apostila desenho

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA 
 
GEOMETRIA DESCRITIVA 
 
2 
 
GEOMETRIA MÉTRICA E ESPACIAL 
 
 
 
3 
 
 
 
4 
 
 
 
5 
 
 
6 
 
 
7 
 
 
8 
 
 
9 
 
 
10 
 
 
11 
 
 
12 
 
 
13 
 
 
 
14 
 
 
 
15 
 
 
 
16 
 
 
17 
 
 
18 
 
 
 
19 
 
SISTEMAS DE PROJEÇÃO 
Conforme o que foi exposto anteriormente, o estudo da Geometria Descritiva está 
baseado na projeção de objetos em planos. O conceito de projeção pode ser entendido com a 
utilização de exemplos do cotidiano, uma vez que se trata de um fenômeno físico que ocorre 
na natureza e que pode ser reproduzido pelo ser humano. Por exemplo, a sombra de um 
objeto nada mais é do que a projeção desse objeto sobre uma superfície, sob a ação de raios 
luminosos. Da mesma forma, as sucessivas imagens projetadas em uma tela de cinema são 
resultado da incidência de um feixe de luz sobre as imagens contidas em uma película. 
Um sistema de projeção é constituído por cinco elementos: o objeto ou ponto objetivo, a 
projeção, o centro de projeção, as projetantes e o plano de projeção. Do centro de projeção 
partem as projetantes, que passam pelos pontos objetivo e interceptam o plano de 
projeção. Os pontos onde as projetantes interceptam o plano de projeção correspondem às 
projeções dos pontos objetivo. 
Quando o centro de projeção está situado a uma distância finita do objeto, as 
projetantes são divergentes, dando origem à chamada projeção cônica ou central (Figura 1.9). 
 
 
 
 
Ao contrário, quando o centro de projeção está localizado a uma distância infinita do 
objeto, as projetantes são paralelas entre si e, neste caso, tem-se a projeção cilíndrica ou 
paralela (Figura 1.10). 
 
20 
 
 
 Projeção cilíndrica oblíqua 
 
Por outro lado, quando a direção das projetantes é perpendicular ao plano de projeção, 
temos a projeção cilíndrica ortogonal (Figura 1.11) 
 
 
 
 
Para que a forma e as dimensões de um objeto sejam compreendidas de modo 
satisfatório, é necessário que as dimensões da projeção correspondam às dimensões reais do 
objeto. Ou seja, o objeto deve ser representado em sua verdadeira grandeza (VG). Contudo, 
quando o objeto não é paralelo ao plano de projeção, ele não é projetado em VG em nenhum 
dos três sistemas de projeção apresentados (Figura 1.12). 
 
 
21 
 
 
 
Se, por outro lado, o objeto for paralelo ao plano de projeção, têm-se as seguintes situações: 
1. No Sistema de Projeções Cônicas, as dimensões da projeção não correspondem às 
dimensões reais do objeto (Figura 1.13(a)). Ou seja, o objeto não é representado em VG. 
2. No Sistema de Projeções Cilíndricas Oblíquas, o objeto é representado em VG, mas 
como o ângulo das projetantes com o plano de projeção pode assumir qualquer valor, a 
projeção pode se localizar em muitas posições diferentes (Figura 1.13(b)). 
3. No Sistema de Projeções Cilíndricas Ortogonais, o objeto também é representado em VG e, 
além disso, há somente uma posição em que a projeção pode se localizar, uma vez que as 
projetantes só podem assumir uma direção (Figura 1.13(c)). Por esse motivo, o sistema mais 
utilizado em Geometria Descritiva e em Desenho Técnico é o Sistema de Projeções Cilíndricas 
Ortogonais. 
 
