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Aula 04
Escoamento de fluidos:
propriedades reológicas, fluidos
newtonianos e não-newtonianos.
TA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS I
2
A Reologia é a ciência que estuda a deformação e
o escoamento de corpos
Do grego: Reus: Escoamento; Logos: Estudo
Sólidos ideais: se deformam elasticamente; quando a
energia requerida para deformação é removida o
corpo volta à sua forma original.
Fluidos ideais: se deformam irreversivelmente (fluem); a
energia requerida é dissipada sob a forma de calor
e não é recuperada pela remoção da tensão.
Corpos reais: não se comportam como sólidos ideais!
Um sólido real se deforma irreversivelmente; ex.:
trefilação de fio de aço para redução de bitola.
Os corpos podem ser sólidos ou fluidos.
Entre os fluidos temos os líquidos e os gases.
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Sólidos: geralmente estuda-se a deformação elástica
do material. Ex.: elasticidade de queijos.
Líquidos: interessa conhecer os fenômenos físicos associados
com o escoamento (deformação plástica) de
produtos líquidos. Ex.: suco de fruta conc.
Gases: na indústria de produtos se usam
ar, CO2, CH4, nitrogênio,
gases de refrigeração.
4
 o projeto e para o cálculo de equipamentos
(bombas e tubulações, agitadores,
trocadores de calor, homogeneizadores,
extrusoras, etc);
Conhecer as propriedades reológicas
é importante para:
 o controle de qualidade de produto, tanto
nas etapas intermediárias da fabricação
como no produto final;
 a avaliação do shelf-life do produto.
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Conceitos fundamentais
Para esta disciplina, existe interesse no comportamento e nas
propriedades macroscópicas do fluido e não em seu
comportamento molecular.
Assim, o fluido será considerado como um meio contínuo de
matéria de acordo com o Postulado do Contínuo.
Então, as propriedades do fluido (v, P, ) são funções
contínuas, isto é, variam sem descontinuidade de ponto a
ponto do material.
Isto não é válido para gases a pressões muito baixas (vácuo),
pois o percurso livre médio das moléculas do gás pode superar
uma dimensão característica do sistema.
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Conceitos fundamentais
Condição de aderência: todo fluido em contato com um
sólido, adquire a velocidade deste.
v fluido = v sólido
O escoamento de um fluido corre em regime transiente até
alcançar o equilíbrio. Em regime laminar, existe aderência
das partículas à parte móvel.
Para gases rarefeitos, a condição de aderência parte do
princípio que todas as moléculas “percebem” a existência
de uma parede (choques entre moléculas).
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Considere um elemento de volume de
um fluido, com a forma de um cubo
e a resposta do fluido a
uma força externa aplicada.
Existem dois tipos básicos de tensão que podem ser
exercidas sobre esse elemento de volume:
Tensões normais: agem perpendicularmente à face do
cubo.
Tensões de cisalhamento: agem tangencialmente à face do
cubo.
Desenvolver-se-á uma força interna, agindo a partir dessa
área, que é denominada tensão ( yx ).
Conceitos fundamentais Tensãonormal Tensão de
cisalhamento
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Os conceitos de tensão de cisalhamento (força aplicada) e
taxa de deformação (gradiente de velocidade) são usados
para descrever a deformação e o escoamento do fluido.
h
v = 0
Força de
cisalhamento
v velocidade constante
da placa sólida deslizante
h distância curta
Fluxo de tensão no líquido ( yx ).
Área de ação
da tensão
Camadas de velocidade diferente (vx).
y
x
 yx = f (dvx /dy)
Perfil inicial de velocidades
no líquido: v = 0
Deformação: o perfil de
velocidades muda até
