Apostila eletrotécnica

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Exercícios Propostos 
liepresentação dos Números Complexos 
1.1 - Converter os seguintes números complexos na forma polar: 
a) z 1 = 20- jlO 
b) 22 = 10+ jlS
C) Z3 == -50 + j30
d) Z4 == -6- jl2
e) Z5 = 5
f)26 =-15
g) Z7 = j25
h) 2g = -j9
1.2 - Converter os seguintes números complexos na forma cartesiana: 
a) Z1 = 50 j30º 
b)2 2 =100 j150° 
e> 23 = 10 1-30° 
d) 24 = 25 !90º 
e) Z5 = 45 1- 90° 
f) z6 = 220 l_Q'.'.__
g)z7 = 3,56 !45° 
h) 2g = 67 jI80º 
Operações com Números Complexos 
1.3 - Dados os números complexos zl' z2, 23 e 24, efetuar as seguintes
operações, deixando as respostas na forma cartesiana: 
z1 = 40- jl00 22 = 50 130º 23 = 5 + j8,66 
a) Z1 + Z2 f} 23 - 24
b) Z1 + Z4 g) 25
e) z2 +z4 
d) z1 - z2
e) Z2 -Z3
h) 21,Z3
i) Z4 / ZJ 
Z1.(Zz +z3)
j) 24
Z4 = -20-j4Ü
1.4 - Efetuar as operações dos itens (g), (h), (i) e 0) do Exercício Proposto 
i.3 usando a forma cartesiana.
. ' ...... 
. ·s•,t� --��r�4'/4: ' ,. � )�I , f M' ., •;.;A ,�,. •1,�:�f-• ,r.,,«i tfSr •· ..... 
Sinais Senoidais 
2.1 - Introdução 
2.2 - Análise Gráfica e Matemática do Sinal Senoidal 
2.3 - Diagrama Fasorial 
2.4 • Representação com Números Complexos 
2.5 • Operações com Diagrama Fasorlal e Números Complexos 
2.6 • Circuitos Resistivos em C. A. 
2.7 • Valor Eficaz 
• Exercícios Propostos
2.1 - Introdução 
Os circuitos elétricos trabalham com tensões e correntes contínuas e 
alternadas. 
Em diversos dispositivos, a forma de onda da corrente depende da forma_ 
de onda da tensão neles aplicada, além da natureza dos dispositivos, ou seja, se são 
resistivos, indutivos ou capacitivos. 
Este capitulo aborda o estudo gráfico e matemático da forma de onda 
senoidal, que é a mais importante para a análise de circuitos em corrente alternada. 
Sinal Contínuo (CC ou DC) 
O sinal contínuo (CC- Corrente Continua ou DC- Direct Current) tem 
sempre a mesma polaridade, e seu valor pode ser constante ou variável. A figura 
2. l(a) mostra um resistor alimentado por uma fonte de tensão contínua e constante,
bem como as formas de onda da tensão (b) e da corrente (c).
� 
V(y) 1(�) 
R 
V+-----
(a) Circuito (b) Tensão contínua (c) Corrente contínua 
Figura i.1 - Formas de onda da tensão e corrente contfnu·as. 
fu Ni,;r&u�Ã-,Brn 
Sinal Alternado (CA ou AC) 
O sinal alternado (CA- Corrente Alternada ou AC -A !terna te Cu rren t)
varia de polaridade e valor ao longo do tempo e, dependendo de como essa variação 
ocorre, há diversas formas de sinais alternados (senoidal, quadrada, triangular, etc.). 
Dessas formas de onda, a mais importante para o estudo é a senoidal,
que será abordada daqui em diante. 
2.2 - Análise Gráfica e Matemática do Sinal Senoidal 
Representação Gráfica 
Uma tensão senoidal pode ser representada graficamente de duas 
formas: nos domínios temporal e angular, como indica a figura 2.2. 
v,,,, 
30 
v(t)[v] 
v. 
Ür T' 1.
\ 1 (s) 
-r ► 
·v. 1------------
(a) Domínio temporal 
v(O)[v] 
vp 
_v, 
O;
~ 
wt = O (rd) 
(b) Domínio angular 
Figura 2.2 · Gráficos da tensão senoidal. 
Valor de Pico e Valor de Pico a Pico 
A amplitude máxima, positiva ou negativa, que a tensão senoidal pode 
atingir é denominada tensão de pico V e a amplitude total, entre os valores 
máximos positivo e negativo, é denomina& tensão de pico a pico V , sendo: 
PP 
Período e Freqüência 
1· y>:l,/.�z.Y, .·_ 1 .,,.,.,.PP ...... .,. ·. 'P. : -::�:-:'�-�t-�"'"i: .: ' . -
O tempo que a função necessita para completar um ciclo chama-se 
t período (T) e o número de vezes que um _ciclo se repete por segundo chama-se 
freqüência (f), sendo a relação entre eles a seguinte: 
Sendo: [T] = s ⇒ segundo
[fl = Hz ou c/s ⇒ Hertz ou ciclos/segundo 
Representação Matemática 
Matematicamente, os gráficos da tensão senoidal nos domínios temporal
e angular podem ser representados, respectivamente, por: 
,. .. 
v(t) = vp.sen�t e v(e) =Vp.sene 
Sendo: v(t) =v(0) = valor da tensão no instante t ou para o ângulo 
e (em V) 
V = valor de pico ou amplitude máxima da tensão (em V)p 
ro = freqüência angular (em rd/s) 
e = ângulo (em rd) 
Freqüência Angular 
A freqüência angular ou velocidade angular, representada pela letra 
gtega ro {ómega), corresponde à variação do ângulo e do sinal em função do tempo. 
Das expressões matemáticas anteriores tem-se a relação: e= rot. 
Pelos gráficos da figura 2 .2, quando e= 21t, tem-se que t = T. Assim, é 
válida a relação 21t = ro.T. Portanto, a freqüência angular ro pode ser calculada por: 
[ ro .. 2,, - ou 1 
Exemplo: 
Analisemos o seguinte sinal senoidal: 
v(V), 
r ) / 1 / \ / \ .,1(s) ÔI \ {r.nr- \ J�� i fn..,r-: 1 / 1,0 
-51 ',/ 
"' 
Tensão de pico: V 
P
"' 5 V 
Tensão de pico a pico: V 
PP
= 10 V 
Como um ciclo completo se repete a cada 0,25 s, seu período vale: 
T = 0,25 s.
Em 1 s são completados quatro ciclos, isto é, a freqüência vale: f = 4 c/ 
5 = 4 Hz.
· 
1 1 Matematicamente, tem-se, portanto: f = T = 0,25 = 
4Hz
A freqüência angular vale ro = 2n. f = 2n.4 = 81t rd / s
Como essa tensão está representada graficamente no domínio do tempo, 
sua expressão é: 
v(t) = V
P
.senrot ⇒ v{t) = 5.sen 8m 
Para sabermos o valor da tensão num determinado instante t, por 
exemplo, em t = 0,6 s, basta substituirmos este valor na sua expressão 
matemática: 
v{t) = 5.sen(81t.O,6) = 2,94V
v(V)J 
r \ 
« 
I \ \ lo 2s' \ J , : \ / /0 5 66\ /0.75, \ / 
lilt(s) 
1,0 
-
.,,.,._.,"' ... 
U NlPAC-L
AFAlE'\�
B\BUOTEC
A 
;;____.,.. 
-V 
1 • • __ _.. , •.• 
,.,, 
Fase Inicial 
Nos circuitos elétricos, nem sempre um sinal senoidal inicia o seu ciclo no 
instante t=O s. Neste caso, dizemos que o sinal. possui uma fase inicial 8
0
. 
Assim sendo, a expressão completa para representar o sinal senoidal deve 
incluir essa fase inicial, conforme segue: 
Se o sinal inicia o seu ciclo adiantado, 8
0 
é positivo. Se o sinal inicia o 
seu ciclo atrasado, 0
0 
é negativo, conforme a figura 2.3. 
v(V) 
211--0, últ(rd) 
_v, 1----------�-----
(a) Sinal adiantado 
v(V), 
v. 
~ 
-···-o 
wt(rd) 
·V.1--·---
(b) Sinal atrasado 
Figura 2.3 - Representação grófica da fase inicial. 
1plo: 
Representar graficamente os seguintes sinais senoidais: 
v1 (t) = 10. sen(20krct + 1t / 3) (V) 
v2(t) = 15.sen(8k7tt-30
º ) (V) 
A freqüência de v1(t) vale f = � = 
20k1t 
= lOkHz 
21t 21t 
Portanto, seu período é de: T = _!
f 
= -1- = 0,lms :! lOOµs 10k 
O sinal inicia o seu ciclo adiantado de 1t / 3 rd , e para t = O, tem-se: 
1t v1(0) = 10.sen3 
= 8,66V 
v1(V) 
~ t(µs) 
' .. . ro 8k1t A frequência de v2(t) vale: f = -2 
= - = 4kHz
1t 21t 
Portanto, seu período é de: T = T = ;
k 
= 0,25ms = 250µs 
inicia o seu ciclo atrasado de 30° (ou 1t/6 rd), e para 
V2(0) = 15.sen(-30° ) = -7,5V
-1, 
,,.,, 
v,(VJ 
15 +---------
-7,5 
1=30"1 
-15 
250 l(µs) 
Defasagem 
Num circuito elétrico, é muito comum a análise de mais de um sinal
senoidal, sendo necessário, às vezes, conhecer a diferença de fase entre eles.
A diferença de fase �e entre dois sinais de mesma freqüência é
denominada defasagem, a qual é medida tomando-se um dos sinais corno
referência.
Exemplos: 
'>L!' 
Qual a defasagem entre os seguintes sinais:
a) v1 (t) = lü.s4?n(wt + 1t / 2) (V)
v2 (t) = 5.senrot (V) 
Observe em seguida a representação gráfica.
Verifique que v
1 
está adiantado de 1t/ 2 rd em relação a v
2 
ou v
2 
está
atrasado de 1t / 2 rd em relação a v 
1
. Isso significa que a defasagem
de v
1 
em relação a v
2 
é de �e= 1t / 2 rd ou a defasagem de v
2 
em
relação a v
1 
é de �e= -n / 2 rd.
"' 
r·m·w õ t � ·170'· 
! rr·· ... ,.,1
-5 ---· 
-10 t-- l 
i--+: 
t.0=,r/2. 
b) v1 (t) = 18. sen(wt - 1t / 4) (V)
v2 (t) = 12.sen(wt- n / 4) (V)
Graficamente, tem-se:
v(V) 
�I l ' ' ' \ ' ' ' I \ - A 41. ' ' ) )Ili wt(rd) \. I ' 1 1 
1' 
Portanto, v
1 
e v
2 
iniciam o ciclo atrasados em 1t / 4 rd , mas a
defasagem entre eles é nula (�e = O) , isto é, os sinais estão em fase
ou em sincronismo.
e) v1 (t) = 12.sen(ot +. n / 4) (V)
v2(t) = 8.sen(wt-11: / 2) (V)
..��: ........ ---·--· •- "",-'?"''••• 
a�: N l
,J, 
;., ,.., 
Graficamente, tem-se: 
v(V) 
7"'<:-----------
1,11 ,\! /\ \J 
o r \ - \ r "� A \ � � I L ► oot(rd) 
-12
i 69;3n/4 Í 
... ►, 
. . 
Em relação a vI, tem-se: 
1t 1t 31t 6.0 =: 002 -001 =: -- - - =: --rd 
2 4 4 
Portanto, v2 está atrasado de 31t / 4 rd em relação a vI.
Em relação a v2:
1t ( 7t) 31t 6.0 =: 001 - 002 =: 4- -2 =: 4rd
Portanto, v1 está adiantado de 31t / 4 rd em relação a v2.
2.3 - Diagrama Fasorial 
1' 
Outra forma de representar um sinal senoidal é através de um fasor ou 
vetor girante de amplitude igual ao valor de pico (V ) do sinal, girando no sentido 
anti-horário com velocidade angular OJ . A esse ti&, de representação dá-se �
nome de diagrama fasorial, como indica a figura 2.4. 
'.tR 
v(8) 
�;
t
Função r 
Senoidal--,/-
---►._ 
v(I) 
Figura 2.4 - Diagrama fasorial de um sinal senoidal. 
A projeção do segmento OP = V P no eixo vertical é uma função seno,
luzindo, portanto, a tensão senoidal v(t) ou v(0): 
1 v(t)·=,Y�\se��t '.ê: �, ·.� :,e�:' ,_ < �1�)_ 7 Yp·>'�e,�fr 1
A figura 2. 5 mostra o diagrama fasorial e os valores instantân
eos de tensão
•vários valores de 0 ou (J)t:
"' ----- v(8) 
-➔ 1 ,. ! \
--------
2rn° 240" 270" 300" 330" 360" � 8; o,1 <rdJ 
90" 1200 150"1 
� 1 
--==--�-
2:100 
Figura 2.5 - Valores instantâneos de um sinal senoidal. 
