a frente do bloco G1(s) re-
plicando o bloco G1(s) no outro ramo.
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atualização: 15 de outubro de 2020
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Realce
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Realce
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N
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,E
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C 56 Caṕıtulo 5. Álgebra e Diagramas de blocos
G1(s)
X1(s) X2(s)
X2(s)
Desta forma o novo diagrama de blocos fica
G1(s)
G1(s)
X2(s)
X2(s)
5.2 Usando álgebra de blocos para determinar FTs
Exemplo 5.2.1: Aplicação da álgebra de blocos
Σ G1(s) = 3s G2(s) =
2
s+1
G3(s) = 1s+1
U(s) Y(s)
−
Representa-se o conjunto dos subsistemas/os blocos G1(s) e G2(s) por uma nova FT G4(s) tal
que:
G4(s) = G1(s)G2(s)
A FT do sistema com realimentação fica então:
G(s) =
G4(s)
1 + G3(s)G4(s)
=
G4(s)
1 + G3(s)G1(s)G2(s)
ou