atingir um equilíbrio
Placa sólida móvel
Placa sólida fixa
Fluido
O gradiente de velocidade entre as camadas laminares gera
um fluxo de força mecânica (tensão de cisalhamento).
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1. Medição reológica baseada no cisalhamento
No caso de líquidos, a maior parte das medidas reológicas
são feitas com base na aplicação de tensões de
cisalhamento. A figura mostra o que ocorre quando uma
tensão de cisalhamento simples ( ) é aplicada a um líquido:
Força
Área
Perfil de
Velocidades (regime
permanente)
h
v = 0
v
10
A figura mostra um líquido viscoso mantido entre duas placas
paralelas sendo que a placa superior se move a uma
velocidade v relativa à placa inferior.
A tensão de cisalhamento
 yx = Ft /A produz um
gradiente de velocidade (dvx/dy) no
seio do fluido viscoso.
 yx  (dvx /dy) = μ (dvx /dy) = μ Ỳ
Modelo geral
 = o + k . Ỳ n
 yx = µ . Ỳ
Lei de Newton
µ = (F/A) / (L/T/L)=M/L.Ø
µ = (kg/ms2) / (1/s) = kg/m.s
Existe uma proporcionalidade entre o gradiente de velocidade
(dvx /dy) e a tensão de cisalhamento (  yx ).
Força
Área
Perfil de
velocidades
h
v = 0
v
Ỳ = taxa de deformação
Dimensão e unidade SI da viscosidade:
K = índice de consistência (Pa.sn )
n = índice de comportamento do fluido
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Situação Taxa de
deformação
(s-1)
Aplicação
Sedimentação de
partículas em
líquido
10-6-10-3 Medicamentos, tintas,
molhos de saladas
Nivelamento devido
à tensão superficial
10-2-10-1 Cobertura de bolo, tintas,
tintas de impressora
Drenagem sob
gravidade
10-1-101 Pequenos recipientes de
produtos, tintura e
cobertura
Extrusão 100-103 Snacks, comida de
cachorro, pasta de dente,
massas
Taxas de deformação típicas de processos
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Calandrar 101-102 Estiramento do glúten
Derramar de uma
garrafa
101-102 produtos, cosméticos,
artigos de toalete
Cortar produtos 101-102 Mastigar
Recobrimento por
imersão
101-102 Tintas, confeitaria
Mistura e agitação 101-103 Processamento geral
Escoamento em
tubos
100-103 Processamento de
produtos
Esfregar 102-104 Aplicação de cremes
Escovar 103 -104 Descascar, raspar
Situação Taxa de
deformação
(s-1)
Aplicação
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2. Classificação dos fluídos líquidos
Fluidos
líquidos
Independentes
do tempo
Dependentes
do tempo
Outros
Newtonianos
Pseudo-plásticos
Bingham
Herschel-Bulkley
Tixotrópicos
Reopécticos
Viscoelásticos
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 = μ . Ỳ
2.1. Fluidos newtonianos
Onde:  = tensão de cisalhamento (Pa)
μ = viscosidade newtoniana (Pa.s)
Ỳ = taxa de deformação (s-1 )
Neste caso, a viscosidade é independente da taxa
de deformação a que o fluido está submetido. Um
fluido newtoniano mostra um único valor de
viscosidade a uma dada temperatura. Exemplos:
óleos vegetais, água, soluções açucaradas.
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2.2. Fluídos não-newtonianos
A maioria dos produtos de interesse industrial mostram
uma relação mais complicada entre a taxa de deformação
e a tensão de cisalhamento. Não se pode falar em termos
de viscosidade, porque esta propriedade passaria a variar
com a taxa de deformação. Todavia, as vezes se usa o
termo viscosidade aparente (μa).
Os fluidos não-newtonianos se classificam de acordo a suas
propriedades físicas, que podem:
1. Ser independentes do tempo de cisalhamento
2. Ser dependentes do tempo de cisalhamento
3. Exibir características de sólido
 = μa . Ỳ
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2.2.1. Fluidos não-newtonianos e independentes do tempo
Comportamento reológico dos principais tipos de fluidos.
Equação mais geral
 = o + k . Ỳ n
 yx = µ (dvx /dy)
Ỳ: Taxa de deformação