UHll'AC-LAFAIETE
81.flLIOTECA 
Os valores instantâneos podem ser calculados facilmente por: 
0=0 ⇒ v(0) = V
P
.sen Oº = O 
e= 30º ⇒ v(0) = VP.sen30º = 0,5.VP 
e =60º ⇒ v(0) = v
p
.sen60º = 0,866. v
p 
8 = 90° ⇒ v(0 ) = V
P
.sen90º= V
P 
0 = 120° ⇒ v(0) = v
p
.sen 120º = 0,866. v
p 
e assim por diante, para quaisquer outros valores de 0. 
Se no instante t=O o vetor OP formar um ângulo 8
0 
com a referência do 
diagrama fasorial (parte positiva do eixo horizontal), significa que o sinal possui uma 
fase inicial e, portanto, o valor instantâneo da tensão será dado por: 
.,;(t) =if P'.ien(Íot+e.0} • 
Se o sinal inicia o seu ciclo adiantado, 00 é positivo. Se o sinal inicia o 
seu ciclo atrasado, 8
0 
é negativo, como na figura 2.6. 
Na figura 2.6 , V0 é a tensão no instante t=O. 
(J) -----.. 
V (O) 
.rol 
(a) Sinal adiantado 
(O 
-
v(O), 
1 tvA l .1 + \ rol ,. � 1. 
(b) Sinal atrasado 
Figura 2.6 · Representação fasorial da fase inicial. 
--
-
- Representar os seguintes sinais senoidais graficamente e através do 
•ama fasorial correspondente: 
v1 
(t) = 10.sen(lO Om + 1t / 3) (V)
v2(t) == 15 .sen(207rt -30
º) (V) 
A freqüência de v
1
(t) vale f = � = l
OOn = SO Hz
21t 21t 
Portanto, seu período é de T = 
T = 
5
� = 20ms
O sinal inicia o seu ciclo adiantado de n /3 rd , e para t = O: 
7tv
1 (0} = 10.sen3 
= 8 ,66V 
Ul"' 100 itrcVs 
v,(V) 
10 
r r, •
13rd) 1 01 , , 1 \ , , , , 1 ; , 210 ., 1 (msi 
-10 
. ro 201t A freqüência de v2(t) vale: f = - = -2 
= 1 OHz 
21t 7t 
· 1 1 
Portanto, seu período é de: T = f = 10 = 
1 OOms
O sinal inicia o seu ciclo atrasado de 30º (ou 7t / 6 rd), e para 
, v2(0) = 15.sen(-30º ) = -7,SV 
.... 
o>=20ud/s 
v,(V) 
( "1J I J. . . . "' b /i • \ , , , .!v.l / .. t (nu) 
·--·---·····
•IS 
� 
A defasagem A8 entre dois sinais senoidais de mesma freqüênciapode também ser visualizada num diagrama f aso ri ai. 
Exemplo: 
Representar os seguintes sinais senoidais graficamente e através do diagrama fasorial correspondente, determinando a defasagem entre eles:
v1(t) = 5.sen(lOOnt+ it/3) (V) 
v2(t) = 8. sen(lOOnt - n / 6) (V) 
Pelas expressões, as representações gráfica e fasorial desses sinais são 
as seguintes: 
o>= l 00,r rd/s 
.....---
v(V) 
·--'-- 4,� :tr"-c:t: -- * --- -·
·----------· -4 
---:g�---· 
·---:ir 
� 
wt(rd) 
Assim, tanto pelo diagrama fasorial como pelo gráfico, é possivel 
verificar que a defasagem entre os sinais é de 1t / 2 rd ou 90" sendo que v 1 está 
adiantado em relação a v2. 
,. 
� 
,.''•' 11� . 
.. ) .,· .....
"t11, '": ., 
.... .':.' 
2.4 - Representação com Números Complexos 
Como foi visto no Capítulo 1, um número complexo tem um módulo e 
como na representação fasorial. Isso sugere a possibilidade de representar um 
senoidal também por um número complexo, sendo a amplitude e a fase
do sinal correspondentes, respectivamente, ao módulo e ao ângulo do 
�complexo. 
Nomenclaturas utilizadas matematicamente: 
Expressão trigonométrica: v(t) = V
P
. sen(rot + 00) 
v(t) => tensão Instantânea (variável) => letra minúscula 
V => tensão de pico (valor fixo) => letra maiúscula 
Expressão em número complexo: 
v = VP ! Oo = Vr.cos00 + jVP.sen00 
v · => tensão complexa (variável) => letra minúscula 
V P => tensão de pico (valor fixo) => letra mait1,Scula 
�epresentar as tensões vl(t) e vz(t) a seguir na forma de números 
1plexos: 
Forma Trigonométrica Número Compl�xo 
v1(t) = 10.senrot (V) V1 =10 � V 
vz(t)=15.sen(rot+60º ) M V2 = 15 !60º V 
• No caso de tensões, correntes e potências elétricas representadas
por números complexos, os módulos podem ser dados tanto por 
valores de pico quanto por valores eficazes. Este último conceito 
será estudado mais adiante neste capitulo. 
r 
..-µA 
-
lfr��l-· ;;,.C-LAF ÃlETE 
. 'A. 
Por que quatro formas de representação de um sinal senoidal?
• 
• 
• 
• 
Exemplo: 
Forma de onda: representa visualmente o sinal tal como ele é ecomo aparece no osciloscópio, durante a análise de um circuito.Ele pode estar no domínio temporal v{t) ou angular v{8).
Diagrama fasorial: representa o fenômeno graficamente deforma mais simplificada que a forma de onda, permitindoinclusive, operações de soma e subtração de vários sinais.
Expressão trigonométrica: matematicamente é a função comtodos os seus detalhes, como: amplitude, freqüência angular e fase inicial, além de permitir o cálculo de valores instantâneos.
Número complexo: matematicamente é a função de forma maissimplificada que a expressão trigonométrica, informando apenas a amplitude e a fase inicial, facilitando, porém, operações de soma, subtração, multiplicação e divisão de vários sinais.
Vejamos as quatro formas diferentes de representar uma tensão senoidal:
Forma de onda: 
v(O)[VJ 
12 
/// 
/ 
/ º1 I � 1- ' 7 ' ' ► wt tl0=60° 4200 480" 
-12 1-------- .......,_,..... -----------
Diagrama fasorial: 
v(O) 
Expressão trigonométrica: v( t) = 12. sen( wt + 60º ) (V) 
Número complexo: v = 12 !60° V ou v "'6 .J- jl0,39 V 
2.5 - Operações com Diagrama Fasorial e 
Números Complexos 
Para a resolução de circuitos elétricos em corrente alternada, são necessárias 
1rsas operações matemáticas entre tensões, correntes e potências. 
As operações de adição e subtração podem ser realizadas tanto com 
-ama fasorial como através dos números complexos, embora este último
:esso seja o mais indicado, devido à facilidade e, principalmente, à precisão dos
ltados. Já as operações de multiplicação, divisão, potenciação e raiz quadrada
m ser realizadas somente com números comple�os, dadas as limitações do
·ama fasorial.
Adição e Subtração 
Já vimos no Capitulo 1, como as operações de adição e subtração podem 
feitas com números complexos. Obviamente, vale também quando os números 
1plexos representam tensões, correntes e potências. 
Com o diagrama fasorial tais operações podem ser realizadas através de 
processo gráfico denominado método do paralelogramo. 
• É necessário conhecer uma propriedade da representação por diagrama
1rial, como segue: 
imero Negativo (ou Multiplicado por -1) 
Num diagrama fasorial, dado um fasor, o seu negativo corresponde ao 
,locarnento do fasor em 180° . Nos números complexos, corresponde a:
Forma polar: 
Somar ou subtrair 180° na fase.
Forma cartesiana: 
Trocar os sinais das partes real e imaginária. 
• Sinais Senoidais 45 
Dadas as tensõeS seguintes, obter 
v1 + vz e v1 - v2 por diagrama fasorial
e por números complexos, representando o resultado grafica
mente: 
46 
a) v1 = 20 L!E V e v2 = 5 � V 
V1 +V2 =20 � + 5 l.Q'.'..=20+5=25= 25 1.Q: V 
v(V) 
V 
\oo 
V2 v1 v"; +v2 
-25 -1-----------------·
Vl - Vz= 20 � - (5 �) = 20 � + 5 !180º => 
v1 - v2 = 20 - 5 = 15 = 15 � V 
V 
\oo 
-V, V,-V, V, k X ') . il)t360" 
-15 +---------------\-�+--·
-20 +-- ---� 
-1·�· 
_!
� 
oot 
-J, 
b) v1 = 20 � V e vz 
"'12 j-90° V 
1' 
v1 + v2 = 20 lQ: + 1
2 \-90º = 20 - jl2 = 23,32 t- 30,96
º V
e) 
V 
v, oot 
30,96
º j 
________ ..:::.,i 
/4 
Vt - V2 = 20 lQ'._ - (12 1- 90
º ) = 20 � + 12 1- 90º+180
º => 
V1 - V2 = 20 lQ'.. + 12 190
º = 20 + jl2 = 23,32 130,96º V
v(V) 
23,32 
V 20 ➔-, 
12 
-71J:.J" 1 li'\ \\.o~ 11 
v, "' ' . ' , ,'3f::IJ" 
rot
-12
-20
-23,32 1 
v1 = 20 160
º V e v2 = 10 1- 30
º V
v1 + v2 = 20 160
º + 10 1- 30º = 10 + jl 7,32-+ 8,66- j5 ⇒
v1 + v2 = 18,66 + jl2,32 = 22,36 133
,43º V
f; !_1 l·•: tP l'\ C-LAFAIETE'
l"\I.., .,.t- r-, __ .. ;.J ..,!-
-J, 
A7 
v(V) 
22,36 
20 
\.
.. ........ 1 I ... v..., • wt , \ \ q • nl ; 
·10 +---.\.\--
·20 
-22.36 
V1 -Vz = 20 160° - (10 1-30º )⇒
V1-V2=20 160° + 10 l-30º+180° ⇒
v1 -v2 = 10 + jl 7,32 -8,66 + j5 = 1,34 + j22,32 ⇒ 
v1 - v2 = 22,36 j 86,56º V
\ffi 
v(V) 
22.36 
20 
10 
-10 
-20 
-22,36 
Multiplicação e Divisão 
wt 
Para realizar operações de multiplícação e divisão que envolvem tensões, 
correntes e potências complexas, basta utilizar a forma polar, conforme foi visto 
no Capítulo 1, uma vez que através de diagrama fasorial tais operações seriam 
extremamente complicadas. 
2.6 - Circuitos Resistivos em e.A. 
A resistência elétrica, quando submetida a uma tensão alternada, 
.uz uma corrente elétrica com a mesma forma de onda, mesma freqüência
1a fase da tensão, porém com amplitude que depende dos valores da tensão 
!cada e da resistência, conforme a P
rimeira Lei de Ohm, que pode agora ser 
1eralizada para sinais alternados senoidais. 
Tensão e Corrente na Resistência Elétrica 
Considere o circuito seguinte no qual uma fonte de tensão senoidal v(t)
1enta um resistor R: 
Sendo: v(t) = V
P
.sen(wt:+80) 
Pela Primeira Lei de Ohm tem-se: 
i(t) = v(t) ⇒ i(t) = 
V
P .sen(rot + 00) ⇒ i(t) = IP .sen(rot + 0o)
R R 
V 
lo: IP = ; é o valor de pico da corrente.
i(t) 
-
v(t)(-1 R 
Figura 2. 7 • Circuito resistivo em C.A. 
'/ 
A forma de onda da tensão e da corrente, bem como a representação 
1rial desses sinais, está na figura 2.8. 
,.. 
An 
� 
"-
,v.i 
v(8) 
J 
"\ (O .!.,v(t) _______ _ , __ 1________ � 
7. 
I I 
li 
(a) Diagrama Fasorial 
cíll 
(b) Formas de Onda 
Figura 2.8 - Tensão e corrente C.A. num resistor. 
\ 
Como se vê, Q resistor não provoca nenhuma defasagem entre tensão e 
corrente, portanto a resistência elétrica pode ser representada por um número 
complexo com módulo R e fase nula (na forma polar) ou composto apenas pela 
parte real R (na forma cartesiana), isto é: 
• .-.: ·:·. � <;: . ' o>- =. ,� ··r·· :,t ·R.=:R -1·.0°' = R �.t",.c·,',f,•,�-
.,., �- -�cg- -r-�Jaií�:;ff�= R;rJ'Q,;�J
Representando a Primeira Lei de Ohm com números complexos: 
v=V
p 
� e R=R � 
i = ':!... = vp l8o _ vpR R � - R l 80 - O
º ⇒i=l
p
l80
Potência Dissipada pela Resistência Elétrica 
Vejamos agora o que acontece com a potência elétrica numa resistência 
submetida a uma tensão alternada senoidal. 
A potência instantânea p(t) dissipada por uma resistência elétrica R
ser obtida pel? produto, ponto a ponto, entre v(t) e i(t), ou em função de R, isto é:
. ( '�:j 
p(ti · =·v(tfiib
••.•-: .. 