 
 
MÉTODO DA DUPLA PROJEÇÃO DE MONGE 
Para se definir a forma e a posição de um objeto no espaço de forma satisfatória utilizando-se 
um sistema de projeções, uma só projeção não é suficiente. Assim, na Geometria 
Descritiva clássica, são utilizados dois planos de projeção para se representar um objeto, 
sendo que o sistema de projeção adotado é o Sistema de Projeções Cilíndricas Ortogonais. 
O método da dupla projeção de Monge, no qual toda a Geometria Descritiva clássica está 
baseada, consiste em se determinar duas projeções ortogonais do objeto sobre dois planos 
perpendiculares entre si, o plano horizontal de projeção ( ) e o plano vertical de projeção ( '
22 
 
). Esses dois planos dividem o espaço em quatro regiões, denominadas diedros, e se 
interceptam segundo uma linha chamada linha de terra (Figura 1.14). Os dois planos de 
projeção definem, ainda, quatro semiplanos: horizontal anterior ( A ), horizontal posterior (
P ), vertical superior ( S' ) e vertical inferior ( I' ) (Figura 1.15). 
 
 
Qualquer objeto, quando representado no sistema mongeano, possuirá duas projeções, 
uma no plano horizontal de projeção e outra no plano vertical de projeção (Figura 1.16). A 
projeção do objeto sobre o plano ( ) é chamada de projeção horizontal e a projeção 
sobre o plano ( ’) é denominada projeção vertical. Por convenção, considera-se que o 
centro de projeção que dá origem à projeção horizontal está localizado acima do plano 
horizontal ( ), a uma distância infinita, enquanto o relativo à projeção vertical está localizado 
na frente do plano vertical ( '), também a uma distância infinita. 
Rebatendo-se o plano horizontal ( ) sobre o vertical ( '), ou vice-versa, é possível 
representar uma figura do espaço tridimensional em um único plano. Assim, pode-se rebater o 
plano ( ) sobre o plano ( '), girando de 90° o plano ( ) em torno da linha de terra, no 
sentido horário, fazendo com que os dois planos de projeção fiquem em coincidência, 
obtendo-se o que se chama de épura (Figura 1.17). A épura possibilita, portanto, a 
representação de um objeto tridimensional em um espaço bidimensional, a folha de papel, 
tornando possível a resolução de inúmeros problemas geométricos. 
23 
 
 
 
PROJEÇÕES DO PONTO 
No sistema mongeano, um ponto possuirá sempre duas projeções: a horizontal e a 
vertical. Conhecendo-se essas projeções, é possível determinar a posição do ponto no espaço. 
Por convenção, de modo a facilitar o estudo, todo ponto situado no espaço deve ser 
designado por uma letra maiúscula entre parênteses. Já as projeções desse ponto, situadas 
sobre os respectivos planos de projeção, devem ser designadas pela mesma letra 
maiúscula, porém sem parênteses, e a projeção vertical deve ser seguida por um apóstrofo 
(Figura 2.1). 
Procedendo-se ao rebatimento do plano horizontal sobre o vertical, obtém-se a épura 
do ponto (Figura 2.2). Na épura, as duas projeções de um ponto devem estar ligadas por uma 
linha denominada linha de chamada, que deverá ser sempre perpendicular à linha de terra. 
 
 
24 
 
A distância de um determinado ponto a cada um dos planos de projeção recebe um 
nome característico: a distância de um ponto ao plano vertical de projeção é denominada 
afastamento, enquanto a distância deste ponto ao plano horizontal de projeção é chamada de 
cota. O afastamento é positivo quando o ponto está na frente do plano vertical de projeção e 
negativo quando o ponto está atrás deste plano. A cota é positiva quando o ponto situa-se 
acima do plano horizontal de projeção e negativa quando o ponto está abaixo deste plano. 
O conhecimento da cota e do afastamento de um ponto não é suficiente para que um ponto 
seja individualizado. Como se trata de um sistema tridimensional, é necessário incluir 
mais uma coordenada para que a posição do ponto fique bem definida. Assim, inclui-se 
uma terceira coordenada, a abscissa, tomada sobre a linha de terra a partir de um ponto 
“O”, considerado origem, e marcado arbitrariamente sobre esta linha (Figura 2.3). À direita 
deste ponto, a abscissa é positiva; à esquerda, é negativa. 
Em épura, se o afastamento for positivo, a projeção horizontal do ponto estará abaixo da linha 
de terra e, se for negativo, esta projeção estará acima da linha de terra. Por outro lado, 
quando a cota for positiva, a projeção vertical do ponto estará acima da linha deterra e, se 
for negativa, estará abaixo da linha de terra. Ainda com relação à épura, se o ponto estiver à 
direita da origem, a abscissa será positiva, e se o ponto estiver à esquerda da origem, a 
abscissa será negativa. Na Figura 2.4, tem-se a épura correspondente ao ponto 
representado na Figura 2.3, na qual se percebe que o ponto possui abscissa, 
afastamento e cota positivos. 
 