yx
:T
en
sã
o 
de
 c
is
al
ha
m
en
to
n>1
n<1
n=1
n=1
n<1
 0
17
Fenômenos que acontecem com o deslocamento do fluído:
a. Orientação de partículas:
típico em polpas de frutas e vegetais.
b. Estiramento:
soluções macromoleculares, com
grande quantidade de espessantes:
caldas, produtos com substituição de
gordura.
c. Deformação de gotas:
emulsões, onde existe uma fase
dispersa em uma fase contínua:
maionese, molho de saladas,
chantilly, etc.
d. Destruição de agregados:
na homogeneização de produtos.
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Na maioria dos produtos o comportamento reológico é
independente do tempo. Este tipo de fluidos se classifica em
duas categorias principais:
a) Fluidos que não necessitam de tensão de
cisalhamento inicial (o ) para escoar:
O modelo mais comum é aquele descrito pela lei da
potência ou equação de Ostwald de Waele:
K = índice de consistência (Pa.sn )
n = índice de comportamento do fluido
Podem ser classificados em pseudoplásticos e
dilatantes de acordo com o valor de n.
 = k.n.
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nk 
n
k



     nPass
m
N
s
m
N
k nn 






2
2
][
1
amFonde
r
v
A
F
k
n
x
n








 ,



   
 
  nnn sms
kg
s
mskg
m
s
m
m
s
mkg
k 











 2
2
2
2
1
   2 ns
m
kg
k
   nsm
kg
k 

2
Análise Dimensional de k
Mas, partindo das definições de tensão de cisalhamento e de
taxa de deformação, a análise dimensional resulta em uma
expressão diferente.
,ou seja, ,portanto,
ou
20
Fluidos pseudoplásticos:
Nesse caso, o valor de n é menor que 1.
Fluidos dilatantes:
O valor de n é maior que 1.
A viscosidade aparente decresce
com a taxa de deformação. A
maior parte dos produtos não-
newtonianos apresentam este
comportamento.
Encontrado em suspensões
concentradas de amido. Como a
viscosidade aparente cresce com
a taxa de deformação usam-se
bombas com deslocamento lento.
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b) Fluidos que necessitam de uma tensão
inicial (o ) para escoar:
 = o + μp.Ỳ
Plásticos de Bingham:
É o mais simples desta categoria.
Mostram relação linear entre tensão de cisalhamento e
taxa de deformação, após vencer a tensão de
cisalhamento inicial (o ).
Onde μp = viscosidade plástica (Pa.s)
Para  > o
Web Site: http://www.rpi.edu/dept/chem-eng/Biotech-Environ/RHEOS/rheos2.htm
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Fluidos Herschel-Bulkley:
Esses fluidos apresentam o comportamento do tipo lei da
potência com tensão de cisalhamento inicial. É o modelo
mais geral.
 = o + k . Ỳ n
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Fluidos tixotrópicos (afinantes):
Fluidos que possuem uma estrutura que é quebrada em
função do tempo e da taxa de deformação.
Fluidos reopécticos (espessantes):
Inclui poucos materiais que são capazes de desenvolver ou
rearranjar uma estrutura enquanto são submetidos a uma
tensão de cisalhamento.
2.2.2. Fluidos não-newtonianos e dependentes do tempo
Estes fluidos podem ser classificados em duas categorias:
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Tixotrópico
(Afinante)
Reopéctico
(espessante)
Ỳ