= }�- i�:i_w�t ,,,;i;fo·:·i_v
2(t) 
.. •, ,·•-,,,R
·oix'
,.- -��; 
it 
::..)>�-)� 
A figura 2. 9 mostra como fica a forma de onda da potência:
·v,i
·-3 ---·
-------· P
p 
t! ,
-. f • nl • , • \ , , f , , f , , 1 , , l 1 • oot
80 
Figura 2.9 - Tensão, corrente e potência C.A. num resistor . 
Como resultado, a potência elétrica consumida é pulsante e sempre 
•a, pois num mesmo instante a tensão e a corrente são ambas positivas ou
, o que prova que, independente da polaridade da tensão ou do sentido da
1te, a resistência comporta-se sempre como um receptor, consumindo a 
ICia fornecida pela fonte, que se comporta sempre com(i) um gerador. 
Além disso, nota-se que a freqüência da forma de onda da potência é o 
. da freqüência da tensão e da corrente. 
Neste caso, PP representa a potência de pico e vale:
Pela figura 2.9 percebe-se também que, enquanto a corrente e a tensão 
:valores médios iguais a zero, a potência média P dissipada pelo resistor é a
le da potência de pico, ou seja: 
�.�} ·:}�_-:2!� :=-�•i:t;�f��;�I 
Como será visto a seguir, a potência média é a que interessa na análise da 
.a nõs circuitos em corrente alternada. 
V p, 1/4"". Vfj- l°P: {;?- J e/ 
I�J. '-':? 
J. ±?J'�!--2_
t,.1,./ 
J ' :./ /d !.e 
I 
. 
2. 7 - Valor Eficaz
Para sinais alternados senoidais, existe um conceito muito importante 
denominado valor eficaz ou nns.
O valor eficaz V e( ou V rms de uma tensão alternada corresponde ao valor 
de uma tensão continua que, se aplicada a uma resistência, faria com que ela 
dissipasse a mesma potência média caso fosse aplicada essa tensão alternada. 
As medidas de tensão e de corrente alternadas realizadas por multímetros 
são dadas sempre em valores eficazes. 
Matematicamente, para uma tensão alternada senoidal, a tensão eficaz
V rms pode ser calculada a partir do valor de pico V 
P 
ou de pico a pico V 
PP 
com as 
seguintes expressões: 
, V�
V .. : .. --� i..,Q ?Q·"l ,,, - rms - :./2 __ -, ,,, .r,_. Vp i2 -•A. , , ' . 
Observações 
V . - . ,.PP 
V rms - = . 2../2. 1
• A sigla rms significa root mean square ou raiz média quadrática.
• O conceito de valor eficaz é aplicado também à corrente elétrica.
• As tensões da rede elétrica são dadas em valores eficazes ( 11 O V nns
e 220 Vnns).
Para compreender melhor o significado fisico desse valor, conslderemos 
um sinal senoidal com tensão de pico V alimentando um resistor R, conforme a 
figura 2.10: P 
v(t) 
v. 
0,?0'N. 1--..,_ _ __, _________ V,�,
T 
.v. l--------
vw□•
l(t) 
t-,-�-------1-
T 
·l,, t---------- .----'
(a) Circuito (b) Sinais 
Figura 2.1 O - Sinais senoidais num circuito resistivo. 
A tensão e a corrente eficazes no resistor valem, respectivamente: 
VP Vnns = .,jz
e 
IP Irms = .,jz
. 
vp onde: IP =R
A potência dissipada pelo resistor, calculada em função dos valores 
de corrente e tensão, é equivalente à potência média P analisada no 
anterior, ou seja: 
P=V -
VP �- VP.IPrms·lnns - .J2 · .Jz - 2
Desta forn:ia., para sinais alternados senoidais é muito mais fácil trabalhar 
1ção de valores eficazes, uma vez que a potência resultante nos cálculos já 
inde -à potência média P.
Essa mesma potência seria dissipada caso fosse aplicada ao resistor uma 
10 e.e. de valor igual ao da tensão eficaz, conforme indica a figura 2.11. 
-� 
v(l)=V •. senwtl 
i(t) 
-
1 .. =1 ... 
-
v. 
V
,.
=V
.,. 
= ,/2' 
Figura 2.11 - Correspondência entre V
'"'
' e V cc· 
R 
A potência pode ser calculada por uma das seguintes expressões: 
k=V� l � ou P .. vz; -=_.!!l!L
'R 
OÍJ p ;;�.I� 
Apenas para finalizar, já vimos que as tensões e correntes alternadas 
senoidais num circuito podem ser representadas por números complexos. Daqui 
em diante, os seus módulos podem ser expressos em valores de pico ou 
eficazes, e neste último caso, suas grandezas ou unidades devem vir acompanhadas 
da sigla nns para que não sejam confundidas, isto é: 
Em valores eficazes: VTlllS = vrms �
Em valores·de pico: V= VP j80 
e 
e 
irms ={rms �
i = ·,p 'ªº
--
Exemplos: 
1) Uma fonte e .A. com tensão de pico V = \ 00V alimenta um resistor
de valor R=l00n. Qual a tensão e.e� que, aplicada a esse resistor,
faz com que ele dissipe a mesma potência?
v(t)=lOO.senrot i~1 R='1000 
A tensão eficaz vale: 
vp 100 Vrms = 
✓2 
= ./2, =70,7 V 
A potência dissipada pelo resistor vale: 
2 
p = Vrms = Qo,7J = SOW
R 100 -
Assim, a mesma patãnc.i�.seria dissipada se fosse ligada ao resistor 
de l00Q uma tenião c�ntinua de 70,7V. 
'••'!, 
·••,· 
t' �-� .....
2) No Brasil, as residências recebem pela rede elétrica as tensões de
11 0V rms e 220V 
rms
' as duas com freqüência de 60 Hz. Determinar
para ll0V rms e220V rms=
a) O período:
É o mesmo para ambos os sinais:
1 1 
T = f = 60 
= 16,67ms
b) A freqüência angular:
É a mesma para ambos os sinais:
ro = 21t. f = 21t.60 = 120n = 377 rd / s 
e) Valores de pico e de pico a pico:
Vrms =ll0 V
VP = ✓2. Vrrns = ../2.110 = 156V 
V
PP = 2./2.. Vrms = 2./2..110 = 311V 
V rms = 220 V 
V
P 
= ./2.:Vrms = ✓2.220 = 311V 
VPP = 2./2.. Vrms = 2../2.220 = 622V 
d) Expressões matemáticas:
V
rm5
=110 V 
v(t) = VP .senoot ⇒ v(t) = 156.sen377t (V) 
Vrms = 220 V 
v(t) = VP .senrot ⇒ v(t) = 311;_sefl.377t (V) 
� ti 1-.i· lPAC-LAPAIETE
�in"i� �P.noicfais 55 
111
1 \' 
jJ 
,11. l1 
�I 
) 11' i
1
1 1i1' 
!I\ 
li li 
Íl'1 i 
11/11 
lf I' 1
,, 1' 11 1 li li11,1 '1lil ,11·ir·'
1 
·1 I j .. 
! 
1 
'1
' 
\: lj 
11'
I!
11 
:1 
1 
1 
j 
1 
1 
1 
1 
l 1 
3) Um chuveiro elétrico residencial tem o circuito interno e
especificações a seguir:
I=? 
220V,m, 
R, R, 
60 Hz 
I=? 
Alimentação: 220 Vrms 
Potência inverno: 3500 W 
Potência verão: 2500 W 
• Desligado 
a) Qual o valor das resistências R 1 e Rz?
Na posição inverno, apenas a resistência R 1 é alimentada. Assim 
sendo, seu valor pode ser calculado da seguinte forma: 
V2 2202 P
1 = 
rms ⇒ R 1 ;= -- ⇒ R1 = 13 83QR1 3500 
Na posição verão, as duas resistências ficam associadas em série. 
Então, o valor de R2 pode ser calculado da seguinte forma: 
V2 2202 Pv = rmR ⇒ R1 +Rz = 250 ⇒ R 1 +R2 = 19,36
QR 1 + 2 O 
:. R 2 = 19,36-R1 ⇒ R2 = 19,36 -13,83 ⇒ R 2 = 5,53n 
b) Qual o valor dos fusíveis que devem ser utilizados para proteção
da instalação elétricà? 
A corrente é mais intensa quando o chuveiro está na posição inverno: 1 
pi 3500 lrms =-V
⇒ lrms = -2-- ⇒ lrms = 1 5 ,91Arms 20 
O valor de pico dessa corrente vale: 
IP = J2. lrms ⇒ IP = J2.1 5 , 91 ⇒ IP = 22,5A 
Assim, os fusíveis devem ser dimensionados para uma corrente maior· 
_ que 22,5 A. Comercialmente existe, por exemplo, fusível de 30 A.
Exercícios Propostos 
,Análise Gráfica e Matemática do Sinal Senoidal
2.1 - Dado o gráfíco das tensões senoidais em seguida, pedem-se para 
ambos os sinais: 
v,(V) 
:1 7' ....... -- -------------
1 j 1 1 1 � 1 1 1 'I 1 • t (ms) 
n � - •,.. .,,,.,, ;.. �I'\ OC Ili"\ /11.c_ C.0 
V2(V) 
16 --� 
1 1 \ 1 1 1 Â 1 1 1 ' • t (ms) O e; 111\ 15 20 25 O 35 40 45 50 
-161-- >,,, .,, -- ----------
a) Valor de pico e valor de pico a pico;
b) Período, freqüência e freqüência angular;
e) Fase inicial e defasagem entre eles;
d) Expressão matemática.
H•l1(! 
�" 
�iij
-� ·1·� 
i:,, 
��:11{'
l,il '•11
l�j 
m l,-,1 
,,q 
�� 
� 
� �� .11 11' I 1111 111 1�11., 
� 
1
111
' 
iil
� 
� 
, 
�
'
1 
1\
1 
2.2 - Uma tensão senoidal tem freqüência de lOOHz, valor de pico lOV
e inicia o ciclo com atraso de 11: / 3 rd . Pedem-se: 
a) Período e freqüência angular;
b) Expressão matemática;
e) Representação gráfica.
Diagrama F asorial 
2. 3 - Represente os sinais do Exercício Proposto 2 .1 através de diagrama 
fasorial. 
Representação com Números Complexos 
2.4 - Represente os sinais do Exercício Proposto 2.1 através de nú­
meros complexos. 
Operações com Diagrama Fasorial e Números Complexos 
2.5 · Dadas as tensões v1 = 30 j Oº V e 
v2 (t) = 20.sen(wt + 7t / 2) (V), pedem-se os sinais: 
a) v3 = v1 + v2 fasorialmente;
b) v3 = v 1 + v2 matematicamente através de números
complexos; 
e) v3 = v1 + v2 matematicamente através das expressões
trigonométricas;
d) v3 = v1 + v2 graficamente (soma ponto a ponto);
e) v4 = v1 - v2 fasorialmente;
f) v4 = v1 - v2 matematicamente através de números complexos;
g) v4 = v1 - v2 matematicamente através das expressões 
trigonométricas;
h) v4 = v1 - v2 graficamente (subtração ponto a ponto).
. ··-� .. � .. ,�1""··-.. · 
Ctrcuitos Resistivos em C.A. 
2.6 - Dado o circuito seguinte, deterrnine:
v=l2l2!l'.V, <~l 
v, -
R1=2k0 
J½=3kn
�
) v2 
a) Expressões de v(t) e i(t) nas formas trigonométrica e
complexa;
b) Formas de onda e representações fasoriais de v(t) e i(t); 
e) Expressões de v1(t) e .v2(t) nas formas trigonométrica e
complexa;
d) Formas de onda e representações fasoriais de v1(t) e v2(t);
e) Potências de pico e média fornecida pelo gerador e
dissipada por cada resistor; 
f) Formas de onda das potências do item anterior.
2.7 - Dado o circuito seguinte, determine: 
-4 
.li, Jii 
v=l212Q'.'.V, <~1 R1 =2kn 1½=3kn 
a) Expressões de v(t) e i(t) nas formas trigonométrica e
complexa;
b) Formas de onda e representações fasoriais de v(t) e i(t);
e) Expressões de i1 (t) e i2(t) nas formas trigonométrica e
complexa;
d) Formas de onda e representações fasoriais de i1(t) e i2(t);
____ ,l
u
. 1._ _. ---·�•1 
e) Potências de pico e média fornecidas pelo gerador e
dissipadas por cada resistor;
f) Formas de onda das potências do item anterior.
Valor Eficaz 
2.8 • Um aquecedor elétrico para torneira tem o seguinte circuito: 
nov .... 
601-iz 
a) Qual a potência média e de pico dissipada pelo aquecedor
em cada posição?
b) Qual a corrente eficaz e de pico consumida pelo aquecedor
em cada posição?
Dispositivos Eletromagnéticos 
3.1 • Transformador 
3.2 ·O Relé 
• Exercícios Propostos
3.1 - Transformador 
É um dispositivo que permite modifica� a amplitude de uma tensão 
alternada, aumentando-a ou· diminuindo-a. 
Ele consiste essencialmente em duas bobinas isoladas eletricamente, 
montadas em um mesmo núcleo de ferro (usado para concentrar as linhas de 
campo), como exibe a figura 3.1. 
v.{
�}
v. v,(] [)v. 