 
As três coordenadas descritas constituem as chamadas coordenadas descritivas do 
ponto, e são apresentadas sempre em ordem alfabética: abscissa (x), afastamento (y) e 
cota (z). Assim, para um determinado ponto (P), a indicação das coordenadas é feita da 
seguinte maneira: (P)[ x ; y ; z ]. 
 
Exemplos: 
25 
 
1) representar os pontos (A), (B) e (C) na épura abaixo, conhecendo-se as suas coordenadas 
(em mm) e a sua posição no espaço. 
Dados: (A)[ 0 ; 20 ; 20 ], (B)[ -10 ; 10 ; -20 ] e (C)[ 10 ; -30 ; 20 ]. 
 
 
2) representar os pontos (D), (E) e (F) no diedro e na épura e informar a sua posição no espaço. 
Dados: 
(D)[ 10 ; 20 ; 10 ], (E)[ 20 ; -10 ; 20 ], (F)[ -10 ; 30 ; -20 ] e (G) [ 10 ; 0 ; 20 ]. 
 
No quadro a seguir são apresentadas as perspectivas e as épuras correspondentes a cada um 
dos nove casos possíveis. 
Quadro 2.2 – Posições particulares do ponto 
 
26 
 
 
27 
 
 
 
Exemplo: 
1) Indicar as posições dos pontos (J), (K), (L), (M), (N), (O) e (P) em relação aos planos de 
projeção, conhecendo-se as suas projeções dadas na épura abaixo. 
 
 
28 
 
Exercício 
2) Representar uma épura com os pontos (A), (B) e (C), conhecendo-se as suas posições 
no espaço conforme a figura abaixo. Considere as medidas do papel milimetrado: 
 
 
3) Representar os pontos (D), (E), (F), (G), (H), (I), (J), (K) e (L) no espaço e informar a 
sua posição, conhecendo-se as suas representações em épura conforme a figura abaixo: 
 
 
Para a resolução desse exercício, representar cada ponto em um desenho separado, 
desenhando-se os planos de projeção em perspectiva com as seguintes dimensões: 
 
 
 
 
29 
 
 
POSIÇÕES PARTICULARES DAS RETAS EM RELAÇÃO AOS PLANOS DE PROJEÇÃO 
I - Reta Fronto-horizontal (ou Horizontal de Frente) 
A reta Fronto-horizontal caracteriza-se por ser paralela aos dois planos de projeção, ( ) e (
 ’), e por possuir pontos com afastamento e cota constantes. Em épura, as suas duas 
projeções são paralelas à linha de terra e aparecem em verdadeira grandeza (Figura 3.5). 
 
 
 
30 
 
A reta Fronto-horizontal pode estar localizada em nove diferentes posições em relação aos 
planos de projeção, conforme o Quadro 3.1. 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
 
II - Reta de Topo 
A reta de Topo caracteriza-se por ser perpendicular ao plano vertical de projeção ( ’) e 
paralela ao plano horizontal de projeção ( ), e por possuir pontos com mesma abscissa e 
mesma cota. Em épura, a sua projeção vertical é reduzida a um ponto, enquanto a projeção 
horizontal, perpendicular à linha de terra, aparece em verdadeira grandeza (Figura 3.6). 
32 
 
 
No Quadro 3.2 tem-se uma análise das posições que um segmento de reta de Topo pode 
assumir em relação aos planos de projeção. 
 