Estes produtos possuem uma estrutura que
muda em função do tempo. Este comportamento
é descrito pelo modelo de Tiu-Borger:
 = o - (o - e ) exp ( - kt )
t1
t2
t2
t1
t2>t1
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Os problemas que podem se apresentar são:
-Inchamento do fluido:
Um grande problema em extrusão e em enchedeiras
Muitos produtos mostram comportamento de sólido
(elasticidade) e de líquido (plasticidade). A determinação do
comportamento viscoelástico exige equipamentos caros que
se usam nos laboratórios de desenvolvimento de produtos.
-Escoamento de Weissemberg:
Ocorre na agitação de fluidos altamente viscoelásticos como
a massa de pão e biscoito. A altas taxas de deformação e as
tensões normais superam as tangenciais, invertendo o fluxo.
2.3. Fluídos viscoelásticos
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Importante: Os dois tipos de fenômenos viscoelásticos
podem ocorrer simultaneamente.
Vídeo do Youtube: http://www.youtube.com/watch?v=nX6GxoiCneY
Inchamento
do fluido
(efeito
“Barus”)
Efeito
“Weissenberg”
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3. Propriedades reológicas: dependência de
temperatura e pressão
Em fluidos lei da potência, o índice de consistência segue a
lei de Arrhenius, porém o valor de n é praticamente
constante com a temperatura, portanto:
ln µ = A – Ea/RT
ln K = ln k0 – Ea/RT
A viscosidade depende da temperatura. Essa correlação é
representada por uma equação do tipo Arrhenius:
Onde:
A = parâmetro de ajuste
Ea = energia de ativação para a viscosidade (J / kg.mol K)
R = constante universal dos gases (1,987 cal / g.mol K)
T = temperatura absoluta (K)
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Em alguns processamentos, os produtos
são submetidos a altas pressões,como é o
caso da extrusão. Nesse caso, a
viscosidade se relaciona com a pressão da
seguinte maneira:
Onde:
µ0 = viscosidade a uma pressão de referência
a = parâmetro de ajuste
µ = µ0 . eaP
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2100 = laminar
4. Critérios para determinar escoamento laminar
Em escoamento de fluidos newtonianos em tubos, o
número de Reynolds crítico é 2100. A partir desse valor, o
escoamento deixa de ser laminar e passa a ser turbulento.
<
Com fluidos lei da potência há regime laminar quando:
Re = Dvμ
2
1
4
Re
8 3 1
nn n
LP n
D v n
k n


       
 2
2100(4 2)(5 3)
Re Re
3(1 3 )LP LP crítico
n n
n
 
 