(a) Aspecto construtivo (b) Símbolo elétrico 
Figura 3.1 - Transformador.
A bobina que recebe a tensão a ser transformada (V p) denomina-se 
primário, e a outra que fornece a tensão transformada (V 5) chama-se secundário.
Observação 
. • Não confundir Vp, que é tensão no primário do transformador, 
com tensão de pico, principalmente porque, normalmente, as 
tensões V P e V 5 do transformador são dadas em valores eficazes
(rms). 
A tensão alternada V P aplicada ao primário faz circular por suas espiras
uma corrente alternada lp, originando um fluxo magnético alternado no núcleo 
de ferro. Esse fluxo variável corta as espiras do secundário, induzindo nele uma 
tensão alternada V 5.
O núcleo é de ferro laminado para diminuir as perdas causadas 
pelas correntes de Foucault (correntes induzidas no ferro pelo fluxo variável) e para
aumentar o acoplamento magnético entre as duas bobinas. 
Em um transformador ideal (que não possui perdas), a potência 
PP entregue ao primário é igual à potência P s que o secundário entrega à carga, 
ou seja: P5 = Pp 
Sendo: PP = V P . IP ⇒ potência no primário
P s = V s . 1s ⇒ potência no secundário 
v,Q rn�-
P 0 .... = .... P,. 
Figura 3.2 • Transformador ideal. 
Num transformador ideal, tem-se, portanto: rp . lp = V s . I5 1 
Considerando o número de espiras do primário (Np) e do secundário (Ns), valem as seguintes relações: 
Vp '= Np 
Vs, Ns 
e Is Np
i;
= 
Ns
Por outro lado, em um transformador real, devido às perdas de potên­
cia por efeito Joule (correntes de Foucault e resistênc.ia das bobinas) e por dispersão 
de fluxo magnético no acoplamento, a potência do secundário é menor que a do
primário, isto é, P s < P p· 
Um transformador só pode ser usado com corrente alternada, uma vez
que nenhuma tensão será induzida no secundário, se não houver variação do fluxo
de indução magnética. 
Se uma tensão contínua é aplicada ao primário, só haverá indução 
de tensão no secundário no instante do fechamento ou abertura do circuito 
primário, pois é somente nesses instantes que a intensidade do campo magnético
(portanto, o fluxo) varia. 
Uma das principais vantagens de um transformador, além de trans­
formar uma tensão, é acoplar dois circuitos sem interligá-los eletricamente. 
:rnplo:
Um transformador ideal tem 200 espiras no primário e 800 espiras no 
secundário. Aplicando uma tensão de lOV rms no primário, determinar: 
v,-1w_(] 11 rn�-100°
a) Tensão induzida no secundário
Pela relação de espiras:
Vp = Np ⇒
_.!.2.= 200 ⇒ V = 1
0.800 ⇒ V = 40V 
Vs Ns Vs 800 
s 
200 
s nns
b) Corrente no primárioe no secundário, quando o transformador
alimenta uma carga resistiva de 1000 
A corrente no secundário vale:
Vs 40 Is = - ⇒ Is = - ⇒ Is = O 4A
RL 100 
Como o transformador é ideal: 
Vp.lp = Vs.Is ⇒ lp = 
4�·�•
4 ⇒ lp = 1,6A 
3.2-0 Relé 
É um dispositivo eletromecânico que permite controlar uma corrente de 
grande valor a partir de urna pequena corrente. São constituidos de uma bobina e 
um sistema de contatos que podem ser abertos (ou fechados) quando uma corrente 
(contínua ou alternada) passar pela bobina. A figura 3.3a seguir mostra, de forma
simplificada, um relé para CC na condição de repouso (ausência de corrente na
bobina). 
T+Fmoia 
Contatos� 
�b�a=: 
(a) 
""fi::-�>--<=="3H �4 
_>,-�: 
(b) 
Figura 3.3 - (a) Relé na condição de repouso, 
(b) relé energizado e (e) simbologia. 
J1::: 
(e) 
O princípio de funcionamento é baseado no eletromagnetismo. Quando 
uma corrente percorre uma bobina, ela se transforma em um eletroímã, que atrairá 
uma peça metálica do relé denominada armadura. Na ausência de corrente não 
existirá força magnética, o que faz a mola manter o contato aberto (NA). Existem 
relés com operação inversa, isto é, o contato é normal fechado, e quando a bobina 
é energizada, o contato abre. Existem relês que podem ter os dois tipos de contato. 
Exercícios Propostos 
Transformador 
3.1 · Um transformador tem 500 espiras no primário, no qual é aplicada 
uma tensão de l lOV nns· Qual o número de espiras do secundário 
para que sua tensão seja de 12V nns? 
3.2 - Por que é usado núcleo de ferro laminado num transformador? 
3.3 - Por que um transformador não funciona em C.C.? 
3.4 · Qual deve ser a relação de espiras num transformador abaixador 
de tensão de l lOV para 24V ? Qual a corrente no primário, rms rms 
se o secundário fornece lA para uma carga resistiva? 
f 
p 
I 
Análise de Circuitos Indutivos 
4.2 - Indutor Ideal em Corrente Altemada 
4.3 • Circuito RL Série 
4.4 • Circuito RL Paralelo 
- Exercícios Propostos
4.1 - Indutor 
Um indutor ou bobina consiste em um fio enrolado helicoidalmente 
sobre um núcleo, que pode ser de ar, ferro ou ferrite. A figura 4.1 apresenta os três 
principais tipos de indutores e seus respectivos símbolos: 
op1p ) @,�\\] r:i) 
(a) Núcleo de ar (b) Núcleo de ferro
� ) 
(e) Núcleo de ferrite 
Figura 4.1 • Tipos de indutores e seus símbolos. 
Indutor em Corrente Contínua 
.,. Consideremos um indutor alimentado por uma fonte de tensão contínua 
E, como apresenta a figura 4.2. 
r
t=0-=�=\1, :\\
e +(··r í-E ..,... 
(f.e.m.) 
(a) Circuito 
i(A) 
t, 
(b) Corrente C.C. 
Figura 4.2 • Fechamento do circuito indutivo. 
Quando a chave é fechada (t=O), uma corrente i começa a circular pelo 
indutor. Essa corrente, ao passar por uma espira (uma volta do fio), origina um 
campo magnético cujas linhas de campo cortam as espiras subseqüentes, induzindo 
nelas uma tensão e, denominada força eletromotriz auto-induzida (f.e.m.). 
De acordo com a Lei de Lenz, a tensão induzida se opõe, através de i', à 
causa que a originou (aumento da corrente i). Como resultado da oposição, a 
corrente leva um certo tempo At = t1 para atingir o valor de regime 1, imposto 
apenas pela resistência ôhmica do fio do indutor. 
Estando a corrente em valor de regime, se a chave é aberta no instante t2,
a corrente tende a diminuir, como indica a figura 4. 3. 
I=¼
1 
r:�m�
!!••
E ..... 
+ 
(a) Circuito 
i(A) 
i, 4 
(b) Corrente C.C.
Figura 4.3 · Abertura do circuito indutivo. 
� 
A variação do campo magnético devido à diminuição da corrente i induz 
uma f.e.m. e com polaridade contrária, originando uma corrente i' que se opõe a 
essa diminuição. 
Desta forma, mesmo sem a alimentação E, a corrente leva um certo tempo 
At = t3 - t2 para ser eliminada. 
,,,,, 
Assim, três conclusões muito importantes podem ser tiradas em relação 
ao comportamento do indutor: 
1 - Um indutor armazena energia na forma de campo magnético. 
II - Um indutor se opõe a variações de corrente. 
Ili - Num indutor, a corrente está atrasada em relação à tensão. 
Observação 
• Pela figura 4.3(a) nota-se que, na abertura da chave, a polaridade
da tensão induzida (e) é tal que se soma com a tensão da fonte (E),
de forma que entre os terminais da chave aberta aparece uma 
tensão E+ e. Se a f.e.m. induzida for alta (dependendo do valor
da corrente i e das características físicas e elétricas do indutor),
pode aparecer um arco de corrente entre os contatos da chave, o
que pode ser perigoso para o operador.
Indutância L 
Colocando um núcleo de ferro na bobina e repetindo a experiência da 
figura 4.2, a oposição oferecida pelo indutor à variação dá corrente será maior, 
conforme indica a figura 4.4. 
r-3{- �(EJ_ . e ...... (f.e.m.) 
(a) Circuito 
l(A)' 
t1• 
4 
(b) Corrente C.C.
Figura 4.4 • Comportamento do indutor com núcleo de ferro. 
Uma bobina ou indutor é caracterizado por sua indutância. A indutância 
L depende das dimensões do indutor (comprimento e diâmetro do enrolamento), do 
material de que é feito o núcleo (ar, ferro ou ferrite) e do número de espiras. 
Quando um núcleo de ,ferro é colocado na bobina, a sua indutância L 
aumenta. 
t:7 
l
i 
I' 
1, 
1 
1, 
il 
li 
Indutância 
A indutância L é a medida da capacidade do indutor de armazenar 
energia na forma de campo magnético. A unidade de medida da indutância é o 
Henry (H). 
Observação 
• A unidade de medida de indutância (H) é em homenagem ao
físico norte-americano Joseph Henry (1797 - 1878) que des­
cobriu diversos fenômenos eletromagnéticos e criou o telégrafo
magnético.
A oposição às variações de corrente num indutor é análoga à oposição 
à passagem de corrente num resistor. 
No indutor, a tensão é diretamente proporcional à variação de corrente, 
sendo L a constante de proporcionalidade, que é dada por: 
Sendo: v(t) ⇒ tensão no indutor 
L ⇒ indutância 
di(t) / dt ⇒ variação da corrente em função 
do tempo 
Como esta expressão depende de conceitos de matemática avançada 
(função derivada), ela será tratada de forma bem mais simples a partir do próximo 
tópico. 
4.2 - Indutor Ideal em Corrente Alternada 
O tópico anterior mostrou que quando uma tensão contínua é aplicada a 
um indutor, a corrente sofre um atraso até atingir o valor de regime. 
Se a tensão aplicada a um indutor ideal (resistência ôhmica nula) for 
senoidal, a corrente (também senoidal) fica atrasada de 900 em relação à tensão, 
conforme a figura 4.5, considerando que a tensão aplicada tem fase inicial nula 
(00=0
º).
I 
i .. 
(a) Circuito 
v,i 
v. 
lp 
V 
v,i 
V 
L 
w 
(b) Diagrama fasorial 
......... 
', 
'· 
(e) Formas de onda 
rol 
Figura 4.5 - Corrente e tensão senoidais num indutor ideal. 
Neste caso: 
v(t) = v
p
.senOJt ou v=Vp � 
i(t)= I
P
.sen(o:t-90° ) ou i = I
P l-90
º 
Reatância Indutiva X
L 
A medida da oposição que o indutor oferece à variação da corrente é dada 
pela sua reatância indutiva X
L
. 
O valor (em módulo) da reatância indutiva é diretamente proporcional
à indutância L e à freqüência f da corrente (ou de sua freqüência angular <0), sendo 
calculada por: 
·•••. H-. .......... 
Sendo: XL ⇒ módulo da reatância indutiva em Ohm (Q] 
L ⇒ indutância da bobina em Henry [H) 
f ⇒ freqüência da corrente em Hertz [Hz]
co ⇒ freqüência angular da corrente em radianos/segundo
[rd/s} 
Pela expressão da reatância indutiva percebe-se que quanto maior a 
indutância L e a freqüência f (ou e.o), maior é a reatância X.. do indutor. 
Conclusão 
• . . · .U: .. -., -�-,.�._ .. -,,�
'"
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Primeira Lei de Ohm para o IndutorIdeal
A primeira lei de Ohm pode ser usada num circuito em corrente alternada, 
substituindo a resistência elétrica pela reatância indutiva, isto é: 
tem-se: 
V XL =: --:-1 
Considerando as variáveis em questão na forma de números complexos, 
V Vl.Q: 0 • XL :: - :: --==- :: XL j 90 :: JXL i I l-90º 
Neste caso, V e I podem ser valores de pico, pico a pico ou eficazes. 
Assim, é possível representar a reatância indutiva pqr: 
:-l�,"f·�j'·· •- :� - ;� 9- � -1 o.··� . ,., ú.�·- -��� ).� .. , ,. :_�.; �;, . � 4\ . ,;= O>,[,;., {).. , ou, V· X• =,JJB:-L•r' 
" ,..,.�-:.•·,:,,,·c'· ; • 
Percebe-se, portanto, que a reatância indutiva de um indutor ideal tem 
fase sempre igual a 90° (forma polar) ou tem somente parte imaginária
positiva (forma cartesiana). 
dl1ui\. 1 "N tP AO-::. .-... � :ri 
A fase da reatância indutiva, que corresponde à defasagem entre a tensão 
e a corrente no indutor, denomina-se cp. 
Se a tensão possui fase inicial 00, a corrente no indutor passa a ter fase 
(00-90°), de forma que a fase da reatância indutiva continua sendo <1>
=90º. 
