Aula 10 - Estudo de integrais

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Disciplina: Bases matemáticas aplicadas à
saúde
Aula 10: Estudo de integrais
/
Apresentação
Vimos que é possível solucionar problemas com taxas de variação utilizando o cálculo diferencial na aula anterior. Nesta
aula, faremos o inverso, isto é, veremos o cálculo integral e determinaremos uma função a partir de informações de sua taxa
de variação.
Com esse conhecimento, poderemos calcular a posição futura de um corpo a partir da sua posição atual e do conhecimento
das forças que atuam sobre ele. Dessa forma, seremos capazes de determinar as áreas de regiões irregulares no plano.
Estudaremos também a formulação da soma de Riemann para a integral de�nida, que permite que você calcule áreas sob
curvas, que não podem ser calculadas com a geometria clássica ou analítica.
Objetivos
Identi�car os conceitos de integração de funções de uma variável real;
Aplicar técnicas de integração;
Determinar propriedades e aplicações das integrais de�nidas.
/
Cálculo integral
Na matemática, tudo possui o seu inverso:
−
A subtração como inverso da
adição;
÷
A divisão como inverso da
multiplicação.
No cálculo diferencial, temos também o inverso da derivada, que é a antiderivada (primitiva), ou integral, como chamaremos aqui.
Logo, para todo pertencente ao intervalo , será a antiderivada de num dado intervalo se .x I F f I F ' (x) = f (x)
Exemplo
1. Uma função é chamada de primitiva da função em um intervalo se .
A função é uma primitiva da função , pois:
Observe que as funções ou ou também são primitivas de ,
pois:
2. Se a função é uma primitiva da função , a expressão será chamada de integral inde�nida de e
será expressa por:
F (x) f (x) I F ' (x) = f (x)
F (x) = x
5
5
f (x) = x4
F ' (x) = = = f (x)5x
4
5 x
4
T (x) = + 9x
5
5
H (x) = − 2x
5
5
G (x) = + Cx
5
5
f (x) = x4
T ' (x) = H' (x) = G' (x) = x4
F (x) f (x) F (x) + C f (x)
∫ f (x)dx = F (x) + C
Integral inde�nida de ou simplesmente integral de 
em relação a 
Chamamos de integração o processo que permite encontrar a integral inde�nida de uma função. Assim, temos que:
f (x) f (x)
x
(i) é o sinal de integração;
(ii) é a função integrando;
∫ f (x)dx
f (x)
/
(iii) é a diferencial que identi�ca a variável de integração.dx
A partir da de�nição de integral inde�nida, temos as seguintes propriedades:
(i) 
(ii) representa uma família de funções, isto é, a família ou o conjunto
de todas as primitivas da função que integra.
(iii) 
∫ f (x)dx = F (x) + C ↔ F ' (x) = f (x)
∫ f (x)dx
(∫ f (x)dx) = (F (x) + C) = F ' (x) = f (x)d
dx
d
dx
A partir delas, observamos que:
∫ f (x)dx = F (x) + C → F (x) = F ' (x) = f (x)d
dx
Isso permite que obtenhamos fórmulas de integração diretamente das fórmulas de
derivação.
Propriedades da integral indefinida
∫  k f (x)dx = k ∫  f (x)dx
∫   (f (x) ± g (x))dx = ∫  f (x)dx± ∫  g (x)dx
Regra generalizada para integração de uma função
Se é uma função derivável, então: , com .x ∫   dx = +Cxn x
n+1
n+1 n+ 1 ≠ 0
Exemplo
/
a) 
Solução:
 e são constantes arbitrárias. De modo que , ou seja, basta colocar o termo “ ” no �nal da solução das
integrais, independentemente do número de parcelas da função do integrando.