 
33 
 
 
 
III - Reta Vertical 
A reta Vertical é paralela ao plano vertical de projeção ( ’) e perpendicular ao plano 
horizontal de projeção ( ), possuindo pontos com mesma abscissa e mesmo 
afastamento. Em épura, a sua projeção horizontal é reduzida a um ponto, enquanto a 
projeção vertical, perpendicular à linha de terra, aparece em verdadeira grandeza (Figura 3.7). 
No Quadro 3.3 apresenta-se uma análise das posições que um segmento de reta 
Vertical pode assumir em relação aos planos de projeção. 
 
34 
 
 
 
 
35 
 
 
 
IV - Reta Horizontal ou Reta de Nível 
A reta Horizontal caracteriza-se por ser paralela ao plano horizontal de projeção ( ) e oblíqua 
ao plano vertical de projeção ( ’), possuindo pontos com cota constante. Em épura, 
apresenta projeção vertical paralela à linha de terra, enquanto a sua projeção horizontal, 
oblíqua à linha de terra, aparece em verdadeira grandeza (Figura 3.8). 
 
 
36 
 
 
Reta Frontal ou Reta de Frente 
A reta Frontal caracteriza-se por ser oblíqua ao plano horizontal de projeção ( ) e paralela ao 
plano vertical de projeção ( ’), possuindo pontos com afastamento constante. Em épura, 
apresenta projeção horizontal paralela à linha de terra, enquanto a sua projeção vertical, 
oblíqua à linha de terra, aparece em verdadeira grandeza (Figura 3.9). 
No quadro 3.5 são apresentadas as diferentes posições que um segmento de reta 
Frontal pode assumir em relação aos planos de projeção. 
37 
 
 
 
 
38 
 
 
 
VI - Reta de Perfil 
A reta de Perfil é oblíqua aos dois planos de projeção e ortogonal à linha de terra, possuindo 
todos os pontos na mesma abscissa. Assim, todos os pontos de uma reta de Perfil 
encontram-se num plano perpendicular aos dois planos de projeção, denominado plano de 
Perfil. Na Figura 3.10, o plano ( ), que contém a reta de Perfil (A)(B), é o plano de Perfil que 
contém esta reta. Na épura correspondente, percebe-se que as suas duas projeções de uma 
reta de Perfil são perpendiculares à linha de terra. 
 
 
39 
 
VII - Reta de Genérica ou Qualquer 
A reta Qualquer é oblíqua aos dois planos de projeção e à linha de terra, possuindo pontos 
com abscissa, afastamento e cota diferentes. Em épura, as suas duas projeções são 
oblíquas à linha de terra (Figura 3.11). 
 
 
 
 
Exercício 
01) Representar as retas (A)(B), (C)(D), (E)(F), (G)(H), (I)(J), (K)(L) e (M)(N) no espaço e 
em épura, classificando-as quanto à sua posição em relação aos planos de projeção. Dados: 
(A) [ 10 ; 20 ; 10 ] (B) [ 30 ; 10 ; 30 ] (C) [ -30 ; -20 ; -20 ] (D) [ 0 ; -20 ; 30 ] 
(E) [ 20 ; 10 ; 10 ] (F) [ 20 ; 30 ; -20 ] (G) [ 0 ; 10 ; 20 ] (H) [ 30 ; 10 ; 20 ] 
(I) [ -10 ; 10 ; -20 ] (J) [ 20 ; 20 ; -20 ] (K) [ 20 ; 10 ; 10 ] (L) [ 20 ; 10 ; 30 ] 
(M) [ 10 ; 10 ; 20 ] (N) [ 10 ; 30 ; 20 ] 
Na resolução desse exercício, representar cada reta no espaço em um desenho 
separado, desenhando-se os planos de projeção em perspectiva com as seguintes dimensões: 
40 
 
 
 