Observação 
• A fase ♦ de uma reatância, como será visto mais adiante, é muito
importante para a análise da potência em circuitos reativos
(indutivos e/ou capacitivos).
1) Sobre uma bobina de 200mH é aplicada uma tensão de 110V rm/
60Hz. Considerando a bobina ideal e fase inicial da tensão nula,
pedem-se:
v=llO LQ'.' V=(
~
)60Hz 
...!._. 
L 
200mH 
a) Reatância da bobina em módulo e em número complexo. Cálculo
de XL em módulo:
XL = 21t.f.L = 21t.60.200.10"3 = 75,40 
Em número complexo: 
XL = j75,40 ou XL = 75,4 190º n 
b) Valor eficaz da corrente na bobina
1 = Vrms =: 110 = 146Arms XL 75,4 '
·lu NJ J?Aê-LA-FAIEt'É'\
•l"\TCl"A 
& ...-;--- _..: • .--,·, , r . .,, .. 
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l 
1 i 
11 1 
r. 
,,, 
'f 
,11 
l':-
;,L
1· 
.,,. 
e:) Gráficos da tensão e corrente na bobina 
IP = ../2..Irms = ../2..1,46 = 2A 
V
P 
= ../2..Vrms = ../2..110 = 156V
v(t)[V] 
i{t)[A] 
156 
2 
V 
1' 
rol 
2) Em que freqüência uma bobina de lO0mH tem 1 50Q de reatância?
XL = 21t. f.L ⇒ 150 = 2n.f.100.10"3 ⇒ f = l
50 ⇒ f = 239Hz
21t.0,l 
3) Em um circuito indutivo alimentado com 11 0V /60Hz, deseja-se
que a corrente seja limitada em 200mA. Qual d�ve ser o valor da
indutância da bobina?
Sendo a corrente de pico na bobina igual a 200mA, seu valor eficaz
é:
Irms = � _ 
200.1 o-3
,./2. 
-
...f2. 
= 141,42mA 
A reatância da bobina vale: XL = �rms = 
110
3 = 777,820
rms 141,42.10-
,J, 
Portanto, a indutância da bobina dev
e valer:
L = 
XL · = 777,
82 = 2 06H
2n.f 21t.60 
4) Dado o circuito a segui
r, pede-se:
.J__. 
v=30�V 
60Hz 
L 
SOmH 
1' 
a) Expressão da corrente na forma polar
 e em função do tempo
Calculando a reatància do indutor:
XL = ro.L = 2n.60.50.10-
3-= 18 ,850 
Assim: XL = jl8,85Q ou XL = 1 8
,85 j 90º Q 
A corrente na forma polar vale:
i=�= 
30 l§Q: 
XL 18,85 l90º 
= l,6 1- 30º A
Transformando a expressão da corrente 
no domínio do tempo:
i(t) = 1,6.sen((l)t - 30
º ) (A) 
b) Diagrama fasorial
V, i 
ou 
V 
i(t) = 1, 6.sen(377t · n / 6) (A) 
\•377rd/• 
'7'l 
,ii 
I' 
11
1,1
11,1,
:11 
11 
1/ 
l't 
j 
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,, .
!fi
11
1 
Potência num Indutor Ideal 
Com a expressão .p(t)•v(t).i(t) pode-se levantar o gráfico da potência 
instantânea num indutor ideal, que fica conforme a figura 4.6. 
Figura 4.6 - Potência num indutor ideal. 
Em um circuito puramente indutivo (sem resistência ôhmica), não há
dissipação de energia. 
Observando o gráfico da potência instantânea, verifica-se que a potência 
é ora positiva ora negativa, de forma que sua potência média é zero.
Quando a potência é positiva, significa que � indutor está recebendo
energia do gerador, armazenando-a na forma de campo magnético. 
Quando a potência é negativa, significa que o indutor comporta-se como 
um gerador, devolvendo a energia armazenada ao circuito. 
A seqüência se repete duas vezes em cada ciclo da tensão do gerador. 
Desta forma, a energia é sempre trocada entre o gerador e o indutor, não
havendo dissipação de potência (perdas). 
Potência Ativa 
Num circuito reativo, a potência média (dissipada) é denominada potência
ativa P (ou real), sendo calculada por: 
,. ;�' '-� -�.-1,1. � .J,...,,, 
� -,,. 
_!_; 
... 
[ P = Vnns .lnns .cos♦ IW} 1 
A fase♦ é a defasagem entre a tensão e a corrente, que corresponde à fase 
reatãncia. 
Como no indutor ideal�== 90°, tem-se que: 
P == Vrms.lrms ·cos90º = Vrms.lrms·O == O W (potência média
 nula)
4.3 - Circuito RL Série 
J\!a prática, um indutor apresenta indutância e resistência elétrica (devido
resistividade do fio do indutor), portanto a corrente elétrica, ao percor
rer um
lutor, encontra dois tipos de oposição: a reatâJ\cia indutiva e a resistên
cia
lica do fio. 
Quando uma tensão alternada é aplicada a um circuito RL série, a corrente
'continua atrasada em relação a ela, só que de um ângulo menor qu
e 90º pois
·enquanto a indutância tende a defasá-la em 90
º, a resistência tende a colocá-la em-
fase com a tensão. 
A figura 4. 7(a) apresenta um circuito RL série, no qual a resistência R
representa o equivalente de todas as resistências em série com o indutor (inclusive
a resistência ôhmica do fio do indutor). Por simplicidade, a corrente foi considerada
com fase inicial nula. 
v, i 
VR 
-�
�§}L VR 
(a) Circuito (b) Diagrama fasorial 
1uN�-�c . L·AilX1sTel 
'71: 
·:1 
l:'.i:,11"\
!1
� . 
1 
il •t-; 
1, 
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l'\r· 1 1 1 ' 1 \ 1 • a 1 ' l ...,.,_l, 1 l 1 1'-. ... ,.,. 1 1 1 1 • wf 
+ 
(e) Formas de onda
Figura 4. 7 • Circuito RL série.
Pelo diagrama fasorial vê-se que a corrente i no indutor (que é a mesma 
no resistor) está atrasada de 90° em relação à tensão vL. Como tensão e corrente
num resistor estão sempre em f�se (como foi visto no Capítulo 2), vR e i estão 
representadas no mesmo eixo. 
A tensão v do gerador é a soma vetorial de v
L 
com v
R
, resultando numa 
defasagem t menor que 90° em relação à corrente.
Impedância Indutiva Z
L
A oposição que o indutor real oferece à passagem da corrente 
elétrica depende de R e de Xi_. Esta combinação é denominada impedância
indutiva Z.., dada em (QJ, e pode ser representada por um único símbolo, 
como indica a figura 4.8. 
76 
• 7.,. 
Figura 4.8 · lmpedéin
clo indutivo.
V 
Aplicando a primeira lei de Ohm t
em-se: ZL = -:-
1 
Do diagrama fasorial da figura 4.7(b
), vL' vR e i podem
 ser representados
na fonna de números complex
os:
VL = VL L90
º ..
VR =VR � 
i=l liL 
V V 190º . 
A reatância indutiva XL vale XL = 
f = � lQ: = XL 
190º = jXL 
VR VR � ll\o 
A resistência R vale 
R = -i
-= 1 
l!E = R &_= R
Como v "" vR + vL (soma ve
torial), dividindo ambos os lados da i
gualdade
por i tem-se: 
V VR VL 
-=-+-
i i i 
Assim, a impedância indutiva Z., va
le:
[ �L =,=,_R + jXL o
u _zL = 
R + jro�L]
A impedância indutiva pode ser t
ambém representada na forma p
olar 
como segue: 
Módulo: �-= ✓R2 +X� ou ZL = ÍR
2 + ((1). L��
-
l_l 
i .!l
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i 
f.l 
1i
11
' 
h· ll
i' 
i1 
Fase: 
ou ainda: 
cl>=arctg
xL
R 
VR/ R VR -�71_=-⇒coscj> = V - o/i ZL
ou � = arctg 
ro.L
. I .· R ., 
R 
·,k = arceos­t'I' .•. ZL 
No plano cartesiano, a Impedância indutiva fica como segue: 
1m 
l�
� 
�Xi. 
!5 z.. 
Xi. 
,z
L
r \T ., 
R 
• Real
(a) Simbolicamente (b) Graficamente 
Figura 4.9 • Representação da impediincla indutiva. 
Em geral, a resistência do enrolamento de uma bobina é baixa (de unidades 
a centenas de Ohm), portanto em muitos casos ela pode ser desprezada, sendo o 
indutor considerado ideal. 
Exemplos: 
7A 
1) Uma bobina, quando ligada a uma fonte CC de l0V, consome
-l00mA e, quando ligada a uma fonte CA de lOVrm/SObHz,
consome 20mAnns. Calcular:
a) Resistência da bobina
Quando a bobina é ligada à fonte CC, só existe o efeito da resistência 
ôhmlca, pois sendo a tensão constante, a reatância indutiva é nula. 
Portanto:R= V_ 10 
I - 100.10
-3 = 1000
., 
,J, 
• ••.; I �,(•"""• .. • ) 
lOV 
1' 
lOOmA 
R 
-
lOOnA 
X
L 
E 
lOV 
R 
b) Reatância e indutância da bobina
Quando a bobina é ligada à fonte CA, além da resistência ôhmica,
há o efeito da reatância indutiva. Assim, o módulo da impedância
indutiva é: 
V 10 =5000ZL = 7 = 20.10-3
R 
20mA,,,. 
-
20mA..,, 
Xi. • 
Como ZL = ,JR 2 + X[ , o valor da reatância indutiva é:
xL = .JzE - R2 = Jsoo2 - 1002 = 4900
Portanto, a indutância vale: 
L=�= 49o =156mH
21t.F 2n.500 
z.. 
e) Impedância complexa da bobina e sua representação gráfica
ZL = R+ jXL = 100+ j490 O
Para a representação na forma polar, é necessário calcular a fase:
X 490 cp = arctg � = arctg 100 
= 78,5º 
_, 
,J, 
1;ijii
J,. l
.\ 
.l 
., 
;� 
I 
,1,
1J,,1 
,r 
.1 
(, 
1111' 
·I 
"1 
1 
·�
11 
,1 
I' 
Portanto: ZL = ZL l_t = 500 !78,5° n
d) Diagrama fasorial.do circuito CA (considerando fase inicial da tensão
da fonte nula) 
Tem-se: v
rms 
= 10 � V
Como a corrente i está atrasada de q> = 78,5° em relação à tensão,
seu valor na forma complexa é: inns = 20 1- 78,5º mA
As tensões vR e vL valem:
VRrms = R. i = 100.0,02 1- 78,5º = 2 !- 78,5° V
V1-rm5 = XL.i = 490 !90° . 0,02 1- 78,5° = 9,8 jll,5° V 
v, i 
vd9,8V) 
VR IY. TI!,,';)� -----------
---
-
· V (lOV) 
.-----
i (20mA) 
2) Dado o circuito a seguir, determinar:
v=110l2Q'.'V 1..7
1 
60Hz "'" 
R=300 
"t\ 
a) Impedância do circuito e o valor de L
J. 
l<t,=400 
, A impedância na forma cartesiana vale: ZL = 30 + j40 Q 
..L, 
Na forma polar: 
Módulo: ZL = ✓R2 + X[ = ✓302 + 402 = 500.
Fase: 
X 40 $ = arctg_!,_ = arctg- = 53º 
R 30 
Portanto: ZL = 50 153º n
Pela reatância indutiva, tira-se L:
40 
XL = 21t.f.L ⇒ L = -- = 106mH
21t.60 
b) Corrente no circuito
i = � = 
llO 90º == 2 2 !37º A 
ZL 50 53º ' 
rms 
e) Diagrama fasorial e formas de onda
Para o diagrama fasorial:
V= 110 190° Vrms e i = 2,2 137° Arms
Calculando vL e vR:
vl == X�.i = 40 ! 90º . 2,2137
° = 88 ! 127° Vrms
VR =Ri= 30 l.Q::_ . 2 ,2 l 37º = 66 \ 37º Vrms 
Portanto: 
v,i 
v(llOV) 
� 
V
L
(
88V) 
i(2,2A) 
..L, 
.... 
1,1j1 
,.,,� 
1, 
'·• 
�! 
p ,.\ 
111 
,11 f11 
�, 
�' 
:1
1 
,,: 
•1·
,,, 'lí 1ii 
I! 
