P1 ITA - MAT-22 - Cálculo Diferencial e Integral II - 2016 (T20)

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ITA - MAT-22 - Cálculo Diferencial e Integral II
1a Prova - 2o Semestre 2016 - 14/09/2016. Duração: 2,5 horas
Nome: Turma:
Q1: Q2: Q3: Q4: Q5: Q6: Total:
• Proibido o uso de celular, calculadora, e qualquer equipamento eletrônico.
• Resolva cada questão na página da respectiva questão. Os rascunhos não serão considerados.
• Respostas sem justificativas não serão consideradas.
Questão 1. (15 pontos) Seja f : R2 → R uma função diferenciável tal que ∂f
∂x
(1, 2) = 3 e
∂f
∂y
(1, 2) = 5.
Considere a curva C obtida pela interseção do gráfico de f com a superfície de nível zero da função
F (x, y, z) = x2 − y + z2. Sabendo que C passa por P = (1, 2, 1), determine a equação da reta tangente à
C em P .
Questão 2. Sejam f(x, y) = x2 + y2 e g(x, y) = −x2 − y2 − xy2.
a) (10 pontos) Determine todos os pontos (x0, y0, z0) ∈ R3 tais que os gráficos de f e de g têm o mesmo
plano tangente em (x0, y0, z0) (isto é, as superfícies Gf e Gg são tangentes em (x0, y0, z0)).
b) (5 pontos) Dê a equação do plano tangente comum em cada um dos pontos encontrados no item a).
Questão 3. (15 pontos) Seja F (x, y, z) uma função de classe C1 em R3 tal que ∥∇F (x, y, z)∥ é pro-
porcional a z2 e as superfícies de nível de F são planos horizontais. Determine F (x, y, z) sabendo que
F (x, y, z) = 0 em z = 0 e F (x, y, z) = 1 em z = 1.
Questão 4. (15 pontos) Seja z = z(x, y) uma função de classe C2 em R2, onde x = r cos θ e y = r sen θ.
Mostre que a equação de Laplace
∂2z
∂x2
+
∂2z
∂y2
= 0 é equivalente à equação em coordenadas polares
∂2z
∂r2
+
1
r
∂z
∂r
+
1
r2
∂2z
∂θ2
= 0.
Questão 5. Seja f(x, y) = |x|+ |y|.
a) (8 pontos) Descreva quais são as curvas de nível de f e faça um esboço delas.
b) (8 pontos) Faça um esboço do gráfico de f .
c) (8 pontos) Determine em quais pontos f é diferenciável.
Questão 6. (16 pontos) Seja
f(x, y) =
{
x2e
− 1
(x2+y2)2 , se (x, y) ̸= (0, 0);
0, se (x, y) = (0, 0).
Determine, justificando, em quais pontos a função f é diferenciável.