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Viscosímetros:
Baseiam-se na medida da resistência ao escoamento
em um tubo capilar ou pelo torque produzido pelo
movimento de um elemento através do fluido.
Existem 3 tipos principais: capilar, rotacional,
escoamento de esfera.
Reômetros:
Podem medir um grande intervalo de taxas de
deformação e construir reogramas completos que
incluem comportamento tixotrópico e ensaios
dinâmicos para a determinação das propriedades
viscoelásticas do material, além de poder programar
varreduras de temperatura.
5. Viscosimetria e Reometria
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5.1. Viscosímetros de tubo:
Podem ser divididos em 3 tipos:
5.1.1. Capilar de vidro:
Também chamado de viscosímetro do tubo em U.
Operam sob efeito da gravidade e são o melhor
instrumento para medir a viscosidade de fluidos
newtonianos. São feitos de vidro e podem ser encontrados
em diferentes formatos, sendo os modelos mais populares:
Cannon-Fenske, Ostwald e Ubbelohde.
Não se usam para medir características de fluidos não-
newtonianos porque a força motriz (a pressão hidrostática)
varia durante a descarga, e isso afeta a taxa de
deformação.
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A figura mostra esquematicamente
um viscosímetro de tubo capilar, do
tipo Cannon-Fenske.
Viscosímetro de Cannon-Fenske
Principio de operação:
O fluido a ser testado é colocado
no reservatório superior (V) a partir
do qual ele é descarregado através
de um tubo capilar (L) como
resultado da força motriz
(gravidade). É medido o tempo de
escoamento que normalmente está
entre 5 e 10 minutos.
33
5.1.2. Capilar de alta pressão:
São construídos em vidro (sem o formato em "U“) e são
tipicamente operados à gás ou a pistão.
5.1.3. Viscosímetro de tubo:
Fáceis de construir. Como força motriz pode-se usar gás
pressurizado a altas pressões como aquelas encontradas
em processamento asséptico de produtos. Permitem medir
os parâmetros reológicos de fluidos newtonianos e não-
newtonianos a tensões de cisalhamento muito altas (da
ordem de 106 Pa).
L
Q=m/t/ρ
P1
P2
D
válvula
válvula
Gás a pressão
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5.2. Viscosímetro de bola ou de Stokes:
Viscosímetro de bola
Princípio de operação:
Consiste de um tubo vertical ou inclinado, no qual uma bola
cai sob a força da gravidade. Essa bola alcança uma
velocidade limite quando a aceleração devido à força da
gravidade é exatamente compensada pelo atrito do fluido
sobre a bola. Mede-se então o tempo de escoamento da
bola entre dois pontos pré-determinados (∆L).
Aplicações:
útil na medida de
viscosidade de fluidos
newtonianos transparentes.
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Limitação:
Existem esferas de diferentes densidades (vidro de
2000 kg/m3 até aço inox de 8000 kg/m3 ).
O intervalo de medida de viscosidade vai de 20 cP
até 85000 cP).
Onde:
K= constante de calibração
1= densidade da esfera
2= densidade do líquido
t = tempo de queda
Equação:
µ = K ( ρ1 – ρ2) t
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5.3. Viscosímetros rotacionais:
Estes instrumentos podem determinar a
viscosidade de fluidos newtonianos e não-
newtonianos contidos entre dois cilindros
coaxiais, duas placas paralelas ou geometria de
cone-placa.
5.3.1. Cilindros concêntricos:
Princípio de operação: consiste basicamente de um par
de cilindros coaxiais: um gira enquanto o outro
permanece estático (sem movimento). O torque
necessário para manter o rotor a uma determinada
velocidade é uma medida da taxa de deformação.
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Aplicações e limitações:
Medem viscosidades de
fluidos newtonianos e não-
newtonianos.
Alguns apresentam efeitos
de borda.
Equação:
Viscosímetro rotacional de cilindros concêntricos
Onde:
M = torque necessário para manter a velocidade angular (N.m)
h = altura do cilindro (m)
Rcil = raio do cilindro (m)
M
2 h Rcil2
 =
38
No caso da taxa de deformação existem vários métodos de
estimativa, mas o mais simples é o do sistema que assume
taxa de deformação uniforme através do ângulo entre os dois
cilindros.
Onde:
 = velocidade angular (s-1)
α = Rext/ Rint = Raio do cilindro externo / Raiodo cilindro interno
= Ω
α – 1
.

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5.3.2. Viscosímetro de Brookfield:
Largamente utilizado na indústria de produtos.
Os sensores mais comuns são discos planos
acoplados ao instrumento por um eixo
vertical.
Princípio de medida:
Mede-se o torque necessário para manter uma
determinada velocidade de rotação. A análise da taxa de
deformação neste tipo de geometria é bastante complexa
sendo, portanto difícil utilizar esse equipamento para
análise de fluidos não-newtonianos.
40
5.3.3. Cone rotativo
(placa fixa):
Aplicações e limitações:
Ideal para medir comportamento reológico de fluidos não-
newtonianos a altas taxas de deformação, porém pode
causar aquecimento devido ao atrito. Os efeitos de borda
são desprezíveis. É aplicável em fluidos dependentes do
tempo.
Princípio de operação:
Tem o mesmo princípio de medida que os cilindros
concêntricos, porém é mais preciso devido a que a
distância entre as placas pode ser considerada igual a
zero, sendo assim a taxa de deformação é constante no
líquido que se encontra entre o cone e a placa. O ângulo
do cone não pode ser superior a 4 graus.
41
 = 3M
2R3
Viscosímetro rotacional de cone-placa
.