11
,,
,1 
82 
Para as formas de onda:
v(t) = l l0 . .J2.sen( 2n.f. t + 90°) = 156 .sen(377t + 90º) (V)_ 
vL(t) = 88 . .Í2.sen(377t + 127º) = 124,5.sen(377t + 127º) M 
vR(t) = 66 . .J2.sen(377t + 37º) = 93,3.sen(377t + 37°) (V) 
i(t) = 2,2 . .J2.sen(377t + 37°) = 3,l.sen(377t + 37º) (A) 
Portanto: 
v;I 
3) Para o circuito seguinte, calcular:
ioon 
v=llO l.1§.'.'.V
....,
­
lOOHz 
.. ,
-H }•
ti/1 
-J, 
a) A tensão no indutor e a corre
nte do circuito
Cálculo de vL com a 
fórmula do divisor de tensão: vL = 
XL . v
R+XL 
Tem-se: R = l0OQ e v = 
110\48° V rms 
XL == jw.L == j21t .f.L == j21t.100.0
,2 == jl25,7 = 125,7 \90
º n
ZL == R+X L = 
100+ jl25,7 == 16 0,6 15 1,5
º O 
Logo: 
VL = 1
���6
7 
�. 110 l45
º 
= 86J l83, 5
º Vrms
A corrente do circuito pode ser ca
lculada por:
V i = ZL 
110 � = 0,68 1- 6 ,5° Arms
16 0,6 !5 1,5º 
b) Diagrama fasorial
v. i 
vL(86,lV) �llOV) \ 
6,5º -v; 
i(0,68A) 
ru NIPAC:LAF :;;1:sTül . ...,
 
'I1
1 
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i,11�1 
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d. i l,,�l"ii 
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,,;i,j,, 117i11 'it'/' 
11,:i
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l 
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iMI 1,1 [1
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I
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1hp.;'f 1111/'11111! dirr1!11 [111(�•Mi1l1íl� 1ir,�!\! 
1'1l� 1\111
1 111111 
11111 i,lli1,L, l•lj:ILl,tl
1\;i1 
'!1.li 
Í\'j 
:1.i!1 li! 
: 1, 
!' 11 
1
111 
, i j 1· 
I•, 
:·1
I• 
J'lli
Potência em Circuitos Indutivos 
Para a análise da potência num circuito indutivo formado por um resistor 
e um indutor ligados em série, consideremos . o circuito da figura 4 .1 O(a). 
Representando os fasores das tensões envolvidas (em V rmJ na fonna de um
triângulo, tem-se a figura 4.lO(b). 
V
R 
R 
� �� Jvl lv
,
v. 
(a) Circuito (b) Triângulo de tensões
J P,•V,l 
"--'-----
P=V•.I 
(e) Triângulo de potências 
Figura 4.10 • Potência em circuitos indutivos. 
Note que a fase ♦ corresponde tanto à fase da impedância equivalente 
quanto à defasagem entre tensão e corrente do gerador. 
Multiplicando os lados do triângulo de tensões pela corrente ido circuito, 
obtém-se o triângulo de potências, como na figura 4.lO(c). 
A base do triângulo é a potência ativa P (ou real), dada em watt [W), que 
pode ser obtida por uma das seguintes expressões: 
L 
A hipotenusa do triângulo representa a potência aparente P Ap cuja 
unidade é volt-ampere (VAJ e dada pela expressão: 
IU 
. - '':": ,,.,,.,.l1r,� �'9·11,'f'. '!ir,t.1ti• _.• ,--:. · . . . • ,r :-..,,', - . J ·.r / �_/') �'-'1 pt /l ( �.1rl -_,;: 
A altura do triângulo é a potência reativa P {neste caso, potência
,a indutiva P 81
). A potência reativa tem como uni�ade volt�ampere reativo
:J e dada por uma das seguintes expressões: 
l 'pR·: ='V1.nns:;Í1!'}� •: J . �· Ji:,,� --1. " ; a 
ou: �ai= Y..míS:1+s·sep:� 1 
Como mostra a figura 4.11, essas três potências se relacionam da seguinte 
p2 _ p2 + p2 
Ap 
- R 
l P, 
Figura 4.11 • Triiingulo de potincias. 
A relação entre a potência real P e a potência aparente P Ap é denominada 
fator de potência FP, cuja expressão pode ser retirada da figura 4 .11. 
- .. , .. B,.,* FP =---=:.. = cos <!>
:,, '\ ,, J;?ÁY"·" .... , -
Portanto, o fator de potência pode ser calculado diretamente através da· 
fase ♦ da impedância. 
Observações 
• É muito comum chamar o fator de potência de cosseno fi devido
à sua expressão. 
O fator de potência dá uma medida do aproveitamento da
energia fornecida pelo gerador à carga. 
Em circuitos fonnados por resistores e/ ou indutores, três situações
são possiveis:
- Se a carga for puramente resistiva, não há potência reativa,
portanto P Ap • P, ou seja, FP ... 1. Neste caso, a carga aproveita 
toda a energia fornecida pelo gerador (dissipa potência por efeito 
Joule) . 
:ili:'? ·e i 'i6ih "" �@_t!b ·, t . -··-·. 1....... ..,r, 
111t
f 
�\1 ,1 ,1
d 
(11
11
· 
11 \1 
11f 
11 
!' 
�), 'lí 
' . 11w,/d
1� � 
� 
��
t 
�r!I 
j!f
ij i1
. 1 
l 
;i:1 
Exemplos: 
- Se a carga for puramente indutiva (ou reativa), não há potência
ativa, portanto P Ap"' PR• ou seja, FP •O.Neste caso, a carga não
aproveita nenhuma energia fornecida pelo gerador, ou seja, não 
dissipa potência, mas apenas troca energia com o gerador. 
-Se a carga for indutiva (impedância reativa indutiva), há potência
ativa e reativa, portanto Pi = P2 + P:, ou seja, O $ FP $ 1-
Neste caso, a carga aproveita somente uma parte da energia
fornecida pelo gerador, ou seja, somente a parte resistiva da carga
dissipa potência por efeito Joule.
1) Dado o circuito a seguir, pede-se:
v= llot.Q:V_ 
60Hz 
R=SOO 
a) Leitura dos aparelhos
XL = j21t. f.L = j21t.6O.O,l = j37,7 O 
z
L = 50 + j37,7 = 62,6 !37º n
L=0,IH 
. v llO � 1 76 I 37° A 1 = zL
= 62,6 137º 
= 
' 
- rms (o amperímetro indica
1,76 A
rms
) 
Vi =Ri=5O LQ'.:. 1 ,76 1-37° =88 1- 37° v,ms 
(V 1 indica 88 V�
v2 = XL . i = 37,7 ! 90
º . 1,76 
(V 2 indica 66 ,4 V )rms 
;.�•.: 
l-37º =66,4 1s3° vrms 
•::f,":X.,.!�<Ul,#1.J•• . .;.,,..,., ...... '!1 1i..t� ··-• 
i1 
f ,. 
.,___l 
"' 
b) Fator de potência
FP = cosei>= cos37º= 0,799 
e) Potência ativa dissipada pelo circuito
P = Vrms .Irms . cosct> = 110.1,76.0,799 = 154,7W 
d) Potências aparente e reativa do circuito
P Ap = Vrms .lrms = 110.1,76 = 1 93,6 VA
PR= Vrms·lrms .sencj> = 11O.l,76. sen37º= 116,5 VAR 
e) Diagrama fasorial
v, i 
V
L
{66,4V) 
� 
v(llOV) • 
i (1,76A) 
Observações 
1' 
• Embora o resistor esteja em série com o indutor, devido à fase das 
tensões nesses dispositivos serem diferentes, a soma de suas 
tensões (medidas pelos voltímetros) não é igual à tensão fornecida
pelo gerador. Essa soma só é válida se feita vetorialmente, já que
as tensões são valores complexos .
• De toda potência que o gerador entrega à carga, somente uma
parte é consumida ( 154, 7W). A outra parte (potência reativa) não
é usada para realizar trabalho útil, sendo constantemente trocadaentre a carga e o gerador. Um wattímetro conectado ao circuito
mediria apenas essa potência ativa de 154,7W.
,,1, 
-LAFAIE
(l!I-�
,
1
1,1 r 
r 
li 
( 
11 
11 
1
!j'
� ,!; 
1/ 
!, 
1
11 
1, 
j!, 
1 
1' 
• Se a potência reativa aumentar, sem aumento na potência ativa,
a potência aparente aumenta, causando aumento no consumo de 
corrente e implicando numa fiação de bitola maior, portanto num
aumento de custo. Por isso a concessionária de energia elétrica 
controla o fator de potência (cosei>) dos usuários, estipulando um
valor mínimo, que é de 0,92, abaixo do qual os usuários pagam 
multa . Na prática, quando o FP cai abaixo do minimo estabelecido 
(0,92), é possível fazer a correção, introduzindo capacitares no 
circuito (assunto que será abordado no Capitulo 7). 
2) A potência consumida (ativa) por uma instalação elétrica é de
2400W. Se a tensão de alimentação é de 220V rms' calcular a potência aparente e a corrente consumida quando: 
a) FP = 0,9 
PA = � = 
2400 = 2667W
P coscp 0,9 
I = p = 
2400 
= 12 12Arms vrms·coscp 220.0,9 ' 
b) FP = 0,6
PA = � = 2400 = 4000W
P coscp 0,6 
lrms = . p = 
2400
= 18 18A 
vrms·coscp 220.0,6 
Observação 
• A pesar de a potência consumida útil ser a mesma, a corrente 
consumida aumentou com a diminuição do fator de potência da
instalação elétrica. 
3) Calcular o fator de potência de um circuito RL série cujo amperímetro
indica lOA, o voltímetro ligado ao gerador indica 220V e o wattímetro 
indica 2000W. 
Como os instrumentos medem valores eficazes:
,J, 
....., 
,s; Jiff�,, ........ , ª ... ,,,..,.,.f.J�-,' 
1' 
PAp = vrms·,rms = 220.10 = 2200VA 
P 2000 
Portanto: FP = p = 2200 = 0,91 Ap 
4) No circuito a seguir, a leitura dos instrumentos V=220V, 1=55A e
P= lOkW. Calcular:
60Hz 
a) Impedância do circuito
V 220 ZL = - = -= 4Q (em módulo)
I 55 
b) Resistência e indutância
P =R.l2 ⇒R=�= 10.10
3 
=33Q1 2 552 
R 
L 
Zr_ = X[ +R2 ⇒ XL = ✓zr. -R2 = ✓42 -3,32 = 2,260 
2 f XL Z
26 6 XL = rt .. L ⇒ L = -- = -- = mH2rt.f 21t.60 
e) Potências aparente e reativa
P Ap = Vnns.lrms = 220.55 = 12,lkV A 
PR= ✓PÃp - P2 = ✓(12,1.103)2 -(10.103 )2 = 6,8kVAR 
d) Fator de potência
FP = � = lO.l
03 = 0 826 
p 3 ' Ap 12,1.10 
... 4 . . .. MM<...l..1..1, 
1 
4.4 - Circuito RL Paralelo 
Para a análise desse tipo de circuito, considera-se que o indutor é ideal. 
No circuito RL paralelo, a tensão no·gerador (v) é a mesma no resistor (v
R
) 
e no indutor (v
L
). Porém, a corrente fornecida pelo gerador (i) é a soma vetorial das 
correntes no resistor (i
R
) e no indutor (iL), como indica a figura 4.12 .
90 
.!..+ .!..+ 
R Xi. ZL 
(a) Circuito (b) Circuito·equivalente
'li 
� 1 � \
� ;, / V 1'� O 1 1 90",� 1 
\ 
1 
I 
1 ! 1
27� 
1 
/ 
1 
/
°'� 1 1 1 , wl 
(e) Formas de onda
'····-- . ,_ ,ií � 
V, Í 
v=vR=vL t � Cil 
ÍRJ°---�
Í \ 
1 
1 
! 
i
L 
(d) Diagrama /asoria
l 
Figura 4.12 - Circuito 
RL paralelo.
Do diagrama fasorial da figura 4
.12(d) tem-se que 1
2 = I� + I[.
No diagrama, vê-se também que 
a corrente no indutor está atrasad
a de
90" em relação à tensão, enquah
to a corrente no resistor está em
 fase com a
tensão. 
A impedância equivalente do
 circuito é calculada com a me
sma.
expressão para o cálculo da resist
ência equivalente de dois resistore
s em paralelo, 
isto é: 
·t 1 i __:..=-+- ou 
ZL, R jXL 
Módulo da impedância equivalent
e:
Z _ jo{
LR
L- R + j.co.L
z = co.LR 
l'I �
n.2·+(©.Ü2
L ,Ji .. 
Fase da impedância equivalente
:
90º 
_ ,i R· 
$ = ( L / R) 
= 
90º-arctg(co.L / R) ==> '. � = arctg-
arctg ro. 
' Ol. L 
ou, ainda: 
IR % -� ⇒cos $ = - = Vi. - R I /ZL 
--- -
�, ... ' ·:J 
· ZL "' = arccos -R .·'I' ce•-1 
Exemplos: 
""' 
1) Dado o circuito a seguir, pedem-se:
R 
60!1 
Xi. 
80!1 v=llO� v_ 
60Hz 
1 1i� ri
iL 
a) Impedância equivalente
Módulo: ZL = 
ro. L . R = 80.60 = 48!1
✓R2 +(ro.L)2 ✓602 +802 
Fase: � = arctg(R/ro.L) = arctg(60/80) = 37° 
Portanto: ZL = 48 j37° Q 
b) Expressão da corrente i(t) 
. V 110 � 
0 
1 = ZL 
= 
48 @z'.'.. 