Projeção de uma peça no primeiro diedro e rebatimento dos planos 
 
Como os sólidos são constituídos de várias superfícies, as projeções ortogonais são 
utilizadas para representar as formas tridimensionais através de figuras planas. 
Na prática usaremos um número de vistas que seja suficiente para representar a peça, sendo 
que no mínimo, terão que ser usado duas vistas, pois a peça tem três dimensões e 
cada vista duas dimensões. 
Veja na figura ao lado alguns casos: três sólidos sendo projetados nos planos vertical e 
horizontal, ou seja, suas respectivas vistas: frontal e superior, são suficientes para representar 
cada um dos sólidos. 
Estudaremos agora passo a passo às projeções de uma peça no primeiro diedro. 
Vista de frente 
 A vista de frente é a projeção vertical do objeto. Nesta vista é considerada sua face 
anterior. É ela a principal vista da peça, devendo ser escolhida a que mais mostra detalhes e ou 
de maior dimensão no sentido horizontal. Veja o exemplo abaixo: 
 
 
41 
 
Vista superior ou de cima 
A vista superior é a projeção horizontal do objetivo e representa sua face superior. Uma vez 
definida a vista frontal o observador olha para a peça de uma outra direção (de cima para 
baixo). Desta forma a vista superior se posicionará sempre abaixo da frontal (primeiro diedro). 
 
 
Plano de perfil 
 Para facilitar a interpretação da forma de um objeto, recorre-se a um terceiro plano de 
projeção, perpendicular simultaneamente ao horizontale ao vertical – o plano de perfil. Para 
esta terceira vista, a localização do plano de perfil é arbitrária; no entanto, a princípio, supõe-
se que esteja situado à direita do objeto e que o observador olhe da esquerda para a 
direita, o que teremos é uma vista lateral esquerda. 
Vista lateral esquerda 
 A vista lateral esquerda é a projeção ortogonal doobjeto em um plano de perfil, sendo o 
sentido de observação da esquerda para a direita. Na execução da épura, faz-se o 
rebatimento do plano de perfil sobre o plano vertical, de modo que a vista lateral esquerda se 
localiza à direita da vista de frente. A vista lateral pode ser obtida, com uso do compasso, 
descrevendo o giro de 90° do plano de perfil, com uso das linhas de chamada ou pelo artifício 
da oblíqua de 45°, como mostramos nas figuras abaixo: 
 
42 
 
 
 
Como estamos trabalhando no primeiro diedro, eliminam-se as linhas de extensão e 
plano de perfil assim como as linhas de chamadas, mantendo-se as posições relativas 
conforme mostramos abaixo. 
 
 
43 
 
Vamos praticar 
Exercício 
Dadas as perspectivas isométricas abaixo, faça a representação das vistas frontal, 
superior e lateral de cada uma das alternativas abaixo, respeitando as proporções das 
peças. Considere o intervalo de medidas sendo 10 mm. 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
e) 
 
 
f) 
 
 
g) 
 
 
h) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
2) Construa as peças acima, considerando o intervalo de medida como 20 mm. Faça 
cada peça em uma folha separada. 
 
 
Poliedros Convexos 
 
 
 
Poliedros não convexos 
 
 
Relação de Euler 
 
https://yougotmath.wordpress.com/2011/11/10/acciones-de-grupo-en-la-esfera-de-riemann/
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=x-raw-image:///5de78b4fe02cc886612f0c7d167bfb3e0b425ba4d853c09888138c7aa2a17939&imgrefurl=http://www.cecb.edu.br/index.php/simbolo/doc_download/4734-poliedros.html&h=347&w=452&tbnid=hsgs4E-L510D_M:&docid=uETTRXGYXiRFvM&hl=pt-BR&ei=jMQZVp_UAcuewgTn7afADw&tbm=isch&ved=0CE8QMygdMB1qFQoTCJ_KxvqqucgCFUuPkAod5_YJ-A
46 
 
Para todo poliedro convexo vale a relação abaixo: 
V + F = A + 2 
V = número de vértices 
F = número de faces 
A = número de arestas 
 
OBS: Existem poliedros não convexos que satisfazem a relação de Euler. 
Dessa forma podemos afirmar que: 
 
Todo poliedro convexo é euleriano, mas nem todo poliedro euleriano é convexo. 
 