Logo:
b) 
Solução:
Logo:
c) 
Solução:
d) 
Solução:
∫ (7 + )dxx4 x2
∫ (7 + )dx = ∫ 7 dx + ∫ dx = 7 + + +x4 x2 x4 x2 x
4+1
4+1 C1
x2+1
2+1 C2
C1 C2 + = CC1 C2 +C
∫ (7 + )dx = ∫ 7 dx + ∫ dx = 7 + + + = + + Cx4 x2 x4 x2 x
4+1
4+1 C1
x2+1
2+1 C2
7x5
5
x3
3
∫ dxx2
=x
2+1
2+1
x3
3
∫ dx = + Cx2 x
3
3
∫ dx
∫ 1 ⋅ dx = x + C
∫ (3 + 5)dxx2
/
e) 
Solução:
f) 
Solução:
Para veri�car se uma primitiva foi calculada corretamente, determine a derivada da solução . Se essa derivada for
igual a , a primitiva está correta. Caso o resultado seja diferente, existe algum erro nos cálculos.
∫ (3 + 5)dx = ∫ 3 dx + ∫ 5dxx2 x2
= 3 ∫ dx + 5 ∫ dxx2
= 3 ⋅ + 5x + Cx
2+1
2+1
= 3 + 5x + Cx
3
3
= + 5x + Cx3
∫ dx2
x√3
∫ dx = 2 ∫ dx = 2 + C2
x
1
3
x
−1
3/ x
+1
−1
3
+1
−1
3
= 2 ⋅ + C = 2 ⋅ + C = 3 ⋅ + Cx
2
3
/
2
3
/
3
2 x
2−−√3 x2
−−√3
∫ ( + + 5)dx2
x3
3
x2
∫ dx + ∫ dx + 5 ∫ dx2
x3
3
x2
= 2 ∫ dx + 3 ∫ dx + 5 ∫ dxx−3 x−2
= 2 ⋅ + 3 + 5x + Cx
−3+1
−3+1
x−2+1
−2+1
= 2 + 3 + 5x + Cx
−2
−2
x−1
−1
= − − 3 + 5x + Cx−2 x−1
= − − + 5x + C1
x2
3
x
F (x) + C
f (x)
/
Atividade
1. Agora é sua vez! Calcule as integrais inde�nidas a seguir:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
∫ (8 + 4 − 6x + 5)dxx4 x3
∫ ( + 1)dxx5
∫ ( − x)dxx
2
3
∫ (x − 1)dxx√
∫ dx2
x√
Integral de�nida e de�nição da área
Quando é preciso encontrar a área de uma região S, que está sob a curva de até , veri�que se (�gura 10.1) está
limitada pelo grá�co de uma função contínua (onde ), as retas verticais e , e o eixo .
y = f (x) a b S
f f (x) > 0 x = a x = b x
 Figura 10.1 – área S sob a curva contínua f(x), limitada pelas retas x =
a e x = b. Fonte: G. B. Thomas, 2002.
Um conceito primitivo de área é o da área do retângulo. Calcular a área do retângulo e de outras �guras geométricas elementares,
como triângulo e paralelogramo, é relativamente fácil.
Para calcular a área de uma região S qualquer, faça uma partição do intervalo , isto é, divida o intervalo em 
subintervalos, por meio dos pontos escolhidos arbitrariamente, da seguinte maneira:
P [a, b] [a, b] n
a = < < < … < < < … < = bx0 x1 x2 xi+1 xi xn
Determinemos o comprimento do -ésimo subintervalo como:i [ , ]xi−1 xi
/
∆ = −xi xi xi−1
Vamos construir retângulos de base e altura , em que é um ponto do intervalo .
Assim, a soma das áreas dos retângulos, que denotaremos por , será:
−xi xi−1 f ( )ci ci [ , ]xi xi−1
n Sn
= f ( ) * ∆ + f ( ) * ∆ + … + f ( ) * ∆ = f ( ) * ∆Sn c1 x1 c2 x2 cn xn ∑ni=1 ci xi
Onde se lê que o somatório do produto corresponde a:
, varia de até .f ( ) * ∆ci xi i = 1 i = n
Essa soma se chama Soma de Riemann da função relativa à partição . Quando cresce, é natural esperar que a soma das
áreas dos retângulos se aproxime da área sob a curva. Chamamos de norma da partição o comprimento do seu subintervalo
mais longo:
f P n
S P
||P || = max {∆ ;  i = 1,  2,  3,   … ,  n}xi
Caso o limite exista, a medida da área da região que está sob um grá�co de uma função contínua é:A S f
A = f ( ) * ∆lim
||P ||→0
∑ni=1 ci xi
De�nição de integral de�nida
Considerando uma função limitada de�nida no intervalo fechado e uma partição qualquer de , a integral de 
 no intervalo , denotada por , é dada por:
f (x) [a, b] P [a, b]
f (x) [a, b] f (x)dx∫ b
a
f (x)dx = f ( ) * ∆∫ ba lim||P ||→0
∑ni=1 ci xi
Desde que exista o limite, a integral de�nida de vai de até .f (x)dx [a] [b]
Propriedades da integral de�nida
/
i. 