= 2,3 l- 37 Arms
Portanto: i(t) = 2,3. J2.sen(377t - 37°) = 3,25.sen(377t - 37º) (A) 
e) Fator de potência
FP = cos$ = cos 37º= 0,799
d) Diagrama fasorial e formas de onda
Tem-se: v = 110 � vrms e i = 2,3 1- 37º A rms 
Calculando as correntes nos dispositivos: 
iL =�= 11
0 � 
XL 80 !90º = 
l,37 1- 90º A rms 
,l, 
. v _ 11 O Oº _ 1,83 lQ:_ A rms 1R = R - 60 Oº 
Portanto: 
V1 i 
Pa.ra as formas de onda: 
i,,(l,83A) 
37º 1 v(llOVJ 
1 
·----�] i(2,3A)
li_(l,37A) /. 
v(t} = 110.J2.sen 21t. f. t = 156.sen 377t M 
i(t} = 3,25.sen(377t -37º } (A) 
idt) = 1,37.J2.sen(377t-90º } = 1,94.sen(377t-90º ) (A) 
iR(t) = l,83 . .J2.sen 377t = 2,59.sen 377t (A) 
Portanto: 
n I n� � .n-(
 1 \ lnMn\ 1 1 I
M"" O O)( 
� ,/ 1 f'. .1 1 \ \ \. 
1' 
,l, 
•.• J.,:_,.. ..,_ r: ..... ,,a,.,.. ll'\r411ti,,n.c: Q.� 
kl 
I! 
ii 
li 
2) Dado o circuito a seguir, pedem-se:
i=l,S�A,,.,
1200 1600 
�i1 
a) Tensão do gerador
A impedância equivalente do circuito:
Módulo: z = ro.L.R = 120.160 = 960
✓R2 + (ro.L)2 ✓1202 + 1602 
Fase: q> = arctg(Rjoo. L) = arctg(120/160) = 37º 
Portanto: ZL = 96 !37º O
A tensão no gerador vale:
v = ZL. i = 96 !37° . 1,5 130º = 144 167º vrms 
b) Correntes nos dispositivos
. V • 144 � 1 2 167º A IR = R 
= 
120 lQ'.'.. 
= 
, rms
i = � = 144 [.§E =0 9 1-23º A L XL 160 !90° ' rms
e) Potências aparente, ativa e reativa
PA
p 
= Vrms·lrms = 144.1,5 = 216VA
P = PA
p
·cos� = 216.cos37º= 172,5W
' PR= PAp·sencf, = 216.sen37
º= 130VAR
· rn
•---·---. - -··· - • """',r,;;1·: 
d) Fator de potência
FP = cosq> = cos�7º= 0,799
e) Diagrama f aso ri ai
v, i 
v(l44V)
1,2A) 
\,·,(l,SA) f 
Í 
id0,9A) 
3) Dado o circuito a seguir, pedem-se:
v=IOIQ�.V-
100Hz 
a) Diagrama fasorial
i=O,Sj -45° A_--+ 
v, i 
R 
iLil 
L 
iR v(lOV)
r � ! r..n ir;;:("' -T A �-1.l'RTÊL-:�: .... 
,.j, 
h•-- t-.J,,6:,,..,.� � 
.i b) Correntes nos dispositivos a partir do diagrama fasorial
A partir do diagrama fasorial, tem-se:
IR= l.cos45º= 0,5.0,707 = 3 53,5 mA
IL = I.sen45
º = 0,5.0,707 = 3 53,5 mA 
Portanto: iR = 353,5 LQ:_ mA 
iL = 3 53,5 j - 90 º mA 
e) ir!:\P.edância-eQuirvalente .do�c:ircuito
z = � = 10 j,O
º 
= 20 l 45º n '\L i 0, 5 l-45° � 
d) Valor do resistor e da indutância 
R=�- 10 
IR - 0,353 5 
= 28,3.Q
V 10 XL = � = 0,3535 = 
28,30 
�-·--
XL = 21t.f.L ⇒ L = 
28•3 
O
= 45mH
2n.10 
Exercícios Propostos 
Indutor Ideal em Corrente Alternada 
4.1 · Uma bobina ideal tem SOQ de reatância quando ligada num
gerador cuja tensão é v(t) = 20.sen(5.10 2 t + 90° ) (V).
Pedem-se:
a) Expressão da corrente em função do tempo e na forma polar;
b) Valor eficaz da tensão e da corrente;
e) Valor da indutância;
d) Diagrama fa�orial. ...... 
• ,. i,, r; . ·/ :·�
�· •)-� • .. ·. 
4.2 - Uma bobina ideal tem a seg
uinte reatância: XL = 250 l 90
º n. Ela é
percorrida pela corrente i(t) = 10 0.sen
(l03 t + 45º ) (mA). Pedem-
-se: 
a) Expressão da tensão em função do tem
po e n·a forma polar;
b) Valor eficaz da tensão e da corrente
;
e) Valor da indutância; 
d) Diagrama fasorial.
4.3 - Em relação ao circuito a seguir, pe
dem-se:
i(I� 
v=(I) (~) 
L 
SOOmH 
v (!)=20.sen (104.t-90") (V) 
a) Expressão da corrente em função do t
empo e na forma polar;
b) Valor eficaz da tensão e da corrente;
e) Valor da reatância;
d) Diagrama fasorial.
Circuito RL �érie
4.4 • Dado o circuito a seguir, pedem-s
e:
v=2� V/--1
60Hz 
i ► R=20O 
X.. =40 n
a) Impedância complexa (módulo e fas
e);
b) Valor da indutância;
· :··r
._�-�-,Êtíil.,....._ 
I' 11 
IJ 
! 
"" 
e) Expressão da corrente em função do tempo e na forma polar,
> 
d) vR e vL (forma polar);
e) Diagrama fasorial.
4.5 - No circuito a seguir, vR (t) = 10.sen(CIÍ - 30º ) (V) . Determinar:
V 
60Hz 
a) i(t) e v(t);
b) Diagrama fasorial.
R 
100 n 
L 
150mH 
4.6 - No circuito a seguir, v ""42,4� V e vL = 30 l 45° V.
Determinar:· 
a) Impedância complexa;
b) Valor de R.
X.. 
30n 
4. 7 - Com relação ao circuito a seguir, pedem-se:
v=llO�V,,,.. 
60Hz 
R 
10n 
X.. 
1sn 
a) Defasagem entre tensão e corrente fornecidas pelo gerador;
b) Fator de potência;
e) Potências ativa, reativa e aparente.
UNIPA-C · LAFAIETB
4.8 . Um circuito consome uma corrente de 25A. Sabendo-se que 
f==60Hz, FP=0,75 e a tensão no circuito é 220jOºV rms' pedem-se: 
a) Potências aparente, ativa e reativa;
b) Valor da resistência e da indutância do circuito.
4. 9 - Uma instalação elétrica consome uma potência de Sk W. Sabendo­
-se que a potência reativa é de 3kVAR e a tensão é de 220 V nns'
pedem-se: 
a) Fator de potência;
b) Corrente consumida.
Circuito RL Paralelo 
4.10 - Para o circuito a seguir, pedem-se: 
-1.... 
60Hz 9 4000 � 3000
v= 1� Vp O � R § X.. 
jRi ili 
a) Impedância complexa;
b) Expressões i(t), iR(t) e iL(t);
e) Valor da indutância; ___________
( d) Fator de potência e potência ativa;.
..... _ . 
e) Diagrama fasorial.
4.11 • Em um circuito RL paralelo, a defasagem entre tensão e corrente 
é 30º . Sabendo-se que a tensão e a corrente consumidas são, 
respectivamente, lOV e IOOmArms, que a fase da tensão é Oº e 
que a freqüência é de 60Hz, pedem-se: 
a) Expressões de i(t) e iL(t);
b) 2i_, R e L;
e) Diagrama fasorial. UNIPAC-LAFAIETE 
BIBLIOTECA 
• ,. )r-• .} 
·, ;,. . "
' " �- , -� ·,,
M 
,'I 
"í 
. .
100 
4.12 - Dado o circuito a seguir, pedem-se:
Observação: Considerar fase de V zero.
-1-
IR,, 
R L 
lOOmH 
; = 3,6L-JO<> A.m. 
a) Tensão do gerador na forma polar e o valor de R;
b) Potências aparente, ativa e reativa;
e) fator de potência;
d) Diagrama fasorial.
Análise de Circuitos Capacitivos 
5.1 • Capacitor 
S.2 - Capacitor em Corrente Alternada
5.3 - Circuito RC Série 
5.4 - Circuito RC Paralelo 
- Exercícios Propostos
5.1 - Capacitor 
Um capacitor ou condensador é um 'dispositivo que armazena cargas 
:. Ele consiste basicamente em·duas placas metálicas paralelas, denominadas 
luras, separadas por um isolante, chamado material dielétrico. 
A figura 5 .1 apresenta os detalhes construtivos e o sim bolo genérico de um 
dtor: 
F 
armaduras 
r----. terminal
....--dieléh'ico 
___.terminal 
_L 
--r-
(a) Detalhes construtivos (b) Símbolo genérico 
Figura 5.1 - Capacitar. 
UNIPAC :-LAFAIBtE 
BIBLIOTECA 
�-·- . ..,_":--,·•·-·li"'\. .,.. 
,1 ', 
li 
11 
1
1
1 
II 
1 
1 
1 
1 
'/ 
,1 
Capacitância 
A capacitância C é a medida da capacidade do capacitor de armaze1 cargas elétricas, isto é,_ armazenar energia na forma de campo elétrico. A unid; de medida de capacitância é o farad (FJ e seu valor depende principalmente ,dimensões do capacitor e do tipo de dielétrico. 
Observação 
• 
Capacitância 
A unidade de medida de capacitância (FJ é em homenagem ao;físico inglês Michael Faraday (1791 - 1867) que estudou diversosfenômenos relacionados às cargas elétricas. 
Consideremos um capacitor alimentado por uma fonte de tensão contínuaE, como mostra a figura 5.2. 
Ef � l
c 
� T 
Figura 5.2 · Capacltor em e.e. 
Quando a chave é fechada (t•O), o capacitor começa a armazenar cargasaté atingir um valor Q. A quantidade de cargas que um capacitor pode armazenardepende de sua capacitância C e da tensão V entre seus terminais, isto é:
[ Q·= V:'C] 
1n? 
Sendo: Q ⇒ quantidade de cargas em coulomb (CJ
V tensão entre os terminais em volt (VJ
C ⇒ capacitância em farad {FJ
r -UNI-PiC.LA.FAIETÊ'L.JJIBUor�cA J
-Num capacitor de lOOµF é aplicada uma tensão de lOV. Determinar a 
elétrica total armazenada no capacitor e a quantidade de elétrons que se 
1ram de uma placa para outra. 
Q = V.C = 10.100. 10-6 = 10-3 = lmC 
Como Q = n. qe , em que n representa o número de elétrons (em excesso 
em falta) e qe = l,6.10-19c (c;irga elementar de um elétron), tem-se: 
Q 10-3n = - = 
19 
= 6,25.10 15 elétrons qe 1,6.10-
. Significa que a placa superior está com 6,25.10 15 elétrons em falta e a 
1erior tem µm excecsso de 6,25. 10 15 elétrons, ou seja, os elétrons da placa 
:rior se dirigiram para a placa inferior através da fonte de alimentação: 
Tensão e Corrente no Capacitor 
Aplicada uma tensão E no capacitor, inicialmente éf corrente i (fluxo de 
ras) é mais intensa, diminuindo à medida que o capacitor se carrega, até parar 
1•0). 
Por outro lado, a tensão v no capacitor (potencial associado às cargas 
'elétricas) começa em zero e cresce até atingir o valor da tensão de alimentação 
fv • E). 
O tempo necessário para que o capacitor seja carregado totalmente 
(situação em que a tensão atinge o valór máximo e a corrente vale zero) depende 
das resistências do circuito. Num circuito puramente capacitivo, esse tempo é 
extremamente pequeno, isto é, o capacitor se carrega quase que instantaneamente, 
comportando-se, a partir daí, como um circuito aberto. 
Assim, três conclusões muito importantes podem ser tiradas em 
relação ao comportamento do capacitor: 
1 - Um capacitor armazena energia na forma de campo elétrico. 
li - Um capacitor comporta-se como &m. circ11ilo _ilh.uto- em 
tensão contínua, mas permite a con�ecorrente para 
tensão variávei. · '. : ;",
Ili - Num capacitor, a corrente está adiântáda em t_elação à tensão .. ' . � ·, 
�n., 
1'1 i 
" ,, ,, 1 ,, ' 
il 1. 
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J i � 
11J 
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� i' ' l 
t, ,1 
� 
jl 
li !' 1•1' 1 ., .
' 11 11 
t 1 
1 1 
' .. 
O fato de o capacitor permitir a condução de corrente quando a tensão 
aplicada é variável, não significa que a condução ocorra sem oposição. Só que no· 
caso do capacitor, ao contrário do que ocorre no indutor, quanto mais rápida é 
a variação da tensão, menos oposição existe à passagem c\a corrente. 
