Matematica TODOS ANOS-620

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Resposta: Aplicando a regra de L'Hôpital, obtemos \(\lim_{x \to 0} \frac{2^x \ln(2)}{1} = 
\ln(2)\). 
 
313. Problema: Resolva a equação \(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{2}\). 
 Resposta: Multiplicando todos os termos por \((x - 1)(x + 1)\), obtemos \(2(x + 1) - 2(x - 1) 
= (x - 1)(x + 1)\). Simplificando, \(4 = x^2 - 1\), então \(x^2 = 5\), logo \(x = \pm \sqrt{5}\). 
 
314. Problema: Se \(f(x) = \frac{1}{x - 1}\), determine o domínio de \(f(x)\). 
 Resposta: O domínio de \(f(x)\) é \(\mathbb{R} \backslash \{1\}\), pois a função não é 
definida para \(x = 1\). 
 
315. Problema: Calcule \(\lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1}\). 
 Resposta: Quando \(x\) se aproxima de \(1\), \(\frac{1}{x - 1}\) se torna \(\pm \infty\), 
portanto, \(\lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1}\) não existe. 
 
316. Problema: Resolva a equação \(\frac{x^2 - 1}{x + 1} = \frac{x}{2}\). 
 Resposta: Primeiro, multiplique ambos os lados da equação por \(x + 1\) para limpar os 
denominadores: \(2(x^2 - 1) = x(x + 1)\). Simplificando, \(2x^2 - x - 2 = 0\). Resolvendo esta 
equação quadrática, encontramos \(x = -1\) ou \(x = \frac{1}{2}\). 
 
317. Problema: Se \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1}\), determine o domínio de \(f(x)\). 
 Resposta: O domínio de \(f(x)\) é \(\mathbb{R} \backslash \{-1\}\), pois a função não é 
definida para \(x = -1\). 
 
318. Problema: Calcule \(\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 1}{x + 1}\). 
 Resposta: Aplicando a substituição direta, obtemos \(\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 1}{x + 1} = 
\lim_{x \to -1} \frac 
 
{(x - 1)(x + 1)}{x + 1} = \lim_{x \to -1} (x - 1) = -2\). 
 
319. Problema: Resolva a equação \(2x^2 - 5x + 2 = 0\). 
 Resposta: As soluções são \(x = 2\) e \(x = \frac{1}{2}\). 
 
320. Problema: Se \(f(x) = \frac{2x^2 - 5x + 2}{x - 2}\), determine o domínio de \(f(x)\).