ii. 
iii. Se , então 
iv. 
k f (x)dx = k  f (x)dx∫ ba ∫
b
a
  (f (x) + g (x))dx = f (x)dx + g (x)dx∫ ba ∫
b
a ∫
b
a
a < c < b  f (x)dx =  f (x)dx +  f (x)dx∫ b
a
∫ c
a
∫ b
c
 f (x)dx = −  f (x)dx∫ ba ∫
b
a
Saiba mais
Assista ao vídeo <https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-integration-new/ab-6-7/v/connecting-the-�rst-and-second-
fundamental-theorems-of-calculus> sobre o teorema fundamental do cálculo e integrais de�nidas.
Teorema Fundamental do Cálculo (TFC)
Se é tal que para entre , então:
O resultado será um valor numérico sem o termo “ ”.
F F ' (x) = f (x) x [a, b]
f (x)dx = F (b) − F (a)∫ b
a
+C
Exemplo
https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-integration-new/ab-6-7/v/connecting-the-first-and-second-fundamental-theorems-of-calculus
/
a) Cálculo da integral de no intervalo [1, 2]
Para resolver essa questão, substitua pelo limite superior de integração. Nesse caso, 2 menos (subtrair) onde tem você
substituirá pelo limite inferior, que é 1.
Vamos lá:
b) 
c) Mudando os limites para , encontramos .
d) Calculando a integral de no intervalo .
f (x) = x2
f (x)dx = dx =∫ 21 ∫
2
1 x
2 x3
3
2
1
x x
f (x)dx = dx = = − = − =∫ 21 ∫
2
1 x
2 x3
3
2
1
23
3
13
3
8
3
1
3
7
3
( + 3x − 1)dx = dx + 3 xdx − dx =∫ 01 x
3 ∫ 01 x
3 ∫ 01 ∫
0
1 ( + − x)
x4
4
3x2
2
0
1
= ( + 3 − 0) −( + 3 − 1) = 0 ( + − 1) = = =0x4
4
02
2
14
4
12
2
1
4
3
2
2+12−8
8
4
8
1
2
[−1, 0] −11 4/
f (x) = 1
x3
[1, 2]
f (x)dx = dx = dx =∫ 21 ∫
2
1
1
x3
∫ 21 x
−3 x−3+1
−3+1
2
1
= = − = − + =x
−2
−2
2
1
2−2
−2
1−2
−2
1
8
1
2
3
8
Leitura
Algumas técnicas de integração <galeria/aula10/anexo/tecnicas_de_integracao.pdf> para diferentes funções.
Aplicações das integrais
Veja dois tipos de cálculos de área:
Sob a curva no intervalo ;
Entre as curvas e no intervalo .
f (x) [a, b]
f (x) g (x) [a, b]
http://estacio.webaula.com.br/cursos/go0048/galeria/aula10/anexo/tecnicas_de_integracao.pdf
/
Cálculo de áreas sob a curva no intervalo 
Para determinar a área de diferentes regiões, é preciso encontrar a área de uma região , que está sob a curva de uma função 
, como demonstrado na �gura 10.1.