Onde:
M= torque necessário para manter a velocidade angular (N.m)
= velocidade angular (s-1)
R= raio do cone (m)
 = ângulo do cone (-)
Equações:
= 
tan 
42
5.3.4. Placa rotativa
(Placas paralelas: )
Existem vários equipamentos comerciais com
diferentes características de medidas tanto
controlando a tensão como a deformação do
fluido.
Opera de maneira similar ao equipamento cone-
placa, exceto que a taxa de deformação no
espaço entre as placas não é tão uniforme e a
análise dos resultados de fluidos não-
newtonianos torna-se mais difícil.
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6. Medidas empíricas em produtos
Na indústria de produtos, utilizam-se diversos equipamentos
empíricos que não determinam propriedades reológicas
fundamentais, mas seus resultados tem diversas
aplicações: controle de qualidade, correlação com análise
sensorial ou ainda como padrões oficiais de identidade.
A tabela seguinte mostra diferentes equipamentos e
aplicações em produtos alimentícios.
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Equipamento Aplicação mais comum
Consistômetro de Adams Consistência de purês semi-
sólidos
Medidor de maciez de Armour Maciez de carne
Compressímetro de padeiro Envelhecimento de pão
Medidor de pressão Ballauf Punção de frutas e vegetais
Medidor de textura de biscoito
BBIRA
Dureza de biscoitos e bolachas
Gelômetro de Bloom Punção de gelatina e geléias de
gelatina
Consistômetro de Botswick Escoamento de alimento infantil e
purês similares
Medidor de pressão Chatillon Punção de frutas e vegetais
Medidor de pressão Effi-Gi Punção de frutas e vegetais
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Medidor de pressão Magness-Taylor Punção de frutas e vegetais
Medidor de pressão Van Dorran Punção de manteiga
Extensígrafo Comportamento do glúten
Farinógrafo Qualidade dos produtos assados
de farinha de trigo
Mixógrafo Qualidade dos produtos assados
de farinha de trigo
Resistógrafo Qualidade dos produtos assados
de farinha de trigo
Tenderômetro de ervilhas FMC Qualidade e grau de maturação de
ervilhas verdes frescas
Tenderômetro de ervilhas Ottawa Qualidade e grau de maturação de
ervilhas verdes frescas
46
Sistema de textura FTC Acessórios para vários produtos
Medidor de textura Pabst Firmeza de produtos particulados
Texturômetro GF Acessórios para vários produtos
Medidor de Haugh Qualidade do ovo
Instrom Acessórios para vários produtos
Célula de pressão de Kramer Maciez de ervilhas e outros
produtos particulados
Medidor de géis de colóides
marinhos
Punção de géis de extratos
marinhos
Penetrômetro Firmeza de manteiga e margarina
47
Torsiômetro de coalho de queijo Firmeza do coalho de queijo
Analisador de resposta de
compressão de Stevens
Acessórios para vários produtos
Suculômetro Maturidade e qualidade de milho
doce fresco
Medidor de dureza SURDD Dureza de gorduras e ceras
Homogeneizador de Torry Brown Dureza de peixe
Consistômetro USDA Consistência de purês de produtos
semi-fluidos
Cisalhamento de Warner-Bratzler Dureza de carne
RESUMO DA AULA:
O que é importante saber? Identificar fluidos pelo reograma
6
5
4
3
1  = o + k . Ỳ
n
 = o + k . Ỳ
 = μ . Ỳ
 = k . Ỳ n
Yield dilatant2
Modelo Herschel-Bulkley
Casos particulares do
modelo Herschel-Bulkley
49
Tixotrópico
(afinante)
Reopéctico
(espessante)
Ỳ

Dependência com o tempo
Tempo
Tempo
O que tem que saber?
Identificar fluidos pelo reograma que mostra a dependência
entre taxa de deformação e tensão de cisalhamento com o
tempo.