No capacitor a corrente é diretamente proporcional à variação de tensão 
sendo esta constante proporcionalmente à capacitância C, que é dada por: 
i(t) = e. dv(t
)
dt 
Sendo: i(t} ⇒ corrente no indutor 
e => capacitância 
dv(t) / dt => variação da tensão em função do tempo 
Da mesma forma que para o indutor, esta expressão depende de conceitos
de matemática avançada (função derivada), a qual é tratada de forma bem mais
simples a partir do próximo tópico. 
Tipos e Aplicações de Capacitores 
Capacitores são usados em circuitos temporizadores, na construção de 
filtros, em fontes de alimentação, amplificadores, transmissores, etc . 
Existe uma variedade de tipos de capacitares que são diferenciados pela 
forma como são construídos. Dentre os principais temos: 
• Capacitores de poliéster, eletrolíticas, tântalo, cerâmica, polipro­
pileno e mica. Cada um deles tem uma caracteristica que permite
que sejam usados para uma determinada aplicação. Por exemplo
os capacitores eletroliticos são os que possuem maior valor de
capacitância, por isso mesmo são largamente usados em fontes 
de alimentação. Os capacitares cerâmicos por não terem interna­
mente estruturas no formato de bobinas, são usados em altas
freqüências.
A informação relativa ao valor pode vir escrita ou codificada como no 
caso de resistores. No eletrolíticos que têm polaridade, o valor vem escrito 
(100µ.F, 470µF, etc.). Capacitares cerâmicos têm a informação do valor escrito 
como 103, que significa 10xl03pF = 0,OlµF (os dois primeiros números 
104 
:ntarn os algarismos significativo
s e o último, a potência, o resultado é em
easo tenha uma letra, 
ela representa a tolerância {M = ±20%, 
K = ±10%,
�5%, G = ±2%, F = ±1%)
. 
O Código de Cores em Capacitor
es
É usado principalmente para capacitar
es de poliéster. Os números do
1o são os mesmos usados 
para o código de cores de resistores. 
• 
Primeiro digito 
Segundo dlglto 
. Número de zeros 
Toler&ncia 
MáxJmaTens&o 
Tolerância: Preto{± 20%), Branco{± 10
%), Verde {± 5%), Vermelho
{± 2%), Marrom {± 1 %). 
• Máxima Tensão: Marrom {100V), Ver
melho {250V), Amarelo
{400V)
Por exemplo: 1� Faixa {Amarelo), 2.à Faixa 
{Violeta), 3A Faixa {Laranja),
4.à Faixa {Preto), 5.à Faixa {Vermelho). 
Amareh=4, Violeta-= 7, Laranja=3, Preto
= 20%, Vermelho=200V
Valor Nominal =47000 pF=0,047µf
Circuito RC Série em CorrenteCont
ínua
O comportamento do circuito RC série 
alimentado por uma fonte de
tensão contínua é muito importante, já que os 
conceitos envolvidos serão de grande
utilidade no projeto de circuitos temporizados
. 
Carga do Capacltor
Se o capacitar for conectado a uma fonte 
de tensão contínua E através de
um resistor R, como na figura 5.3{a), ele lev
a um certo tempo para carregar 
totalmente. 
1,1 
1' 
1 
ElT 1 
_ _ J
c 
(a) Circuito aberto 
� 
l 
ETT � r
r
t=O 
'T cJ}
º 
(b) Circuito fechado
vA=O 
�1 
E T 
e J "c•E 
(c) Capacitor carregando (d) Capacitor carregado
Figura 5.3 · Circuito RC em C.C. 
Na figura 5.3(a), o capacitor encontra-se inicialmente descarregado.
No instante t=0, a chave é fechada, conforme a figura 5.3(b). De acordo com a 
segunda lei de Kirchhoff tem-se: 
vR(t)+vc(t) =E= constante 
Em t=0, o capacitor está descarregado, ou seja, V c(O) • O. Assim,
V
R
(O) • E.
Portanto, a corrente inicial é máxima e vale i(0) = 1 = ! 
Do ponto de vista físico, não existe corrente através do capacitor, mas uma 
movimentação de elétrons, como indica a figura 5.3(c). 
Como a carga q do capacitor começa a aumentar, a tensão no capacitor 
v
c
(t) também aumenta, diminuindo a tensão no resistor v
R
(t) e a corrente i(t) do
circuito. 
Após um determinado tempo, o capacitor carrega completamente com 
carga �áxima Q, fazendo com que sua tensão atinja o valor da fonte 
(V e "' E) e a corrente no circuito seja nula, como na figura 5.3(d). 
Ju&!.e.�ç:�!:,����iiel ; ·· · • .,. .. •• .,111: ... --..�, r -�" 
Conclui-se, portanto, que durante um certo intervalo de tempo, a tensão 
capacitor aumenta e a corrente no circuito diminui. Os gráficos da figura 5.4 
1stram o comportamento das tensões e da corrente no cir.cuito ao longo do . 
lp0• 
Vc, VR 
0,63.E 
t=t 
(a) Tensões 
l=i
(b) Corrente 
Figura 5.4 • Tensões e corrente num circuito RC em C.C. 
Como se vê pelos gráficos, a curva de v c(t) é uma exponencial crescente, 
enquanto v
R
(t) e i(t) são exponenciais decrescentes cujas expressões são: 
Carga do capacitor: 
Tensão no resistor: 
Corrente no circuito: 
,.,. 
LI l-
�- '
·."ti 
i:.�oR:C 
it·;,i·:�)j:{
/·�·, j' 
AnAÍlsA ele CircUitos C�pacitivos 107
1 .,/ 
; � �· ,, 
1' 
Observação: 
• Nestas expressões e é o algarismo neperiano e vale aproxima­
damente 2,718.
Pelas expressões percebe-se que quanto maior o valor do resistor e do 
capacitor, mais tempo leva para que o capacitor carregue totalmente. A medida da 
velocidade de crescimento da tensão no capacitor é dada pela constante de 
tempo t (letra grega tau) do circuito, definida como : 
Sendo : 
1 -r � R.C
.1 
R ⇒ resistência em ohm (QJ 
C ⇒ capacitância em farad (F]
-r => constante de tempo em segundo (si
Na expressão de vc(t), considerando t = t = R.C, obtém-se: 
vc (-t) = E. ( 1- e ·1J = 0,63.E 
Isto significa que, passado um tempo t igual a uma constante de tempo -r, 
a tensão no capacitar atinge aproximadamente 63% da tensão da fonte E. 
Na expressão de vc(t), considerando o tempo dado em constantes de 
tempo 't', o gráfico da carga do capacitar fica como o da figura 5.5.
Vc (1) 
0,9 
0,8 
0,7. 
0,63 0,6., 
·�
--
1 
. / 
V 
/ 
/ 
/ 
--
Deste gráfico conclui-se que, do 
ponto de vista prático, o capacitor 
pode
considerado totalmente 
carregado, ou seja, Vc ;; E , 
passado um tempo
� 2 4., au t 
> 4. R. C, pois nesta condição a 
sua tensão é maio< que 98% da 
tensão
t-da fonte. 
Estando o capacitar totalmente 
carregado, com V e = E, e desli
gando a
fonte de tensão , ele 
permanece neste estado por muit
o tempo, já que a resistência
do dielétrico é muito 
elevada (isolante). Assim, a desca
rga só pode ocorrer caso haja
resistência de fuga entre 
as placas do capacitor, ou se no 
lugar da fonte for colocado
um fio, curto-circuitando os 
terminais do resistor e do capa
citor. 
Considerando este último caso, 
como na figura 5.6(a), inicialm
ente o 
capacitar encontra-se com v c(O) 
= E. O mesmo ocorre com o res
istor, porém com
polaridade ·invertida, ou seja, V R
(O) = - E. 
t=O 
E 
e }•
E
(a) Circuito
Vc, VM 
E: 
0,37.E 
o 
: /
I 
0,5.1 
0,4.E 
0,3.E 
0,2.E 
0,1.E 
t 1 
(t) IJI -E 
o 05 ; � � á 5 6 ► 
108 
Figura 5.5 · Carga do capacitor em /unção de f. 
li. (b) Tensões 
�----
1 l 
,, 
"' 
,l, 
íl 
'11
1 
11 
li 
-�
'1 
-t=t 
(e) Corrente 
Figura 5.6 • Descarga do capacitor. 
Assim, o capacitor descarrega pelo resistor com a mesma constante de 
tempo 't =· R. C , até que, passado um tempo t � 4. 't ou t � 4. R. C , ele pode ser 
considerado totalmente descarregado, como mostra a figura 5.6(b). Observe que a 
curva da tensão no resistor tem o mesmo aspecto que a do capacitor, mas sua 
polaridade é contrária. 
Com a corrente acontece algo semelhante, como se vê pela figura 5.6{c). 
Inicialmente ela é máxima, mas no sentido contrário ao da carga do capacitar. 
Conforme diminui a tensão no capacitor e no resistor, sua intensidade também 
diminui até zerar. 
As expressões das tensões e corrente no circuito, durante a descarga do 
capacitor, são as seguintes: 
11n 
Desca,ga do capac;tocc j_vc(t): E:e;Jf.C_ 1 
- t
Tensão no resistor: LYR(t) = -E.e RC, 
·.: ,. -"1
Corrente no circuito: . 
E __ t_ 
1(t),:::;, --.-.e R.CR 
1 
OU"' i(t)=>:.!.f.e-R.C 
': . .... ! ........ ,._ ,. ·-· :t t\ ,,�,,.;, •• , ... 
,: 
-No �uito seguinte, c
onsiderando que o cap
acitor encontra-se inicial-
descarregado
, determinar: 
1·17 
----- lµF 
10v 
a) Constante de tempo 
do circuito 
't = R.C = 1.10
3 .l.10-6 = lms
b) Com a chave na po
sição 2, ex?ressões de vc{
t), vR(t) 
e i(t)
Carga do capacitor, v
c(t) = E-ll - .
-
.'e)= 10.(1 _ ;¾,) (VI
Tensão no resistor:
t 
t 
-- -�3 
vR {t) = 
E.e R.C = 10.e 1
0· (V)
1 t 
I I 
E -- 1 O -� 
---::r 
Corrente no circuito: i(
t) :::; -.e R.C = 
�-e 10 = 10.e 
10 (mA)
·
R 10 
e) Após t = 10. 't, com a 
chave na posição 3, ex
pressões de vc(t), vR(t) 
e i{t) 
Passado o tempo t== 1 O. 't, 
pode-se considerar que 
o capadtor encontra-
-se totalmente carregado 
com Vc ==E== lOV. Po
rtanto: 
t 
t 
Descarga do capacitor: v
c( t ) = E.e-R.C = 
10.e-W (V)
1 t -- -----::i 
Tensão no resistor: vR(t) 
= -E.e R.C = -10.e 
10 {V) 
t t 
t 
E ·- 10 
-- ·-
Corrente no circuito: i(t) = 
- -. e R.C = - �. e 1
0·3 = -1 O. e 10·
3 (mA)
R 10 -t, 
--
... --�-� .......
. l;,..J 
. ' . , •• -.A. 
,... ••- _ f'\ .,._,..,..;ti,,nr 111 
l•t1! 
l/1 
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', 1
l ,
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11111 11 1' H 
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11; 
'1 1,
.1 ''I11 
i 
'I 
1·,
11 
li 
1 
1 
vcfVJ 
d) Esboço da curva devcM-, baseado nos itens (b) e (c)
0.98.� 1 -------------
0.63'.E 
0.37.E 
0.02..E 
ChbYe 
em2 
1_ _____ i 1 ---· 
2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 13 14 
Chave 
cm3 
5.2 - Capacitor em Corrente Alternada 
O tópico anterior mostrou que, quando uma corrente contínua é aplicada 
a um capacitor, a tensão leva um certo tempo para atingir o valor máximo. 
Portanto, no capacitar, a corrente está adiantada em relação à tensão. 
Se a tensão aplicada a um capacitor é senoidal, a corrente (também 
senoidal) fica adiantada de 90° em relação à tensão. 
A figura 5. 7 mostra o diagrama fasorial e as formas de onda da tensão 
e da corrente num capacitar, considerando que a tensão aplicada tem fase inicial 
nula (8
0 
= Oº).
i+ 
v, i 
� 
,90" V 
e 
(a) Circuito (b) Diagrama /OtJorial
112 
v,I 
ti � �· � · 1 n I l, 1 1 ;( 1 /
V 1 'i � "'1 
9(f' "" 1 1 • ! 270" 
360° 
1 
,, ----------- ,,. 
(e) Formas de onda 
Figura 5. 7 - Corrente e
 tensão senoidais n
um capacitar. 
Neste caso: 
1. v(t) = v •. senOJt OU V= Vp l.2: J 
1 i(I) = 1 •. sen(OJt + 90°) _ ou i � I, l2Q: \
Reatãncia Capacitiva Xc
A medida da oposição que o capacito
r oferece à variação da corrente é
la pela sua reatância capacitiva Xc
· 
O valor (em mód1,1lo) da reatânc
ia capacitiva é inversamente
·oporcional à capacitância C e à freqü
ência f da corrente {ou de sua freqüên
cia
1gular m), o qual é calculado