Dessa forma:
f (x) [a, b]
A
f (x)
Área S = f (x)dx∫ ba
Exemplo
a) Calcular a área do conjunto do plano limitado pelas retas , e pelo grá�co de 
 signi�ca unidades de área
b) Calcular a área de entre e 
x = 0 x = 1 f (x) = x2
área = f (x)dx = dx = = − = u. a.∫ 10 ∫
1
0 x
2 x3
3
1
0
13
3
03
3
1
3
u. a.
f (x) = x + 1 x = 0 x = 4
área = f (x)dx = (x + 1)dx = = ( + 4) − 0 = 8u. a.∫ 40 ∫
4
0 ( + x)
x2
2
4
0
43
2
Atividade
2. Considerando , tomemos a região delimitada por , o eixo e as retas e . Faça o grá�co e calcule
a área dessa região.
f (x) = 5 x = 1 x x = 1 x = 3
3. Considerando , tomaremos a região delimitada pelo eixo , a função e as retas e .f (x) = x x f (x) = x x = 0 x = 7
Cálculo de área entre as curvas e no intervalo 
Considere a região entre os grá�cos de duas funções. Em seguida, suponha que e sejam funções contínuas no
intervalo e que para todo em . Dessa forma, a área da região limitada acima por , abaixo
por , à esquerda pela reta e à direita pela reta , conforme a �gura a seguir, corresponde a:
f (x) g (x) [a, b]
f (x) g (x)
[a, b] f (x) > g (x) x [a, b] y = f (x)
y = g (x) x = a x = b
A = [f (x) − g (x)]dx∫ b
a
/
 Figura 10.2 – Área da região limitada acima por y = f(x), abaixo por y
= g(x), à esquerda pela reta x = a e à direita pela reta x = b. Fonte: G. B.
Thomas, 2002.
Exemplo
Cálculo da área da região delimitada por e em .
Portanto, a área delimitada por:
 e em é .
y = f (x) = x + 6 y = g (x) = x2 [−2, 3]
A = [f (x) − g (x)]dx∫ b
a
A = [(x + 6) − ]dx = [x + 6 − ]dx∫ 3−2 x
2 ∫ 3−2 x
2
A = xdx + 6dx − dx∫ 3−2 ∫
3
−2 ∫
3
−2 x
2
A = ( + 6x − )x2
2
x3
3
3
−2
A = ( + 6 ⋅ 3 − ) − ( + 6 ⋅ (−2) − )32
2
33
3
(−2)2
2
(−2)3
3
A = ( + 18 − ) − ( − 12 + )9
2
27
3
4
2
8
3
A = ( ) − (− )27
2
22
3
A = + = = u. a.272
22
3
81+44
6
125
6
y = f (x)= x + 6 y = g (x)= x2 [−2, 3] u. a.1256
Atividade
4. Encontre a área delimitada pela curva e as reta entre y = 1 − x2 y = x − 1 [−1, 2]
Mudança de variável ou regra da substituição
/
Agora aprenderemos como substituir uma integral relativamente complicada por uma mais simples. Sejam e funções
diferenciáveis. Suponha que seja uma primitiva de . Então:
f g
F f
 é uma primitiva de F (g (x)) f (g (x))g' (x)
[F (g (x))]' = F ' (g (x))g' (x) = f (g (x))g' (x)
Portanto:
∫ f (g (x))g'dx = F (g (x)) + C
Onde é uma constante arbitraria. Assim, se �zermos a mudança de variável ou substituição , temos:k u = g (x)
∫ F ' (g (x))g' (x)dx = ∫ [F (g (x))]'dx = F (g (x)) + C = ∫ F ' (u)du
Escrevendo , obtemos a regra da substituição:F ' = f
∫ f (g (x))g' (x)dx = ∫ f (u)du
Exemplo
/
Para encontrar , escolha a função de maior potência para chamar de .
Nesse caso:
Queremos explicitar .
Vamos fazer a substituição?
Viu como �cou fácil?
Basta cortar do numerador com do denominador:
Essa integral já sabemos resolver:
Substituindo de volta , teremos que a solução �nal da integral é:
∫ 2x dx1 + x2− −−−−√ u
u = 1 + x2
= 2xdu
dx
dx = du
2x
∫ 2x dx = ∫ 2x1 + x2− −−−−√ u√ du2x
2x 2x
∫ 2x = ∫ duu√ du2x u√
∫ du = ∫ du = + Cu√ u
1
2
2 u3√
3
u = 1 + x2
∫ 2x dx = + C1 + x2− −−−−√
2 (1+ )x2
3√
3
Saiba mais
Assista ao vídeo Introdução à integração por substituição <https://pt.khanacademy.org/math/calculus-home/integration-
techniques-calc/u-substitution-calc/v/u-substitution> .