Exemplo: 
1) 
 
 
2) 
 
 
 
 
V = 6 
F = 6 
A = 10 
V + F = A + 2 
6 + 6 = 10 + 2 
V = 12 
F = 8 
A = 18 
V + F = A + 2 
12 + 8 = 18 + 2 
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRxqFQoTCLyM4M-sucgCFYgjkAodPtkOAQ&url=http://tudodeconcursosevestibulares.blogspot.com/2012/12/uma-cuja-base-e-um-qualquer-e-cujas.html&psig=AFQjCNG-fX9hRDoMWJd0Nv8LdpYgWC46YQ&ust=1444615692372021
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRxqFQoTCP6SjJ2tucgCFcR9kAodLHwJ3w&url=http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial7.php&psig=AFQjCNG-fX9hRDoMWJd0Nv8LdpYgWC46YQ&ust=1444615692372021
47 
 
3) 
 
 
 
Elementos de um sólido 
 
 
 
V = 16 
F = 16 
A = 32 
V + F = A + 2 
16 + 16 ≠ 32 + 2 
 
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRxqFQoTCJf6vauvucgCFcSSkAodQr4DEg&url=http://www.fc.up.pt/cmup/pick/Manhas/Modulo3PolidrosEuler.html&psig=AFQjCNG-fX9hRDoMWJd0Nv8LdpYgWC46YQ&ust=1444615692372021
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRxqFQoTCKehncOwucgCFQkXkAodPaAPEA&url=http://www.portalseep.netau.net/edificacoes/des-tec/dt-teoria_e_vistas.php&psig=AFQjCNGJgHwDzpEc53h-wwnTd8zdEft8PA&ust=1444617165797290
48 
 
 
 
Tronco de Pirâmide 
 
 
 
Exemplo 
Determine o número de arestas e vértices de um poliedro convexo de 20 faces das 
quais 11 são triangulares, 2 quadrangulares e 7 pentagonais. 
Calculemos o número de arestas: 
- nas 11 faces triangulares temos: 11 x 3 = 33 arestas 
- nas 2 faces quadrangulares temos: 2 x 4 = 8 arestas 
- nas 7 faces pentagonais temos 7 x 5 = 35 arestas 
Altura 
Apótema da lateral 
Apótema da base 
https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRxqFQoTCJLt5eSwucgCFUhCkAodA8oBwQ&url=https://pt.wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A2mide&psig=AFQjCNGJgHwDzpEc53h-wwnTd8zdEft8PA&ust=1444617165797290
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRxqFQoTCJ6MpPSyucgCFcJ_kAodmJwP2w&url=http://soumaisenem.com.br/matematica/conhecimentos-geometricos/piramides&psig=AFQjCNEthHTXFG-eQXM4PLrsFu510Exfsg&ust=1444617766824717
49 
 
Como cada aresta é comum a duas faces, então no total obtido, cada aresta foi 
contada duas vezes. Logo 
A = (33 + 8 + 35) : 2 = 76 : 2 = 38 
Como F = 20, pela relação de Euler temos: 
V + F = A + 2 V + 20 = 38 + 2 V = 40 – 20 V = 20 
 
Exercícios 
1) Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces 
triangulares, 1 face quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonal. 
2) Num poliedro convexo o número de arestas excede o de vértices de 6 
unidades. Calcule o número de faces desse poliedro. 
3) Um poliedro convexo apresenta apenas faces quadrangulares e triangulares. 
Sabe-se que o número de faces quadrangulares é 5 e que o número de arestas 
é o quádruplo do número de faces triangulares. Quantas faces tem esse 
poliedro? 
4) Um poliedro convexo tem 11 vértices, 1 face pentagonal e o número de faces 
triangulares igual a número de faces quadrangulares. Calcule o número de 
faces desse poliedro. 
5) Calcule o número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares de 
um poliedro convexo que tem 20 arestas e 10 vértices. 
6) O “cubo-octaedro” possui 6 faces quadradas e 8 faces triangulares. Determine 
o número de faces, arestas e vértices desse sólido que é euleriano.