Atividade
5. Resolva a integral:
∫ ⋅ (5 + 6x)dx( + 3 )x5 x2 2 x4
https://pt.khanacademy.org/math/calculus-home/integration-techniques-calc/u-substitution-calc/v/u-substitution
/
6. Resolva ∫ dx2x − 1− −−−−√
Regra da substituição para integrais de�nidas
Se for contínua em e for contínua na variação , então:
Parece complicado?
Basta você resolver a interação por substituição e depois aplicar os limites de integração.
g' [a, b] f u = g (x)
f (g (x))g' (x)dx = f (u)du∫ ba ∫
g(b)
g(a)
Exemplo
Vamos resolver o exemplo anterior:
Já sabemos que os passos para a solução dessa integral nos leva a:
Antes de efetuar a regra da integração de�nida, temos que ir até o �nal da solução da integral por substituição, ou seja, você não
deve resolver a integral de�nida em .
Resolva a integral, faça a substituição de e depois aplique os limites de integração em . Logo, a aplicação dos limites de
integração deverá ser em :
dx∫ 11
2/ 2x − 1
− −−−−√
dx = = du =∫ 11
2/ 2x − 1
− −−−−√ ∫ 11
2/ u√
du
2
1
2 ∫
1
1
2/ u
1
2 ⋅12
2
3 u
3−−√
1
1
2/
u
u x
x
dx = = du = =∫ 11
2/ 2x − 1
− −−−−√ ∫ 11
2/ u√
du
2
1
2
∫ 11
2/ u
1
2 ⋅1
2
2
3 u
3−−√
1
1
2/
⋅1
3 (2x − 1)
3
− −−−−−−−
√
1
1
2/
= ⋅ − ⋅ = − =13 (2 ⋅ 1 − 1)
3
− −−−−−−−−
√ 1
3 (2 ⋅ − 1)
1
2
3
− −−−−−−−−
√ 1
3 1√
1
3 0√
1
3
/
Atividade
7. Resolva as integrais abaixo:
a) x dx∫ 20 3 + 2x2
− −−−−−√
b) x dx∫ 21 + 1x2
− −−−−√
Observações �nais
a) Integração de f (u) = eu
Vimos que existem regras para integração e para a integral:
Aplicando a regra de substituição de variável, podemos resolver as integrais a seguir:
Faremos:
Logo:
Substituindo de volta , teremos que:
∫ du = + Ceu eu
∫ dxe5x
u = 5x
= 5du
dx
dx = du5
∫ dx = ∫ = ∫ du = + Ce5x eu du5
1
5 e
u eu
5
u = 5x
∫ dx = + Ce5x e
5x
5
/
b) Integração de f (u) = 1
u
Integral do tipo:
Também podemos resolver integrais do tipo ou .
Basta utilizar a técnica de solução da integral por substituição de variável:
∫ = ln |x| + Cdxx
∫ dx
3x
∫ dx
x+3
Logo:
Substituindo de volta: 
Teremos que:
∫ dx3x
u = 3x
= 3du
dx
dx = du3
∫ = ∫ = ∫ = ln |u| + Cdx3x
dx
3
/
u
1
3
du
u
1
3
u = 3x
∫ = ln |3x| + Cdx3x
1
3
Analogamente:
Logo:
Substituindo de volta: 
Teremos que:
∫ dx
x+3
u = x + 3
= 1du
dx
dx = du
∫ = ∫ = ln |u| + Cdx
x+3
du
u
u = x + 3
∫ = ln |x + 3| + Cdx
x+3
Referências
G. B. Thomas, Cálculo. 10.ed. São Paulo: Addison-Wesley/Pearson, 2002.
Bornatto G., Cálculo diferencial e integral. Disponível em: https:// issuu.com/ labvirtual. utfpr. pb/ docs/ apostila_ calculo_ 1.
<https://issuu.com/labvirtual.utfpr.pb/docs/apostila_calculo_1> Acesso em: 8 mar. 2019.
Explore mais
Exemplos de Integração. <https://pt.khanacademy.org/math/calculus-home/integration-calc>
https://issuu.com/labvirtual.utfpr.pb/docs/apostila_calculo_1
https://pt.khanacademy.org/math/calculus-home/integration-calc